Как найти центр окружности зная хорду - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Найдя центр круга или окружности, вы сможете решать различные геометрические задачи, например, на вычисление длины окружности или площади круга. Найти центр круга можно разными способами. Вы можете провести пересекающиеся отрезки; вы можете начертить пересекающиеся окружности; вы можете воспользоваться линейками.

1
Начертите окружность. Сделайте это при помощи циркуля. Радиус (диаметр) круга может быть любым. Если окружность вам дана, новую окружность чертить не нужно.
- Циркуль – это инструмент, предназначенный для черчения окружностей и их измерения. Циркуль можно купить в канцелярском магазине или в магазине для школьников.^[1]
2
Проведите хорду. Хорда – это отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на окружности, и не проходящий через центр окружности.^[2] Обозначьте эту хорду как АВ.
- Проводите прямые и отрезки при помощи карандаша, чтобы иметь возможность стереть их после нахождения центра окружности. Не давите на карандаш, чтобы вам было легче стереть нарисованные линии.
3

Проведите вторую хорду. Она должна быть параллельна и равна первой хорде АВ. Обозначьте эту хорду как CD.^[3]
4

Соедините точки А и С. Эта третья хорда АС должна проходить через центр окружности, но для его нахождения вам понадобится провести четвертую хорду.
5

Соедините точки B и D. Это четвертая хорда BD, которая должна пересекаться с третьей хордой AC.
6

Найдите центр окружности. Если вы правильно провели все отрезки (хорды), то центр окружности – это точка пересечения хорд AC и BD.^[4] Отметьте центр окружности ручкой или карандашом. Если вам нужно отметить только центр окружности, сотрите четыре хорды, которые вы провели ранее.

Реклама

1

Между двумя точками окружности проведите хорду. Воспользуйтесь линейкой, чтобы соединить две точки на окружности. Точки можно выбрать произвольно. Обозначьте точки как А и В.
2
При помощи циркуля начертите две пересекающиеся окружности. Окружности должны быть одного радиуса. Центром первой окружности сделайте точку А, а второй окружности – точку В. Чертите окружности так, чтобы они пересекались наподобие диаграммы Венна.
- Чертите окружности карандашом, а не ручкой, чтобы иметь возможность стереть их.
3

Проведите вертикальную прямую через точки пересечения начерченных окружностей. Окружности будут пересекаться в двух точках, которые расположены одна над другой. Проведите прямую при помощи линейки; убедитесь, что обе точки лежат на этой прямой. Точки, в которых эта прямая пересекает исходную окружность, обозначьте как С и D. Отрезок СD является диаметром исходной окружности.
4

Сотрите две начерченные вами окружности. Это необходимо для того, чтобы очистить пространство для последующих действий. Теперь на вашем листе останется исходная окружность и два перпендикулярных друг другу отрезка. Не стирайте центры стертых окружностей (эти центры расположены в точках А и В). Далее вы начертите две новые окружности.
5

Начертите две новые окружности. Для этого воспользуйтесь циркулем. Центром первой окружности будет точка С, а второй окружности – точка D. Эти окружности также должны пересекаться наподобие диаграммы Венна. Помните, что точки С и D – это точки пересечения вертикальной прямой с исходной окружностью.
6

Проведите прямую через две точки, в которых пересекаются начерченные вами окружности. Эта прямая будет расположена горизонтально. Полученный отрезок представляет собой второй диаметр исходной окружности и должен быть перпендикулярен первому диаметру.
7

Найдите центр окружности. Точка пересечения двух диаметров является центром исходной окружности. Отметьте эту точку. Если нужно, сотрите начерченные вами окружности и диаметры.

Реклама

1

К данной окружности проведите две касательные. Касательные можно провести к двум произвольным точкам окружности. Но вы облегчите себе работу, если проведете касательные под прямым или острым углом друг к другу.^[5]
2

Теперь проведите еще две касательные, которые будут параллельны касательным, которые вы провели в предыдущем шаге. Таким образом, проведенные четыре касательные образуют подобие параллелограмма или прямоугольника.
3

Проведите диагонали параллелограмма. Точка пересечения этих диагоналей является центром окружности.
4

Проверьте правильность нахождения центра окружности при помощи циркуля. Центр окружности расположен строго в точке пересечения диагоналей, только если вы не допустили ошибку при проведении параллельных касательных или диагоналей. Сотрите параллелограмм и его диагонали.

Реклама

Советы

Вместо чистого листа или листа в линейку работайте на листе в клетку. Так вам будет проще проводить перпендикулярные прямые.
Центр окружности можно вычислить математически через дополнение до полного квадрата.^[6] Это работает в том случае, если вам дано уравнение окружности, а не сама окружность.

Предупреждения

Поверочная линейка немного отличается от обычной линейки. В отличие от обычной линейки на поверочной линейке нет шкалы. Вы можете превратить поверочную линейку в обычную, если нанесете на нее измерительную шкалу.
Чтобы найти «истинный» центр окружности, используйте циркуль и поверочную линейку.

Что вам понадобится

Карандаш
Бумага
Линейка
Циркуль

Об этой статье

Эту страницу просматривали 232 087 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Определение центра окружности и центра дуги окружности

Порядок определение центра

Взаимное пересечение перпендикуляров, восставленных в середине каждой хорды, определяет центр окружности (точку О). На фиг. 9,6 показано нахождение центра дуги окружности (построение аналогично предыдущему).

Выпрямление дуги окружности

Определение длины 1 дуги АВ окружности (приближенный способ, фиг. 10).

Через хорду АВ проводят перпендикуляр (фиг. 10,а), пересекающий дугу в точке К. Из точек С и D, как из центров, радиусами г, равными d— диаметру окружности, проводят две дуги до взаимного их пересечения в точке 01.

Расстояние между точками пересечения лучей 01А и O1B с касательной, проведенной к окружности в точке К, определяет приближенное значение спрямленной дуги (отрезок А1В1).

Расстояние между точками С1 и D1 определяет приближенную длину полуокружности. При отсутствии центра окружности

длина дуги АВ (фиг. 10,6) может быть определена следующим путем: хорду А В делят на четыре равные части; одну четвертую часть откладывают от точки В на дуге АВ; полученную точку С соединяют с точкой деления 1. Отрезок 1—С равен половине длины дуги АВ; CD — приближенное значение длины всей дуги АВ.

Определение длины окружности. Длину окружности определяют по формуле l=П*D, где l — длина окружности, П = 3,14159, a D—диаметр окружности. На фиг. 11,а показана длина l окружности диаметра D.

Графически длина окружности приближенно может быть определена путем суммирования длины двух сторон аз равностороннего треугольника и двух сторон а квадрата, вписанных в окружность, как это показано на фиг. 11,6 (2аз + 2а4). Точность определения — 0,01. На фиг. 11,в длина окружности определена следующим способом: из центра О под углом 30° проводят прямую до пересечения ее в точке А с касательной к окружности; от точки А откладывают отрезок АВ, равный трем радиусам R; из точки В, как из центра, радиусом ВМ проводят дугу окружности до пересечения с касательной прямой в точках С и D. Отрезок CD будет равен длине окружности. Точность определения — 0,0001.

Определение приближенной длины очерка эллипса (фиг. 12). Для определения длины очерка эллипса ACBD соединяют точки А и С и из центра О радиусом, равным АС, засекают на осях эллипса точки М и N. Измерив длину отрезка MN, умножают ее на 3,14 и получают приближенную длину очерка эллипса (l = 3,14*MN).

Как найти центр окружности через хорду

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

источники:

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson318/

http://www.resolventa.ru/demo/training.htm

Определение хорды

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д.
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета . Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом .

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой — с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности.

Свойства хорды к окружности

Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное — если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
Наибольшая возможная хорда является диаметром
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности

Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное — если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу

Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Свойства хорды и вписанного угла

Свойства хорды и центрального угла

Формулы нахождения хорды

Обозначения в формулах:
l — длина хорды
α — величина центрального угла
R — радиус окружности
d — длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.

Решение.

Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Фигура	Рисунок	Определение и свойства
Окружность
Круг
Радиус
Хорда
Диаметр
Касательная
Секущая

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды	Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности	Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Источник

Чтобы ответить на данный вопрос следует вспомнить геометрию. Искать центр круга при помощи линейки и карандаша.

Следует вспомнить, что такое хорда. Хорда – отрезок, соединяющий 2 точки окружности, не проходящий через ее центр.

В разных частях окружности строим 2 хорды.

При помощи линейки определяется середину каждого отрезка.

Из полученных точек проводим перпендикулярные прямые.

Точка, пересечение двух перпендикулярных отрезков – центр окружности.

Источник

Метод 1 из 3: Пересекающиеся отрезки

Начертите окружность. Сделайте это при помощи циркуля. Радиус (диаметр) круга может быть любым. Если окружность вам дана, новую окружность чертить не нужно.
- Циркуль – это инструмент, предназначенный для черчения окружностей и их измерения. Циркуль можно купить в канцелярском магазине или в магазине для школьников.
Проведите хорду. Хорда – это отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на окружности, и не проходящий через центр окружности. Обозначьте эту хорду как АВ.
- Проводите прямые и отрезки при помощи карандаша, чтобы иметь возможность стереть их после нахождения центра окружности. Не давите на карандаш, чтобы вам было легче стереть нарисованные линии.
Проведите вторую хорду. Она должна быть параллельна и равна первой хорде АВ. Обозначьте эту хорду как CD.
Соедините точки А и С. Эта третья хорда АС должна проходить через центр окружности, но для его нахождения вам понадобится провести четвертую хорду.
Соедините точки B и D. Это четвертая хорда BD, которая должна пересекаться с третьей хордой AC.
Найдите центр окружности. Если вы правильно провели все отрезки (хорды), то центр окружности – это точка пересечения хорд AC и BD. Отметьте центр окружности ручкой или карандашом. Если вам нужно отметить только центр окружности, сотрите четыре хорды, которые вы провели ранее.

Метод 2 из 3: Пересекающиеся окружности

Между двумя точками окружности проведите хорду. Воспользуйтесь линейкой, чтобы соединить две точки на окружности. Точки можно выбрать произвольно. Обозначьте точки как А и В.
При помощи циркуля начертите две пересекающиеся окружности. Окружности должны быть одного радиуса. Центром первой окружности сделайте точку А, а второй окружности – точку В. Чертите окружности так, чтобы они пересекались наподобие диаграммы Венна.
- Чертите окружности карандашом, а не ручкой, чтобы иметь возможность стереть их.
Проведите вертикальную прямую через точки пересечения начерченных окружностей. Окружности будут пересекаться в двух точках, которые расположены одна над другой. Проведите прямую при помощи линейки; убедитесь, что обе точки лежат на этой прямой. Точки, в которых эта прямая пересекает исходную окружность, обозначьте как С и D. Отрезок СD является диаметром исходной окружности.
Сотрите две начерченные вами окружности. Это необходимо для того, чтобы очистить пространство для последующих действий. Теперь на вашем листе останется исходная окружность и два перпендикулярных друг другу отрезка. Не стирайте центры стертых окружностей (эти центры расположены в точках А и В). Далее вы начертите две новые окружности.
Начертите две новые окружности. Для этого воспользуйтесь циркулем. Центром первой окружности будет точка С, а второй окружности – точка D. Эти окружности также должны пересекаться наподобие диаграммы Венна. Помните, что точки С и D – это точки пересечения вертикальной прямой с исходной окружностью.
Проведите прямую через две точки, в которых пересекаются начерченные вами окружности. Эта прямая будет расположена горизонтально. Полученный отрезок представляет собой второй диаметр исходной окружности и должен быть перпендикулярен первому диаметру.
Найдите центр окружности. Точка пересечения двух диаметров является центром исходной окружности. Отметьте эту точку. Если нужно, сотрите начерченные вами окружности и диаметры.

Метод 3 из 3: Поверочная и треугольная линейки

К данной окружности проведите две касательные. Касательные можно провести к двум произвольным точкам окружности. Но вы облегчите себе работу, если проведете касательные под прямым или острым углом друг к другу.
Теперь проведите еще две касательные, которые будут параллельны касательным, которые вы провели в предыдущем шаге. Таким образом, проведенные четыре касательные образуют подобие параллелограмма или прямоугольника.
Проведите диагонали параллелограмма. Точка пересечения этих диагоналей является центром окружности.
Проверьте правильность нахождения центра окружности при помощи циркуля. Центр окружности расположен строго в точке пересечения диагоналей, только если вы не допустили ошибку при проведении параллельных касательных или диагоналей. Сотрите параллелограмм и его диагонали.

Советы

Вместо чистого листа или листа в линейку работайте на листе в клетку. Так вам будет проще проводить перпендикулярные прямые.
Центр окружности можно вычислить математически через дополнение до полного квадрата. Это работает в том случае, если вам дано уравнение окружности, а не сама окружность.

Предупреждения

Поверочная линейка немного отличается от обычной линейки. В отличие от обычной линейки на поверочной линейке нет шкалы. Вы можете превратить поверочную линейку в обычную, если нанесете на нее измерительную шкалу.
Чтобы найти «истинный» центр окружности, используйте циркуль и поверочную линейку.

Что вам понадобится

Карандаш
Бумага
Линейка
Циркуль

Источник

Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.

Окружность — линия, ограничивающая круг.
Дуга — часть окружности.
Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

; длина хорды ;
высота сегмента ; центральный угол .

2. Даны диаметр D и длина хорды X

; длина дуги ;
высота сегмента ; центральный угол .

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

; диаметр ;
длина хорды ; высота сегмента .

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

; длина дуги ;
диаметр ; высота сегмента .

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

; диаметр ;
длина дуги ; длина хорды .

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X

7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности ;
площадь круга ;
площадь сектора $S_sect~=~S~*~{varphi/360}$ ;
площадь сегмента $S_segm~=~S_sect~-~{X~*~D~*~cos alpha}/4$ ;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

Программа Segment

Источник