Как найти центр масс у пружины

I had posted an answer earlier but I’m not convinced if it is right, luckily the Link I provided itself had an answer, which is summarized below

Let the spring of Young’s modulus $E$, density $rho$, with a section $S$

$E$ and $rho$ are related by
$$E=frac{krho L^2}{m}$$

$$rho=frac{m}{SL}$$

It is convenient to use as reference position, the spring as it would be if the gravity did not act: that
is, vertical and uniform. Let us consider two sections $S$ and $S’$ of the spring. Two points of the
spring $P$ on $S$ and $Q$ on $S‘$, at the reference positions $x$ and $x+Delta x$, will be displaced, under the effect
of the gravity, by the quantities $y$ and $y+Delta y $ respectively

The mass element $Delta x $ from $P$ to $Q$ is subjected to gravity and two tensions $T$ and $T+Delta T$

$Delta T+rho S g Delta x=0$

Since the extension of the element $Delta y$ is given by the applied force $T+Delta T$, we have

$$T+Delta T=SE frac{Delta y}{Delta x}$$

Processing to the limit as $Delta x→0, dT/dx = − ρSg, T = S E frac{dy}{dx}$, we have then:

$$SEfrac{d^2 y}{dx^2}=rho S g$$

with the boundary conditions:

$y=0$ for $x=0$, $frac{dy}{dx}=0$ for $x=L$

That is, the tension vanishes at the lower end, this gives

$y=frac{rho g L}{E}x-frac{rho g}{2E}x^2$

so,
$$y=frac{mg}{kL}x-frac{mg}{2kL^2}x^2$$

for $x=frac{L}{2}$ i.e for the center

$y=frac{3mg}{8k}$

So the center of mass will be at the point $$frac{L}{2}+frac{3mg}{8k}$$

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

При решении механических задач неоценимую помощь может оказать использование понятия центра масс системы материальных точек. Одни задачи просто невозможно решить, не прибегая к этому понятию, решение других с его помощью может стать гораздо проще и нагляднее.

Перед тем как обсуждать конкретные задачи, напомним основные свойства центра масс и проиллюстрируем их примерами.

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек назовем точку, характеризующую распределение масс в системе, координаты которой определяются формулами

Здесь m_i — массы материальных точек, образующих систему, x_i, y_i, z_i — координаты этих точек. Читатели, знакомые с понятием радиуса-вектора, предпочтут векторную запись:

                                    (1)

Пример 1. Найдем положение центра масс, простейшей системы, состоящей из двух точек, массы которых m₁ и m₂ и расстояние между ними l (рис. 1).

Рис. 1

Направив ось X от первой точки ко второй, получим, что расстояние от первой точки до центра масс (т.е. координата центра масс) равно  а расстояние от центра масс до второй точки равно  т.е. отношение расстояний обратно отношению масс. Значит, в этом случае положение центра масс совпадает с центром тяжести.

Обсудим некоторые свойства центра масс, что, как нам кажется, наполнит физическим содержанием приведенное выше несколько формальное определение этого понятия.

1) Положение центра масс не изменится, если какую-то часть системы заменить одной точкой с массой, равной массе этой подсистемы, и находящейся в ее центре масс.

Пример 2. Рассмотрим плоский однородный треугольник и найдем положение его центра масс. Разделим треугольник на тонкие полоски, параллельные одной из сторон, и заменим каждую полоску точкой, расположенной в ее середине. Так как все такие точки лежат на медиане треугольника, центр масс тоже должен лежать на медиане. Повторяя рассуждения для каждой из сторон, получаем, что центр масс находится на пересечении медиан.

2) Скорость центра масс можно найти, взяв производную по времени от обеих частей равенства (1):

                                  (2)

где  — импульс системы, m — полная масса системы. Видно, что скорость центра масс замкнутой системы постоянна. Значит, если связать с центром масс поступательно движущуюся систему отсчета, то она будет инерциальной.

Пример 3. Поставим однородный стержень длиной l вертикально на гладкую плоскость (рис. 2) и отпустим. В процессе падения как горизонтальная составляющая его импульса, так и горизонтальная составляющая скорости центра масс будут оставаться равными нулю. Поэтому в момент падения центр стержня окажется в том месте, где первоначально стоял стержень, а концы стержня сместятся по горизонтали на .

Рис. 2

3) Ускорение центра масс равно производной от его скорости по времени:

                               (3)

где в правой части равенства стоят только внешние силы, так как все внутренние силы сокращаются по третьему закону Ньютона. Получаем, что центр масс, движется так, как двигалась бы воображаемая точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей внешней силы. Наверное, это самое физическое свойство центра масс.

Пример 4. Если бросить палку, приведя ее при этом во вращение, то центр масс палки (ее середина) будет двигаться с постоянным ускорением  по параболе (рис. 3).

Рис. 3

4) Пусть система точек находится в однородном поле тяжести. Тогда суммарный момент сил тяжести относительно любой оси, проходящей через центр масс, равен нулю. Это значит, что равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс, т.е. центр масс является также центром тяжести.

5) Потенциальная энергия системы точек в однородном поле тяжести вычисляется по формуле

где h_ц — высота центра масс системы.

Пример 5. При выкапывании в однородном фунте ямы глубиной h и разбрасывании грунта по поверхности его потенциальная энергия возрастает на , где m — масса извлеченного грунта.

6) И еще одно полезное свойство центра масс. Кинетическая энергия системы точек может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии общего поступательного движения системы, равной , и кинетической энергии E_отн движения относительно системы отсчета, связанной с центром масс:

Пример 6. Кинетическая энергия обруча, катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью υ, равна

так как относительное движение в этом случае представляет собой чистое вращение, для которого линейная скорость точек обруча равна υ (полная скорость нижней точки должна быть равна нулю).

Теперь приступим к разбору задач на использование центра масс.

Задача 1. Однородный стержень лежит на гладкой горизонтальной поверхности. К стержню прикладывают две одинаковые по величине, но противоположные по направлению горизонтальные силы: одна сила приложена к середине стержня, другая — к его концу (рис. 4). Относительно какой точки начнет поворачиваться стержень?

Рис. 4

На первый взгляд может показаться, что осью вращения будет точка, лежащая посередине между точками приложения сил. Однако уравнение (3) показывает, что поскольку сумма внешних сил равна нулю, то равно нулю и ускорение центра масс. Значит, центр стержня будет оставаться в покое, т.е. служить осью вращения.

Задача 2. Тонкий однородный стержень длиной l и массой m привели в движение вдоль гладкой горизонтальной поверхности так, что он движется поступательно и одновременно вращается с угловой скоростью ω. Найдите, натяжение стержня в зависимости от расстояния x до его центра.

Перейдем в инерциальную систему отсчета, связанную с центром стержня. Рассмотрим движение куска стержня, заключенного между рассматриваемой точкой стержня (расположенной на расстоянии x от центра) и его концом (рис. 5).

Рис. 5

Единственной внешней силой для этого куска является искомая сила натяжения F_н, масса равна , а его центр масс движется по окружности радиусом  с ускорением . Записывая уравнение движения центра масс выделенного куска, получим

Задача 3. Двойная звезда состоит из двух звезд-компонентов массами m₁ и m₂, расстояние между которыми не меняется и остается равным L. Найдите период вращения двойной звезды.

Рассмотрим движение звезд-компонентов в инерциальной системе отсчета, связанной с центром масс двойной звезды. В этой системе отсчета звезды движутся с одной и той же угловой скоростью по окружностям разных радиусов (рис. 6).

Рис. 6

Радиус вращения звезды массой m₁ равен  (см. Пример 1), а ее центростремительное ускорение создается силой притяжения к другой звезде:

Видим, что период вращения двойной звезды равен

и определяется полной массой двойной звезды, независимо от того, как она распределена между звездами-компонентами.

Задача 4. Две точечные массы m и 2m связаны невесомой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорость массы 2m равна нулю, а скорость массы m равна υ и направлена перпендикулярно нити (рис. 7). Найдите натяжение нити и период вращения системы.

Рис. 7

Центр масс системы находится на расстоянии  от массы 2m и движется со скоростью . В системе отсчета, связанной с центром масс, точка массой 2m движется по окружности радиусом  со скоростью . Значит, период вращения равен  (проверьте, что такой же ответ получается, если рассмотреть точку массой m). Натяжение нити найдем из уравнения движения любой из двух точек:

Задача 5. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два одинаковых бруска массой m каждый, связанных легкой пружиной жесткостью k (рис. 8). Первому бруску сообщают скорость υ₀ в направлении от второго бруска. Опишите движение системы. Через какое время деформация пружины впервые достигнет максимального значения?

Рис. 8

Центр масс системы будет перемещаться с постоянной скоростью . В системе отсчета центра масс начальная скорость каждого бруска равна , а жесткость половинной пружины, которая соединяет его с неподвижным центром масс, составляет 2k (жесткость пружины обратно пропорциональна ее длине). Период таких колебаний равен

а амплитуда колебаний каждого бруска, которую можно найти из закона сохранения энергии, составляет

В первый раз деформация станет максимальной через четверть периода, т.е. через время .

Задача 6. Шар массой m налетает со скоростью υ на покоящийся шар массой 2m. Найдите скорости обоих шаров после упругого центрального удара.

В системе отсчета, связанной с центром масс, полный импульс двух шаров равен нулю как до, так и после coyдарения. Легко догадаться, какой ответ для конечных скоростей удовлетворяет одновременно и этому условию, и закону сохранения энергии: скорости останутся такими же, как до удара, по величине, но изменят свои направления на противоположные. Скорость центра масс системы равна . В системе центра масс первый шар движется со скоростью , а второй шар движется навстречу первому со скоростью . После удара шары будут разлетаться с такими же скоростями. Осталось вернуться в первоначальную систему отсчета. Применяя закон сложения скоростей, находим, что конечная скорость шара массой m равна  и направлена назад, а скорость покоившегося раньше шара массой 2m равна  и направлена вперед.

Отметим, что в системе центра масс очевидным является утверждение, что при ударе относительная скорость шаров не меняется по величине, но меняется по направлению. А так как разность скоростей при переходе в другую инерциальную систему отсчета не изменяется, можно считать, что мы вывели это важное соотношение и для первоначальной системы отсчета:

υ₁ – υ₂ = u₁ – u₂,

где буква υ используется для обозначения начальных скоростей, а u — для конечных. Это уравнение можно решать совместно с законом сохранения импульса вместо закона сохранения энергии (куда скорости входят во второй степени).

Задача 7. Известно, что при упругом нецентральном ударе двух одинаковых шаров, один из которых до удара покоился, угол разлета равен 90°. Докажите это утверждение.

В системе центра масс нецентральный удар можно описать следующим образом. До удара шары сближаются с одинаковыми импульсами, после удара они разлетаются с такими же по величине, но противоположно направленными импульсами, а прямая разлета поворачивается на некоторый угол относительно прямой сближения. Чтобы перейти обратно в начальную систему отсчета, надо каждую конечную скорость сложить (векторно!) со скоростью центра масс. В случае одинаковых шаров скорость центра масс равна , где υ — скорость налетающего шара, и в системе отсчета центра масс шары сближаются и разлетаются с одинаковыми скоростями . В том, что после сложения каждой конечной скорости со скоростью центра масс получаются взаимно перпендикулярные векторы, можно убедиться из рисунка 9. А можно и просто проверить, что скалярное произведение векторов  и  обращается в ноль в силу того, что модули векторов  равны друг другу.

Рис. 9

Упражнения

1. Стержень массой m и длиной l шарнирно закреплен за один из концов. Стержень отклонили на некоторый угол от вертикального положения и отпустили. В момент прохождения вертикального положения скорость нижней точки равна υ. Найдите натяжение в средней точке стержня в этот момент времени.

2. Стержень массой m и длиной l вращают в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω вокруг одного из его концов. Найдите зависимость натяжения стержня от расстояния x до оси вращения, если на другом конце закреплен маленький грузик массой М.

3. Найдите период колебаний для системы, описанной в задаче 5 статьи, но для брусков различных масс m₁ и m₂.

4. Выведите известные общие формулы для упругого центрального удара двух шаров, используя переход в систему отсчета центра масс.

5. Шар массой m₁ налетает на покоящийся шар меньшей массы m₂. Найдите максимально возможный угол отклонения налетающего шара при упругом нецентральном ударе.

Ответы

1.

2.

3.

5.

Сущность понятия «центр масс»

Понятие «центр масс» широко используется в физике для решения задач, связанных с движением тел. Например, математический маятник удобно представить себе как подвешенное на нити тело, вся масса которого сконцентрирована в единой точке. В законе всемирного тяготения тоже речь идет о расстоянии не между телами, а между центрами тел, под каковыми подразумеваются именно центры масс, а не геометрические центры.

Признаком центра масс является то, что если тело подвесить, закрепив за эту точку, оно останется в покое, т.е. не будет раскачиваться или вращаться относительно этого центра. В простейшем случае, если речь идет о симметричном теле с равномерной плотностью, центр масс находится на пересечении осей симметрии рассматриваемого тела. Например, если взять линейку длиной 30 см, то ее центр масс будет расположен на отметке «15 см». Подложив карандаш под эту отметку, легко привести линейку в положение равновесия.

На практике далеко не все тела, центр масс которых нужно найти, являются симметричными и однородными по плотности. Более того, многие исследуемые объекты представляют собой системы из нескольких тел с различными геометрическими и химическими характеристиками. Для расчетов их разбивают на элементарные фрагменты и производят вычисления поэтапно.

Нахождение координат центра масс

Отсюда следует, что чем массивнее тело в такой элементарной системе, тем ближе оно к общему центру масс.

Расстояние между точечными телами равно:

$Delta x = x_2 — x_1$

Пропорция между массами и расстояниями, согласно определению:

$frac{l_1}{l_2} = frac{m_2}{m_1}$,

«Как найти координаты центра масс» 👇

где $l_1$, $l_2$ — расстояния от соответствующих тел до центра масс.

Выразив, длины через координаты

$l_1 = x_c — x_1; l_2 = x_2 — x_c$,

центр масс можно определить как

$x_c = frac{m_1 cdot x_1 + m_2 cdot x_2}{m_1 + m_2}$.

где $x_c$ — координата центра тяжести.

Разложив любую сложную систему на множество элементарных тел с точечными массами, можно обобщить изложенный принцип в виде формулы (для оси абсцисс):

$x_c = frac{sumlimits^N_{i=1}{m_i cdot x_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}$

В большинстве случаев центр масс требуется найти не на координатной прямой, а в двух- или трехмерной системе координат. Для дополнительных осей координаты центра масс ($y_c$, $z_c$) находят по аналогичному принципу.

Точку, в которой происходит равное распределение величины, определяющей инерционные и гравитационные свойства, называют центром масс. Формула для определения параметра зависит от радиус-вектора частиц системы и их полной энергии. Эту характеристику тела отличают от тяжести, при этом в трудах советских учёных Ландау, Лифшица для неё используется термин «центр инерции».

Оглавление:

• Общие сведения
• Связь с центром тяжести
• Вычисление положения
• Геометрический способ определения

Общие сведения

Допустим, имеется тело, на которое действуют скомпенсированные силы. В этом случае оно будет в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения. Пусть тело будет неподвижным. Например, лодка на воде. К ней можно приложить воздействие F1 в районе её кормы. Под действием силы она начнёт разворачиваться. Аналогично если воздействовать на её нос F2, то она тоже будет поворачиваться, но при этом разворот будет происходить в другую сторону.

Получается, что можно подобрать такую линию, на которой действие сил приведёт её к ускоренно поступательному движению. Пусть это будет F3. На самом деле таких сил может быть несколько. При этом их можно перемещать вдоль линии их воздействия. Если все такие силы изобразить в виде линий, то они пересекутся в одной точке. Такое место и называют центром масс тела (ЦМ). То есть точку, в которой пересекаются линии действия сил, вызывающие только ускоренное поступательное механическое движение.

Эта важная точка в теле и движется она довольно просто. Перемещение любого тела можно представить, как комбинацию двух видов движения:

• центра масс;
• вращения.

Существует теорема: ЦМ тела движется так, как перемещалась бы материальная точка, в которой сосредоточена вся масса и к которой приложены все воздействия, действующие на объект. Таким образом, различные виды изменения положения точек в пространстве можно описать с помощью законов Ньютона. Согласно же теореме их можно применять и к телу, если считать, что все силы приложены к центру масс.

Рассматривая объект, можно не учитывать его размер, форму, а брать во внимание только инерцию, ускорение и принцип парного взаимодействия. Фактически в механике перемещение сколь угодно сложного вида рассматривается по принципу суперпозиции и закона сохранении энергии. При этом довольно удобно изучать изменение положения в системе отсчёта связанной с этим центром. В ней полный импульс всегда будет равным нулю, что позволяет упростить уравнение движения.

Связь с центром тяжести

Пусть имеется объект, находящийся на Земле. Говорят, что на него действует сила тяжести. Но на самом деле она воздействует не на вещество, а на каждый его атом, частичку. Если предположить, что ускорение свободного падения буде одинаковым, то на объект действует очень множество сил тяжести. Рассматривать такую систему неудобно. Поэтому все воздействия заменяют равнодействующей. И считают, что действует одна сила, которая приложена к центру тяжести твёрдого тела.

Для того чтобы найти взаимосвязь между тяжестью и массой нужно представить, что объект вдруг распался на отдельные равные кусочки. Они держатся вместе, но не прикреплены друг к другу. Если тело отпустить, то они будут падать вместе, так как ускорение свободного падения не зависит от массы. При этом движение будет поступательным. Значит, сила, приложенная к телу в целом, будет приложена к центру масс.

Получается, что центральная точка является общей как для тяжести, так и для масс. Это две точки положение которых совпадает несмотря на разный их принцип определения в физике. Но существуют условия, когда это правило не выполняется. Например, если система материальных точек неоднородна по объёму плотности в гравитационном поле, то центры не совпадут.

Для примера можно привести список однородных фигур с указанием их центральной точки:

• отрезок — середина;
• параллелограмм — место пересечения диагоналей;
• треугольник — точка пересечения медиан (центроид);
• любой правильный многоугольник — центр поворотной симметрии;
• полукруг — точка, в которой перпендикулярный радиус делится в отношении 4:3p считая от центра круга.

Чтобы найти координату центра масс объекта, который можно представить, как совокупность связанных материальных точек используют два метода: аналитический и геометрический. Но второй способ не всегда можно применить. В однородном гравитационном поле центры тяжести и масс всегда совпадают. И это часто подтверждается на практике, из-за того, что внешнее гравитационное поле в задачах, связанных с действиями на Земле, считают постоянным в пределах объёма тела.

Поэтому эти термины объединяют в геометрии, статике и так далее. То есть в тех областях, где применение определения можно назвать метафорическим и предполагается ситуация их эквивалентности.

При таком понимании оба термина синонимичны, но при этом чаще предпочитают использовать термин, связанный с тяжестью. Это происходит в силу того, что исторически он появился раньше.

Вычисление положения

Пусть тело представляет собой совокупность материальных точек, лежащих на одной прямой при этом их массы разные. Задача состоит в нахождении его центра. Для этого следует вести систему координат с осью икс, которая будет совпадать с линией расположения точек. При этом тело пусть подвешено на невесомой опоре и находится под действием Земного тяготения. Это условие даёт возможность воспользоваться тем фактом, что положения центров масс и тяжести совпадают.

На каждую из материальных точек действует своя сила: m1g, m2g… mng. Если предоставить это тело самому себе, то оно будет в состоянии свободного падения. Остановить тело — подпереть, но при этом так, чтобы оно находилось в равновесии. Это значит, что сила реакции опоры должна проходить через центр тяжести, так как равнодействующая тоже её пересекает.

Получится, что сила реакции опоры будет лежать на одной прямой с силой тяжести действующей на тело в совокупности и их моменты тоже будут проходить через неё. С помощью координатной оси точкам можно присвоить положение, x1, x2… xn, а ЦМ xц. Чтобы тело находилось в равновесии необходимо выполнение двух условий:

• векторная сумма всех сил должна быть равной нулю: m1g + m2g +…+mng + F = 0;
• сумма моментов равняться нулю: Mm 1 g + Mm 2 g +…+ Mmng + MF = 0.

Из первого условия можно найти силу реакции опоры: F = (m1 + m2 +…+mn) * g. Если вращение выбрать против часовой стрелки, тогда относительно оси все моменты силы тяжести будут отрицательными, а опоры — положительные. Тогда справедливо записать: F * хц = (m1 x 1 + m2 x 2 +…+mn xn) * g.

Из последнего равенства можно выразить координату ЦМ: xц = ((m1 x 1 + m2 x 2 +…+mn xn) * g) / F. В эту формулу можно подставить выражение для F. В результате ускорение свободного падения сократится и получится: xц = (m1 x 1 + m2 x 2 +…+mn xn) / (m1 + m2 +…+mn). Это формула выглядит громоздко, но запомнить её легко. В числителе стоят произведения масс материальных точек на их координаты, а в знаменателе — вес всего тела.

Если точки не будут лежать на одной прямой, то координата ЦМ тоже не изменится. То есть приведённая формула справедлива для любого положения тела относительно координаты y.

При этом её можно применять и для рассмотрения предметов в пространстве, так как все направления в существующем мире равноправные.

Геометрический способ определения

Для простейших симметричных фигур ЦМ можно определить геометрическим методом. Для этого используются свойства диагоналей и медиан. Пусть имеется произвольной формы четырёхугольник. Изготовлен он из однородного материала.

Идея вычисления состоит в том, что эту фигуру необходимо разбить на два треугольника. Для этого нужно провести диагональ, которая разделит фигуру на два тела. Затем провести в каждом треугольном теле три медианы. Точка их пересечения и будет ЦМ. В результате вместо четырёхугольника можно рассматривать две материальные точки.

Несмотря на то что масса у них разная ЦМ будет находиться на соединяющем их отрезке. Теперь четырёхугольник можно разбить на два других треугольника и выполнить аналогичные действия уже для них. Получится два отрезка, на которых одновременно расположен ЦМ. Значит, его положение будет определяться точкой их пересечения.

Для более сложной фигуры, например, шести или восьмиугольника можно использовать такой же подход. Сначала нужно разделить тело на прямоугольники, а затем треугольники. Найти ЦМ для полученных фигур и определить точку пересечения. Следует понимать, что ЦМ может находиться и за пределами объекта.

Но в реальных ситуациях бывают фигуры, которые имеют неправильную форму. Для них нельзя применить расчёт или геометрический метод. Поэтому выясняют, где расположен ЦМ экспериментальным путём.

Например, пусть имеется тело сложной неправильной формы. Чтобы найти ЦМ необходимо фигуру подвесить в пространстве. На неё действует две силы: тяжести и реакции оси. Первая заставляет фигуру поворачиваться с определённой скоростью до тех пор, пока момент силы тяжести относительно оси крепления не станет равным нулю. То есть точка опоры, ось и центр тяжести окажутся на одной вертикале.

Чтобы узнать, где же находится ЦМ, тело нужно подвесить, используя другую точку. При этом на самой фигуре следует отметить, как проходит вертикаль.

Повторяя такой опыт минимум три раза, можно увидеть точку пересечения осей, которая и будет искомым ЦМ. Причём чем будет больше экспериментов, тем точнее он будет определён.

Рисунок 2.2.1.

Круговая частота свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

откуда

Частота называется собственной частотой колебательной системы.

Период гармонических колебаний груза на пружине равен

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину , равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты и периода колебаний справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела и координатой : ускорение является второй производной координаты тела по времени :

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

или

(*)

где

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний или период . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда _m и начальная фаза , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние и затем в момент времени отпущен без начальной скорости, то _m = , .

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то

Таким образом, амплитуда _m свободных колебаний и его начальная фаза определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол возникает момент сил упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина аналогична жесткости пружины . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)

где – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Колебания груза на пружине — формулы, уравнения и задачи

Теория периодичности относится к общей физике. Повторяемость некоторых процессов в течение времени определяют с помощью различных величин, например, угла, напряжённости, температуры. Для изучения явления удобно использовать маятник. Одним из его видов является пружина с грузом. Колебания в такой системе зависят от периода, частоты и амплитуды. Узнать эти параметры можно, зная начальные условия и уравнения, описывающие механическую работу.

Общие сведения

Колебания — это изменения какой-либо величины в точности или приблизительно повторяющиеся во времени. Если рассматривать процесс, с точки зрения механики, то он описывается положением тела. Повторение в точности является периодическим. Математически это можно записать формулой: x (t + T) = x (t), где T — время, в течение которого совершается одно полное колебание (период). Число циклов принято обозначать буквой N. Его находят как отношение времени к периоду: N = t / T.

При исследовании процесса не всегда бывает удобно оперировать временем, поэтому часто используют число колебаний за единицу времени. Эта величина называется частотой. Находят её количество по формуле: f = 1 / T. Доказать справедливость приведённого равенства просто. Число колебаний зависит от времени и частоты: N = f * t. Отсюда: f = N / t = (t / T) / t = 1 / T.

Очень важно не только понимать суть характеристик колебания, но и знать единицы его измерения. Вот основные из них:

• период — секунды (с);
• частота — герцы (Гц);
• число колебаний — безразмерная величина.

Если в течение времени меняется и координата, то периодически будет изменяться и скорость. Значит: vx (t + T) = Vx (t).

Исходя из верности равенства, можно сказать, что условие периодичности будет справедливо и для проекции, то есть изменения ускорения. Отсюда следует, что сила действующая на тело тоже будет переменной: Fx (t + T) = Fx (t).

При процессе также происходит изменение потенциальной и кинетической энергий. Действительно, так как в процессе колебания скорость не является постоянной величиной, то соответственно будет меняться кинетическая работа. Потенциальная же энергия зависит от координат. Например, если рассмотреть период колебаний пружинного маятника, то за это время тело переместится из нижнего положения в верхнее и вернётся обратно. Значит, координата физического объекта изменится от нуля до какого-то граничного значения.

Следует отметить, что периодичные движения обязательно будут происходить в той системе, в которой есть положение равновесия. Причём оно должно быть устойчивым. То есть существует равнодействующая сила, стремящаяся привести объект в положение, соответствующее покою. Поэтому для поддержания отклонений нужна дополнительная сила. Колебательную систему (осциллятор) под действием вынужденной периодической силы называют вынужденной.

Пружинный маятник

Это устройство является простейшим примером свободных колебаний. В его состав входит кронштейн, пружина и груз. В качестве последнего может выступать любое физическое тело. Масса пружины по сравнению с грузом считается малой и при исследованиях не учитывается.

При изучении такой системы важной задачей является измерение периода движения тела, подвешенного к пружине. Определение понятию пружинного маятника, которое даётся в учебниках по физике довольно обобщённое. Считается, что это конструкция, в которой тело, имеющее массу m, подвешено на упругой пружине обладающей жёсткостью K. При этом из состояния равновесия систему может вывести упругая сила F = — k * x, где: x- расстояние от середины пружинного элемента до поверхности прикреплённого к нему груза.

Можно выделить два достаточных условия возникновения свободных колебаний:

Суть изучения гармонических колебаний состоит в определении их частоты движения или периода. В пружинном маятнике, впрочем, как и в любой колебательной системе, параметры зависят от ряда характеристик. Из основных величин, описывающих процесс, можно выделить: массу груза и жёсткость. Поэтому задача и состоит в выяснении, как период зависит от этих двух параметров.

Во время экспериментов регулировать массу довольно легко. Для этого можно взять эталонные гири и, соединяя их, увеличивать вес. Жёсткость же пружины можно изменить, добавляя параллельно или последовательно к ней другое сжимающееся тело. Чтобы выяснить, как будет изменяться характеристика растягивающегося элемента, нужно знать, что же представляет собой параметр. Так, под жёсткостью тела понимают отношение силы упругости к удлинению: k0 = F / Δ L. Измеряется величина в ньютонах, делённых на метр (Н/м).

Исходя из правила, если соединить две пружины параллельно и деформировать их, то можно утверждать, что первый и второй элемент растянется на одинаковую длину ΔL. Значит, возникнет две одинаково направленных силы упругости. Отсюда равнодействующая будет равняться: K = 2F/ ΔL = 2k0. Для последовательного же соединения длина всей системы увеличится на 2 ΔL. Сила упругости будет равна F. Соответственно, жёсткость будет изменяться по формуле: K = F / 2ΔL = k0 / 2.

Зависимость периода

При проведении эксперимента можно исследовать пять различных комбинаций поведения груза на пружине — два варианта связаны с весом и три с жёсткостью. Чтобы выполнить опыт самостоятельно нужно будет взять вертикальный кронштейн, две одинаковые пружины и два равных по весу груза. Так как в реальности период будет довольно маленький, то для его измерения можно взять время, например, пятидесяти колебаний, а потом полученный результат разделить на это число. Подсчёт времени удобно выполнять с помощью секундомера.

Вычисленные результаты нужно занести в таблицу. Примерный порядок чисел должен получиться таким:

k m	m0	2m0
k0 / 2	0,68	0,93
k0	0,46	0,64
2k0	0.34	0,47

Эти данные можно проанализировать. Выводы будут следующими:

• с ростом массы физического тела период цикличности увеличивается;
• по мере увеличения жёсткости период колебаний уменьшается.

Приведённые утверждения, возможно, описать и количественно. Исходя из результатов, величины, стоящие в ячейке m0k0 и 2m02ko почти совпадают. С точки зрения физики, так и должно быть. Если взять грузик на пружине и измерить характеристику, а потом добавить к нему точно такую же систему, то период не поменяется. Это и можно наблюдать во время опыта. Значит, период движения зависит от того каким будет отношение массы к жёсткости.

По аналогии можно рассмотреть, как влияет жёсткость. Из эксперимента, видно, что если её увеличить дважды на одну и ту же величину, то она возрастёт в четыре раза, а значение обратное частоте уменьшится на это же число. Отсюда можно предположить, что период будет обратно пропорционален корню квадратному из жёсткости.

Объединив эти две гипотезы можно сделать заключение. Что период амплитуды колебаний груза на пружине будет прямо пропорционален корню квадратного из отношения массы к жёсткости: T = √(m / k). Проверить это утверждение можно по теории размерности. Подставив в формулу единицы измерения, получим: √(m / k) = √(кг / (Н/м)) = √(кг * м / Н). Учитывая, что ньютон — это отношение метра к секунде в квадрате или килограмму, умноженному на метр и делённому на секунду, размерное равенство примет вид: √(кг * м/Н) = √(c 2 * м/м) = √с 2 = с.

Для написания полной формулы в равенство нужно вести ещё коэффициент. Он будет равняться 2p. Значит, период колебаний пружинного маятника количественно описывается выражением: T = 2p * √ (m / k).

Примеры решения задач

Практические задания помогают лучше разобраться в теоретическом материале и запомнить нужные для решения формулы. Существуют различные примеры, с помощью которых можно довольно быстро проработать весь изученный курс. Вот два задания с подробным описанием решения на вычисления параметров пружинных колебаний тела. Разобравшись в них, можно переходить к самостоятельному вычислению более сложных примеров.

Задание № 1. Груз, подвешенный к пружине, перемещается циклически по вертикальной оси. За восемь секунд он совершил тридцать два колебания. Определить частоту. Итак, по условию задания дано время t = 8 c и число полного перемещения тела N = 32. Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться формулой нахождения периода: T = t / N. Все величины для этого есть: T = 8 c / 32 = 1 / 4 = 0,25 секунды. Частота связана с периодом выражением: f = 1 / T. После подстановки чисел получится ответ равный четырём герцам.

Задание № 2. Грузик совершает колебания на пружине с жёсткостью сто ньютон на метр. При этом максимальная скорость движения составляет два метра в секунду. Вычислить массу тела учитывая, что максимальная амплитуда отклонения от точки покоя составляет десять сантиметров. Силой трения пренебречь.

При решении примера нужно рассуждать следующим образом. Когда будет максимальное растяжение пружины, то скорость груза равна нулю: V1 = 0. Значит, кинетическая энергия тоже будет нулевой: Ek1 = 0.

В этот момент останется только потенциальная энергия вытянутой пружины Ep1. В положении равновесия скорость тела максимальная и равняется V = 2 м/с. Так как пружина в этот момент нерастянута и несжатая, то Ep = 0.

По закону сохранения энергии: Ek1 + Ep1 = Ek + Ep. Кинетическая работа при растянутой пружине равняется нулю, так же как и потенциальная в состоянии покоя, значит, Ep1 = (k * L 2 ) / 2, где L — удлинение, а k — жёсткость. Энергию же можно найти так: Ek = mV 2 / 2. Так как тело совершает колебания около положения равновесия, то вытянутость пружины будет равняться амплитуде.

Перед тем как непосредственно переходить к составлению итоговой формулы и вычислениям необходимо все значения измерений привести в соответствии с СИ. Так, амплитуда указана в сантиметрах, поэтому её нужно перевести в метры. Теперь можно переходить к составлению отношения и подстановки данных: (k * L 2 ) / 2 = mV 2 / 2. Отсюда: m = (k * L) / V 2 = (100 Н/м * 0,1 2 м) / 2 2 м/с = 1 / 4 = 0,25 килограмма.