Как найти центр проекции окружности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Построение окружности в начертательной геометрии с примером

Построение окружности:

Окружность — плоская кривая второго порядка, ортогональная проекция которой может быть окружностью и эллипсом (рис. 5.3).

Для изображения окружности диаметра d на комплексном чертеже обязательно строят проекции центра О и двух ее диаметров.

Если окружность расположена в плоскости уровня, например в плоскости, параллельной плоскости Н (рис. 5.3, а), то в этом случае фронтальной проекцией окружности служит отрезок, равный d, а гори зонтальной проекцией является окружность.

Если окружность расположена в проецирующей плоскости, то проекции ее диаметров параллельны плоскостям проекций. Например,

Если окружность расположена в плоскости общего положения, она проецируется на все плоскости проекций в виде эллипсов, которые можно построить по сопряженным диаметрам. Эти диаметры являются проекциями диаметров, параллельных плоскостям проекций.

Цилиндрическая винтовая линия
Определение и задание поверхностей на чертеже
Классификация поверхностей
Пересечение многогранников плоскостями
Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
Решение задач на тему: перпендикулярности прямой и плоскости
Проекции с числовыми отметками
Перспектива

Источник

В конструкторской практике довольно
часто встречается построение проекций
окружности, поэтому выясним подробнее
некоторые свойства ортогональной
проекции окружности.

Известно, что параллельной проекцией
окружности является кривая, которую
называют эллипсом. Так, проецируя
окружность с центром в точке О, лежащую
в плоскости общего положения Б например
на плоскость Г, получим ее проекцию в
виде эллипса с центром в точке Ог
(рисунок 94).

Р
ассмотрим
два взаимно перпендикулярных диаметра
окружности: АВ – являющегося линией
уровня плоскости Б и CD –
совпадающего с линией наибольшего
уклона плоскости Б к плоскости Г. Диаметр
АВ спроецируется на плоскость Г без
искажения в большую ось эллипса
АгВг
(АВ= АгВг),
а диаметр CD – в малую
ось эллипса CгDг.
Если принять угол наклона плоскости Б
к плоскости Г равным φ, то CгDг=СD
cosφ. Оси эллипса
взаимно перпендикулярны, поскольку
являются проекциями перпендикулярных
диаметров окружности, один из которых
параллелен плоскости проекций.

Таким образом, большая ось эллипса,
являющегося ортогональной проекцией
окружности, лежащей в некоторой плоскости
Б, параллельна проекции прямой уровня
этой плоскости и равна диаметру
окружности, а малая ось – параллельна
прямой наибольшего уклона плоскости Б
и равна диаметру окружности, помноженному
на косинус угла наклона плоскости Б к
плоскости проекций.

Можно дать и другой признак для определения
направления осей эллипса. Если построить
перпендикуляр n
к плоскости Б (рисунок 94), то он, будучи
перпендикулярен ко всякой прямой этой
плоскости, будет перпендикулярен и
диаметру АВ окружности. Не будем забывать,
что диаметр АВ является линией уровня
(горизонталью) плоскости Б. Поэтому
ортогональная проекция нормали n
на плоскость Г будет перпендикулярна
проекции диаметра АВ на эту же плоскость
(см. 3.2). То есть проекция нормали к
плоскости Б параллельна малой оси
эллипса.

Рассмотрим примеры построения проекций
окружности на комплексном чертеже,
основанные на вышеописанных свойствах
ее ортогональной проекции.

П
ример
1. Построить окружность радиуса R
с центром в точке О лежащую во фронтально
проецирующей плоскости Д (рисунок 95).

Фронтальной проекцией окружности будет
в данном случае отрезок прямой длиной
2R, а горизонтальной –
эллипс. Учитывая рассмотренные свойства
ортогональной проекции окружности,
большая ось эллипса CD
будет параллельна горизонтальной
проекции горизонтали (в нашем примере
– фронтально проецирующей прямой)
плоскости Д и равна диаметру окружности
2R. Малая ось эллипса АВ
будет параллельна горизонтальной
проекции линии наибольшего уклона
плоскости Д (в данном примере – фронтали).
Величина малой оси эллипса определяется
горизонтальными проекциями точек А и
В. Ее можно определить и как описано
выше: АВ=2R cosφ.

Зная положение и величины большой и
малой осей эллипса, можно достроить
любое число принадлежащих ему точек.

П
ример
2. В плоскости общего положения Е (hхf)
построить окружность радиуса R
с центром в точке О (рисунок 96).

Если задана, например, фронтальная
проекция центра окружности О, то ,
«привязав» точку О к плоскости с помощью
прямой О-1 (горизонтали), легко находим
ее горизонтальную проекцию. С направлением
горизонтальной проекции горизонтали
О-1 совпадает большая ось эллипса АВ=2R.
Определив точки А и В на виде сверху
(горизонтальной проекции), находим их
и на виде спереди (фронтальной проекции).

Малую ось эллипса CD найдем
сначала на горизонтальной проекции
линии наибольшего уклона О-2. Для этого
определим натуральную величину отрезка
О-2 способом прямоугольного треугольника
О-2-О*. Если теперь на гипотенузе О*-2
отложить от точки О* величину радиуса
R, то при помощи точки D*
легко находится точка D,
определяющая величину малой полуоси
эллипса OD. Точка С
симметрична точке D
относительно центра О. В силу принадлежности
линии наибольшего уклона О-2, точки C
и D легко определяются на
фронтальной проекции (виде спереди).

Рисунок 96

ополнительные точки для уточненного
построения эллипса можно определить,
например, при помощи параллелограмма,
построенного на осях АВ и CD,
как на его средних линиях.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Необходимо построить проекций окружности в плоскости ABC по заданному радиусу и положению центра окружности. Плоскость ABC задана в виде двух пересекающихся прямых АВ и АС, причем точка А определяет положение центра окружности.

Для решения задачи необходимо освежить в памяти некоторые сведения геометрических построений, кривых линий и плоских фигур (окружности, эллипса), известных из программ средней школы.

Порядок решения такой задачи по начертательной геометрии

1. В левой части листа формата A3 наносятся оси координат фронтальной и горизонтальной плоскостей. Согласно варианту задания наносятся координаты точек ABC во фронтальной (A’,B’,C’) и горизонтальной (A,B,C) проекциях. Из точки A (A’,A), как из центра, проводят проекции окружности заданного радиуса R (рис.5.1).

Рис.5.1

2. Поскольку окружность расположена под некоторым углом к плоскостям проекций, она проецируется на них в виде эллипса. Причем большая ось эллипса будет равна диаметру окружности и располагается в плоскости H по горизонтали AC, а в плоскости V – по фронтали A’B’, соответственно ограниченных точками 1 — 2, и 3’-4’ (рис.5.2).

Рис. 5.2

3. Для построения малой оси эллипса найдем проекции точек 1-2 и 3-4 на сопряженных плоскостях проекций — по линии связи получаем 1’-2’ и 3-4. Через центр окружности точку А (A’,A) проведем линии перпендикулярные большой оси, очевидно, малая ось с ее проекциями будет располагаться на этих линиях. Тогда в горизонтальной плоскости проекций из точки 3, во фронтальной из точки 1’ проводим линии, параллельные направлению малой оси и в пересечении их с большой осью эллипса и окружностью получаем соответственно точки 5’ и O₁’.

4. Из точки O₁’ как из центра, радиусом O₁’-5’ делаем дуговую засечку на большой оси эллипса, получая точку

Рис. 5.3

Соединяем точку 6’ с точкой 1’. Тогда из точки 4’ проводим прямую параллельную 1’-6’.

В месте пересечения этой прямой с направлением малой оси получаем точку 7’. Отрезок A’7’ — не что иное, как малая полуось эллипса, отложив его величину в противоположную сторону, получим малую ось эллипса (рис.5.3).

Рис. 5.4

5. Используя точки 3’-1’-7’-4’ по лекалу строим линию эллипса (проекцию окружности) во фронтальной плоскости проекций V, предварительно отложив величины отрезков A’7’ и O’₁-1’ в противоположном направлении.

Аналогичным способом строится эллипс (проекция окружности) во горизонтальной плоскости проекций (рис.5.4.а-б).

Рис. 5.5

Раздел: Начертательная геометрия /

Рекомендуем
Комментарии
Наши товары

Источник

При выполнении чертежей деталей нередко возникает необходимость изображения окружностей, плоскости расположения которых не параллельны плоскостям проекций. Например, на рисунке 7.3 окружность расположена в пространстве в плоскости Q. В этом случае окружность проецируется в эллипс (рис. 7.3), а любая пара ее взаимно перпендикулярных диа-

метров проецируется парой сопряженных диаметров эллипса. Диаметр 1—2 окружности, параллельной плоскости проекций, проецируется без искажения и является для эллипса-проекции большой осью (отрезок 1_Р2_Р). Остальные диаметры проецируются отрезками меньшей длины. Диаметр 3—4, перпендикулярный к диаметру 1—2, проецируется как малая ось 3_Р4_Р эллипса: (1—2) перпендикулярно (3—4), (1—2) перпендикулярно Р, следовательно, (3_Р4_Р) перпендикулярно (1_Р2_Р).

Пример построения горизонтальной проекции окружности, расположенной во фронтально-проецирующей плоскости, приведен на рисунке 7.4. Фронтальная проекция 1’о’2′ окружности совпадает с фронтальной проекцией P_v фронтально-проецирующей плоскости. Фронтальная проекция 3’= 4’диаметра окружности, перпендикулярного плоскости проекции V, совпадает с фронтальной проекцией о’ центра окружности. Горизонтальная проекция 3—4 этого диаметра, проецирующегося без искажения, является большой осью эллипса-проекции. Диаметр с фронтальной проекцией 1’2′ на горизонтальной проекции является малой осью 1—2 эллипса-проекции. На горизонтальной проекции показано построение одной из произвольных точек эллипса-проекции.

Пример построения проекций окружности, расположенной в плоскости общего положения, приведен на рисунке 7.5. Плоскость задана проекциями а’ и а фронтали и b‘ и b горизонтали, пересекающимися в центре окружности с проекциями о’, о. Радиус окружности — r. Построение можно выполнить, например, методом перемены плоскостей проекций, что позволяет свести задачу к ранее рассмотренной (см. рис. 7.4). Заменив системы V, Н на систему плоскостей проекций V, Т, где Т перпендикулярно V, можно построить фронтальный эллипс-проекцию с большой осью |1’2’| =2r и малой 3’4′, которая построена по проекции |3t4t|=2r диаметра окружности на плоскости проекций Т. Заменив систему V, H на систему плоскостей проекций Р, Н, где Р перпендикулярно Н, можно построить горизонтальный эллипс-проекцию с большой осью 5—6 и малой 7—8, которая построена по проекции | 7_Р8_Р | = 2r диаметра окружности на плоскости проекций Н. Заметим, что угол наклона оси 7—8 к плоскости Н как перпендикуляра к горизонтали 5—6 (5’6′) выражает величину угла наклона плоско-

ста, в которой расположена окружность, к горизонтальной плоскости проекций, а оси 4—3 — к плоскости V.

Отметим, что чертежи кривых, координаты последовательных точек которых могут вычисляться на цифровых вычислительных машинах, весьма быстро выполняются современными техническими средствами — графопостроителями, управляемыми от электронных вычислительных машин.

Источник

Построение аксонометрических проекций окружности

Построение аксонометрических проекций окружности вызывает трудности, в связи с тем, что окружность принимает вид эллипса в аксонометрии. Возникает вопрос: как рисовать эллипс?
Чтобы построить окружность в аксонометрии используют следующие способы:
— построение по вспомогательной квадратной сетке;
— построение при помощи циркуля;

По первому способу квадрат описывает окружность и делится на 4×4=16. Отмечаем точки пересечения линий сетки с линией окружности. Затем строим аксонометрическую проекцию сетки и на ней отмечаем точки A₀, 1₀, 2₀, …, 8₀. По этим точкам строим окружность, при помощи лекала.
Данным способом окружность строится также в перспективе.