Как найти центр тяжести картонной фигуры

Как определить центр тяжести плоской фигуры

В качестве плоской фигуры можно взять лист плотной бумаги или картона нужной вам формы. Главное, чтобы тело было достаточно тонким. В геометрии и физике при однородном гравитационном поле под центром тяжести обычно понимают центр масс, или центр инерции.

Вам понадобится

• — плоская фигура;
• — карандаш;
• — линейка;
• — незаточенный карандаш;
• — нитки;
• — иголка.

Инструкция

Попробуйте определить центр тяжести плоской фигуры опытным путем. Возьмите новый незаточенный карандаш, поставьте его вертикально. Сверху на него поместите плоскую фигуру. Отметьте на фигуре точку, в которой она устойчиво держится на карандаше. Это и будет центр тяжести вашей фигуры. Вместо карандаша можно использовать просто вытянутый вверх указательный палец. Но это сложнее, ведь надо добиться того, чтобы палец стоял ровно, не раскачивался и не дрожал.

Для демонстрации того, что полученная точка и есть центр масс, проделайте в ней иголкой маленькую дырочку. Проденьте в отверстие нитку, на одном из концов завяжите узелок − так, чтобы нитка не выскакивала. Держась за другой конец нитки, подвесьте тело на ней. Если центр тяжести определен верно, фигура расположится ровно, параллельно полу. Ее бока не будут раскачиваться.

Найдите центр тяжести фигуры геометрическим путем. Если у вас дан треугольник, постройте в нем медианы. Эти отрезки соединяют вершины треугольника с серединой противоположной стороны. Точка пересечения медиан станет центром масс треугольника. Чтобы найти срединную точку стороны, можно даже сложить фигуру пополам, но учтите, что при этом нарушится однородность фигуры.

Если у вас дан параллелограмм, начертите в нем диагонали. Они пересекутся как раз в центре масс. Частные случаи параллелограмма: прямоугольник, квадрат, ромб. Принцип геометрического поиска центра тяжести таких фигур аналогичный.

Сравните результаты, полученные геометрическим и опытным путем. Сделайте выводы о ходе эксперимента. Небольшие погрешности считаются нормой. Объясняются они неидеальностью фигуры, неточностью приборов, человеческим фактором (мелкими огрехами в работе, несовершенством человеческого глаза и т.д.).

Источники:

• Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?



1.6. Центр тяжести плоской фигуры

Это популярное физическое приложение двойного интеграла.

О центре тяжести плоской фигуры я рассказывал ещё в курсе аналитической геометрии, и сейчас мы на пальцах

повторим, что это такое. Вырежьте из тонкого куска картона произвольную фигуру, какую захотИте. …Есть?  Поднимите указательный

палец строго вверх J. Теперь положите картонку на палец и добейтесь того, чтобы она не сваливалась. Эта точка картонной

фигуры – и есть её центр тяжести.

В студенческой практике для решения, как правило, предлагается простейший случай – плоская ограниченная однородная фигура,

то есть фигура постоянной физической плотности – стеклянная, деревянная, оловянная чугунные игрушки, тяжёлое детство и т.д.

Далее по умолчанию речь пойдёт только о таких фигурах.

Первое правило и простейший пример: если у плоской фигуры есть центр симметрии, то он является

центром тяжести данной фигуры. Например, центр круглой или квадратной однородной пластины. Логично и по-житейски

понятно – масса такой фигуры «справедливо распределена во все стороны» относительно центра.

Однако в суровых реалиях вам вряд ли подкинут такую халяву, и поэтому на помощь придётся привлечь серьёзный математический

аппарат:

Координаты  центра тяжести  плоской однородной ограниченной фигуры  рассчитываются по

следующим формулам:

, их также можно

записать так:

, где  – площадь фигуры (области

).

 И наиболее компактная запись:
, где

Интеграл  будем

условно называть «иксовым» интегралом, а интеграл  – «игрековым» интегралом.

Примечание-справка: для плоской ограниченной неоднородной фигуры, плотность которой задана функцией , формулы более

сложные:
, где  – масса фигуры;
в случае однородной плотности фигуры  эти формулы упрощаются до вышеприведённых формул.

На формулах, собственно, вся новизна и заканчивается, остальное – это ваше умение решать двойные интегралы, кстати, сейчас предоставляется прекрасная возможность

потренироваться и усовершенствовать свою технику. А совершенству, как известно, нет предела: …или есть?

Пример 29

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение: линии здесь элементарны:  задаёт ось абсцисс, а уравнение  – банальную параболу. Я выполню сразу весь чертёж с

готовой точкой  центра тяжести фигуры:

Правило второе: если у фигуры существует ось симметрии, то центр тяжести данной фигуры

обязательно лежит на этой оси.

В нашем случае фигура симметрична относительно прямой  (проведена пунктиром), то есть фактически мы уже знаем

«иксовую» координату  точки «эм».

Также обратите внимание, что по вертикали центр тяжести смещён ближе к оси абсцисс, поскольку там фигура более массивна.

Полезная рекомендация: ещё до вычислений постарайтесь определить примерное расположение центра тяжести «на глазок»  – это

поможет проверить полученные значения  на предмет явных ошибок.

…Да, возможно, ещё не все до конца поняли, что такое центр тяжести: пожалуйста, поднимите вверх указательный палец и

мысленно поставьте на него заштрихованную «подошву» точкой . Теоретически фигура не должна упасть.

Координаты центра тяжести фигуры найдём по формулам , где .
Порядок обхода области  (фигуры) здесь очевиден:
 

Внимание! Определяемся с наиболее выгодным порядком обхода один раз – и используем его для всех двойных интегралов! А их тут будет три штуки:

1) Сначала вычислим площадь фигуры. Ввиду относительной простоты интеграла решение можно оформить «одной строкой», главное,

не запутаться в вычислениях:

Смотрим на чертёж и прикидываем по клеточкам площадь. Получилось около дела.

2) Иксовая координата  центра тяжести уже найдена «графическим методом», поэтому можно

сослаться на симметрию и перейти к следующему пункту. Но делать так-таки не советую – велика вероятность, что вас заставят

решать по формуле.
В этой связи координату лучше рассчитать формально. Вычислим «иксовый» интеграл:

Таким образом: , что и требовалось получить.
3) Найдём ординату  центра тяжести. Вычислим «игрековый» интеграл, внутри

используем правило умножения

многочленов:

В результате:  , что

очень и очень похоже на правду. На заключительном этапе отмечаем на чертеже точку  и записываем
Ответ:
Заметьте, что по условию не требовалось ничего чертить, но в большинстве задач мы волей-неволей вынуждены изобразить фигуру.

Зато есть безусловный плюс – визуальная и довольно эффективная проверка результата.  

Следующие два примера для самостоятельного решения.

Попроще:

Пример 30

Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

И посложнее:

Пример 31

Найти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями . Фигуру и её центр тяжести изобразить на чертеже.

И это как раз тот случай, когда вроде бы выполнены предпосылки для перехода к полярной

системе координат, но в результате получаются настолько харкордные интегралы, что уж лучше решать в декартовых

координатах.

Примерные образцы решений в конце книги.

Но, разумеется, есть задачи, где решение в полярных координатах оправдано. Желающие могут в качестве тренировки найти

центр тяжести фигуры из Примера 23, тем более, там уже найдена площадь. Верный ответ . С подробным решением этого, а также более сложных

примеров можно ознакомиться в соответствующей статье

сайта.

Ну а сейчас пришло время немного отдохнуть и повысить ставки:

2. Тройные инетгралы

1.5. Как вычислить двойной интеграл в полярных координатах?

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

На каждое тело на Земле действует сила тяжести. При этом тела бывают самой разнообразной формы. Различные машины, механизмы, конструкции и строения, созданные человеком, должны быть устойчивыми для их нормального использования.

Это значит, что они должны находиться в равновесии. Каким образом мы можем добиться этого условия?

На данном уроке мы рассмотрим, как действует сила тяжести, к какой точке она приложена, чтобы мы могли говорить о равновесии тела. Мы введем определение центра тяжести тела и рассмотрим его особенности.

Центр тяжести

Давайте рассмотрим простой пример. Возьмем линейку и подвесим ее на нити (рисунок 1).

Передвигая нить по длине линейки, найдем такое положение, чтобы линейка находилась в равновесии. Мы можем сказать, что линейка подвешена в центре тяжести.

Что такое центр тяжести?

Центр тяжести тела — это точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на отдельные части тела.

Если мы мысленно разделим линейку на несколько частей, то на каждую их них будет действовать сила тяжести. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз вне зависимости от положения тела.

Как мы увидели, у линейки центр тяжести будет находиться посередине ее длины. Но это справедливо не для всех тел. Если мы таким же образом подвесим лопату и будем искать положение, в котором она будет находиться в равновесии, то увидим другую ситуацию (рисунок 2). Лопата будет подвешена в центре тяжести ближе к началу ее черенка.

Нахождение центра тяжести тела

Вокруг нас полно твердых тел сложной формы. Если с линейкой все было достаточно просто, то как найти центр тяжести более сложного тела?

Попробуем сделать это на практике. Вырежем фигуру произвольной неправильной формы из картона. Подвесим ее, используя отвес (рисунок 3, а).

Отвес — это приспособление, состоящее из нити и маленького грузика на ее конце. Служит для определения правильного вертикального положения других тел.

На нашу фигуру действуют две силы: сила тяжести и силы упругости. Сила тяжести направлена вертикально вниз, а сила упругости — вдоль нити. Так как мы используем отвес, задающий идеальную вертикальную линию, то сила упругости будет направлена вертикально вверх. 

Картонная фигура покоится. Значит, эти две силы уравновешивают друг друга. Они равны по величине и направлены в противоположные стороны. Мы можем сказать, что точки приложения этих сил находятся на одной вертикальной прямой, которую отмечает отвес. Отметим эту линию карандашом на картоне. 

Теперь отцепим нашу фигуру и подвесим ее снова, но в другой точке (рисунок 3, б). Снова проведем линию по отвесу. Мы можем провести бесконечное множество линий, подвешивая фигуру в разных ее точках. Все эти линии будут пересекаться в одной точке (рисунок 3, в). Эта точка и будет центром тяжести тела C.

Это легко проверить. Возьмем фигуру из картона и поставим ее на острие карандаша а найденном центре тяжести (точка C). Фигура не будет крениться в какую-либо сторону, не упадет — она будет находится в равновесии (рисунок 3, г).

При любом положении тела его центр тяжести находится в одной и той же точке.

Где может находиться центр тяжести тела?

Для нахождения центра тяжести объемных геометрических фигур используют похожие способы. Так, центр тяжести шара находится в его геометрическом центре, а у параллелепипеда — в точке пересечения его диагоналей (рисунок 4).

Центр тяжести тела может находиться и вне самого тела. Например, у кольца (рисунок 5).

Примером тела с центром тяжести, находящимся вне тела, также могут служить разные сувениры. Например, вот эта птичка (рисунок 6). Она сделана так, что ее центр тяжести находится ровно под ее клювом. Это позволяет зрелищно держать такую игрушку на кончике пальца, создавая иллюзию полета.

В каких случаях может меняться положение центра тяжести тела?
Это возможно только в том случае, если изменяется относительное расположение частей тела. Например, при непластичной деформации.