Как найти центр правильного шестиугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это такой шестиугольник у которого все шесть сторон равны и его шесть углов равны.

Правильный шестиугольник

Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA, OB — радиусы правильного шестиугольника.

Обозначения на рисунке для правильного шестиугольника

n=6	число сторон и вершин правильного шестиугольника,	шт
α	центральный угол правильного шестиугольника,	радианы, °
β	половина внутреннего угла правильного шестиугольника,	радианы, °
γ	внутренний угол правильного шестиугольника,	радианы, °
a	сторона правильного шестиугольника,	м
R	радиусы правильного шестиугольника,	м
p	полупериметр правильного шестиугольника,	м
L	периметр правильного шестиугольника,	м
h	апофемы правильного шестиугольника,	м

Основные формулы для правильного шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника

[ L = 6a ]

Полупериметр правильного шестиугольника

[ p = 3a ]

Центральный угол правильного шестиугольника в радианах

[ α = frac{π}{3} ]

Центральный угол правильного шестиугольника в градусах

[ α = frac{180°}{3} = 60° ]

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в радианах

[ β = frac{π}{3} ]

Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в градусах

[ β = frac{180°}{3} = 60° ]

Внутренний угол правильного шестиугольника в радианах

[ γ = 2β = frac{2}{3}π ]

Внутренний угол правильного шестиугольника в градусах

[ γ = frac{2}{3}180° = 120° ]

Площадь правильного шестиугольника

[ S = ph = 3ha ]

Или учитывая формулу Площади правильного шестиугольника получим

[ S = frac{3sqrt{3}}{2}a^2 ]

Отсюда получим апофему правильного шестиугольника

[ h = frac{sqrt{3}}{2}a ]

Правильный шестиугольник	стр. 270

Источник

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Замечание

Т.к. сумма всех углов (n)–угольника равна (180^circ(n-2)), то каждый угол правильного (n)–угольника равен [alpha_n=dfrac{n-2}n cdot 180^circ]

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac {4-2}4cdot 180^circ=90^circ);

каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac{6-2}6cdot
180^circ=120^circ).

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема

Если (a) – сторона правильного (n)–угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [begin{aligned}
S&=dfrac n2ar\
a&=2Rcdot sindfrac{180^circ}n\
r&=Rcdot cosdfrac{180^circ}n end{aligned}]

Свойства правильного шестиугольника

1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R).

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ).

4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac{3sqrt{3}}{2}a^2).

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание

В общем случае правильный (n)-угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac{360^circ}{n}).

Источник

Задача 26595 4.1.38) Найти координаты центра…

Условие

4.1.38) Найти координаты центра правильного шестиугольника, зная две его смежные вершины: А (2;0) и В(5; 3sqrt(3)).

математика ВУЗ
5182

Решение

★

Пусть центр правильного шестиугольника имеет координаты O(x;y) ,
Так как OA=OB,то
sqrt((x-2)^2+(y-0)^2)=sqrt((x-5)^2+(y-3sqrt(3))^2)
Возводим в квадрат
(x-2)^2+y^2=(x-5)^2+(y-3sqrt(3))^2
(x-2)^2-(x-5)^2=(y-3sqrt(3))^2-y^2
(x-2-x+5)*(x-2+x-5)=(y-3sqrt(3)-y)*(y-3sqrt(3)+y)
3*(2x-7)=-3sqrt(3)*(2y-3sqrt(3))
(2x-7)=-sqrt(3)*(2y-3sqrt(3))
2x+2sqrt(3)y-16=0
x+sqrt(3)y-8=0
( это уравнение серединного перпендикуляра к прямой АВ)

AB=sqrt((5-2)^2+(3sqrt(3)-0)^2)=sqrt(9+27)=sqrt(36)=6

Составляем уравнение окружности с центром в точке А и радиусом АВ=6
(x-2)^2+y^2=36

Решаем систему двух уравнений
{x+sqrt(3)y-8=0 ⇒ x =8-sqrt(3)y
{(x-2)^2+y^2=36

(8-sqrt(3)y-2)+y^2=36
(6-sqrt(3)y)^2+y^2=36
36 — 12sqrt(y)+3y^2+y^2=36
4y^2-12sqrt(3)y=0
4y*(y-3sqrt(3))=0
y_(1)=0 или y_(2)=3sqrt(3)
x_(1)=8-sqrt(3)*0=8 или х=8-sqrt(3)3*sqrt(3)=8-9=-1

О т в е т. (8;0) или (-1; 3sqrt(3))

Cм рисунок. Графическое решение

Все решения

Написать комментарий

Источник

Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: $S_1 = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 4}a^2$ .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

$S = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 3sqrt{3}}{displaystyle 2}a^2$ , где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольника.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}a$ .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной sqrt{3} .

Радиус такой окружности равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}a$ .

Ответ: 1,5 .

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Ответ: .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Задание фигур в пространстве

Пусть
в пространстве введена система координат
Охуz.
Как мы показали, положение любой точки
однозначно определяется ее координатами.
Если Ф – некоторое множество точек (
фигура ), то всем ее точкам характерно
некоторое свойство, присущее только
точкам этой фигуры, а значит и для
координат точек этой фигуры выполняется
соотношение, присущее только точкам
этой фигуры.

Определение.
Пусть в
данной системе координат имеем некоторое
уравнение

F
(x,
y,
z)
= 0.
(1)

Уравнение
(1) называется уравнением фигуры Ф,
если координаты любой точки этой фигуры,
и только они, удовлетворяют этому
уравнению.

Следует
добавить, что уравнение (1) будет уравнением
фигуры Ф,
если выполняются два условия: 1) Если
М(
)

Ф, то координаты
(
)
удовлетворяют (1); 2) Если координаты (
)
удовлетворяют уравнению (1), то М(
)

Ф.

Под
уравнением фигуры мы понимаем не только
алгебраические уравнения, но и неравенства,
системы уравнений и неравенств, а также
их любые комбинации. Например, неравенство

(х
–- )²
+(у – )²
+ (z
– )²

R²

является
уравнением шара с центром в точке Q(;
;
)
и радиусом R.

Аналогично
определяется уравнение фигуры на
плоскости, только в системе координат
Оху.

Уравнение

является уравнением точек первой
четверти, причем точки, лежащие на осях
координат, не принадлежат данному
множеству.

Пример
1. Центр
О и вершина
А
правильного шестиугольника ABCDEF
имеют координаты О(–1;
2), А(1;
4). Найти
координаты остальных вершин.

Решение.
Так как точка
О является
серединой отрезка АD,
то находим координаты точки D.
Обозначим
D(х;
у), тогда
согласно (3) имеем:

Отсюда
получим: х
= – 3, у = 0. D(-3;
0).

Так
как данный шестиугольник правильный,
то АВО и
AFO
– правильные треугольники. Значит,
точки В
и F
являются точками, равноудаленные от
точек А
и О.
Пусть В(х;
у). Из условия
|AB|
= |OB|
= |OA|
получим |AВ|²
= |ОB|²
= |ОА|².
В координатной форме это выглядит так:

Следовательно,
B(
;3-
)
и
F
(–
;
3 +
).

Так
как точки Е
и С
симметричны точкам В
и F
относительно точки О,
то находим их координаты аналогично
тому, как мы находили координаты точки
D.
Обозначим Е(х;
у), тогда
согласно (3) имеем: