Как найти центр масс системы частиц

Определение центра масс, теория и онлайн калькуляторы

Определение центра масс

При исследовании поведения систем частиц, часто удобно использовать для описания движения такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой служит центр масс.

Для однородных тел обладающих симметрией центр масс часто совпадает с геометрическим центром тела. В однородном изотропном теле одной выделенной точке найдется симметричная ей точка.

Радиус-вектор и координаты центра масс

Предположим, что у нас имеются две частицы с равными массами, им соответствуют радиус-векторы: ${overline{r}}_1 и {overline{r}}_2$ . В этом случае центр масс расположен посередине между частицами. Центр масс (точка C) определён радиус-вектором ${overline{r}}_C$ (рис.1).

Из рис.1 видно, что:

[{overline{r}}_C=frac{{overline{r}}_1+ {overline{r}}_2}{2}left(1right).]

Можно ожидать, что вместе с геометрическим центром системы радиус-вектор, которого равен ${overline{r}}_C,$ играет роль точка, положение которой определяет распределение массы. Ее определяют так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

[{overline{r}}_C=frac{{overline{r}}_1m_1+ {overline{r}}_2m_2}{m_1+m_2}left(2right).]

Радиус -вектор ${overline{r}}_C$, определенный выражением (2) — средне взвешенная величина радиус-векторов частиц ${overline{r}}_1$ и ${overline{r}}_2$. Это становится очевидным, если формулу (2) представить в виде:

[{overline{r}}_C=frac{m_1}{m_1+m_2}{overline{r}}_1+frac{m_2}{m_1+m_2}{overline{r}}_2left(3right).]

Выражение (3) показывает, что радиус-вектор каждой частицы входит в ${overline{r}}_C$ с весом, который пропорционален его массе.

Выражение (3) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом.

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус — вектор, определяющий положение центра масс находим как:

[{overline{r}}_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_i{overline{r}}_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(4right).]

Выражение (4) считают определением центра масс системы.

При этом абсцисса центра масс равна:

[x_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_ix_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(5right).]

Ордината ($y_c$) центра масс и его аппликата ($z_c$):

[y_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_iy_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(6right).]

[z_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_iz_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(7right).]

Формулы (4-7) совпадают с формулами, которые используют для определения тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс (${overline{v}}_c=frac{d{overline{r}}_c}{dt}$) запишем как:

[{overline{v}}_c=frac{m_1{overline{v}}_1+m_2{overline{v}}_2+dots +m_n{overline{v}}_n}{m_1+m_2+dots +m_n}=frac{overline{P}}{M}left(8right),]

где $overline{P}$ — суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач на определение центра масс

Читать дальше: период и частота колебаний.

Have you ever seen one of those toy birds that is able to balance on your fingertip by its beak without tipping over, as if by magic? It isn’t magic that allows the bird to balance at all, but the simple physics associated with center of mass.

Understanding the physics behind the center of mass allows you not only to understand conservation of momentum and other related physics, but can also inform stability and dynamics in the sports you play, as well as allow you to perform some creative balancing acts.

Definition of Center of Mass

An object’s ​center of mass​, sometimes also called the center of gravity, can be thought of as the point where the total mass of an object or a system can be treated as a point mass. In certain situations, external forces can be treated as though they are acting on the center of mass of the object.

For the toy bird balancing on your fingertip, the center of mass is at its beak. This might seem wrong at first, which is why the act of balancing appears magical. Indeed, for a bird sitting on a branch, its center of mass is somewhere in its body. But the balancing bird toy often has weighted wings that span outward and forward, causing it to balance differently.

The center of mass can be determined for a single object – such as the balancing bird – or it can be computed for a system of several objects, as you will see in a later section.

Center of Mass for a Single Object

There will always be a single point on a rigid body that is the location of that body’s center of mass. The position of the center of mass of an object depends on the distribution of mass.

If an object is of uniform density, its center of mass is easier to determine. For example, in a circle of uniform density, the center of mass is the center of the circle. (This would not be the case, however, if the circle was denser on one side than the other).

In fact, the center of mass will always be at the geometric center of the object when density is uniform. (This geometric center is called the ​centroid​.)

If the density is not uniform, there are other ways to determine the center of mass. Some of these methods involve the use of calculus, which is beyond the scope of this article. But one simple way to determine the center of mass of a rigid object is to simply try to balance it on your fingertip. The center of mass will be at the balancing point.

Another method, useful for planar objects, is as follows:

For some objects, however, it is possible for the balance point to be outside the bounds of the object itself. Think of a ring, for example. The center of mass for a ring shape is in the center, where no part of the ring exists at all.

Center of Mass of a System of Particles

The position of the center of mass for a system of particles can be thought of as their average mass position.

The same idea can be used as for a rigid object if you imagine this system of particles are all connected by rigid, massless plane. The center of mass would then be the balance point of that system.

To determine the center of mass of a system of particles mathematically, the following simple formula can be used:

vec{r} = frac{1}{M}(m_1vec{r_1} + m_2vec{r_2} + …

Where ​M​ is the total mass of the system, ​m_i​ are the individual masses and ​r_i​ are their position vectors.

In one dimension (for masses distributed along a straight line) you can replace ​r​ with ​x​.

In two dimensions, you can find the ​x​-coordinate and ​y​-coordinate of the center of mass separately as:

x_{cm} = frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 + … \ text{ }\ y_{cm} = frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + …

Examples of Calculating the Center of Mass

​Example 1:​ Find the coordinates of the center of mass of the following system of particles: particle of mass 0.1 kg located at (1, 2), particle of mass 0.05 kg located at (2, 4) and particle of mass 0.075 kg located at (2, 1).

​Solution 1:​ Apply the formula for the ​x​-coordinate of the center of mass as follows:

x_{cm} = frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \text{ }\= frac{1}{0.1 + 0.05 + 0.075}(0.1(1) + 0.05(2) + 0.075(2))\text{ }\=0.079

Then apply the formula for the ​y​-coordinate of the center of mass as follows:

y_{cm} = frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \text{ }\= frac{1}{0.1 + 0.05 + 0.075}(0.1(2) + 0.05(4) + 0.075(1))\text{ }\=2.11

So the location of the center of mass is (0.079, 2.11).

​Example 2:​ Find the location of the center of mass of a uniform density equilateral triangle whose vertices lie at points (0, 0), (1, 0) and (1/2, √3/2).

​Solution 2:​ You need to find the geometric center of this equilateral triangle with side length 1. The ​x​-coordinate of the geometric center is straightforward – it is simply 1/2.

The ​y​-coordinate is a little trickier. It will occur at the location that a line from the top of the triangle to the point (0, 1/2) intersects with a line from any of the other vertices to the midpoint of one of the opposite side. If you sketch such an arrangement, you will find yourself with a 30-60-90 right triangle whose long leg is 0.5 and short leg is the ​y​-coordinate. The relationship between these sides is √3y = 1/2, hence y = √3/6, and the coordinates of the center of mass are (1/2, √3/6).

Motion of the Center of Mass

The location of the center of mass of an object or system of objects can be used as a reference point in many physics calculations.

When working with a system of interacting particles, for example, finding the center of mass of the system allows for an understanding of linear momentum. When linear momentum is conserved, the center of mass of the system will move with a constant velocity even as the objects themselves bounce off one another.

For a falling rigid object, gravity can be treated as acting on that object’s center of mass, even if that object is rotating.

The same is true of projectiles. Imagine tossing a hammer, and as it flies through an arc in the air, it rotates end over end. This might seem like complex motion to model at first, but it turns out that the center of mass of the hammer moves in a nice smooth parabolic path.

A simple experiment can be performed which demonstrates this by taping a small piece of glow tape to the hammer’s center of mass, and then tossing the hammer as described in a dark room. The glow tape will appear to move in a smooth arc, like a tossed ball.

A Simple Experiment: Find the Center of Mass of a Broom

A fun center-of-mass experiment that you can perform at home involves using a simple technique for finding the center of mass of a broom. All you need for this experiment is one broom and two hands.

With your hands relatively far apart, hold up the broom on the end of two pointer fingers. Then, slowly bring your hands closer together, sliding them underneath the broom. As you move your hands closer together you may notice one hand wants to slide along the underside of the broom handle while the other one stays put for a while before sliding.

The entire time your hands move, the broom remains balanced. Eventually, when your two hands meet, they will meet at the location of the broom’s center of mass.

Center of Mass of the Human Body

The center of mass of the human body is located somewhere near the navel (belly button). In men, the center of mass tends to be a little higher since they carry more body mass in their upper body, and in women, the center of mass is lower because they carry more mass in their hips.

If you stand on one foot, your center of mass will shift toward the side of the foot you are standing on. You may notice yourself leaning more toward that side. This is because in order to stay balanced, your center of mass needs to stay over the foot you are balancing on, or else you will tip over.

If you stand with one leg and hip against a wall and try to lift your other leg, you will likely find it impossible because the wall prevents your weight from shifting over the balance leg.

Another thing to try is standing with your back to the wall and your heels touching the wall. Then try to bend forward and touch the floor without bending your legs. Women may be more successful at this task than men because their center of mass is lower in their body and may end up still being over their toes as they lean forward.

Center of Mass and Stability

The location of the center of mass relative to an object’s base determines its stability. Something is considered stably balanced if, when tipped slightly and then released, it then returns back to its original position instead of tipping further and falling over.

Consider a three-dimensional pyramid shape. If balanced on its base, it is stable. If you lift one end slightly and let it go, it falls back down. But if you try to balance the pyramid on its tip, then any deviations from perfect balance will cause it to fall over.

You can determine if an object will fall back to its original position or tip over by looking at the location of the center of mass relative to the base. Once the center of mass moves past the base, the object will tip over.

If you play sports, you might be familiar with the ready position where you stand with a wide stance and knees bent. This keeps your center of mass low, and the wide base makes you more stable. Consider how hard someone would have to push you to tip you over if you are in the ready position vs. when you are standing up straight with your feet together.

Some cars have problems with rolling over when they take sharp turns. This is because of the location of their center of mass. If the center of mass of a vehicle is too high and the base is not wide enough, then it doesn’t take much to cause it to tip over. It’s always best for the stability of a vehicle to have most of the weight as low as possible.

     В
любой системе частиц имеется одна
замечательная точка С—
центр
инерции,
или центр
масс,
— которая обладает рядом интересных и
важных свойств. Центр масс является
точкой приложения вектора импульса
системы
,
так как вектор любого импульса является
полярным вектором. Положение точкиС
относительно
начала О
данной системы отсчета характеризуется
радиусом-вектором, определяемым следующей
формулой:

(4.8)

     где
—
масса и радиус-вектор каждой частицы
системы,M
— масса всей

     системы
(рис. 4.3).

Рис. 4.3. Определение центра масс системы частиц

     Следует
заметить, что центр масс системы совпадает
с ее центром тяжести. Правда, это
утверждение справедливо лишь в том
случае, когда поле сил тяжести в пределах
данной системы можно считать однородным.

     Найдем
скорость центра масс в данной системе
отсчета. Продифференцировав (4.8)
по времени, получим

(4.9)

     Если
скорость центра инерции равна нулю, то
говорят, что система как целое покоится.
Это вполне естественное обобщение
понятия покоя отдельной частицы. Скорость
же
приобретает
смысл скорости движения системы как
целого.

     Из
формулы
(4.9)с учетом(4.3)
следует, что

(4.10)

     т.е.
импульс системы равен произведению
массы системы на скорость ее центра
масс.

     Получим
уравнение движения центра масс. Понятие
центра масс позволяет придать уравнению
(4.4)иную форму, которая часто оказывается
более удобной. Для этого достаточно(4.10)подставить в(4.4),
и учесть, что масса системы как таковой
есть величина постоянная. Тогда получим

,

(4.11)

     где
—
результирующая всех внешних сил,
действующих на систему. Это и естьуравнение
движения центра масс
системы
— одно из важнейших уравнений механики.
В соответствии с этим уравнением, при
движении любой системы частиц ее центр
инерции движется так, как если бы вся
масса системы была сосредоточена в этой
точке и к ней были бы приложены все
внешние силы,
действующие на систему. При этом ускорение
центра инерции совершенно не зависит
от точек приложения внешних сил.

     Далее,
из уравнения (4.11)
следует, что если
тоа
значит,.
В инерциальной системе отсчета такой
случай реализуется для замкнутой
системы. Кроме того, если,
то, согласно(4.10);
и импульс системы
.

     Таким
образом, если
центр масс системы движется равномерно
и прямолинейно, то это означает, что ее
импульс сохраняется
в процессе движения. Разумеется,
справедливо и обратное утверждение.

     Уравнение
(4.11).
по форме совпадает с основным уравнением
динамики материальной точки и является
его естественным обобщением на систему
частиц: ускорение системы как целого
пропорционально результирующей всех
внешних сил и обратно пропорционально
суммарной массе системы. Напомним, что
в неинерциальных системах отсчета
результирующая всех внешних сил включает
в себя как силы взаимодействия с
окружающими телами, так и силы инерции.

Соседние файлы в папке Лекции 1 симестр

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

$) запишем как:

где $overline

$ — суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач на определение центра масс

Задание. Система составлена из материальных точек (рис.2), запишите координаты ее центра масс?

Решение. Рассмотрим рис.2. Центр масс системы лежит на плоскости, значит, у него две координаты ($x_c,y_c$). Найдем их используя формулы:

Вычислим массу рассматриваемой системы точек:

Тогда абсцисса центра масс $x_ $равна:

Ответ. $x_c=0,5 b$; $y_с=0,3 b$

Задание. Космонавт, имеющий массу $m$, неподвижен относительно корабля массы $M$. Двигатель космического аппарата выключен. Человек начинает подтягиваться к кораблю при помощи легкого троса. Какое расстояние пройдет космонавт ($s_1$), какое корабль ($s_2$) до точки встречи? В начальный момент расстояние между ними равно $s$.

Решение. Центр масс корабля и космонавта лежит на прямой, соединяющей эти объекты.

В космосе, где внешние силы отсутствуют, центр масс замкнутой системы (корабль-космонавт) либо покоится, либо движется с постоянной скоростью. В избранной нами (инерциальной) системе отсчета он покоится. При этом:

3.5. Центр масс

Снова рассмотрим ту же систему материальных точек. Построим радиус-вектор по следующему правилу:

где — радиус-вектор — той материальной точки системы, а — ее масса.

Радиус-вектор определяет положение в пространстве центра инерции (центра масс) системы.

Вовсе не обязательно, что в центре масс системы окажется какая-то материальная точка.

Пример. Найдем центр масс системы, состоящей из двух маленьких шариков — материальных точек, соединенных невесомым стержнем (рис. 3.29). Такая система тел называется гантелей.

Рис. 3.29. Центр масс гантели

Из рис. видно, что

Подставляя в эти равенства выражение для радиус-вектора центра масс

Отсюда следует, что центр масс лежит на прямой, проходящей через центры шаров. Расстояния l₁ и l₂ между шарами и центром масс равны соответственно

Центр масс ближе к тому шарику, масса которого больше, что видно из отношения:

Определим, с какой скоростью движется центр инерции системы. Дифференцируем по времени обе части:

В числителе полученного выражения в правой части стоит сумма импульсов всех точек, то есть импульс системы. В знаменателе стоит полная масса системы

Мы получили, что скорость центра инерции связана с импульсом системы и ее полной массой таким же соотношением, какое справедливо для материальной точки:

Видео 3.11. Движение центра масс двух одинаковых тележек, связанных пружиной.

Таким образом, можно считать, что скорость V_C является скоростью системы как целого. Она, разумеется, может отличаться от скоростей каждого из тел, входящих в систему.

Центр масс замкнутой системы движется всегда с постоянной скоростью, поскольку импульс такой системы сохраняется.

Если продифференцировать теперь выражение для импульса системы по времени и учесть, что производная импульса системы есть равнодействующая внешних сил, то получим уравнение движения центра масс системы в общем случае:

Центр масс системы движется точно так же, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе всех частиц системы, под действием векторной суммы всех внешних сил, приложенных к системе.

Если имеется система материальных точек, внутреннее расположение и движение которых нас не интересует, мы вправе считать ее материальной точкой с координатами радиус-вектора центра инерции и массой, равной сумме масс материальных точек системы.

Если связать с центром масс замкнутой системы материальных точек (частиц) систему отсчета (ее называют системой центра масс), то полный импульс всех частиц в такой системе окажется равным нулю. Таким образом, в системе центра масс замкнутая система частиц как целое покоится, и существует только движение частиц относительно центра масс. Поэтому ясно выявляются свойства внутренних процессов, протекающих в замкнутой системе.

В случае, когда системой является тело с непрерывным распределением масс, определение центра масс остается по существу тем же. Окружаем произвольную точку в нашем теле небольшим объемом . Масса, заключенная в этом объеме, равна , где — плотность вещества тела, которая может и не быть постоянной по его объему. Сумма по всем таким элементарным массам заменяется теперь на интеграл по всему объему тела, так что для положения центра масс тела получается выражение

Если вещество тела однородно, плотность его постоянна, и ее можно вынести из-под знака интеграла, так что она сократится в числителе и знаменателе. Тогда выражение для радиус-вектора центра масс тела принимает вид

где — объем тела.

И в случае непрерывного распределения масс справедливо утверждение, что

Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием векторной суммы всех внешних сил,приложенных к телу.

Пример. Если снаряд взрывается в некоторой точке своей параболической траектории, то осколки летят по самым различным траекториям, но его центр масс продолжает движение по параболе.

Вектор скорости центра масс

Вектор скорости центра масс

Понятие центра масс .

В ряде случаев для упрощения решения задачи описания движения в системах, состоящих из большого количества частиц, полезно использовать понятие центра масс. Как мы увидим в дальнейшем понятие центра масс позволяет так же охарактеризовать движение системы как целого.

Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой r_c задается уравнением:

где m_i и r_i — масса и радиус-вектор i-й частицы системы;
M — масса системы.

Другими словами, центр масс представляет собой среднее взвешенное значение радиус-векторов отдельных частиц с весовыми множителями, равными отношению соответствующих масс частиц к массе системы.

Скорость центра масс .

Скорость центра масс V_c можно найти как производную от радиус-вектора центра масс по времени, т.е. путем дифференцирования выражения (9) по времени. Следовательно ,

.

Числитель выражения (10) представляет собой импульс системы. Он равен произведению массы системы на скорость центра масс :

.

Определение центра масс

При исследовании поведения систем частиц, часто удобно использовать для описания движения такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой служит центр масс.

Для однородных тел обладающих симметрией центр масс часто совпадает с геометрическим центром тела. В однородном изотропном теле одной выделенной точке найдется симметричная ей точка.

Радиус-вектор и координаты центра масс

Предположим, что у нас имеются две частицы с равными массами, им соответствуют радиус-векторы: $ >_1 и >_2$ . В этом случае центр масс расположен посередине между частицами. Центр масс (точка C) определён радиус-вектором $ >_C$ (рис.1).

Из рис.1 видно, что:

Можно ожидать, что вместе с геометрическим центром системы радиус-вектор, которого равен $ >_C,$ играет роль точка, положение которой определяет распределение массы. Ее определяют так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

Радиус -вектор $ >_C$, определенный выражением (2) — средне взвешенная величина радиус-векторов частиц $ >_1$ и $ >_2$. Это становится очевидным, если формулу (2) представить в виде:

Выражение (3) показывает, что радиус-вектор каждой частицы входит в $ >_C$ с весом, который пропорционален его массе.

Выражение (3) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом.

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус — вектор, определяющий положение центра масс находим как:

Выражение (4) считают определением центра масс системы.

При этом абсцисса центра масс равна:

Ордината ($y_c$) центра масс и его аппликата ($z_c$):

Формулы (4-7) совпадают с формулами, которые используют для определения тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс ($ >_c=frac >_c>

$ — суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач на определение центра масс

Задание. Система составлена из материальных точек (рис.2), запишите координаты ее центра масс?

Решение. Рассмотрим рис.2. Центр масс системы лежит на плоскости, значит, у него две координаты ($x_c,y_c$). Найдем их используя формулы:

Вычислим массу рассматриваемой системы точек:

Тогда абсцисса центра масс $x_ $равна:

Ответ. $x_c=0,5 b$; $y_с=0,3 b$

Задание. Космонавт, имеющий массу $m$, неподвижен относительно корабля массы $M$. Двигатель космического аппарата выключен. Человек начинает подтягиваться к кораблю при помощи легкого троса. Какое расстояние пройдет космонавт ($s_1$), какое корабль ($s_2$) до точки встречи? В начальный момент расстояние между ними равно $s$.

Решение. Центр масс корабля и космонавта лежит на прямой, соединяющей эти объекты.

В космосе, где внешние силы отсутствуют, центр масс замкнутой системы (корабль-космонавт) либо покоится, либо движется с постоянной скоростью. В избранной нами (инерциальной) системе отсчета он покоится. При этом:

Физический факультатив. Тема: «Импульс, центр масс, движение центра масс»

В работе рассмотрены некоторые задачи на движение центра масс, рассматриваемые на школьном факультативе по физике в Лицее научно-инженерного профиля города Королева. Представляется, что данная статья может быть полезной как для учителей физики школ с углубленным изучением предмета, так и для абитуриентов.

Импульс или количество движения материальной точки есть вектор, равный произведению массы этой точки m на вектор ее скорости v: .

Импульс силы – это вектор, равный произведению силы на время ее действия: . Если сила не является постоянным вектором, то под F следует понимать среднее значение вектора силы за рассматриваемый интервал времени.

Теорема об изменении импульса материальной точки. Пусть на материальную точку m действует постоянная сила F. Тогда

, или . Таким образом изменение импульса материальной точки равно импульсу силы, действующей на нее.

Импульс системы материальных точек равен по определению сумме импульсов всех N точек системы:

Изменение импульса системы материальных точек равно импульсу равнодействующей внешних сил, действующих на систему.

Изолированная (замкнутая) система – это такая система материальных точек, на которую не действуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю.

Закон сохранения импульса: импульс изолированной системы материальных точек сохраняется, каково бы ни было взаимодействие между ними:

Если внешние силы, действующие на систему не равны нулю, но существует такое неизменное направление (например, ось OX), что сумма проекций внешних сил на это направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление сохраняется.

Центр масс системы материальных точек. Центром масс N материальных точек m₁, m₂,…, m_N, положения которых заданы радиус-векторами , называют воображаемую точку, радиус-вектор которой определяется формулой:

.

Тогда координаты центра масс равны:

,

,

.

Скоростью центра масс является вектор

,

где – скорость i-й точки.

Ускорением центра масс является вектор

где – ускорение i-й точки.

Теорема об ускорении центра масс системы материальных точек. Произведение суммы масс точек системы на ускорение центра масс равно сумме внешних сил, действующих на точки системы.

Если на систему материальных точек не действуют внешние силы, то скорость центра масс относительно любой инерциальной системы отсчета сохраняется, каково бы ни было взаимодействие внутри системы.

Если при этом скорость центра масс относительно некоторой инерциальной системы была равна нулю, то сохраняется и положение центра масс.

Два этих утверждения являются прямыми следствиями закона сохранения импульса.

Задача 1. Частица массы m движется со скоростью v, а частица массы 2m движется со скоростью 2v в направлении, перпендикулярном направлению движения первой частицы. На каждую частицу начинают действовать одинаковые силы. После прекращения действия сил первая частица движется со скоростью 2v направлении, обратном первоначальному. Определите скорость второй частицы. [1]

Изменение импульса частицы массой m вследствие действия импульса силы равно 3mv, следовательно вторая частица приобретает точно такой же импульс перпендикулярно направлению ее движения. Полный импульс второй частицы находится векторным сложением его составляющих по двум перпендикулярным направлениям и равен 5mv. Скорость второй частицы тогда равна 5v/2.

Задача 2. Ящик с песком массы М лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен µ. Под углом ? к вертикали в ящик со скоростью v влетает пуля массы m и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, начав двигаться, остановится? При каком значении ? он вообще не сдвинется? [1]

Решение. Изменение импульса системы материальных точек равно импульсу равнодействующей внешних сил, действующих на систему. По горизонтальной и вертикальной оси:

где u – скорость ящика сразу после того, как пуля в нем застрянет, N – реакция опоры, – время, за которое пуля застревает в песке. Из этих уравнений следует

Так как пуля застревает почти мгновенно последним членом в правой части можно пренебречь. После того, как пуля застрянет, ящик тормозит под действие силы трения с ускорением . Ящик останавливается за время . Ящик не сдвинется, если .

Задача 3. По наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, с постоянной скоростью v съезжает ящик с песком массой M. В него попадает летящая горизонтально пуля массой m, и ящик при этом останавливается. С какой скоростью u летела пуля?

Решение. Вдоль наклонной плоскости изменение импульса системы

Поперек наклонной плоскости

Тогда

и с учетом того, что (ящик съезжает с постоянной скоростью)

Задача 4. Обезьяна массы m уравновешена противовесом на блоке А. Блок А уравновешен грузом массы 2m на блоке В. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью u относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь. [1]

Решение. Обезьяна получает импульс силы и начинает двигаться со скоростью v к потолку. Точно такой же импульс силы получает груз m и тоже движется со скоростью v к потолку. Груз массой 2m получает импульс силы и тоже движется со скоростью v к потолку. Блок А опускается вниз со скоростью v. груз m движется относительно блока А вверх со скоростью 2v. Веревка справа от блока А движется от потолка со скоростью 3v. относительно обезьяны веревка движется вниз со скоростью 4v. Отсюда .

Задача 5. Из однородной круглой пластины радиусом R вырезали круг вдвое меньшего радиуса, касающийся края пластины. Найти центр тяжести полученной пластины.

Решение. Пусть масса пластины до вырезания равна M. Тогда масса вырезанной части равна M/4. Предположим, что имеется в наличии вещество с отрицательной массой, Тогда вырез можно получить наложением на пластину пластинки с отрицательной массой —M/4. Тогда, поместив начало координат в центр круга и направив ось X направо, положение центра масс получаем из формулы для координаты центра масс:

.

Задача 6. На гладком полу стоит сосуд, заполненный водой плотности p₀; объем воды V₀. Оказавшийся на дне сосуда жук объема V и плотности p через некоторое время начинает ползти по дну сосуда со скоростью u относительно него. С какой скоростью станет двигаться сосуд по полу? Массой сосуда пренебречь, уровень воды все время остается горизонтальным. [1]

Решение. Пусть скорость сосуда v, тогда скорость жука относительно пола u+v. Импульс системы по горизонтальной оси сохраняется и равен нулю. Удобно рассматривать жука как совокупность воды массой и сублимированного вещества жука массой , которое перемещается относительно всей воды. Тогда импульс системы

и

Задача 7. На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки, а расстояние от поверхности стола равно длине пробирки l. Нить пережигают, и за время падения пробирки муха перелетает со дна в верхний конец пробирки. Определить время, за которое пробирка достигнет стола.

Решение. Ускорение центра масс системы определяется силами тяжести, действующими на пробирку и муху, и равно g. За время падения центр масс системы переместился на l/2. Отсюда время падения .

Задача 8. На нити, перекинутой через блок, подвешены два груза неравной массы (m₂ > m₁). Определить ускорение центра масс этой системы. Массой блока и нити пренебречь. [2]

Решение. Ускорение тяжелого груза направлено вниз и, как известно, равно . Ускорение легкого груза такое же по модулю, но направлено вверх. Ускорение центра масс находим по формуле из теоретического раздела

Задача 9. В сосуде, наполненном водой плотности p, с ускорением а всплывает пузырек воздуха, объем которого V. Найдите силу давления со стороны сосуда на опору. Масса сосуда вместе с водой равна m. [1]

Решение. Будем рассматривать системы как совокупность сосуда с водой массой и шарика с отрицательной массой , который поднимается вверх с ускорением a. Тогда ускорение центра масс системы

и направлено вниз. Из теоремы об ускорении центра масс

, и отсюда сила давления на опору, численно равная реакции опоры N,

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 10. С горы с уклоном a () съезжают с постоянной скоростью сани с седоком общей массой M. Навстречу саням бежит и запрыгивает в них собака массой m, имеющая при прыжке в момент отрыва от поверхности горы скорость v, направленную под углом () к горизонту. В результате этого сани продолжают двигаться по горе вниз со скоростью u. Найти скорость саней до прыжка собаки. (Билет 3, 1991, МФТИ) [3]

Ответ:

Задача 11. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние S переместится лодка длиной L, если масса человека m, а масса лодки M? Сопротивлением воды пренебречь.

Ответ:

Задача 12. На поверхности воды находится в покое лодка. Человек, находящийся в ней, переходит с кормы на нос. Как будет двигаться лодка, если сила сопротивления движению пропорциональна скорости лодки?

Ответ: Лодка сместится, а затем вернется в исходное положение.

Задача 13. На первоначально неподвижной тележке установлены два вертикальных цилиндрических сосуда, соединенных тонкой трубкой. Площадь сечения каждого сосуда S, расстояние между их осями l. Один из сосудов заполнен жидкостью плотности p. Кран на соединительной трубке открывают. Найдите скорость тележки в момент времени, когда скорость уровней жидкости равна v. Полная масса всей системы m. [1]

Ответ:

Задача 14. На тележке установлен цилиндрический сосуд с площадью сечения S, наполненный жидкостью плотности p. От сосуда параллельно полу отходит длинная и тонкая горизонтальная трубка, небольшой отрезок которой вблизи конца загнут по вертикали вниз. Расстояние от оси сосуда до отверстия трубки равно L. Уровень жидкости в сосуде опускается с ускорением а. Какой горизонтальной силой можно удержать тележку на месте? [1]

Ответ:

Литература.

1. Задачи по физике: Учеб. пособие/ И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Г.А. Кутузова и др.; Под ред. О.Я. Савченко. ? 2-е изд., перераб. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. — 416 с.

2. Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика: Сборник задач для поступающих в вузы. Изд. 7-е, доп. М: Ориентир. 2005. – 312 с.

3. Методическое пособие для поступающих в вузы / Под. ред. Чешева Ю.В. М.: Физматкнига, 2006. – 288 с.