Как найти центр пятиугольника неправильного - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

НВ

Настя Веряева

Поскольку автор не сделал уточнений, можно сделать вывод, что его интересует лишь общий ход решения.
Диагоналями, исходящими из одной вершины, фигура делится на три треугольника. Находятся их центры тяжести. Находятся их площади. Площади условно считаются массами и размещаются в соответствующих центрах тяжести. Находится центр трёх масс (можно прямо, или последовательно — находя сначала центр из них произвольных двух, а затем…) .

Источник

I wondered, is there a geometrical way to find the center of a pentagon or a hexagon? I’m not talking about equal sides, just polygons with 5 or 6 corners.

Like, with a triangle you can take the intersection of two medians to find the center. With a quadrilateral, the center is the intersection of the bimedians.

Is it possible to construct the center of pentagons and hexagons in a similar way?

Edit: Apparently is rather difficult, so I probably have to settle for a formula to calculate the centroid. I always learned that the $x$ and $y$ values of the centroid are just the mean values of the $x_i$ and $y_i$ values of the corners respectively, but Wikipedia says otherwise (Wiki):

$C_x = dfrac{1}{6A} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (x_i+x_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$

$C_y = dfrac{1}{6A} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (y_i+y_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$

Where $A = dfrac{1}{2} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$

I’m not entirely sure, but wouldn’t those $(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$ terms cancel out because you divide by the summation over the same interval? That would leave:

$C_x = dfrac{1}{12} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (x_i+x_{i+1})$

which is rubbish, except for when your polygon has 6 corners — and that’s exactly the case on the source from Wikipedia, here.

Therefore I wonder, is my math correct and is this formula just a very elaborate way to calculate the centroid of a hexagon (and no other polygons), or is it just coincidence? If so, please explain the formula.

Источник

Справочник статей

Во-первых, решение центра тяжести неправильных многоугольников

1.1 Метод расчета треугольника центра тяжести
1.2 Метод расчета площади треугольника
1.3 Метод расчета площади полигона
1.4 Метод расчета центра тяжести неправильного многоугольника

Во-первых, решение центра тяжести неправильных многоугольников

1.1 Метод расчета треугольника центра тяжести

Пусть положение трех вершин треугольника будет

(

)

A(x_1,y_1)

(

)

B(x_2,y_2)

(

)

C(x_3,y_3)

Тогда

△

△ABC

Центр гравитации

Координаты

x=frac{x_1+x_2+x_3}{3}, y=frac{y_1+y_2+y_3}{3}

1.2 Метод расчета площади треугольника

Рассчитайте площадь треугольника, используяВекторный продуктТаким образом, на следующем рисунке, принимая точку P в качестве начала координат,

(

)

A(x_1,y_1)

，

(

)

B(x_2,y_2)

。

，

И координатное происхождение

состоящий из

△

△ABC

Площадь

⃗

−

S=frac{vec{PB}times vec{PA}}{2}=frac{x_2y_1-x_1y_2}{2}

1.3 Метод расчета площади полигона

В случае многоугольников мы можем разделить многоугольники на несколько треугольников и решить их отдельно. Итак, где мы можем установить эту точку разделения $ P $? Вот вывод: точка разделения может быть установлена внутри многоугольника или снаружи.

Почему эту точку разделения можно установить снаружи? Мы можем обобщить на случай многоугольников простой случай треугольника. за

△

△ABC

Мы устанавливаем точку разделения в точке вне ее $ P $,

△

△ABC

Зона

за

(

⃗

)

S=frac{1}{2}(vec{PB}times vec{PC}+vec{PC}times vec{PA}+vec{PA}times vec{PB})

set

(

)

P(x_0,y_0),

(

)

A(x_1,y_1)

(

)

B(x_2,y_2)

(

)

C(x_3,y_3)

△

△ABC

Зона

Может быть написано как

(

−

)

S=frac{1}{2}left ( x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3right )

В это время вы можете найти внешнюю точку

Это не имеет значения, это связано только с координатами вершин.

1.4 Метод расчета центра тяжести неправильного многоугольника

Нерегулярные фигуры, как правило, не имеют понятия центральной точки, поэтому центр тяжести можно использовать только вместо центральной точки. Вот формула:

Плоский многоугольник

Может быть разбит на

Ограниченная простая графика

…

X_1,X_2,…,X_n

, Центр тяжести этих простых фигур

G_i

С площадью

S_i

Тогда координаты центра тяжести этого плоского многоугольника

(

)

G(x,y)

за

∑

x=frac{sum_{n}^{i=1}G_{ix}S_i}{sum_{i=1}^{n} S_i},y=frac{sum_{n}^{i=1}G_{iy}S_i}{sum_{i=1}^{n} S_i}

Расчет центра тяжести неправильного многоугольника

def get_gravity_point(points):
    """
    @brief Получить центр тяжести многоугольника
    @param      points  The points
    @return     The center of gravity point.
    """
    if len(points) <= 2:
        return list()

    area = Decimal(0.0)
    x, y = Decimal(0.0), Decimal(0.0)
    for i in range(len(points)):
        lng = Decimal(points[i][0])
        lat = Decimal(points[i][1])
        nextlng = Decimal(points[i-1][0])
        nextlat = Decimal(points[i-1][1])

        tmp_area = (nextlng*lat - nextlat*lng)/Decimal(2.0)
        area += tmp_area
        x += tmp_area*(lng+nextlng)/Decimal(3.0)
        y += tmp_area*(lat+nextlat)/Decimal(3.0)
    x = x/area
    y = y/area
    return [float(x), float(y)]

Источник

Как построить и нарисовать правильный пятиугольник по окружности

Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:

сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.

Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:

Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:

Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

Интересные факты

В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.

Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.

Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.

Правильный пятиугольник

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A₂A₁A₅=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A₁O A₂, равен

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника, боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

$[{A_1}{A_5} = a,]$

$[{A_1}O = {A_5}O = R,]$

$[angle {A_1}O{A_5} = {72^o}.]$

Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A₁OA₅, то есть

$[{A_1}F = frac{1}{2}{A_1}{A_5} = frac{a}{2},]$

$[angle {A_1}OF = frac{1}{2}angle {A_1}O{A_2} = {36^o}.]$

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁OF.

$[sin angle {A_1}OF = frac{{{A_1}F}}{{{A_1}O}},]$

$[{A_1}O = frac{{{A_1}F}}{{sin angle {A_1}OF}},]$

$[R = frac{{frac{a}{2}}}{{sin {{36}^o}}} = frac{a}{{2sin {{36}^o}}}.]$

$[sin {36^o} = sqrt {frac{{5 - sqrt 5 }}{8}} ,]$

$[R = frac{a}{{2sqrt {frac{{5 - sqrt 5 }}{8}} }} = frac{{asqrt 8 }}{{2sqrt {5 - sqrt 5 } }} = frac{{a cdot 2sqrt 2 }}{{2sqrt {5 - sqrt 5 } }} = ]$

$[ = frac{{asqrt 2 }}{{sqrt {5 - sqrt 5 } }} = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{sqrt {5 - sqrt 5 } cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }} = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{sqrt {{5^2} - {{(sqrt 5 )}^2}} }} = ]$

$[ = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{sqrt {20} }} = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{2sqrt 5 }} = ]$

$[ = frac{{asqrt 2 cdotsqrt {5 + sqrt 5 } cdotsqrt 5 }}{{2sqrt 5 cdotsqrt 5 }} = frac{{asqrt {50 + 10sqrt 5 } }}{{10}}.]$

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —

Сколько горизонтальных линий у правильного Пентагона?

У правильного пятиугольника есть 5 стороны и 5 линии симметрии. Количество линий симметрии в правильном многоугольнике равно количеству сторон.

Кроме того, как найти центр пятиугольника?

к найдите что собой представляет центр регулярного пятиугольник/ шестиугольник: разделите сторону пополам, поместив точку циркуля на каждую из точек и нарисовав дугу с радиусом чуть более половины длины стороны.

Таким образом, что такое прямоугольный Пентагон? Мы определяем «прямоугольный пятиугольник”Как домообразную целочисленную выпуклую плоскую фигуру, состоящую из треугольника с основанием B и сторонами u и v, выходящего на прямоугольник ширины B и высоты d: Таким образом, если треугольник тупой или прямой, то основанием может быть только его самая длинная сторона.

Сколько горизонтальных линий у правильного Пентагона?

Каковы углы пятиугольника?

Все стороны одинаковой длины (конгруэнтны), и весь интерьер углов одинакового размера (конгруэнтные). Чтобы найти меру интерьера углов, мы знаем, что сумма всех углов 540 градусов (сверху) А их пять углов Итак, мера интерьера угол регулярного пятиугольник это 108 градусов.

Все стороны пятиугольника равны?

Обычный пятиугольник один с все равно и углов. Его интерьер углов 108 градусов и его внешний вид углов 72 градуса. Нерегулярныйпятиугольник это форма, которая не имеет равные стороныи / или углов и поэтому не указалиуглов.

Как нарисовать пятиконечную звезду?

Нарисуйте перевернутую букву «V». Начните с левой нижней части вашего рисунка, подойдите к точке и опустите карандаш вниз и вправо.
Проведите влево прямую линию под углом вверх.
Нарисуйте прямую горизонтальную линию поперек вашего рисунка, заканчивающуюся справа.

Есть ли у Пентагона равные стороны?

Пентагоны могут быть правильными или неправильными, а также выпуклыми или вогнутыми. Обычный пятиугольник едино со всеми равные стороны и углы. Его внутренние углы составляют 108 градусов, а внешние — 72 градуса. Нерегулярный пятиугольник это форма, которая делает не иметь равные стороны и / или углы и поэтому не иметь указанные углы.

Сколько углов у пятиугольника?

Что в форме пятиугольника?

Треугольник	Квадратный
Пятиугольник	Икосагон

Сколько треугольников в пятиугольнике?

Сколько углов у круга?

Все части круг находятся на равном расстоянии от центра круг. Сторона должна состоять из линии и двух углов, по одному с каждой стороны линии. Квадрат состоит из четырех сторон: четырех линий и четырех сторон. углов. Шестиугольник, состоящий из шести сторон и шестиуглов.

Является ли шестиугольник правильным многоугольником?

A шестиугольник это пример многоугольник, или многогранной формы. А правильный шестиугольник имеет шесть сторон, которые все равны или равны по размеру. А правильный шестиугольник выпуклый, что означает, что точкишестиугольник все указывают наружу. Все углы правильный шестиугольник совпадают и измеряют 120 градусов.

Что такое многоугольник?

A многоугольник любое двумерное формировать формируется прямыми линиями. Треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники — все это примеры полигонов. Название говорит вам, сколько сторон формировать имеет. Например, треугольник имеет три стороны, а четырехугольник — четыре стороны. Это то, что делает многоугольник.

Что такое фигура с четырьмя вершинами?

Четырехугольник — это замкнутая фигура с 4 стороны. некоторые формы которые классифицируются как четырехугольники: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб и трапеция. Это квадрат. Оно имеет 4 прямые углы и 4 равные стороны. Оно имеет 4 стороны и Вершины 4.

Как нарисовать шестиугольник внутри круга?

к рисовать a шестиугольникначните с обводки чего-нибудь круглого, чтобы получился круг. Затем с помощью линейки рисовать горизонтальная линия через центр круг. Далее берем линейку и рисовать «x» над круг поэтому он разделен на 6 равных частей.

Сколько существует типов шестиугольников?

In геометрия, а шестиугольник можно определить как многоугольник с шестью сторонами. Двумерная форма имеет 6 сторон, 6 вершин и 6 углов. Мы можем найти форму шестиугольник ввокруг нас соты и футбольный мяч.

Как нарисовать ромб?

Шаг 1: Начните с рисования клюва пингвина.
Шаг 2: Нарисуйте голову.
Шаг 3: Нарисуйте тело и основание ступней.
Шаг 4: Нарисуйте перья на спине и хвосте.
Шаг 5: Нарисуйте крыло и лапы пингвина.

Как нарисовать ромб?

пятиугольник имеет 5 сторон. К найдите ценность интерьера угол в А пятиугольник, используйте следующее формула, чтобы найти сумма всего интерьерауглов. Разделите это число на 5, чтобы определять ценность каждого интерьера угол. Каждый интерьер угол составляет 108 градусов.

Является ли треугольник правильным многоугольником?

A правильный многоугольник — это многоугольник где все стороны и углы одинаковы. Равносторонний треугольник — это правильный многоугольник. У него все одинаковые стороны и одинаковые углы. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла.

Что такое четырехугольник?

четырехугольник. В геометрии евклидовой плоскости aчетырехугольник многоугольник с четырьмя ребрами (или сторонами) и четырьмя вершинами или углами. Иногда термин четырехугольник используется по аналогии с треугольником, а иногда четырехугольник для согласованности с пятиугольником (5-гранный), шестиугольником (6-гранный) и так далее.

Что такое многоугольник?

A многоугольник любое двумерное формироватьформируется прямыми линиями. Треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники — все это примеры полигонов. Название говорит вам, сколько сторон формировать имеет. Например, треугольник имеет три стороны, а четырехугольник — четыре стороны. Это то, что делает многоугольник.

Что такое 6-сторонний многоугольник?

В геометрии шестиугольник (от греческого? Ξ hex, «шесть» и γωνία, gonía, «угол, угол») — это шесть–двусторонний многоугольник or 6-гон. Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) шестиугольника составляет 720 °.

Как называется 9-сторонняя форма?

Как нарисовать восьмиугольник?

Шаг 1. Разделите на три части. Разделите длину на три части.
Шаг 2: Разделите на 9 квадратов. Нарисуйте по разметке 9 маленьких квадратов.
Шаг 3: сделайте восьмиугольник из 9 квадратов. Нарисуйте линии так, чтобы восьмиугольник был виден в 9 квадратах.
Шаг 4: Сотрите форму восьмиугольника.

Как называется девятиугольная форма?

В геометрии девятиугольник (/ ˈn? N? G? N /) или enneagon (/ ˈ? Ni? G? N /) является 9–односторонняя многоугольник или 9-угольник. Название нонагон — это префиксная гибридная формация, от латинского (nonus, «девятый» + гонон), используемая эквивалентно, засвидетельствованная уже в 16 веке во французском nonogone и в английском языке с 17 века.

Как называется девятиугольная форма?

Шаг 1: Проведите прямую AB длиной 6 см.
Шаг 2: Используя транспортир, нарисуйте угол 57 ° от точки A. Отметьте точку D так, чтобы AD = 6 см.
Шаг 3: Используя линейку и установленный квадрат, проведите линию BC так, чтобы она была параллельна AD. Отметьте точку C так, чтобы BC = 6 см.
Шаг 4: Соедините точку D с точкой C.

Как нарисовать параллелограмм?

Собери свои инструменты.
Ознакомьтесь с инструкциями по решению вашей математической задачи.
Проведите линию с помощью линейки.
Обозначьте длину одной стороны.
Установите транспортир.
Измерьте угол.
Нарисуйте следующую сторону параллелограмма.
Повторите для следующей стороны.

Как называется 7-сторонняя форма?

В геометрии семиугольник — это семиугольник.односторонняя многоугольник 7-гон. Гептагон иногда называют семиугольником, используя «sept-» (элизия septua-, числового префикса латинского происхождения, а не hepta-, числового префикса греческого происхождения; оба являются родственными) вместе с греческим суффиксом «-agon Означает угол.

Как называется 3-сторонняя форма?

A 3–двусторонняя форма is под названием треугольник. Треугольники — это многоугольники с тремя сторонами, поэтому любыемногоугольник с трех сторон под названием треугольник. Есть

Источник

Пятиугольник, виды, свойства и формулы.

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник

Правильный многоугольник

Свойства правильного пятиугольника

Построение правильного пятиугольника

Формулы правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре

Пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник

Пятиугольник, выпуклый и невыпуклый пятиугольник:

Пятиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно пяти.

Пятиугольник – фигура, состоящая из пяти углов (вершин), которые образуются пятью отрезками (сторонами).

Пятиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый пятиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 540°.

Невыпуклый пятиугольник – это пятиугольник, у которого одна часть его точек лежат по одну сторону, а другая часть – по другую от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 2. Невыпуклый пятиугольник

Звёздчатый пятиугольник (пентаграмма) – пятиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого пятиугольника могут пересекаться между собой.

Правильный многоугольник:

Правильный пятиугольник (пентагон) – это правильный многоугольник с пятью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 108°.

Рис. 3. Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник имеет 5 сторон, 5 углов и 5 вершин.

Углы правильного семиугольника образуют семь равнобедренных треугольников.

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны.

Свойства правильного пятиугольника:

1. Все стороны правильного пятиугольника равны между собой.

a₁ = a₂ = a₃ = a₄= a₅.

2. Все углы равны между собой и каждый угол равен 108°.

α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = α₅ = 108°.

Рис. 4. Правильный пятиугольник

3. Сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного пятиугольника O.

Рис. 5. Правильный пятиугольник

5. Количество диагоналей правильного пятиугольника равно 5.

Рис. 6. Правильный пятиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр пятиугольника O.

Рис. 7. Правильный пятиугольник

7. Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.

Рис. 8. Правильный пятиугольник

8. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

a / c ≈ 5 / 8 ≈ 0,618.

Рис. 9. Правильный пятиугольник

Построение правильного пятиугольника:

Метод построения правильного пятиугольника вписыванием его в заданную окружность:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O.

2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.

3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.

4. Постройте точку C посередине между O и B.

5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.

6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.

7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.

8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.

9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Формулы правильного пятиугольника:

Пусть a – сторона пятиугольника, r – радиус окружности, вписанной в пятиугольник, R – радиус описанной окружности пятиугольника, S – площадь пятиугольника, h – высота пятиугольника, d – диагональ пятиугольника, Ф – отношение золотого сечения.

Формулы площади правильного пятиугольника:

Формулы высоты правильного пятиугольника:

Формулы стороны правильного пятиугольника:

Формулы диагонали правильного пятиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный пятиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника:

Правильный пятиугольник в природе, технике и культуре:

Пентасимметрию можно наблюдать в некоторых фруктах (например, у мушмулы германской), у иглокожих (например, у морских звёзд) и у некоторых растений.

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100-140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.

Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

Паркет, тротуарная плитка, мозайки и т.п. может выкладываться элементами, которые имеют вид пятиугольников.

Государственный знак качества СССР имеет форму пятиугольника с выпуклыми сторонами.

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Пятиугольник

Шестиугольник

Семиугольник

Восьмиугольник

Коэффициент востребованности
9 663

Источник