Как найти центр вписанной около треугольника окружности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?

Теорема.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Дано: ∆ ABC,

окр. (O; r) — вписанная.

Доказать:

O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.

Доказательство:

Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.

Соединим отрезками центр окружности с точками A, M и F.

(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.

У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).

Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.

Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.

Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.

Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Доказательство теоремы можно основать непосредственно на свойстве биссектрисы угла.

1) OM=OF=OK (как радиусы),

2) OM⊥AC, OM⊥AB, OK⊥BC (как радиусы, проведённые в точку касания).

Значит точка O равноудалена от сторон углов BAC, ABC и ACB.

Так как любая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения.

Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.

Источник

Окружность, описанная около треугольника

Окружность называют описанной около треугольника, если все вершины треугольника расположены на окружности.

Её центр равноудалён от всех вершин, то есть должен находиться в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Следовательно, около любого треугольника можно описать окружность, так как серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке.

Для остроугольного треугольника центр окружности находится в треугольнике.

Другая ситуация с прямоугольным и тупоугольным треугольниками.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называют вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности.

Её центр равноудалён от всех сторон, то есть должен находиться в точке пересечения биссектрис треугольника.

Следовательно, в любой треугольник можно вписать окружность, так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Так как биссектрисы углов треугольника всегда пересекаются внутри треугольника, то для всех треугольников центр вписанной окружности находится в треугольниках.

Равносторонний треугольник

Обрати внимание!

У равностороннего треугольника совпадают биссектрисы, медианы и высоты, то есть, эти отрезки являются также серединными перпендикулярами. Это значит, что центры описанной и вписанной окружности совпадают.

Радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности

r=13h

, где (h) — высота треугольника.

Если дана сторона треугольника (a), то

h=a32

Поэтому

r=a36

Прямоугольный треугольник

Радиус описанной окружности

R=12c

, где (c) — гипотенуза.

Радиус вписанной окружности

r=SΔp

, где (p) — полупериметр.

Произвольный треугольник

Радиус описанной окружности

R=a2sinα

, где

— угол, противолежащий стороне (a);

еслиSΔ=abc4R,тоR=abc4SΔ;еслиSΔ=p⋅r,тоr=SΔp

Радиус вписанной окружности

r=SΔp

, где (p) — полупериметр.

Источник

Центр и радиус вписанной окружности в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника. Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.

Центр и радиус вписанной окружности в треугольник через координаты его вершин

Известны координаты вершин треугольника и известный координаты точки. Нужно установить принадлежность точки треугольнику.
Существует несколько способов определения. лежит-ли точка внутри треугольника или снаружи:

1. Метод сравнения площадей — по формуле Герона находятся площади 3-х треугольников которые образует точка с каждой стороной треугольника, далее находится площадь самого треугольника и сравнивается с суммой 3ех предыдущих треугольников, если суммы равны то значит точка принадлежит треугольнику.

2. Метод относительности — выбирается ориентация движения по вершинам треугольника, например по часовой стрелке. По данной ориентации проходим все стороны треугольника, рассматривая их как прямые, и рассчитываем по какую сторону от текущей прямой лежит наша точка. Если точка для всех прямых, лежит с правой стороны, то значит точка принадлежит треугольнику, если хоть для какой-то прямой она лежит с левой стороны, то значит условие принадлежности не выполняется.

3. Метод геометрического луча — из точки пускается луч по какой-либо оси в каком-либо направлении. Вычисляется количество пересечений со сторонами, если кол-во нечётное, то значит точка лежит внутри многоугольника.

Окружность в треугольнике

В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
Центр вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Пример

В приведенном ниже примере, O является центров окружности.

Метод расчета центра окружности вписанного в треугольник

Даны точки вершин треугольника A(5,7), B(6,6) и C(2,-2). Итак, нам известны координаты точек вершин треугольника x1,y1, x2,y2 и x3,y3.
Для нахождения точки центра вписанной окружности необходимо найти уравнение биссектрисы.

Шаг 1 :

Давайте рассчитаем средние точки всех сторон треугольника AB, BC и CA заданных координатами x и y

Средняя точка стороны = x1+x2/2, y1+y2/2
Средняя точка AB = 5+6/2, 7+6/2 = (11/2, 13/2)
Средняя точка BC = 6+2/2, 6-2/2 = (4, 2)
Средняя точка CA = 2+5/2, -2+7/2 = (7/2, 5/2)

Шаг 2 :

Далее, найдем углы сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Пожалуйста, обратите внимание, что угол обозначается буквой ‘m’.

Угол AB (m) = 6-7/6-5 = -1.
Угол BC (m) = -2-6/2-6 = 2.
Угол CA (m) = 7+2/5-2 = 3.

Шаг 3 :

Теперь, давайте вычислить угол биссектрисы сторон AB, BC и CA.

Угол биссектрисы = -1/угол линии (стороны).
Угол биссектрисы стороны AB = -1/-1 = 1
Угол биссектрисы стороны BC = -1/2
Угол биссектрисы стороны CA = -1/3

Шаг 4 :

После того, как мы находим угол перпендикулярных линий, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис с углом и серединой. Уравнение перпендикуляра АВ с серединами (11/2, 13/2) и углом 1.

Уравнение центра окружности y-y1 = m(x-x1)

Упростив, мы получим уравнение -x + y = 1

Кроме того, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис линий BE и CF.

Для BC с средней точкой (4,2) и углом -1/2 y-2 = -1/2(x-4)

Упростив, мы получим уравнение x + 2y = 8

Для CA с средней точкой (7/2,5/2) и углом -1/3 y-5/2 = -1/3(x-7/2)

Упростив, мы получим уравнение x + 3y = 11

Шаг 5 :

Найдем значения x и y решив любые 2 из указанных 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y равны (2,3) которые являются координатами центра (o) вписанной окружности в треугольник.

Точка пересечения биссектрис

Как найти точку пересечения биссектрис треугольника по координатам его вершин?

Как найти радиус вписанной в треугольник окружности по координатам его вершин?

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Эта точка равноудалена от сторон треугольника. Расстояние от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности.

Следовательно, все три задачи сводятся к нахождению точки пересечения биссектрис треугольника.

Для этого надо сначала составить уравнения биссектрис треугольника и найти точку их пересечения.

Дан треугольник ABC с вершинами в точках A(0;-3), B(12;-12) и C(3,36;-0,48).

1) Найти точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

2) Найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

3) Составить уравнение вписанной в треугольник ABC окружности.

1) Составим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

Уравнение прямой AC:

Уравнение прямой BC:

Составим уравнение биссектрисы треугольника ABC, исходящей из угла B. Она образована прямыми AB и BC:

откуда уравнения биссектрис угла B: x-y-24=0 или x+y=0. Чтобы понять, которое из двух уравнений является биссектрисой внутреннего угла треугольника, следует подставить в уравнения координаты точек A и C. Поскольку они лежат по разные стороны от биссектрисы внутреннего угла B, то подстановка их координат в уравнение биссектрисы даёт числа разных знаков.

A(0;-3) и C(3,36;-0,48) в x-y-24=0: 0-(-3)-24 0. Получили числа разных знаков, x+y=0 — биссектриса угла B треугольника ABC.

Составим уравнение биссектрисы угла C. Угол C образован прямыми AC и BC, откуда

уравнения биссектрис угла C: 7x-y-24=0 и x+7y=0.

A(0;-3), B(12;-12) в 7x-y-24=0: 7·0-(-3)-24 0. Получили числа разных знаков, значит 7x-y-24=0 — уравнение биссектрисы внутреннего угла C.

Поскольку все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, третью биссектрису находить не требуется.

Точку пересечения биссектрис углов B и C найдём из системы уравнений

O(3;-3) — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

2) Радиус вписанной в треугольник ABC окружности можно найти как расстояние от точки O до прямой AB, BC или AC. Найдем, например, расстояние от O до AB:

3) Чтобы найти уравнение вписанной в треугольник ABC окружности, в уравнение окружности подставляем координаты центра O(3;-3) и r=9/5:

источники:

http://wpcalc.com/okruzhnost-v-treugolnike/

Точка пересечения биссектрис

Источник

Содержание

Треугольник и окружность

Вписанная окружность

В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.

Центр окружности, вписанной в треугольник — точка пересечения биссектрис треугольника.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру [верно также для многоугольника]

$$ r = frac{S}{p}$$

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен
$$r = frac{a+b-c}{2}$$
(для доказательства использовать формулу площади и теорему Пифагора)

Описанная окружность

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Около треугольника можно описать окружность, притом только одну.

Центр окружности, описанной вокруг треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

$R = frac {abc}{4S}$

$ R = frac{a}{2sin alpha}$, где $alpha$ — угол, лежащий против стороны $a$

См. также Теорема синусов

Радиус описанной окружности по трем сторонам:

$R = frac{abc}{sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}} = frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

Связь радиусов

Формула Эйлера

$$R^2-2Rr=|OI|^2$$
где R — радиус описанной вокруг треугольника окружности, r — радиус вписанной в него окружности, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности.

Отношение радиусов

Треугольник имеет углы $alpha, beta, gamma$.

Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.

$$frac r R =cosalpha + cos beta + cos gamma -1$$

Предельная геометрическая интерпретация: если взять маленький кружок и описать около него очень тупоугольный треугольник, то радиус описанной окружности будет очень большим. Отношение будет стремиться к нулю с увеличением тупоугольности. Два косинуса будут стремиться к единичке, один к минус единичке, а всё выражение тоже к нулю.

$$frac{R}{r}=frac{R}{frac{2S}{a+b+c}}=frac{R(a+b+c)}{4R^2sinalphasinbetasingamma}=frac{sinalpha+sinbeta+singamma}{2sinalphasinbetasingamma}$$

См. также Формула Карно — Википедия

Пусть D — центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком «-», когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна $R+r$, где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной.

Учебники:
Радиус описанной окружности — Геометрия 9 класс Мерзляк, параграф 1 Решение треугольников

Источник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, О — центр вписанной в него окружности, D, Е и F — точки касания окружности со сторонами (рис.1).

Рис.1

Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из
равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

В случае описанной окружности имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис.2).

Рис.2

Пример 1. Найти радиус окружности r, вписанной в равносторонний треугольник ABC со стороной а.

Решение. В силу [свойства_равнобедренного_треугольника|теоремы 2] в равностороннем треугольнике каждая биссектриса является одновременно медианой и высотой. Поэтому центр О вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан, которая делит каждую
медиану в отношении 2:1, считая от вершины (пример 5).

Рис.3

Из прямоугольного треугольника ACD (рис.3) согласно теореме Пифагора имеем:
$$ AC^2 = AD^2 + CD^2text{ , или }CD^2 = AC^2 — AD^2
\ text{, откуда }
\ CD^2 = a^2 — frac{a^2}{4} = frac{3a^2}{4}
\ text{ и, значит, }
\ CD^2 = frac{ asqrt{3} }{2}
\ text{ . Поэтому }r = frac{a sqrt{3} }{6}
$$

Пример 2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислить радиус описанной окружности.

Решение. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности $R = frac{1}{2} АВ$ (рис.4).

Рис.4

По теореме Пифагора
$$ АВ^2 = АС^2 + СВ^2 text{ или Рис.4 }
\ АВ^2 =16^2 + 12^2 = 400
\ text{ откуда }АВ = sqrt{400} = 20text{ и, значит, }R = 10text{ (см).}
$$

Пример 3. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равна 12. Окружность с центром вне этого треугольника имеет радиус 8 и касается продолжения боковых сторон треугольника ABC: BC и BA, а также касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Видео-решение.

равнобедренный треугольник, окружность

Источник