Как найти центр симметрии прямоугольника

Какова симметрия прямоугольника? Есть ли у прямоугольника ось симметрии и центр симметрии?

Утверждение

Прямоугольник имеет две оси симметрии.

Осями симметрии прямоугольника являются прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Доказательство:

Пусть O — точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, K и F — точки пересечения прямой, проходящей через точку O параллельно стороне AB, со сторонами AD и BC. Тогда 

   

Прямоугольные треугольники AOK и DOK равны по катету и гипотенузе (OK- общий катет, OA=OD по свойству диагоналей параллелограмма). Следовательно, AK=DK, то есть прямая FK проходит через середину стороны AD.

Отметим на стороне AB произвольную точку X. Проведём прямую через точку X прямую, перпендикулярную прямой FK. Точки пересечения этой прямой с прямыми FK и CD обозначим через P и X1.

Четырёхугольники AXPK и KPX1D — прямоугольники (так как у них все углы прямые). Следовательно, XP=AK, PX1=KD. А так как AK=DK, то и XP=PX1. Значит, X1 — точка, симметричная точке X относительно прямой FK.

Имеем: точка, симметричная относительно прямой FK произвольной точке прямоугольника, также принадлежит прямоугольнику.

Точки F и K симметричны сами себе относительно прямой FK.

Таким образом, FK — ось симметрии прямоугольника.

Аналогично доказывается, что прямая, проходящая через точку O параллельно AD является осью симметрии ABCD.

Что и требовалось доказать.

Утверждение.

Прямоугольник — центрально симметричная фигура.

Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.

Так как параллелограмм — центрально-симметричная фигура с центром симметрии в точке пересечения диагоналей, то это верно и для частного случая параллелограмма — прямоугольника.

Произвольный прямоугольник имеет всего две оси симметрии, то есть в его плоскости мы можем найти только две прямых, при обороте вокруг которых, одна часть прямоугольника совпадет со второй частью. Эти прямые проходят через центр пересечения диагоналей прямоугольника и параллельны его сторонам. Иначе говоря проходят через средины противоположных сторон. Вот как это смотрится в рисунке по клеткам, оси симметрии m и l: В частном случае, если стороны прямоугольника равны, то есть он является квадратом, то у него появляются две дополнительные оси симметрии — те самые диагонали квадрата, на рисунке прямые s и k: автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Геометрическая фигура прямоугольник относится к самым простым и в то же время является одной из основных фигур в геометрии. Если в прямоугольнике провести диагонали, то их точке пересечения будет и центром фигуры, и центром симметрии. Через центр симметрии можно провести очень много прямых но только две, которые будут параллельны сторонам, будут осями симметрии. В случае, когда прямоугольник является одновременно ромбом, параллелограммом и квадратом, его диагонали (их две) — также будут осями симметрии. Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он имеет четыре оси симметрии, в остальных случаях — две оси. РУДЬК­О [257K] 5 лет назад  Совершенно естественно, что прямоугольник имеет две оси симметрии.Каждая из них проходит через середины противоположных сторон. Есть одно исключение для прямоугольников.Это квадрат.Как известно, квадрат- это прямоугольник , у которого все стороны равны между собой. Так вот, у квадрата будет четыре оси симметрии. Это две линии, соединяющие середины противоположных сторон, а также диагонали квадрата. На картинке также изображён ромб, но его можно принимать во внимание только в том случае, если ромб является квадратом.В остальных случаях ромб прямоугольником не является. Потому как прямоугольник- это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Nelli­4ka [114K] 5 лет назад  Тут нужно сразу заметить: квадрат тоже можно назвать прямоугольником, у которого, правда, все стороны равны. Потому сделаем поправочку и найдем оси симметрии для прямоугольника, который не является квадратом. Для этого нам нужно разделить пополам сначала две его более короткие стороны и соединить линией — так мы получим первую ось, а потом — разделить пополам более длинные, тогда мы получим вторую ось симметрии, вот так: А вот в квадрате, кстати, осей симметрии уже больше — не две, а целых четыре (две еще проходят по диагоналям, из угла в угол). У ромба, также как и у прямоугольника, осей симметрии две. Alexg­roovy [14.6K] 5 лет назад  Чтобы ответить на вопрос, нужно знать, что из себя представляет ось симметрии прямоугольника. Таким термином обозначается любая прямая, которая проходит через точку пересечения диагоналей и при этом сохраняется параллельность сторонам. Прямоугольник имеет 2 оси симметрии и это доказывается в курсах математики и геометрии. На рисунке видно как проходят оси симметрии прямоугольника. У квадрата таких осей больше (4), а у равностороннего треугольника — 3. Если это именно прямоугольник, то он имеет две оси симметрии. Из середин горизонтальных и вертикальных сторон. Если же этот прямоугольник является ещё и квадратом, то тогда у него имеется четыре оси симметрии. Две как у прямоугольника, а две другие являются диагоналями квадрата. Вот рисунок, на котором можно посмотреть где проходят эти оси симметрии в прямоугольнике и в квадрате: KillN­UR [9.4K] 5 лет назад  Прямоугольник — плоская фигура у которой противоположные стороны равны и параллельны. Осей симметрии у прямоугольнике две. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон. Линии проходящие через противоположные углы прямоугольника не будут осями симметрии, так как при вращении фигуры по таким осям половинки не будут совпадать. дольф­аника [379K] 5 лет назад  Чтобы убедиться, сколько прямоугольник имеет осей симметрии на самом деле, начертим прямоугольник и отметим центр фигуры, который находится на пересечении прямых, проходящих через середины сторон фигуры. Выходит две оси симметрии, как показано на таблице. Симметричные фигуры равны по всем сторонам и величинам углов. Rafai­l [136K] 8 лет назад  Прямоугольник имеет три оси симметрии второго порядка. Две из них лежат в плоскости прямоугольника и проходят через середины противоположных сторон. Третья ось симметрии перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через его центр (точку пересечения диагоналей). PRAVD­A911 [13.4K] 5 лет назад  Из школьного курса геометрии нам известно, что у прямоугольника имеется две оси симметрии и это мы можем проверить на рисунке, начертив оси симметрии. А вот если взять квадрат — то у него уже мы можем наблюдать все четыре оси симметрии. alexm­12 [257K] 8 лет назад  Обычный прямоугольник имеет две оси симметрии проходяших через середины противоположных сторон. Частный случай прямоугольника — квадрат имеет четыре оси симметрии, две добавочные проходят через противоположные углы. Знаете ответ?

ВИДЕОУРОК

Симметрия – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие
определённого порядка, закономерности в расположении частей.

Люди с давних времён
использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре,
художестве, строительстве.

Симметрия широко распространена и в природе, где
не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и
цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических
тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Симметрия
в геометрии – свойство геометрических фигур.

Рассмотрим две симметрии на плоскости относительно точки и прямой.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Ось симметрии.

Две
точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по
разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, называются симметричными
относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная)
симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости
симметрии), если её точки попарно обладают указанным свойством.

Фигура симметрична
относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая – ось симметрии фигуры, а фигура обладает
осевой симметрией.

Фигура, обладающая
осевой симметрией – это неразвёрнутый угол, который имеет одну ось симметрии –
прямую на которой расположена биссектриса угла.

Осевая симметрия – это симметрия относительно проведённой
прямой (оси).

Две точки  А 
и  В 
симметричны относительно прямой  а (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезка
АВ  и перпендикулярна
к нему.

Проведем прямую 
ЕF  через
середины  Е  и  F  сторон  АВ  и  СD  прямоугольника  АВСD.

Эта прямая делит прямоугольник пополам. Если прямоугольник перегнуть по этой
прямой, то обе две половины совпадут. Говорят, что прямоугольник симметричный относительно
прямой  ЕF, а прямую  ЕF  называют осью симметрии прямоугольника. У
прямоугольника  АВСD  есть другая ось симметрии – прямая  NК.

Вообще, фигуру называют симметричной относительно прямой  l, если эта прямая делит фигуру на две части, которые совпадают при перегибании
по этой прямой. Прямую  l  называют осью симметрии этой фигуры.

Две
точки  А  и  В, которые совпадают при перегибании плоскости по
прямой  l, называют симметричными относительно этой
прямой. Если точки  А  и  В  симметричные относительно прямой  l, то:

1) отрезок  АВ 
перпендикулярен прямой  l.

2) прямая  l  делит этот отрезок пополам.

Окружность имеет бесконечное количество осей симметрии. Любая прямая, которая
проходит через центр окружности, будет его осью симметрии.

Ось симметрии имеют изображения многих фигур (предметов), которые часто
встречаются в природе и технике.

Каждая точка прямой  а  симметрична самой себе.

ПРИМЕР:

АО
= ОВ, АВ ⊥
а.

Точка  А 
симметрична сама себе.

Фигура симметрична относительно прямой – если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

Прямая – ось симметрии фигуры, а
фигура обладает осевой симметрией.

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Иногда у фигур несколько осей симметрии.

Фигуры, обладающие осевой симметрией.

ПРИМЕР:

Неразвёрнутый угол имеет одну ось симметрии –
прямую, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный
треугольник имеет одну ось симметрии.

Равносторонний
треугольник имеет три оси симметрии.

Квадрат имеет четыре оси
симметрии.

Прямоугольник имеет две
оси симметрии

Ромб имеет две оси
симметрии

Окружность имеет
бесконечно много осей симметрии – любая прямая, проходящая через центр,
является осью симметрии.

Примером фигур, у которых нет ни одной оси симметрии, являются
параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

ПРИМЕР:

Построим треугольник  А₁В₁С₁, симметричный треугольнику  АВС 
относительно красной прямой линии (ось симметрии).

Для этого проведём из вершины
треугольника  АВС  прямые,
перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.

Измерим расстояние от вершин треугольника
до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же
расстояния.

Соединим получившиеся точки отрезками и
получим треугольник  А₁В₁С₁, симметричный данному треугольнику  АВС.

ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.
Построить его симметрию относительно прямой 
l,
не пересекающий данный отрезок.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как осевая симметрия
является движением, то отрезок  АВ 
отобразится на равный ему отрезок 
А’В’.

Для его построения сделаем
следующее: проведём через точки  А  и  В  прямые  m  и  n  перпендикулярно
прямой  l.
Пусть 

m ∩ l = Х, n ∩ l = Y.

Далее проведём отрезки 

А’Х
= АХ  и 
В’Y = ВY.

ЗАДАЧА:

Построить симметричный
треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.

РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник  АВС. Будем строить его
симметрию относительно стороны  ВС.

Сторона  ВС  при осевой симметрии перейдёт в саму себя (следует из
определения). Точка  А  перейдёт в точку  А₁  следующим образом:

АА₁ ⊥ ВС, АН = НА₁.

Треугольник  АВС  перейдёт в треугольник  А₁ВС.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Симметрию относительно точки называют центральной
симметрией.

Две точки  А  и  В 
симметричны относительно точки  О, если  О – середина отрезка  АВ. Точка  О  называется центром симметрии.

Точка  О  симметрична самой
себе.

Фигура
симметрична относительно точки (центр симметрии), если её точки попарно лежат
на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных
расстояниях от него.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно данной точки также принадлежит этой фигуре. Данная точка – центр симметрии фигуры, а фигура обладает центральной симметрией.

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигуры, обладающие центром симметрии.

ПРИМЕР:

Окружность, центр окружности
является её центром симметрии.

Параллелограмм, его центром
симметрии является точка пересечения диагоналей.

Прямая имеет бесконечно много
центров симметрии, так как любая точка прямой является её центром симметрии.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

ПРИМЕР:

Построим треугольник  А₁В₁С₁, симметричный треугольнику  АВС 
относительно центра (точки)  О.

Для этого соединим точки  А,В,С  с центром  О  и продолжим эти отрезки.

Измерим отрезки  АО,
ВО, СО  и отложим с
другой стороны от точки  О  равные им отрезки 

АО
= ОА₁, ВО = ОВ₁, СО = ОС₁.

Соединим получившиеся точки
отрезками и получим треугольник  

А₁В₁С₁, симметричный данному треугольнику  АВС.

ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.
Построить его симметрию относительно точки 
С, лежащей на прямой  l.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как центральная симметрия
является движением, то отрезок  АВ 
отобразится на равный ему отрезок 
А»В».

Для его построения сделаем
следующее: проведём прямые  АС  и  ВС. Далее проведём отрезки  

х‘ =
х,

у‘ =
–у.

3) При повороте на  90°  вокруг начала координат ось  Ох 
переходит в ось  Оу  так, что положительное направление переходит
в положительное, а ось  Оу  отображается на ось  Ох  так, что
положительное направление переходит в отрицательное. Поэтому  Р(х, у)  отображается на
точку  Р’

с координатами:

х‘ =
–у,

у‘ =
х.

4) При центральной симметрии

каждая из осей координат
отображается на себя, но так, что положительное направление оси переходит в
отрицательное и наоборот: отрицательное в положительное. Поэтому

Объединим результаты в таблицу