Как найти центр тяжести трубы

Формулы площадей, центров тяжести, осевых и полярных моментов инерции, моментов сопротивления и других геометрических характеристик основных простых фигур: прямоугольника, квадрата, равнобедренного и прямоугольного треугольника, круга, полукруга, четверти круга, кольцевого и тонкостенного сечений.

Обозначения в формулах:
C — положение центра тяжести фигуры;
A — площадь сечения;
I_x , I_y — осевые моменты инерции сечения относительно главных осей;
I_x1 , I_y1 — осевые моменты инерции относительно вспомогательных (смещённых) осей;
I_ρ — полярный момент инерции сечения;
W_x , W_y — осевые моменты сопротивления;
W_ρ — полярный момент сопротивления

Прямоугольник

Прямоугольник высотой h и шириной b.

Центр тяжести прямоугольника в точке пересечения его диагоналей, на расстоянии половины высоты (h/2) по вертикали и половины ширины (b/2) по горизонтали.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции прямоугольника

Моменты инерции относительно смещенных осей, проходящих через нижнюю левую точку

Осевые моменты сопротивления прямоугольного сечения

Квадрат

Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого высота равна ширине, т.е. h=b=a.

Центр тяжести квадрата находится так же на пересечении диагоналей — на расстоянии половины стороны (a/2) по высоте и ширине.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции квадрата

Моменты инерции относительно смещенных осей, проходящих через нижнюю левую точку

Осевой момент сопротивления квадратного сечения

Треугольник равнобедренный

Равнобедренный треугольник высотой h и шириной основания b.

Центр тяжести треугольника располагается в точке пересечения его медиан на расстоянии 1/3 высоты от основания и 2/3 высоты от его вершин.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции треугольника

Момент инерции относительно смещенной оси x₁, проходящей через его основание

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник высотой h и шириной основания b.

Центр тяжести прямоугольного треугольника располагается аналогично, на пересечении медиан на расстоянии 1/3 высоты от основания и 2/3 высоты от вершины.

Площадь

Центральные осевые моменты инерции прямоугольного треугольника

Моменты инерции относительно смещенных осей x₁ и y₁, проходящих через точку, соединяющую его катеты

Трапеция

Равнобокая трапеция высотой H и шириной оснований: малого a и большого b.

Площадь трапеции

Центр тяжести на линии, соединяющей середины оснований трапеции, на высоте, определяемой по формуле:

Круг

Круг диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь круга через его диаметр и радиус

Центральные осевые и полярный моменты инерции круга

Осевые и полярный моменты сопротивления

Полукруг

Половина круга диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь

Осевые моменты инерции полукруга

Четверть круга

Четверть круга диаметром D (d) или радиусом R (r)

Площадь

Центральные осевые моменты инерции четверти круга

Моменты инерции относительно смещенных осей x₁ и y₁

Кольцо

Кольцо с внешним диаметром D и внутренним d, (радиусами: внешним R и внутренним r)

Отношение внутреннего диаметра (радиуса) к внешнему обозначается буквой c.

Площадь

Центральные осевые и полярный моменты инерции кольца

Осевые и полярный моменты сопротивления

Тонкостенное сечение (труба)

Тонкостенный профиль (сечение трубы) средним радиусом R₀ и толщиной стенки трубы t при R₀>>t

Площадь

Центральные осевые и полярный моменты инерции трубного сечения

Осевые и полярный моменты сопротивления

Пример определения координат центра тяжести сложной фигуры:

Другие видео

Смотрите также:
Определение координат центра тяжести сложных фигур
Геометрические характеристики сечений

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Расчет положения центра тяжести

Модератор: Ernest

---

---

Нагрузки и воздействия. Расчет
элементов водопропускных труб выполняют
по методу предельных состояний на
действие постоянных и временных нагрузок:
собственного веса конструкций;
вертикального и горизонтального давления
грунта от веса насыпи; то же от подвижного
состава; строительной и сейсмической.
Расчетные нагрузки определяют с
коэффициентами сочетаний и надежности
по нагрузкам в соответствии со СНиП
[12] и расчетной схемой (рис. 7.37) [11].

Рис. 7.37. Схема
нагрузок на трубу: а
– давление
собственного веса грунта насыпи; б
– давление
временной подвижной нагрузки

Нормативную вертикальную нагрузку
от собственного весаопределяют по
проектным объемам конструктивных
элементов водопропускных труб.

Нормативное давление грунта от веса
насыпина звенья труб определяют [11,
12] по формулам:

• вертикальное давление

;
(7.1)

• горизонтальное давление

,
(7.2)

где
– коэффициент вертикального давления
грунта;– нормативный удельный вес грунта
насыпи, принимаемый= 17,7
кН/м³;– высота засыпки грунта от подошвы
рельсов (ПР) до верха звена;– то же до расчетного уровня;– коэффициент нормативного бокового
давления грунта, определяемый по формуле

,
(7.3)

где
– нормативный угол внутреннего трения
грунта, для звеньев=
30^ои для оголовков=
25^о.

Коэффициент вертикального давления
учитывает силы трения грунтаТ,
возникающие при осадке насыпи. В свою
очередь силу трения определяют в
зависимости от активного горизонтального
давления грунта на 1 м длины
плоскостиF,
ограничивающей столб грунта над
трубой
(рис. 7.37,а), по выражению

.
(7.4)

Силу трения по двум плоскостям, отнесенную
к 1 м²горизонтальной проекции
трубы шириной,
определяют как

.
(7.5)

Таким образом, коэффициент вертикального
давления
определяют по формулам:

– для невысокой насыпи

; (7.6)

– для высокой насыпи

;
(7.7)

,
(7.8)

где
– внешний диаметр (ширина) звена;– расстояние от основания насыпи до
верха звена трубы (см. рис. 7.37,а);–
коэффициент, учитывающий жесткость
основания трубы,= 1,2 для скальных оснований и свай-стоек,= 1,1 для малоподатливых оснований и
висячих свай;= 1,0 для грунтовых нескальных оснований.

Если
,
то принимают.

При расчете гибких металлических
гофрированных труб
=
1.0.

Нормативное давление грунта от
подвижного состава, расположенного
на насыпи, определяют с учетом распределения
временной нагрузки в грунте по выражениям:

• вертикальное давление

;
(7.9)

• горизонтальное давление

,
(7.10)

где – интенсивность
временной вертикальной нагрузки от
подвижного состава железных дорог,
принимаемая по [12] для длины загруженияи положения вершины линии влияния,
но не более
19,6К кН/м или 2К тс/м.

Строительные нагрузки, действующие на
конструкцию труб при монтаже или
строительстве от строительных машин и
кранов, а также при изготовлении и
транспортировании элементов, принимают
по проектным данным с учетом условий
производства работ по СНиП 3.06.04-91 [27].

Сейсмические нагрузки принимают в
соответствии с требованиями СНиП
II-7-81^*[17]. Определение
сейсмичности площадки строительства
производят на основании сейсмического
микрорайонирования, а при отсутствии
карты сейсмического микрорайонирования
допускается определять по специальной
таблице в зависимости от грунта основания
[17].

В расчетах труб все
нагрузки и воздействия принимают в
наиболее невыгодных положениях и
сочетаниях, которые могут возникнуть
в процессе их эксплуатации и строительства.
Средние секции водопропускных труб
рассчитывают на вертикальное и
горизонтальное давление от веса насыпи
и временной нагрузки от подвижного
состава (см. рис. 7.37,б).
В отдельных случаях при малой высоте
насыпи, если
м, трубы рассчитывают на одностороннее
горизонтальное давление грунта от
временной подвижной нагрузки.

Определение расчетных нагрузок производят
с коэффициентами надежности по нагрузке
,
приведенными в [12].

Определение расчетных усилий.Расчет конструкций водопропускных труб
производят как для плоских систем с
учетом взаимодействия элементов между
собой и основанием [11].

В водопропускных трубах рассчитывают
следующие конструктивные элементы: в
железобетонных – замкнутые звенья,
фундаменты и стенки оголовков; в бетонных
– стенки звеньев и оголовков, плиты
перекрытия, фундаменты; в металлических
гофрированных – гибкие звенья.

Расчетные схемы элементов труб зависят
от их конструкции и условий работы при
эксплуатации.

Усилия в элементах труб определяются
по правилам строительной механики с
учетом упругой работы.

В

Рис. 7.38. Расчетные
схемы труб: а
– эпюра изгибающих моментов круглого
звена; б
– то же прямоугольного звена

соответствии с [12] конструктивные
элементы труб рассчитывают по прочности,
устойчивости формы и положения против
опрокиды­вания и скольжения,
трещиностойкости и деформациям. Основания
труб рассчитываются на прочность и
осадку по СНиП 2.02.01-83 [28] и СНиП 2.02.04-88
[7].

Круглые железобетонные звенья
водопропускных трубрассчитывают на
неравномерное радиальное давление
грунта насыпи [11] (рис. 7.38,а).

Изгибающие моменты в диаметральных
сечениях определяют по выражениям [11]:

• для средних звеньев

;
(7.11)

• для крайних звеньев

,
(7.12)

где
– коэффициент, принимаемый в зависимости
от условий опирания звена по [12]: круглого
звена на фундамент=
0,22, на грунтовую (профилированную)
подушку= 0,25; круглого звена с плоским основанием
на фундамент=0,22;–
средний радиус звена;– коэффициент надежности по нагрузке
от веса насыпи,=
1,3;– то же от подвижного состава,= 1,2;– динамический коэффициент, принимаемый
при общей толщине балласта с засыпкой
(считая от подошвы рельса) 0,4 м и меньше:=;
при толщине 1 м и больше=1,0;
для промежуточных значений – по
интерполяции;– длина загружения линии влияния.

Согласно [12] звенья круглых железобетонных
труб допускается рассчитывать только
на изгибающие моменты (без учета
продольных и поперечных сил).

Звенья прямоугольных
железобетонных труб
рассчитывают
как рамы замкнутого контура с дополнительной
проверкой их стенок по схеме с жестко
заделанными стойками [12]. Звенья загружают
равномерно распределенными нагрузками
от вертикального и горизонтального
давления грунта от собственного веса
и временной подвижной нагрузки.
Горизонтальное давление от собственного
веса грунта определяют на уровне середины
высоты звена трубы (рис. 7.39). Звенья
железобетонных прямоугольных труб
рассчитывают на действие изгибающих
моментов, продольных и поперечных сил,
которые определяются по правилам
строительной механики.

Рис. 7.39. Расчетные
схемы прямоугольных железобетонных
труб: а
– рама замкнутого контура; б
– рама с жестко заделанными стойками

Усилия для расчета элементов круглых
и прямоугольных труб определяются из
расчетов на прочность и трещиностойкость
(по раскрытию трещин). При этом сечения
звеньев водопропускных труб рассчитывают
по прочности от расчетных нагрузок, а
по трещиностойкости от нормативных
нагрузок (без учета коэффициентов
надежности по нагрузке).

Расчет железобетонных звеньев по
прочности. В основу принятых норм
расчета водопропускных труб [12] положен
метод предельных состояний. В соответствии
с нормами проектирования [12] железобетонные
водопропускные трубы рассчитывают по
первой группе предельных состояний по
прочности и устойчивости формы, а по
второй – по трещиностойкости (по
раскрытию трещин).

Расчет железобетонных звеньев
водопропускных труб по прочности:

• определяют
  геометрические параметры расчетного
  сечения (рис. 7.40);

• производят подбор рабочей арматуры;

• производят проверку по прочности
  нормального к продольной оси и наклонного
  сечения.

Прочность нормального сеченияэлемента трубы считают обеспеченной,
если внешний изгибающий моментне превышает несущую способность –
момент внутренних сил[12]:

,
(7.13)

где
– расчетное сопротивление бетона по
прочности на сжатие, определяемое по
[12];= 1,0 м – длина звена трубы;– высота сжатой зоны бетона;– расчетное сопротивление сжатой
арматуры;
– площадь поперечного сечения сжатой
арматуры;– расстояние от равнодействующей усилий
сжатой арматуры до наиболее сжатого
волокна сечения (рис. 7.40).

Рис. 7.40. Схема и
эпюра напряжений для расчета прочности
нормального сечения звеньев труб

Внецентренно сжатые элементы рассчитывают
только по прочности, если продольная
сила
выходит за пределы ядра приведенного
сечения, при котором,
т. е. расчетный эксцентриситетбольше ядрового расстояния,
определяемого по формуле [2]

,
(7.14)

где
– момент инерции приведенного
прямоугольного сечения стенки звена;– площадь приведенного сечения стенки
звена;
– расстояние от центра тяжести
приведенного сечения до растянутой
грани сечения, а присечение рассчитывают по прочности и
устойчивости.

Прочность внецентренно сжатых
железобетонных элементов считается
обеспеченной, если выполняется условие
[12]:

,
(7.15)

где
– продольное сжимающее усилие от внешних
расчетных нагрузок;– полная площадь сечения элемента.

Условие устойчивости имеет вид:

,
(7.16)

где
–
коэффициент продольного изгиба,
определяемый по [12].

Условие прочности по моменту усилий в
сжатой зоне бетона относительно линии,
проходящей через центр тяжести нижней
арматуры, будет иметь вид [13]:

,
(7.17)

где
,
– расстояние от линии действия силыдо равнодействующей усилий в растянутой
арматуре.

Расчет железобетонных звеньев по
трещиностойкости относят к расчетам
по второй группе предельных состояний.

Нормы проектирования водопропускных
труб предусматривают расчеты по раскрытию
нормальных и наклонных к продольной
оси элемента трещин. Согласно [12]
конструкции железобетонных труб должны
удовлетворять третьей категории
трещиностойкости.

Расчет по раскрытию
нормальных и наклонных трещин
производят
по указаниям [12] аналогично железобетонным
пролетным строениям.

Нормы проектирования [12] предусматривают
значение момента для внецентренно
сжатых элементов определять как
изгибающий момент при расположении
усилия
между центрами тяжести растянутой и
сжатой арматуры

,
(7.18)

и за пределами расстояния между центрами
тяжести растянутой и сжатой арматуры

,
(7.19)

где
– расстояние от центра тяжести площади
поперечного сечения растянутой арматуры
до точки приложения равнодействующей
усилий в сжатой зоне сечения;– высота сжатой зоны из расчета на
прочность.

Основания фундаментов звеньев труб
рассчитывают на вертикальное давление,
определяемое по формуле [9]

,
(7.20)

где
– наружная ширина трубы (см. рис. 7.37);– нормативный собственный вес звена и
фундамента длиной 1 м. Остальные параметры
формулы (7.20) определяются по (7.1),
(7.2), (7.9) и (7.10).

Расчет по несущей способности
оснований водопропускных труб
позволяет обеспечивать прочность и
устойчивость оснований.

Несущая способность основания труб под
подошвой фундамента мелкого заложениядолжна удовлетворять условию [12, 28]

,
(7.21)

где
– среднее вертикальное давление на
звенья труб;– ширина подошвы фундамента звена
трубы;– коэффициент надежности по назначению
сооружения, принимаемый равным 1,4;– расчетное сопротивление основания
из скальных или нескальных грунтов
осевому сжатию, определяемое по [12].

Несущая способность основания труб под
подошвой свайного (столбчатого)
фундаментадолжна удовлетворять
условию [12, 28]

,
(7.22)

где
– число свай (столбов) на 1 м длины
фундамента звена трубы;– расчетная несущая способность сваи
по грунту.

При проектировании оснований и
фундаментов труб, возводимых на
вечномерзлых грунтах,расчет оснований
производят [7]:

• при использовании вечномерзлых грунтов
  по принципу I– по несущей
  способности для твердомерзлых грунтов;
  по несущей способности и деформациям
  для пластичномерзлых и сильнольдистых
  грунтов, а также при наличии подземных
  вод;

• при использовании вечномерзлых грунтов
  по принципу II– по несущей
  способности в случаях, предусмотренных
  СниП 2.02.01-83 [28]; по деформациям из условия
  совместной работы основания и фундаментов.

Расчет оснований фундаментов по несущей
способности производят согласно [28] из
условия:

,
(7.23)

где
– несущая способность (сила предельного
сопротивления) основания.

Расчет по деформациям. Согласно
нормам проектирования [28] расчет оснований
по деформациям производят из условия
совместной работы трубы и основания.

Расчет оснований труб по деформациям
производят при выполнении условия [28]

,
(7.24)

где
– совместная деформация основания и
элемента трубы;– предельное значение совместной
деформации основания и элемента трубы.

Расчет деформаций основания труб
выполняют с применением расчетной схемы
основания в виде линейно-деформируемого
полупространства с условным ограничением
глубины сжимаемой толщи
[28].

Осадку основания
при расположении фундамента труб в
грунтах, характерных для зоны умеренного
или холодного климата, определяют
методом послойного суммирования по
формуле [28]

,
(7.25)

где
= 0,8 – безразмерный коэффициент;– среднее значение дополнительного
вертикального нормального напряжения
вi-м слое грунта,
равное полусумме указанных напряжений
на верхнейи нижнейграницах слоя по вертикали, проходящей
через центр подошвы фундамента;– толщинаi-го слоя
грунта;– модуль деформацииi-го
слоя грунта;– число слоев, на которое разбита
сжимаемая толща основания.

Расчет оснований и фундаментов при
использовании вечномерзлых грунтов.
Расчеты при использовании вечномерзлых
грунтов по принципуIIпо
деформациям производят в пределах
расчетной глубины оттаивания грунтов
в основании труб
.

Осадку оттаивающего в процессе
эксплуатации трубы основания определяют
по формуле [7]

,
(7.26)

где
– составляющая осадки основания,
обусловленная действием собственного
веса оттаивающего грунта;– осадка уплотнения предварительно
оттаянного, замененного или естественного
немерзлого слоя грунта толщинойпод воздействием веса элементов трубы.

Составляющую осадки основания
определяют по формуле

,
(7.27)

где
– число выделенных при расчете слоев
грунта;– коэффициент оттаивания (доли единицы)i-го слоя оттаивающего
грунта (определяется по экспериментальным
данным);– коэффициент сжимаемостиi-го
слоя оттаивающего грунта (определяется
по экспериментальным данным);–
вертикальное напряжение от собственного
веса грунта в серединеi-го
слоя грунта для глубиныот уровня планировочных отметок с учетом
взвешивающего действия воды;– толщинаi-го слоя
оттаивающего грунта. При этом взвешивающее
действие воды следует учитывать для
водопроницаемых грунтов, залегающих
ниже расчетного уровня подземных вод,
но выше водоупора.

Расчетную глубину
оттаивания грунтов в основании труб

определяют по расчету теплового
взаимодействия сооружения с вечномерзлым
грунтом с учетом формы, размеров и
теплового режима конструктивных
элементов, температуры и теплофизических
свойств грунтов основания [7].

Расчет свайных и столбчатых фундаментов
на вечномерзлых грунтах при использовании
грунтов основания труб по принципу Iи принципуIIнеобходимо
производить по рекомендациям [7, 20].

Строительный подъемпри высоте
насыпи до 12 м назначают равным при
фундаментах: на песчаных, галечниковых
и гравелистых грунтах основания;
на глинистых, суглинистых и супесчаных
грунтах основания;
при грунтовых подушках из песчано-гравелистой
или песчано-щебеночной смеси,
где– высота засыпки над трубой.

При устройстве труб на скальных грунтах
и свайных фундаментах строительный
подъем, как правило, не назначают.

Строительный подъем при высоте насыпи
свыше 12 м назначают в соответствии с
расчетом ожидаемых осадок от веса грунта
насыпи.

При этом отметки лотка входного оголовка
или входного звена трубы назначают так,
чтобы они были выше отметок среднего
звена трубы, как до появления осадок,
так и после стабилизации основания.
Стабильность проектного положения
секций фундаментов и звеньев труб
обеспечивают устойчивостью откосов
насыпи и прочностью грунтов основания.

Расчет стальных
гофрированных труб. Металлические
гофрированные водопропускные трубы
под железными дорогами представляют
собой тонкостенные гибкие конструкции,
для которых грунт насыпи является
одновременно нагрузкой и средой,
оказывающей сопротивление деформациям
конструкции, что образует сложную
систему труба–грунт [11, 25].

Поперечные деформации гибкой трубы от
действия вертикальных нагрузок
проявляются в виде перемещений боковых
стенок, что вызывает упругий отпор
окружающего грунта, обеспечивающий
общее статическое равновесие системы
труба–грунт.

Учитывая это обстоятельство, расчет
гибких гофрированных труб предусматривает:
расчет на прочность и устойчивость;
расчет болтовых соединений; расчет
деформаций – поперечного сечения от
эксплуатационных нагрузок, а также при
отсыпке и уплотнении боковых призм
грунта [11].

1. Расчет на прочность и устойчивость
   гибких гофрированных труб круглого
   сеченияв грунте выполняют при условии
   [11, 12, 25]:

,
(7.28)

где
– сжимающая сила в сечении стенки трубы,
определяемая по формуле

;
(7.29)

– давление
грунта насыпи от постоянной и временной
подвижной нагрузок на единицу длины
трубы;
– коэффициенты надежности по нагрузке;– диаметр трубы;– площадь продольного сечения стенки
на единицу длины трубы;– расчетное сопротивление стали,
определяемое по [12];=
0,7 – коэффициент условий работы;– коэффициент понижения несущей
способности, вводимый для предотвращения
потери устойчивой формы равновесия
гибкой трубы в упругой грунтовой среде;– критические напряжения в стенке
трубы;– предел текучести стали [12].

С учетом упругой стадии работы материала
трубы в условиях окружающего грунта
насыпи, препятствующей потере устойчивости,
критическое напряжение определяют [25]
как

,
(7.30)

где
– модуль упругости, определяемый по
[12];

– коэффициент гибкости, определяемый
в зависимости от геометрических
параметров сечения –момента инерции
,
диаметраи модуля деформации грунта насыпи в
зоне трубыпо [25].

Модуль деформации грунта засыпки
принимают для практических
расчетов
[25]: при хорошо уплотненной песчано-гравийной
смеси
=
500600 кг/см²;
глинистых и песчаных грунтах= 200300 кг/см².

Более приемлемым считают определение
критического напряжения в зависимости
от гибкости кольца
[7]:

,
(7.31)

где
–
радиус инерции продольного сечения
стенки трубы,
.

Далее определяется предельное значение
гибкости
[7]:

,
(7.32)

где
– предел пропорциональности,0,830,85.

Если
,
то критическое напряжение в стенке
трубы определяется по формуле (7.30). Если,
то критическое напряжение следует
принимать равным пределу текучести
стали.
Если 0,5_пр<<_пр,
то при данных гибкостях будет иметь
место упругопластическая область
деформаций при потере устойчивости, и
критические напряжения определяются
[25] как

,
(7.33)

где
;
.

При проектировании стыков металлических
гофрированных труб принимают во внимание,
что вследствие низкой продольной
жесткости гофрированной конструкции
соединения элементов в поперечных швах
не испытывают существенных усилий, а
поэтому могут быть назначены конструктивно.
Продольные стыки, воспринимающие
значительные усилия от поперечных
нагрузок, должны обеспечивать равнопрочные
с основной конструкцией соединения,
для чего их необходимо рассчитывать на
совместное действие осевой сжимающей
силыи изгибающего момента.

Расчет болтовых соединенийпродольных
стыков листов внахлестку выполняют в
предположении равномерного распределения
сжимающего усилия между всеми болтами
поровну и без учета трения по контактным
поверхностям соединения (рис. 7.41) [11].

Рис. 7.41. Развертка
основного элемента конструкции труб
диаметром 1–3 м: а– план гофрированного
листа;б– профиль листа;1–
отверстия на гребнях и впадинах волн
под болты продольных стыков;2–
отверстия на гребнях волн под болты
поперечных стыков;3– внутренняя
поверхность элемента

Как правило, волнистые
листы соединяют внахлестку с постановкой
болтов одного диаметра – 16 мм. Продольный
стык состоит из двух рядов болтов,
расположенных на гребнях и впадинах
волн (рис. 7.41). Поперечный стык – однорядный
со стандартным шагом между болтами 200
мм. Номинальные размеры круглых отверстий
продольных стыков должны быть на 3 мм
больше номинального диаметра болтов.
Длину элемента из волнистой стали
назначают исходя из условий совпадения
отверстий в поперечных и  продольных
стыках. Для труб диаметром 1–3 м при
толщине листа
1,5–2,5 мм полезную длину
элемента принимают 1600 мм (рис. 7.41).

Требуемое число болтов определяют [11]
по формуле

,
(7.34)

где
=
1,2 – коэффициент, учитывающий действие
изгибающего момента;– расчетная несущая способность одного
болта нормальной точности, определяемая:

 на смятие кромок отверстия

;
(7.35)

 на срез болта

,
(7.36)

где
– толщина листа;– диаметр болта;– коэффициент условий работы соединения
на смятие, равный 1,3;– то же на срез, равный 0,9;,– расчетные сопротивления стали на
смятие и срез, определяемые по [12].

2

Рис.
7.42. Расчетная схема деформации гибкой
стальной трубы под действием нагрузки
и упругого отпора грунта: 1
– поперечное сечение трубы; 2
– то же в момент предельного статического
равновесия; 3
– то же в запредельной стадии; р^I
– нагрузка от упругого отпора грунта

. Деформация поперечного се­чения
трубы от эксплуата­ционных нагрузокдолжна удовлетворять условию,
где– уменьшение вертикального диаметра
трубы, определяемое по формуле (рис.
7.42)

,
(7.37)

где
= 0,1 – коэффициент, учитывающий условие
опирания трубы на основание;– коэффициент, учитывающий нарастание
деформаций по времени, равный 1,25 для
песчаных грунтов и 1,50 для глинистых
грунтов;– средний радиус кольца трубы;– жесткость кольца при изгибе;– модуль горизонтальной деформации
грунта засыпки, определяемый по формуле

,
(7.38)

где
– коэффициент Пуассона грунта засыпки.

Деформация поперечного сечения трубы
при отсыпке и уплотнениибоковых
призм грунта должна удовлетворять
условию

,
(7.39)

где
– интенсивность горизонтального
давления на трубу от уплотненного грунта
боковых призм и строительных машин,
определяется как

;
(7.40)

–
средний диаметр трубы;– интенсивность предельно допустимого
горизонтального давления на трубу

;
(7.41)

где
– изгибающий момент в стенке трубы,
соответствующий образованию пластического
шарнира,

.
(7.42)

Если условие (7.39) не выполняется, то
следует предусмотреть установку внутри
трубы временного крепления, рассчитанного
на действие перемещающейся вдоль трубы
горизонтальной нагрузки интенсивностью
,
действующей на длине 0,5 м на поверхности
трубы симметрично относительно
горизонтального диаметра. Крепление
должно включаться в работу только после
уменьшения горизонтального диаметра
трубы на величину 0,03.

Проектирование труб на водотоках с
возможным наледеобразованием. Нормы
проектирования [12] запрещают применение
труб в местах возможного образования
наледей, кроме исключительных случаев,
допускающих применение прямоугольных
бетонных труб отверстием не менее 3 м и
высотой не менее 2 м в комплексе с
постоянными противоналедными
мероприятиями.

Такое требование не совсем правильное
(это разделяют и другие авторы). Если на
всех водотоках с прогнозируемыми
наледями вместо труб проектировать
мосты, то это потребует в 2–3 раза больше
средств на строительство, что является
неэффективным.

Возможность развития наледного процесса
можно прогнозировать с применением
вероятностного метода [3]. При этом к
числу важных факторов наледеобразования
относят температуру наружного воздуха
в зимний период, количество осадков в
осеннее-летний период предыдущего года
и толщину снежного покрова.

При прогнозировании расчетных параметров
из всех наледей, возникающих в зоне
водопропускных труб, можно выделить
наледи с питанием водами сезонного
промерзания (поверхностными, надмерзлотными,
грунтовыми).

Образование грунтовых наледей определяется
главным образом сезонным промерзанием
первого от поверхности водоносного
горизонта. При этом большое значение
имеют взаимные соотношения глубины
залегания водоупора, уровня грунтовых
вод и глубины промерзания [3].

Вероятность образования грунтовых
наледей
,
%, определяют по формуле

,
(7.43)

где
– расход грунтового потока в пределах
отверстия трубы, принимаемый для труб=
520 м³/с;Т– среднее значение отрицательной
температуры наружного воздуха за период
развития наледей (с ноября по март);– мощность водоносного горизонта;– мощность снежного покрова;– глубина залегания верхнего горизонта
грунтовых вод в осенне-зимний период,
считая от дневной поверхности грунта.

Критерием образования наледи является
величина вероятности
100
%.

Расчетные параметры наледи необходимо
учитывать при проектировании сооружения.

В этом случае среднюю мощность наледи
грунтовых вод определяют по формуле
[3]

,
(7.44)

где
– коэффициент сопротивления подземного
контура грунтовой перемычки, определяемый
по формуле

;
(7.45)

– глубина максимального промерзания
на конец морозного периода на стесненном
участке, которую под фундаментом труб
определяют как

,
(7.46)

где
– глубина заложения фундамента в
водоносный слой;– глубина промерзания под фундаментом
трубы;– глубина залегания водоупора;– глубина залегания уровня грунтовых
вод;– уклон склона лога в зоне проектируемой
трубы;– количество выпадающих в течение зимы
осадков (если нет данных, то можно принять=
0,10,2 м).

Максимальную мощность грунтовой наледи
определяют [3] как

или.
(7.47)

На водотоках с
прогнозируемыми наледями водопропускные
трубы должны быть запроектированы так,
чтобы наледи не оказывали вредного
воздействия и не создавали затруднений
при эксплуатации в течение всего срока
службы сооружения. Это достигается
применением рациональных типов и
размеров труб, максимальным сохранением
в их зоне природных условий, организацией
зимнего стока, строительством
противоналедных мероприятий, препятствующих
наледеобразованию в период эксплуатации.

На водотоках с прогнозируемыми наледями
трубы проектируют по одному из следующих
принципов: безналедный пропуск водотока;
задержание наледи выше сооружения.

Конструкции труб, применяемые на
водотоках с возможным образованием
наледей, не должны вносить нарушений в
естественный водно-тепловой режим
водотока. Согласно нормам проектирования,
наиболее приемлемыми в этих условиях
считают бетонные трубы прямоугольного
сечения (по типовому проекту 3.501-65, инв.
№1130/1,2).

На водотоках с прогнозируемыми наледями
допускается применение металлических
гофрированных труб на гравийно-песчаных
подушках. При слабых и многолетнемерзлых
грунтах в основании (сильно льдистых и
пучинистых) возможно применение труб
на свайных или столбчатых фундаментах.

Как найти центр тяжести?

Опубликовано 21 Окт 2013
Рубрика: Механика | 3 комментария

В инженерной практике случается, что возникает необходимость вычислить координаты центра тяжести сложной плоской фигуры, состоящей из простых элементов, для которых расположение центра тяжести известно. Такая задача является частью задачи определения…

…геометрических характеристик составных поперечных сечений балок и стержней. Часто с  подобными вопросами приходится сталкиваться инженерам-конструкторам вырубных штампов при определении координат центра давления, разработчикам схем погрузки различного транспорта при размещении грузов, проектировщикам строительных металлических конструкций при подборе сечений элементов и, конечно, студентам при изучении дисциплин «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов».

Библиотека элементарных фигур.

Для симметричных  плоских фигур центр тяжести совпадает с центром симметрии. К симметричной группе элементарных объектов относятся: круг, прямоугольник (в том числе квадрат), параллелограмм (в том числе ромб), правильный многоугольник.

Из десяти фигур, представленных на рисунке выше, только две являются базовыми. То есть, используя треугольники и сектора кругов, можно скомбинировать почти любую фигуру, имеющую практический интерес. Любые произвольные кривые можно, разбив на участки, заменить дугами окружностей.

Оставшиеся восемь фигур являются самыми распространенными, поэтому они и были включены в эту своеобразную библиотеку. В нашей классификации эти элементы не являются базовыми. Прямоугольник, параллелограмм и трапецию можно составить из двух треугольников. Шестиугольник – это сумма из четырех треугольников. Сегмент круга — это разность сектора круга и треугольника. Кольцевой сектор круга — разность двух секторов. Круг – это сектор круга с углом α=2*π=360˚. Полукруг – это, соответственно, сектор круга с углом α=π=180˚.

Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках.  Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.

Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a1=80 мм, b1=40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания  a2=24 мм и высотой h2=42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x03=50 мм и y03=40 мм, радиусом r3=26 мм).

В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excel или программу OOo Calc. Любая из них легко справится с нашей задачей!

В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительныерасчеты.

В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты.

Синий шрифт – это исходные данные.

Черный шрифт – это промежуточные результаты расчетов.

Красный шрифт – это окончательные результаты расчетов.

Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.

Исходные данные:

1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно

в ячейку D3: Прямоугольник

в ячейку E3: Треугольник

в ячейку F3: Полукруг

2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем

в ячейку D4: =80/2=40,000

xc1=a1/2

в ячейку D5: =40/2=20,000

yc1= b1/2

в ячейку E4: =24/2=12,000

xc2=a2/2

в ячейку E5: =40+42/3=54,000

yc2= b1+h2/3

в ячейку F4: =50=50,000

xc3=x03

в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965

yc3= y03-4*r3/3/π

3. Рассчитаем площади элементов F1, F2, F3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела  «Библиотека элементарных фигур»

в ячейке D6: =40*80=3200

F1=a1*b1

в ячейке E6: =24*42/2=504

F2=a2*h2/2

в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062

F3= -π/2*r3^2

Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!

Расчет координат центра тяжести:

4. Определим общую площадь итоговой фигуры F0 в мм2

в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642

F0=F1+F2+F3

5. Вычислим статические моменты составной фигуры Sx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y

в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459

Sx=yc1*F1+ yc2*F2+ yc3*F3

в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955

Sy=xc1*F1+ xc2*F2+ xc3*F3

6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сечения Xc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y

в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640

Xc=Sy/F0

в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883

Yc=Sx/F0

Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!

Заключение.

Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести  сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на  простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.

Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).

Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы  в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.

Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой.

Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике «Механика».

Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!

Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!

Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.

Ссылка на скачивание файла: raschet-tsentra-tyazhesti (xls 17,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы