Определение
Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.
Замечание
Т.к. сумма всех углов (n)–угольника равна (180^circ(n-2)), то каждый угол правильного (n)–угольника равен [alpha_n=dfrac{n-2}n cdot 180^circ]
Пример
Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac {4-2}4cdot 180^circ=90^circ);
каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac{6-2}6cdot
180^circ=120^circ).
Теоремы
1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствия
1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.
2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.
Теорема
Если (a) – сторона правильного (n)–угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [begin{aligned}
S&=dfrac n2ar\
a&=2Rcdot sindfrac{180^circ}n\
r&=Rcdot cosdfrac{180^circ}n end{aligned}]
Свойства правильного шестиугольника
1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R).
2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.
3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ).
4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac{3sqrt{3}}{2}a^2).
5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.
6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).
Замечание
В общем случае правильный (n)-угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac{360^circ}{n}).
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник — это такой шестиугольник у которого все шесть сторон равны и его шесть углов равны.
Правильный шестиугольник
Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.
Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.
Отрезки OA, OB — радиусы правильного шестиугольника.
Обозначения на рисунке для правильного шестиугольника
| n=6 | число сторон и вершин правильного шестиугольника, | шт |
|---|---|---|
| α | центральный угол правильного шестиугольника, | радианы, ° |
| β | половина внутреннего угла правильного шестиугольника, | радианы, ° |
| γ | внутренний угол правильного шестиугольника, | радианы, ° |
| a | сторона правильного шестиугольника, | м |
| R | радиусы правильного шестиугольника, | м |
| p | полупериметр правильного шестиугольника, | м |
| L | периметр правильного шестиугольника, | м |
| h | апофемы правильного шестиугольника, | м |
Основные формулы для правильного шестиугольника
Периметр правильного шестиугольника
[ L = 6a ]
Полупериметр правильного шестиугольника
[ p = 3a ]
Центральный угол правильного шестиугольника в радианах
[ α = frac{π}{3} ]
Центральный угол правильного шестиугольника в градусах
[ α = frac{180°}{3} = 60° ]
Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в радианах
[ β = frac{π}{3} ]
Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в градусах
[ β = frac{180°}{3} = 60° ]
Внутренний угол правильного шестиугольника в радианах
[ γ = 2β = frac{2}{3}π ]
Внутренний угол правильного шестиугольника в градусах
[ γ = frac{2}{3}180° = 120° ]
Площадь правильного шестиугольника
[ S = ph = 3ha ]
Или учитывая формулу Площади правильного шестиугольника получим
[ S = frac{3sqrt{3}}{2}a^2 ]
Отсюда получим апофему правильного шестиугольника
[ h = frac{sqrt{3}}{2}a ]
Правильный шестиугольник |
стр. 270 |
|---|
Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь
Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.
Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.
Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.
Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?
Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.
Мы знаем, что площадь правильного треугольника: 
.
Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.
, где 
— сторона правильного шестиугольника.
Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольника.
Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен 
.
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной 
.
Радиус такой окружности равен .
Ответ: 
.
. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
Ответ: 
.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Задача 26595 4.1.38) Найти координаты центра…
Условие
4.1.38) Найти координаты центра правильного шестиугольника, зная две его смежные вершины: А (2;0) и В(5; 3sqrt(3)).
математика ВУЗ
5183
Решение
★
Пусть центр правильного шестиугольника имеет координаты O(x;y) ,
Так как OA=OB,то
sqrt((x-2)^2+(y-0)^2)=sqrt((x-5)^2+(y-3sqrt(3))^2)
Возводим в квадрат
(x-2)^2+y^2=(x-5)^2+(y-3sqrt(3))^2
(x-2)^2-(x-5)^2=(y-3sqrt(3))^2-y^2
(x-2-x+5)*(x-2+x-5)=(y-3sqrt(3)-y)*(y-3sqrt(3)+y)
3*(2x-7)=-3sqrt(3)*(2y-3sqrt(3))
(2x-7)=-sqrt(3)*(2y-3sqrt(3))
2x+2sqrt(3)y-16=0
x+sqrt(3)y-8=0
( это уравнение серединного перпендикуляра к прямой АВ)
AB=sqrt((5-2)^2+(3sqrt(3)-0)^2)=sqrt(9+27)=sqrt(36)=6
Составляем уравнение окружности с центром в точке А и радиусом АВ=6
(x-2)^2+y^2=36
Решаем систему двух уравнений
{x+sqrt(3)y-8=0 ⇒ x =8-sqrt(3)y
{(x-2)^2+y^2=36
(8-sqrt(3)y-2)+y^2=36
(6-sqrt(3)y)^2+y^2=36
36 — 12sqrt(y)+3y^2+y^2=36
4y^2-12sqrt(3)y=0
4y*(y-3sqrt(3))=0
y_(1)=0 или y_(2)=3sqrt(3)
x_(1)=8-sqrt(3)*0=8 или х=8-sqrt(3)3*sqrt(3)=8-9=-1
О т в е т. (8;0) или (-1; 3sqrt(3))
Cм рисунок. Графическое решение
Все решения
Написать комментарий
I wondered, is there a geometrical way to find the center of a pentagon or a hexagon? I’m not talking about equal sides, just polygons with 5 or 6 corners.
Like, with a triangle you can take the intersection of two medians to find the center. With a quadrilateral, the center is the intersection of the bimedians.
Is it possible to construct the center of pentagons and hexagons in a similar way?
Edit: Apparently is rather difficult, so I probably have to settle for a formula to calculate the centroid. I always learned that the $x$ and $y$ values of the centroid are just the mean values of the $x_i$ and $y_i$ values of the corners respectively, but Wikipedia says otherwise (Wiki):
$C_x = dfrac{1}{6A} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (x_i+x_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$
$C_y = dfrac{1}{6A} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (y_i+y_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$
Where $A = dfrac{1}{2} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$
I’m not entirely sure, but wouldn’t those $(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)$ terms cancel out because you divide by the summation over the same interval? That would leave:
$C_x = dfrac{1}{12} displaystyle sum_{i=0}^{n-1} (x_i+x_{i+1})$
which is rubbish, except for when your polygon has 6 corners — and that’s exactly the case on the source from Wikipedia, here.
Therefore I wonder, is my math correct and is this formula just a very elaborate way to calculate the centroid of a hexagon (and no other polygons), or is it just coincidence? If so, please explain the formula.