Как найти центр тяжести квадрата формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Формулы площадей, центров тяжести, осевых и полярных моментов инерции, моментов сопротивления и других геометрических характеристик основных простых фигур: прямоугольника, квадрата, равнобедренного и прямоугольного треугольника, круга, полукруга, четверти круга, кольцевого и тонкостенного сечений.

Обозначения в формулах:
C — положение центра тяжести фигуры;
A — площадь сечения;
I_x , I_y — осевые моменты инерции сечения относительно главных осей;
I_x1 , I_y1 — осевые моменты инерции относительно вспомогательных (смещённых) осей;
I_ρ — полярный момент инерции сечения;
W_x , W_y — осевые моменты сопротивления;
W_ρ — полярный момент сопротивления

Прямоугольник

Прямоугольник высотой h и шириной b.

Центр тяжести прямоугольника в точке пересечения его диагоналей, на расстоянии половины высоты (h/2) по вертикали и половины ширины (b/2) по горизонтали.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции прямоугольника

Моменты инерции относительно смещенных осей, проходящих через нижнюю левую точку

Осевые моменты сопротивления прямоугольного сечения

Квадрат

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого высота равна ширине, т.е. h=b=a.

Центр тяжести квадрата находится так же на пересечении диагоналей — на расстоянии половины стороны (a/2) по высоте и ширине.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции квадрата

Моменты инерции относительно смещенных осей, проходящих через нижнюю левую точку

Осевой момент сопротивления квадратного сечения

Треугольник равнобедренный

Равнобедренный треугольник высотой h и шириной основания b.

Центр тяжести треугольника располагается в точке пересечения его медиан на расстоянии 1/3 высоты от основания и 2/3 высоты от его вершин.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции треугольника

Момент инерции относительно смещенной оси x₁, проходящей через его основание

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник высотой h и шириной основания b.

Центр тяжести прямоугольного треугольника располагается аналогично, на пересечении медиан на расстоянии 1/3 высоты от основания и 2/3 высоты от вершины.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Моменты инерции относительно смещенных осей x₁ и y₁, проходящих через точку, соединяющую его катеты

Трапеция

Равнобокая трапеция высотой H и шириной оснований: малого a и большого b.

Площадь трапеции

Центр тяжести на линии, соединяющей середины оснований трапеции, на высоте, определяемой по формуле:

Круг

Круг диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь круга через его диаметр и радиус

Центральные осевые и полярный моменты инерции круга

Осевые и полярный моменты сопротивления

Полукруг

Половина круга диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь

Осевые моменты инерции полукруга

Четверть круга

Четверть круга диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь

Центральные осевые моменты инерции четверти круга

Моменты инерции относительно смещенных осей x₁ и y₁

Кольцо

Кольцо с внешним диаметром D и внутренним d, (радиусами: внешним R и внутренним r)

Отношение внутреннего диаметра (радиуса) к внешнему обозначается буквой c.

Площадь

Центральные осевые и полярный моменты инерции кольца

Осевые и полярный моменты сопротивления

Тонкостенное сечение (труба)

Тонкостенный профиль (сечение трубы) средним радиусом R₀ и толщиной стенки трубы t при R₀>>t

Площадь

Центральные осевые и полярный моменты инерции трубного сечения

Осевые и полярный моменты сопротивления

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры:

Другие видео

Смотрите также:
Определение координат центра тяжести сложных фигур
Геометрические характеристики сечений

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Источник

На этой странице представлена справочная информация с формулами для вычисления площадей простых фигур (сечений) с указанием положения их центров тяжестей.

Эта страничка будет полезна при расчёте более сложных фигур (составных поперечных сечений): определении положения центра тяжести, а также общей площади.

Центры тяжести

Для всех фигур, положение центра тяжести в статье обозначается буквой – C, это наиболее используемый вариант. Также иногда центр тяжести обозначают буквой – O.

Формулы для расчёта площадей

В сопромате площадь поперечного сечения обозначается буквой – A, однако, в некоторой литературе ты можешь встретить обозначения с буквой – F.

Другую справочную информацию, размещённую на сайте – ssopromat.ru, можешь найти, перейдя по указанной ссылке.

Источник

§1. Центр тяжести однородного тела.

Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.

Если разбить тело на элементарные части объемом ∆V_i , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆P_i, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.1), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.

Рис.1. Параллельная система сил

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой

плоскости.

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.

§2. Способы определения координат центра тяжести.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.2), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.2. Центр тяжести тел, имеющих ось симметрии

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.3), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.3. Центр тяжести сплошной

сложной геометрической фигуры

— центр тяжести и площадь первой фигуры;

— центр тяжести и площадь второй фигуры;

— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси x;

— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси y;

3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.4). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S₁ и площади вырезанной части S₂.

Рис.4. Центр тяжести сложной геометрической фигуры,

имеющей отверстие

— центр тяжести и площадь первой фигуры;

— центр тяжести и площадь второй фигуры;

— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси x;

— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси y;

§3. Координаты центра тяжести некоторых простых фигур.

1. Центр тяжести треугольника. Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан (рис.5). Координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин: x_c =1/3(x₁+x₂+x₃) ; y_c =1/3(y₁+y₂+y₃).

Рис.5. Центр тяжести треугольника

2. Центр тяжести прямоугольника. Центр тяжести прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей (рис.6). Координаты центра тяжести прямоугольника рассчитываются по формулам: x_c =b/2 ; y_c =h/2.

Рис. 6. Центр тяжести треугольника

3. Центр тяжести полукруга. Центр тяжести полукруга лежит на оси симметрии (рис.7). Координаты центра тяжести полукруга рассчитываются по формулам: x_c =D/2 ; y_c =4R/3π.

Рис. 7. Центр тяжести полукруга

4. Центр тяжести круга. Центр тяжести круга лежит в центре (рис.8). Координаты центра тяжести круга рассчитываются по формулам: x_c =R ; y_c =R.

Рис. 8. Центр тяжести круга

Вопросы для самопроверки:

— Что называется центром параллельных сил?

— Что называется центром тяжести тела?

— Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, квадрата, трапеции и половины круга?

— Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

— В чем состоит сущность способа отрицательных площадей?

— Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

— Запишите формулу, определяющую центр тяжести треугольника.

Источник

Download Article

The center of gravity (CG) is the center to an object’s weight distribution, where the force of gravity can be considered to act. This is the point where the object is in perfect balance, no matter how turned or rotated around that point.^[1] If you want to know how to calculate the center of gravity of an object, then you have to find the weight of the object: and any objects on it, locate the datum, and plug the known quantities into the equation for calculating the center of gravity. If you want to know how to calculate the center of gravity, just follow these steps.

Calculator

1

Calculate the weight of the object. When you’re calculating the center of gravity, the first thing you should do is to find the weight of the object. Let’s say that you’re calculating the weight of a see-saw that has a weight of 30 lbs. Since it’s a symmetrical object, its center of gravity will be exactly in its center if it’s empty. But if the see-saw has people of different weights sitting on it, then the problem is a bit more complicated.^[2]
2

Calculate the additional weights. To find the center of gravity of the see-saw with two children on it, you’ll need to individually find the weight of the children on it.^[3] The first child has a weight of 40 lbs. and the second child’s is 60 lbs.

1

Choose a datum. The datum is an arbitrary starting point placed on one end of the see-saw.^[4] You can place the datum on one end of the see-saw or the other. Let’s say the see-saw is 16 feet long. Let’s place the datum on the left side of the see-saw, close to the first child.
2
Measure the datum’s distance from the center of the main object as well as from the two additional weights. Let’s say the children are each sitting 1 foot away from each end of the see-saw.^[5] The center of the see-saw is the midpoint of the see-saw, or at 8 feet, since 16 feet divided by 2 is 8. Here are the distances from the center of the main object and the two additional weights form the datum:
- Center of see-saw = 8 feet away from datum.
- Child 1 = 1 foot away from datum
- Child 2 = 15 feet away from datum

1
Multiply each object’s distance from the datum by its weight to find its moment. This gives you the moment for each object. Here’s how to multiply each object’s distance from the datum by its weight:
- The see-saw: 30 lb. x 8 ft. = 240 ft. x lb.
- Child 1 = 40 lb. x 1 ft. = 40 ft. x lb.
- Child 2 = 60 lb. x 15 ft. = 900 ft. x lb.
2

Add up the three moments. Simply do the math: 240 ft. x lb. + 40 ft. x lb. + 900 ft. x lb = 1180 ft. x lb. The total moment is 1180 ft. x lb.
3

Add the weights of all the objects. Find the sum of the weights of the seesaw, the first child, and the second child. To do this, add up the weights: 30 lbs. + 40 lbs. + 60 lbs. = 130 lbs.
4
Divide the total moment by the total weight. This will give you the distance from the datum to the center of gravity of the object. To do this, simply divide 1180 ft. x lb. by 130 lbs.
- 1180 ft. x lb. ÷ 130 lbs = 9.08 ft.
- The center of gravity is 9.08 feet from the datum, or measured 9.08 feet from the end of the left side of the see-saw, which is where the datum was placed.

1
Find the center of gravity in the diagram. If the center of gravity you found is outside of the system of objects, you have the wrong answer.^[6] You may have measured the distances from more than one point. Try again with just one datum.
- For example, for people sitting on a seesaw, the center of gravity has to be somewhere on the seesaw, not to the left or right of the seesaw. It does not have to be directly on a person.
- This is still true with problems in two dimensions. Draw a square just large enough to fit all of the objects in your problem. The center of gravity must be inside this square.
2

Check your math if you get a tiny answer. If you picked one end of the system as your datum, a tiny answer puts the center of gravity right next to one end. This can be the right answer, but it’s often the sign of a mistake. When you calculated the moment, did you multiply the weight and distance together? That’s the correct way to find the moment. If you accidentally added them together instead, you’ll usually get a much smaller answer.
3

Troubleshoot if you have more than one center of gravity. Every system only has a single center of gravity. If you find more than one, you might have skipped the step where you add all the moments together. The center of gravity is the total moment divided by total weight. You do not need to divide each moment by each weight, which only tells you the position of each object.
4
Check your datum if your answer is off by a whole number. The answer to our example is 9.08 ft. Let’s say you try it and get the answer 1.08 ft., 7.08 ft, or another number ending in «.08.» This most likely happened because we chose the left end of the seesaw as the datum, while you chose the right end or some other point an integer distance from our datum. Your answer is actually correct no matter which datum you choose! You just need to remember that the datum is always at x = 0. Here’s an example:
- The way we solved it, the datum is at the left end of the seesaw. Our answer was 9.08 ft, so our center of mass is 9.08 ft from the datum at the left end.
- If you pick a new datum 1 ft from the left end, you get the answer 8.08 ft for the center of mass. The center of mass is 8.08 ft from the new datum, which is 1 ft from the left end. The center of mass is 8.08 + 1 = 9.08 ft from the left end, the same answer we got before.
- (Note: When measuring distance, remember that distances to the left of the datum are negative, while distances to the right are positive.)
5
Make sure all your measurements are in straight lines. Let’s say you see another «kids on the seesaw» example, but one kid is much taller than the other, or one kid is hanging underneath the seesaw instead of sitting on top. Ignore the difference and take all your measurements along the straight line of the seesaw. Measuring distances at angles will lead to answers that are close but slightly off.
- For seesaw problems, all you care about is where the center of gravity is along the left-right line of the seesaw. Later, you might learn more advanced ways to calculate the center of gravity in two dimensions.

Add New Question

Question

Why do we calculate centers of gravity?

Danoyachtcapt

Top Answerer

Center of gravity (CG) is very important, especially in aircraft and other vehicles like cars and trains. The Vehicle has to be designed so the CG is within certain limits so the vehicle will be well-balanced while in motion.
Question

I have to find the center of gravity for a 1310 mm length MS Steel. How can I go about doing that?

Balance it on a knife edge and record the position by marking the edge. Then, turn the object approx. 30 degrees and re-balance it on the knife edge. Record the position by marking the edge — you should now have 2 intersecting lines, and the intersection point will give you the center of gravity.
Question

Why is the determination of the center of gravity necessary, and where might I apply it in real life?

It’s more useful in certain sports and careers. If you are an engineer, you don’t want whatever you’re building to be off center. In sports such as gymnastics, it’s easier to do harder moves if you know where your center of balance is.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

To find the distance a person needs to move to balance the see-saw over the fulcrum, use the formula: (

weight moved

) / (

total weight

) = (

distance CG moves

) / (

distance weight is moved

). This formula can be rewritten to show that the distance the weight (person) needs to move equals the distance between the CG and the fulcrum times the weight of the person divided by the total weight. So the first kid needs to move

-1.08ft * 40lb / 130lbs =

-.33ft or -4in. (toward the edge of the see-saw). Or, the second kid needs to move

-1.08ft * 130lb / 60lbs =

-2.33ft or -28in. (toward the center of the see-saw).^[7]
The definition for center of gravity of a general mass distribution is (∫ r dW/∫ dW) where dW is the differential of weight, r the position vector and the integrals are to be interpreted as Stieltjes integrals over the entire body. They can however be expressed as more conventional Riemann or Lebesgue volume integrals for distributions that admit a density function. Starting with this definition all properties of CG including the ones used in this article may be derived from properties of Stieltjes integrals.
To find the CG of a two dimensional object, use the formula Xcg = ∑xW/∑W to find the CG along the x-axis and Ycg = ∑yW/∑W to find the CG along the y-axis. The point at which they intersect is the center of gravity.

Thanks for submitting a tip for review!

Trying to blindly apply this mechanical technique without understanding the theory may result in errors. Understand the laws/theories behind it first.

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate the center of gravity of 2 objects on a see-saw, first identify the weight of each separate object. Choose a starting point, or datum, on one end of the see-saw and measure its distance from the center and each object. Find each object’s moment by multiplying the distance by the object’s weight, then add up the 3 moments. Add up the weights of the objects and divide the total moment by the total weight to get the datum’s distance from the center of gravity. For examples and ways to check your answer, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,423,926 times.

Did this article help you?

Источник

Во многих случаях
центр тяжести тела можно определить с
помощью весьма простых методов. Рассмотрим
некоторые из них.

Симметрия. Если
тело однородно и имеет плоскость
симметрии, то задача определения центра
тяжести несколько упрощается.

Если однородное
тело имеет плоскость симметрии, то центр
тяжести лежит в этой плоскости.

Пусть однородное
тело имеет ось симметрии.

Если однородное
тело имеет ось симметрии, то его центр
тяжести лежит на этой оси.

Аналогично можно
показать, что если
однородное тело имеет ось симметрии,
то центр тяжести тела будет совпадать
с этой точкой.

Так, например, для
пластины, имеющей прямоугольную форму,
центр тяжести лежит в центре прямоугольника.

Разбиение. Иногда
представляется возможным разбить тело
на такие части, для которых вес и положение
центра тяжести заранее известны.

(8.19)

Для однородной
пластины, например, из формулы (8.19)
следует

,

,

(8.20) где

– площади частей плоской фигуры

– координаты центров тяжести этих
частей.

Задача 8.1. Способом разбиения найти
координаты центра тяжести площади
неравнобокого угольника, размеры
которого указаны на рис.

Решение. Разобьем угольник на два
прямоугольника, площади которых равны

,

.

На основании (8.20) формулы для координат
центра тяжести угольника имеют вид

,

,

где

,

– координаты центра тяжести первого
прямоугольника, а

,

– координаты центра тяжести второго
треугольника.

Очевидно, что

,

,

,

.

Таким образом, имеем

Отрицательные
веса. Этот
способ применяют при нахождении центра
тяжести тела, имеющего свободные (т.е.
пустые полости). Центр тяжести тела,
имеющего полости определяет вектор

.
(
8.21)
Таким образом, при нахождении центра
тяжести тела, имеющего свободные полости,
следует применять способ разбиения, но
считать, что полости имеют отрицательные
веса.

Задача 8.2. Найти центр тяжести
однородной круглой пластины радиуса
,
у которой вырезано отверстие в виде
прямоугольника со сторонами

,
использовав способ отрицательных весов.

П
ластина
симметрична относительно оси

;
следовательно,

.
Остается найти лишь одну координату

.

Согласно (8.21) будем иметь

где

,

,

,

.

Таким образом,

8.4. Центры тяжести простейших фигур

Ц
ентр
тяжести треугольника. Воспользуемся
способом разбиения и разделим треугольник
АВС
на элементарные полоски, проведя линии,
параллельные стороне АС
треугольника. Каждую такую полоску
можно принять за прямоугольник; центры
тяжести этих прямоугольников находятся
в их серединах, т.е. на медиане BD
треугольника. Следовательно, центр
тяжести треугольника должен лежать на
этой же медиане BD.

Разбивая теперь
треугольник на элементарные полоски
линиями, параллельными стороне АВ,
заключаем, что центр тяжести треугольника
должен быть расположен на медиане ЕС.

С
ледовательно,
центр
тяжести треугольника находится в точке
пересечения его медиан.
Эта точка, как известно, делит каждую
из медиан на отрезки в отношении

,
т.е

.

Центр тяжести
трапеции. Аналогично
предыдущему, разобьем трапецию ABCD
на элементарные полоски, параллельные
основаниям ВС
и АD.
Центры тяжести полосок расположатся
на прямой KL,
соединяющей середины оснований трапеции.
Следовательно, и центр тяжести трапеции
лежит на этой прямой. Для того, чтобы
найти его расстояние

от нижнего основания, разобьем трапецию
на треугольники АВС
и АСD.
Для этих треугольников соответственно
имеем

,

,

,

.

Используя формулу
(8.20), получаем

Центр тяжести
дуги окружности.
Рассмотрим дугу АDВ
окружности радиуса

с центральным углом

.
Поместим начало координат в центре
окружности и направим ось

перпендикулярно хорде АВ.

Т
ак
как вследствие симметрии фигуры
относительно оси

центр тяжести будет лежать на этой оси

,
т.е.

,
то остается только найти абсциссу центра
тяжести

;
для этого воспользуемся формулой (8.18).

Согласно рис.
имеем

,

,

и, следовательно,

(8.22) где

– половина центрального угла в радианах.

В частности, для
дуги полуокружности

будем иметь

Центр тяжести
кругового сектора. Для
определения положения центра тяжести
кругового сектора разобьем его на
элементарные секторы, как показано на
рис. Каждый элементарный сектор можно
принять за равнобедренный треугольник
с высотой, равной

.
Но высота в равнобедренном треугольнике
является также и его медианой;
следовательно, центр тяжести каждого
элементарного треугольника лежит на
расстоянии

от начала координат О.
Соответственно геометрическим местом
центров тяжести всех элементарных
треугольников является дуга окружности
радиусом

Это означает, что
центр тяжести площади кругового сектора
можно искать как центр тяжести материальной
линии, по которой непрерывно и равномерно
распределен вес этого сектора. Применив
формулу (8.22), получим координату центра
тяжести площади сектора

(8.23) где

– половина центрального угла в радианах.
В частности, для сектора в виде полукруга

получим

(8.24)

Задача 8.3. Пластина получена из
квадрата, сторона которого равна

,
после того,
как из него была вырезана часть,
составляющая четверть круга радиуса

с центром в вершине А квадрата.
Определить центр тяжести пластины.

Решение. Ось

проведем по диагонали квадрата, взяв
начало оси в вершине А. Так как ось

является осью симметрии пластины, то
центр тяжести ее находится на этой оси.
Площадь квадрата без выреза

,
абсцисса его центра тяжести

;
площадь вырезанной части

,
абсцисса центра тяжести ее определяется
формулой (8.23), в которой

,

Центр тяжести пластины определим по
формуле

или, подставляя соответствующие
величины,

Приведем без вывода
формулы, определяющие положения центров
тяжести некоторых простейших однородных
тел.

Поверхность
шарового сегмента

(8.25)

Пирамида и конус.
Центр тяжести
находится на прямой, соединяющей вершину
с центром тяжести О
площади основания, на

ее длины, считая от основания

(8.26)

Шаровой сектор.

(8.27) где

– радиус шара и

– высота сферической части сектора.

З
адача
8.4. Определить центр тяжести высоты
колонны, состоящей из однородного
цилиндра весом

,
высоты

и радиуса

,
на который установлена половина
однородного шара радиуса

Решение. Разделим колонну на
цилиндрическую и шаровую части. Центр
тяжести всей системы лежит на оси
симметрии. Абсцисса центра тяжести
цилиндра

.
Расстояние от центра полушария до его
центра тяжести найдем по формуле (8.27)
при

,
что дает

.
Следовательно,

.
Пользуясь равенством (8.19), найдем центр
тяжести колонны

^*
Методы решения статически неопределимых
задач выходят за рамки теоретической
механики и относятся к курсу сопротивления
материалов и строительной механики.

1
Усилием в стержне называется алгебраическая
величина силы, действующей вдоль стержня
и растягивающей или сжимающей его; при
растяжении усилие считается положительным,
а при сжатии – отрицательным.

2
Здесь и в дальнейшем на протяжении
пятой главы предполагается, что все
силы расположены в одной плоскости ху
и что точки, относительно которых
вычисляются моменты, лежат в плоскости
действия сил. Ось z, перпендикулярная
плоскости действия сил, на рисунках не
показывается.

*
В тех случаях, когда стрела провеса f
не мала по сравнению с длиной пролета
l, уравнение кривой
равновесия тяжелой линии определяет
цепную линию.

3
Предполагается, что линии действия сил
параллельны оси z/

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник