Как найти центр масс отрезка

Сущность понятия «центр масс»

Понятие «центр масс» широко используется в физике для решения задач, связанных с движением тел. Например, математический маятник удобно представить себе как подвешенное на нити тело, вся масса которого сконцентрирована в единой точке. В законе всемирного тяготения тоже речь идет о расстоянии не между телами, а между центрами тел, под каковыми подразумеваются именно центры масс, а не геометрические центры.

Признаком центра масс является то, что если тело подвесить, закрепив за эту точку, оно останется в покое, т.е. не будет раскачиваться или вращаться относительно этого центра. В простейшем случае, если речь идет о симметричном теле с равномерной плотностью, центр масс находится на пересечении осей симметрии рассматриваемого тела. Например, если взять линейку длиной 30 см, то ее центр масс будет расположен на отметке «15 см». Подложив карандаш под эту отметку, легко привести линейку в положение равновесия.

На практике далеко не все тела, центр масс которых нужно найти, являются симметричными и однородными по плотности. Более того, многие исследуемые объекты представляют собой системы из нескольких тел с различными геометрическими и химическими характеристиками. Для расчетов их разбивают на элементарные фрагменты и производят вычисления поэтапно.

Нахождение координат центра масс

Отсюда следует, что чем массивнее тело в такой элементарной системе, тем ближе оно к общему центру масс.

Расстояние между точечными телами равно:

$Delta x = x_2 — x_1$

Пропорция между массами и расстояниями, согласно определению:

$frac{l_1}{l_2} = frac{m_2}{m_1}$,

«Как найти координаты центра масс» 👇

где $l_1$, $l_2$ — расстояния от соответствующих тел до центра масс.

Выразив, длины через координаты

$l_1 = x_c — x_1; l_2 = x_2 — x_c$,

центр масс можно определить как

$x_c = frac{m_1 cdot x_1 + m_2 cdot x_2}{m_1 + m_2}$.

где $x_c$ — координата центра тяжести.

Разложив любую сложную систему на множество элементарных тел с точечными массами, можно обобщить изложенный принцип в виде формулы (для оси абсцисс):

$x_c = frac{sumlimits^N_{i=1}{m_i cdot x_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}$

В большинстве случаев центр масс требуется найти не на координатной прямой, а в двух- или трехмерной системе координат. Для дополнительных осей координаты центра масс ($y_c$, $z_c$) находят по аналогичному принципу.

Что же такое центр масс, или, как его ещё называют, центр тяжести? Формальное определение звучит так:

Точка О называется центром масс системы из n точек А1, А2, …, Аn, где каждой точке соответствует масса m1, m2, …, mn, если верно следующее равенство:

Не пугайтесь этой формулы! На деле решать задачи данным методом можно не думая про векторы. Сделаем допущение, что груз на концах отрезков не имеет размера — только массу.

Чтобы найти центр масс системы из двух точек, надо всего лишь разбить отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам точек. Это условие делает верным наше векторное равенство.

Теперь рассмотрим
систему из трёх точек, образующих некий треугольник. Как найти его центр масс? Для большей наглядности представим большой поднос, на котором произвольно расставлены гири. И официанта, который ловко удерживает поднос на одном пальце. Точка, в которой палец соприкасается с подносом, и есть центр масс. Только условимся, что поднос обладает бесконечно малой массой.

Как же найти эту точку? Оказывается, у центра масс есть следующее полезное свойство.

Если есть система точек с массами в них и какую-то пару точек А(m_A) и B(m_B) мы заменим их центром масс Р(m_A+m_B), то центр масс исходной системы не изменится.

Доказать это свойство попробуйте самостоятельно: это несложное упражнение на векторы.

Давайте применим указанное свойство к треугольнику. Если есть треугольник с вершинами
А, В, С с массами в них, то, чтобы найти центр масс данной системы, можно сперва найти центр масс точек А и В (точку Р), а затем найти центр масс точек Р и С. В каждом из двух случаев центр масс мы находим с помощью обычного правила рычага.

Всё это здорово, но возникает резонный вопрос: а зачем? Какое отношение имеют эти рассуждения к геометрическим задачам? Терпение, друзья!

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

• Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
• Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
• Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

где — массы точек, — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и — искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

и, выражая отсюда , мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Будем считать для простоты, что каркас однороден, т.е. его плотность везде одна и та же.

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

где — точка-середина -ой стороны многоугольника, — длина -ой стороны, — периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид, т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian «Finding Centroids the Easy Way».

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику с коэффициентом .

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника :

Пусть теперь вектор — вектор, проведённый из вершины к центру масс треугольника №1, и пусть вектор — вектор, проведённый из к точке (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Наша цель — показать, что вектора и коллинеарны.

Обозначим через и точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка , являющаяся серединой отрезка . Более того, вектор от точки к точке совпадает с вектором .

Искомый центр масс треугольника лежит посередине отрезка, соединяющего точки и (поскольку мы разбили треугольник на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Таким образом, вектор от вершины к центроиду равен . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику с коэффициентом , то этот же вектор равен . Отсюда получаем уравнение:

Таким образом, мы доказали, что вектора и коллинеарны, что и означает, что искомый центроид лежит на медиане, исходящей из вершины .

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника. Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

где — центроид -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, — площадь -го треугольника триангуляции, — площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники , где .

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников, поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

где — произвольная точка, — точки многоугольника, — центроид треугольника , — знаковая площадь этого треугольника, — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. ).

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

• Центр масс системы точек — вершин многогранника.
• Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
• Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
• Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом. Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

Нахождение центра масс треугольника

Любите ли вы геометрию? Многие на этот вопрос отвечают «нет», потому что в школе она даётся труднее всего. Причём особенную нелюбовь вызывают у учеников задачи о пересекающихся отрезках в треугольнике, к которым трудно даже подступиться. В этой статье мы расскажем о замечательном методе решения подобных задач — методе масс.

Эта статья была опубликована в журнале OYLA №10(38). Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.

Наверняка в детстве вы качались на качелях-весах. И наверняка один из двоих чаще всего оказывался тяжелее и его сторона постоянно перевешивала. А что можно сделать в этой ситуации, чтобы уравновесить качели?

Вспоминаем правило рычага: чтобы система была в равновесии, моменты сил, действующих на качели, должны быть одинаковыми.

Так как силы в нашем случае — это силы тяжести, верно следующее равенство:

Сокращаем константу g и получаем, что отношение масс обратно пропорционально отношению расстояний от края качелей до опоры.

Обратите внимание: вес самих качелей мы не учитываем. То есть система состоит из двух точек — концов отрезка с «гирьками», а также третьей точки, которая делит этот отрезок в отношении, обратно пропорциональном отношению масс «гирек». Последняя точка имеет своё название — она является центром масс системы из двух точек-«гирек».

Что же такое центр масс, или, как его ещё называют, центр тяжести? Формальное определение звучит так:

Точка О называется центром масс системы из n точек А1, А2, …, Аn, где каждой точке соответствует масса m1, m2, …, mn, если верно следующее равенство:

Не пугайтесь этой формулы! На деле решать задачи данным методом можно не думая про векторы. Сделаем допущение, что груз на концах отрезков не имеет размера — только массу.

Чтобы найти центр масс системы из двух точек, надо всего лишь разбить отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам точек. Это условие делает верным наше векторное равенство.

Теперь рассмотрим систему из трёх точек, образующих некий треугольник. Как найти его центр масс? Для большей наглядности представим большой поднос, на котором произвольно расставлены гири. И официанта, который ловко удерживает поднос на одном пальце. Точка, в которой палец соприкасается с подносом, и есть центр масс. Только условимся, что поднос обладает бесконечно малой массой.

Как же найти эту точку? Оказывается, у центра масс есть следующее полезное свойство.

Если есть система точек с массами в них и какую-то пару точек А(m_A) и B(m_B) мы заменим их центром масс Р(m_A+m_B), то центр масс исходной системы не изменится.

Доказать это свойство попробуйте самостоятельно: это несложное упражнение на векторы.

Давайте применим указанное свойство к треугольнику. Если есть треугольник с вершинами А, В, С с массами в них, то, чтобы найти центр масс данной системы, можно сперва найти центр масс точек А и В (точку Р), а затем найти центр масс точек Р и С. В каждом из двух случаев центр масс мы находим с помощью обычного правила рычага.

Всё это здорово, но возникает резонный вопрос: а зачем? Какое отношение имеют эти рассуждения к геометрическим задачам? Терпение, друзья!

Дан треугольник АВС. М — середина АВ, точка К лежит на отрезке АС и делит его в отношении 1:2 от вершины А. В каком отношении отрезок СМ делит отрезок ВК?

Решение Суть нашего метода в следующем. Расставим в точки А, В и С массы 2, 2 и 1 соответственно. Как вы видите, центр масс точек А(2) и В(2) — это точка М(4). Значит, центр масс всей системы из трёх точек находится на отрезке СМ и делит его в отношении 1:4 от С.

Теперь вернёмся к началу и найдём центр масс точек А и С. Это будет точка К(3). Значит, центр масс исходной системы лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 3:2 от В.

Но речь идёт об одной и той же системе точек А, В и С, а значит, у них один и тот же центр масс, который лежит и на СМ, и на ВК. Таким образом, центр масс не что иное, как точка О. Отсюда следует, что искомое отношение ВО к ОК равно 3:2.

Ответ. 3:2.

Постойте-ка! А как это мы догадались расставить массы именно так: 2, 2 и 1? На самом деле никакой магии тут нет. Наша цель — расставить массы в вершинах треугольника так, чтобы их центром оказалась точка О. Но почему именно 2, 2 и 1? Всё дело в том, что О будет центром масс, если мы покажем, что центр масс одновременно лежит и на отрезке СМ, и на отрезке ВК. Следовательно, в первом случае массы из точек А и В должны сместиться в точку М. Вспоминаем правило качелей: так как АМ = ВМ, то массы в точки А и В надо ставить одинаковые. Запомним это.

Во втором случае мы должны поставить массы в А и С так, чтобы их центром была точка К. Но АК:СК = 1:2, значит, в точке А масса должна быть вдвое больше, чем в С. Следовательно, ставим в С массу 1, тогда в А будет 2 (вдвое больше) и в В — тоже 2 (как в А).

Методом масс можно не только решать задачи, но и доказывать теоремы.

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин.

Решение Рассмотрим медианы ВК и СМ. В данном случае и К, и М — середины, поэтому поставим во все три вершины А, В и С массу 1. Далее рассмотрим точки А и В. Их центр масс — точка М(2). Значит, центр масс системы точек А, В и С лежит на отрезке СМ и делит его в отношении 2:1 от вершины С.

Теперь рассмотрим точки А и С, их центр масс — точка К(2). Значит, центр масс всё той же системы точек А, В и С лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 2:1 от вершины В. Но тогда искомый центр масс — это точка О на пересечении отрезков ВК и СМ, причём каждый из отрезков эта точка делит в отношении 2:1 от вершин.

Осталось заметить, что если мы рассмотрим медианы ВК и АР, то их точка пересечения также будет центром масс и разделит ВК и АР в отношении 2:1 от вершин. Но точка, которая делит ВК в отношении 2:1 от В, единственная, значит, в обоих случаях речь идёт об одной и той же точке О. Итак, все три медианы проходят через точку О и делятся ею в отношении 2:1 от вершин, что и требовалось доказать.

Центр тяжести треугольника

Этот онлайн калькулятор находит центроид, или барицентр (центр тяжести) треугольника по координатам его вершин

Центр тяжести (центр масс, барицентр) треугольника для треугольника с равномерно распределённой массой (или в вершинах которого находятся равные массы) находится в центроиде треугольника. Центроидом называется точка пересечения медиан треугольника. Центроид относится к так называемым замечательным точкам треугольника. Например, помимо того, что он является центром тяжести, он также делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, а три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника.

Чтобы вычислить положение центра тяжести по координатам вершин треугольника, достаточно вычислить среднее арифметическое координат вершин по оси x и по оси y, что и делает калькулятор ниже.

Центр масс, теория и онлайн калькуляторы

Центр масс

Определение центра масс

Если у нас две частицы одинаковой массы, то такая точка находится посередине между ними.

Координаты центра масс

Допустим, что две материальные точки, имеющие массы $m_1$ и $m_2$ находятся на оси абсцисс и имеют координаты $x_1$ и $x_2$. Расстояние ($Delta x$) между этими частицами равно:

[Delta x=x_2-x_1left(1right).]

В соответствии с определением для рис.1 имеем:

[frac{l_1}{l_2}=frac{m_2}{m_1}left(2right).]

Так как:

[l_1{=x}_c-x_1;; l_1{=x}_2-x_cleft(3right),]

где $x_c$ — координата центра масс, то получаем:

[m_1left(x_c-x_1right)=m_2{(x}_2-x_c)(4).]

Из формулы (4) получим:

[x_c=frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}left(5right).]

Выражение (5) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом. При этом абсцисса центра масс равна:

[x_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_ix_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(6right).]

Аналогично получают выражения для ординаты ($y_c$) центра масс и его аппликаты ($z_c$):

[y_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_iy_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(7right).]

[z_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_iz_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(8right).]

Формулы (6-8) совпадают с выражениями, определяющими центр тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Если положение N материальных точек системы задано в векторной форме, то радиус — вектор, определяющий положение центра масс находим как:

[{overline{r}}_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_i{overline{r}}_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(9right).]

Движение центра масс

Выражение для скорости центра масс (${overline{v}}_c=frac{d{overline{r}}_c}{dt}$) имеет вид:

[{overline{v}}_c=frac{m_1{overline{v}}_1+m_2{overline{v}}_2+dots +m_n{overline{v}}_n}{m_1+m_2+dots +m_n}=frac{overline{P}}{M}left(10right),]

где $overline{P}$ — суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (10) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач с решением

Читать дальше: центр тяжести.

Точку, в которой происходит равное распределение величины, определяющей инерционные и гравитационные свойства, называют центром масс. Формула для определения параметра зависит от радиус-вектора частиц системы и их полной энергии. Эту характеристику тела отличают от тяжести, при этом в трудах советских учёных Ландау, Лифшица для неё используется термин «центр инерции».

Оглавление:

• Общие сведения
• Связь с центром тяжести
• Вычисление положения
• Геометрический способ определения

Общие сведения

Допустим, имеется тело, на которое действуют скомпенсированные силы. В этом случае оно будет в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения. Пусть тело будет неподвижным. Например, лодка на воде. К ней можно приложить воздействие F1 в районе её кормы. Под действием силы она начнёт разворачиваться. Аналогично если воздействовать на её нос F2, то она тоже будет поворачиваться, но при этом разворот будет происходить в другую сторону.

Получается, что можно подобрать такую линию, на которой действие сил приведёт её к ускоренно поступательному движению. Пусть это будет F3. На самом деле таких сил может быть несколько. При этом их можно перемещать вдоль линии их воздействия. Если все такие силы изобразить в виде линий, то они пересекутся в одной точке. Такое место и называют центром масс тела (ЦМ). То есть точку, в которой пересекаются линии действия сил, вызывающие только ускоренное поступательное механическое движение.

Эта важная точка в теле и движется она довольно просто. Перемещение любого тела можно представить, как комбинацию двух видов движения:

• центра масс;
• вращения.

Существует теорема: ЦМ тела движется так, как перемещалась бы материальная точка, в которой сосредоточена вся масса и к которой приложены все воздействия, действующие на объект. Таким образом, различные виды изменения положения точек в пространстве можно описать с помощью законов Ньютона. Согласно же теореме их можно применять и к телу, если считать, что все силы приложены к центру масс.

Рассматривая объект, можно не учитывать его размер, форму, а брать во внимание только инерцию, ускорение и принцип парного взаимодействия. Фактически в механике перемещение сколь угодно сложного вида рассматривается по принципу суперпозиции и закона сохранении энергии. При этом довольно удобно изучать изменение положения в системе отсчёта связанной с этим центром. В ней полный импульс всегда будет равным нулю, что позволяет упростить уравнение движения.

Связь с центром тяжести

Пусть имеется объект, находящийся на Земле. Говорят, что на него действует сила тяжести. Но на самом деле она воздействует не на вещество, а на каждый его атом, частичку. Если предположить, что ускорение свободного падения буде одинаковым, то на объект действует очень множество сил тяжести. Рассматривать такую систему неудобно. Поэтому все воздействия заменяют равнодействующей. И считают, что действует одна сила, которая приложена к центру тяжести твёрдого тела.

Для того чтобы найти взаимосвязь между тяжестью и массой нужно представить, что объект вдруг распался на отдельные равные кусочки. Они держатся вместе, но не прикреплены друг к другу. Если тело отпустить, то они будут падать вместе, так как ускорение свободного падения не зависит от массы. При этом движение будет поступательным. Значит, сила, приложенная к телу в целом, будет приложена к центру масс.

Получается, что центральная точка является общей как для тяжести, так и для масс. Это две точки положение которых совпадает несмотря на разный их принцип определения в физике. Но существуют условия, когда это правило не выполняется. Например, если система материальных точек неоднородна по объёму плотности в гравитационном поле, то центры не совпадут.

Для примера можно привести список однородных фигур с указанием их центральной точки:

• отрезок — середина;
• параллелограмм — место пересечения диагоналей;
• треугольник — точка пересечения медиан (центроид);
• любой правильный многоугольник — центр поворотной симметрии;
• полукруг — точка, в которой перпендикулярный радиус делится в отношении 4:3p считая от центра круга.

Чтобы найти координату центра масс объекта, который можно представить, как совокупность связанных материальных точек используют два метода: аналитический и геометрический. Но второй способ не всегда можно применить. В однородном гравитационном поле центры тяжести и масс всегда совпадают. И это часто подтверждается на практике, из-за того, что внешнее гравитационное поле в задачах, связанных с действиями на Земле, считают постоянным в пределах объёма тела.

Поэтому эти термины объединяют в геометрии, статике и так далее. То есть в тех областях, где применение определения можно назвать метафорическим и предполагается ситуация их эквивалентности.

При таком понимании оба термина синонимичны, но при этом чаще предпочитают использовать термин, связанный с тяжестью. Это происходит в силу того, что исторически он появился раньше.

Вычисление положения

Пусть тело представляет собой совокупность материальных точек, лежащих на одной прямой при этом их массы разные. Задача состоит в нахождении его центра. Для этого следует вести систему координат с осью икс, которая будет совпадать с линией расположения точек. При этом тело пусть подвешено на невесомой опоре и находится под действием Земного тяготения. Это условие даёт возможность воспользоваться тем фактом, что положения центров масс и тяжести совпадают.

На каждую из материальных точек действует своя сила: m1g, m2g… mng. Если предоставить это тело самому себе, то оно будет в состоянии свободного падения. Остановить тело — подпереть, но при этом так, чтобы оно находилось в равновесии. Это значит, что сила реакции опоры должна проходить через центр тяжести, так как равнодействующая тоже её пересекает.

Получится, что сила реакции опоры будет лежать на одной прямой с силой тяжести действующей на тело в совокупности и их моменты тоже будут проходить через неё. С помощью координатной оси точкам можно присвоить положение, x1, x2… xn, а ЦМ xц. Чтобы тело находилось в равновесии необходимо выполнение двух условий:

• векторная сумма всех сил должна быть равной нулю: m1g + m2g +…+mng + F = 0;
• сумма моментов равняться нулю: Mm 1 g + Mm 2 g +…+ Mmng + MF = 0.

Из первого условия можно найти силу реакции опоры: F = (m1 + m2 +…+mn) * g. Если вращение выбрать против часовой стрелки, тогда относительно оси все моменты силы тяжести будут отрицательными, а опоры — положительные. Тогда справедливо записать: F * хц = (m1 x 1 + m2 x 2 +…+mn xn) * g.

Из последнего равенства можно выразить координату ЦМ: xц = ((m1 x 1 + m2 x 2 +…+mn xn) * g) / F. В эту формулу можно подставить выражение для F. В результате ускорение свободного падения сократится и получится: xц = (m1 x 1 + m2 x 2 +…+mn xn) / (m1 + m2 +…+mn). Это формула выглядит громоздко, но запомнить её легко. В числителе стоят произведения масс материальных точек на их координаты, а в знаменателе — вес всего тела.

Если точки не будут лежать на одной прямой, то координата ЦМ тоже не изменится. То есть приведённая формула справедлива для любого положения тела относительно координаты y.

При этом её можно применять и для рассмотрения предметов в пространстве, так как все направления в существующем мире равноправные.

Геометрический способ определения

Для простейших симметричных фигур ЦМ можно определить геометрическим методом. Для этого используются свойства диагоналей и медиан. Пусть имеется произвольной формы четырёхугольник. Изготовлен он из однородного материала.

Идея вычисления состоит в том, что эту фигуру необходимо разбить на два треугольника. Для этого нужно провести диагональ, которая разделит фигуру на два тела. Затем провести в каждом треугольном теле три медианы. Точка их пересечения и будет ЦМ. В результате вместо четырёхугольника можно рассматривать две материальные точки.

Несмотря на то что масса у них разная ЦМ будет находиться на соединяющем их отрезке. Теперь четырёхугольник можно разбить на два других треугольника и выполнить аналогичные действия уже для них. Получится два отрезка, на которых одновременно расположен ЦМ. Значит, его положение будет определяться точкой их пересечения.

Для более сложной фигуры, например, шести или восьмиугольника можно использовать такой же подход. Сначала нужно разделить тело на прямоугольники, а затем треугольники. Найти ЦМ для полученных фигур и определить точку пересечения. Следует понимать, что ЦМ может находиться и за пределами объекта.

Но в реальных ситуациях бывают фигуры, которые имеют неправильную форму. Для них нельзя применить расчёт или геометрический метод. Поэтому выясняют, где расположен ЦМ экспериментальным путём.

Например, пусть имеется тело сложной неправильной формы. Чтобы найти ЦМ необходимо фигуру подвесить в пространстве. На неё действует две силы: тяжести и реакции оси. Первая заставляет фигуру поворачиваться с определённой скоростью до тех пор, пока момент силы тяжести относительно оси крепления не станет равным нулю. То есть точка опоры, ось и центр тяжести окажутся на одной вертикале.

Чтобы узнать, где же находится ЦМ, тело нужно подвесить, используя другую точку. При этом на самой фигуре следует отметить, как проходит вертикаль.

Повторяя такой опыт минимум три раза, можно увидеть точку пересечения осей, которая и будет искомым ЦМ. Причём чем будет больше экспериментов, тем точнее он будет определён.