I wondered, is there a geometrical way to find the center of a pentagon or a hexagon? I’m not talking about equal sides, just polygons with 5 or 6 corners.
Like, with a triangle you can take the intersection of two medians to find the center. With a quadrilateral, the center is the intersection of the bimedians.
Is it possible to construct the center of pentagons and hexagons in a similar way?
Edit: Apparently is rather difficult, so I probably have to settle for a formula to calculate the centroid. I always learned that the $x$ and $y$ values of the centroid are just the mean values of the $x_i$ and $y_i$ values of the corners respectively, but Wikipedia says otherwise (Wiki):
$C_x = dfrac{1}{6A} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (x_i+x_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$
$C_y = dfrac{1}{6A} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (y_i+y_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$
Where $A = dfrac{1}{2} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$
I’m not entirely sure, but wouldn’t those $(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$ terms cancel out because you divide by the summation over the same interval? That would leave:
$C_x = dfrac{1}{12} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (x_i+x_{i+1})$
which is rubbish, except for when your polygon has 6 corners — and that’s exactly the case on the source from Wikipedia, here.
Therefore I wonder, is my math correct and is this formula just a very elaborate way to calculate the centroid of a hexagon (and no other polygons), or is it just coincidence? If so, please explain the formula.
НВ
Настя Веряева
Поскольку автор не сделал уточнений, можно сделать вывод, что его интересует лишь общий ход решения.
Диагоналями, исходящими из одной вершины, фигура делится на три треугольника. Находятся их центры тяжести. Находятся их площади. Площади условно считаются массами и размещаются в соответствующих центрах тяжести. Находится центр трёх масс (можно прямо, или последовательно — находя сначала центр из них произвольных двух, а затем…) .
Расчет координат центра тяжести фигуры
| Координаты многоугольника, разделенные пробелами. Может иметь вид a+ib |
| Альтернативное разбиение(если текущее неверное) |
| ДА |
| Вы ввели следующие координаты многоугольника |
| Координаты центра тяжести |
| Площадь заданного многоугольника (в условных единицах) |
Для создания поделок, головоломок да и просто в домашних делах, иногда возникает ситуация когда необходимо рассчитать центр тяжести какой либо фигуры. И если для простейших фигур, формулы расчета центра тяжести известны, например для круга центр тяжести совпадает с центром окружности, то более сложные фигуры, а тем более фигуры состоящие из ломаных линий, вручную посчитать очень сложно.
Что же такое центр тяжести? Это такая точка на фигуре, поднимая за которую, фигура остается в таком же положении как она лежала например на столе. Это дилетантское конечно же объяснение, кроме этого мы говорим о плоских фигурах. Более правильное такое: Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю.
Калькулятор рассчитывает центр тяжести любой плоской однородной по составу фигуры, состоящей из ломаных линий.
Что же Вам, как пользователю необходимо знать? Необходимы координаты точек вершин такого многоугольника.
Как определить центр тяжести?
Если на точки М1(x1,y1,z1) и М2(x2,y2,z2) действуют параллельные силы то точка М приложения равнодействующей этих сил делит отрезок М1М2 обратно пропорционально этим силам
Поэтому координаты точки М будут
(x=cfrac{P_1x_1+P_2x_2}{P_1+P_2})
(y=cfrac{P_1y_1+P_2y_2}{P_1+P_2})
(z=cfrac{P_1z_1+P_2z_2}{P_1+P_2})
если речь идет о воздействии трех действующих сил то формулы аналогичные и высчитываются как арифметическое средневзвешенное
(x=cfrac{P_1x_1+P_2x_2+P_3x_3}{P_1+P_2+P_3})
(y=cfrac{P_1y_1+P_2y_2+P_3y_3}{P_1+P_2+P_3})
(z=cfrac{P_1z_1+P_2z_2+P_3z_3}{P_1+P_2+P_3})
таким же способом рассчитываются если в точках приложения сил не три, а четыре или пять или десять например.
Если принять что силой действующий на точки будет сила тяжести, а масса точек будет одинакова, то после сокращений одинаковых значений, наша формула для трех точек будет следующей
(x=cfrac{1}{n}sum_{1}^n{x_i})
(y=cfrac{1}{n}sum_{1}^n{y_i})
(z=cfrac{1}{n}sum_{1}^n{z_i})
Здесь положение центра тяжести зависит только от положения точек. Точка () называется геометрическим центром тяжести этих точек
Если фигура симметрична — то центр тяжести совпадает с геометрическим центром фигуры. Это касается таких например фигур как квадрат, круг, правильный многоугольник, равносторонний треугольник и другие подобные объекты.
И еще, немного теории, которая поможет рассчитать центр тяжести сложных фигур.
Положение центра тяжести системы точечных масс не изменится, если любую частичную группу точечных масс системы заменить одной точечной массой, расположенной в центре тяжести этой группы и имеющей в качестве массы сумму масс точек этой группы.
Рассчитаем центр тяжести треугольной пластины, произвольной формы, одинаковой толщины.
Из какого материала мы будем делать, из стали, бумаги или пластика не столь важно.
Центр тяжести треугольника является одной из семи замечательных точек, и определяется как точка пересечения медиан сторон этого треугольника.
Если же нам известны только координаты треугольника, например, мы его вырезали из тетрадки в клеточку, то координаты точки тяжести, будут определяться так
(x=cfrac{x_1+x_2+x_3}{3})
(y=cfrac{y_1+y_2+y_3}{3})
Не пытайтесь аппроксимировать эту формулу и подумать что центр трапеции будет вычисляться аналогично например по таким формулам
(x=cfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4})
(y=cfrac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4})
Это неверно, вернее неверно в случае когда масса распределена в плоскости между этими точками ( например пластины).
Если же речь идет о точечных массах расположенных в этих координатах, то формула центра масс, будет правильной.
Как же тогда рассчитывать центр тяжести трапеции?
Умные люди нашли формулу расчета точки, но в ней исходные данные представлены в виде длин сторон трапеции.
Вот эта формула.
==========
Она не удобна, когда нам известны только координаты трапеции. Но мы воспользуемся способом разбиения трапеции два треугольника, где для каждого из них находим центр тяжести, а потом рассчитывая уже для двух точек(центров), находим окончательное решение.
Для каждого треугольника центр будет рассчитывается по известной формуле
(x=cfrac{x_1+x_2+x_3}{3})
(y=cfrac{y_1+y_2+y_3}{3})
Но вот, когда мы будем рассчитывать окончательную точку, надо учитывать что мы, «стягивая» в центр тяжести каждый треугольник, стягиваем и всю массу поверхности которая лежала между этими координатами.
Так как между площадью фигуры ( при одинаковой толщине) и массой связь линейная, то легко предположить что окончательный расчет будет не таким
(x_0=cfrac{x_a+x_b}{2})
(y_0=cfrac{y_a+y_b}{2})
а с учетом линейности между массой и площадью( а значит можно не высчитывать массу каждой новой точки, а учитывать лишь площадь каждого из двух треугольников) формула для трапеции будет такой
(x_0=cfrac{S_ax_a+S_bx_b}{S_a+S_b}=cfrac{S_ax_a+S_bx_b}{S})
(y_0=cfrac{S_ay_a+S_by_b}{S_a+S_b}=cfrac{S_ay_a+S_by_b}{S})
Причем эта формула будет работоспособна при любом произвольном многоугольнике, единственное условие что бы площади каждого из треугольника не пересекались друг с другом.
Итак, у нас есть фигура с координатами 0:0 5:5 10:5 15:0
Несложно представить эту фигуру и определить что это равносторонняя трапеция.