Как найти центральный третий момент - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Начальные и центральные моменты случайной величины

Краткая теория
Примеры решения задач

Краткая теория

Начальные моменты

Начальным моментом порядка

случайной величины

называют математическое ожидание величины

В
частности:

Пользуясь
этими моментами, формулу для вычисления дисперсии

можно записать так:

Центральные моменты

Кроме
моментов случайной величины

целесообразно рассматривать моменты отклонения

Центральным моментом порядка

случайной величины

называют математическое ожидание величины

В
частности,

Взаимосвязь центральных и начальных моментов

Легко
выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

Моменты
более высоких порядков применяются редко.

Формулы для вычисления моментов дискретных и непрерывных случайных величин

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Нетрудно
заметить, что при

первый
начальный момент случайной величины

есть ее
математическое ожидание, то есть

, при

второй
центральный момент – дисперсия, то есть

Асимметрия и эксцесс случайной величины

Третий центральный момент

служит для
характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность
куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на

, где

– среднее
квадратическое отклонение случайной величины

. Полученная величина

называется
коэффициентом асимметрии случайной величины:

Если распределение симметрично относительно
математического ожидания, то коэффициент асимметрии

Четвертый центральный момент

служит для
характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом (или коэффициентом
эксцесса) случайной величины называется число

Число 3 вычитается из отношения

потому, что для
наиболее часто встречающегося нормального распределения отношение

. Кривые, более островершинные, чем нормальная,
обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным
эксцессом.

Смежные темы решебника:

Асимметрия и эксцесс распределения
Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

Пример 1

Дискретная
случайная величина X задана законом распределения:

	1	3	4	5
	0,2	0,3	0,1	0,4

Найти начальные моменты первого, второго и третьего
порядков.

Решение

Найдем
начальный момент 1-го порядка:

Начальный
момент 2-го порядка:

Начальный
момент 3-го порядка:

Ответ:

Пример 2

Дискретная
случайная величина X задана законом распределения:

	0	3	5	6
	0,3	0,2	0,3	0,2

Найти центральные моменты первого, второго,
третьего и четвертого порядков.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Центральный
момент первого порядка равен нулю:

Для
вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, выражающими
центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдем начальные
моменты:

Начальный
момент 2-го порядка:

Начальный
момент 3-го порядка:

Начальный
момент 4-го порядка:

Найдем центральные моменты:

Ответ:
.

Пример 3

Непрерывная случайная
величина X задана плотностью распределения:

Найти
математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс.

Решение

Математическое
ожидание (начальный момент первого порядка):

Начальный
момент второго порядка:

Дисперсия
(центральный момент второго порядка):

Среднее
квадратическое отклонение:

Начальный
момент третьего порядка:

Начальный
момент четвертого порядка:

Вычисляем
центральные моменты третьего и четвертого порядков:

Коэффициент
асимметрии:

Эксцесс:

Ответ:

Краткая теория
Примеры решения задач

Источник

Начальным
моментом k-го
порядка
случайной величины X
называется математическое ожидание
величины
X^k:

.
(5.10)

В частности,

Центральным
моментом k-го
порядка
случайной величины X
называется математическое ожидание
величины
[X–M(X)]^k:

.
(5.11)

В частности,

Воспользовавшись
определениями и свойствами математического
ожидания и дисперсии, можно получить,
что

Моменты более
высоких порядков применяются редко.

Предположим,
что распределение случайной величины
симметрично относительно математического
ожидания. Тогда все центральные нечетного
порядка равны нулю. Это можно объяснить
тем, что для каждого положительного
значения отклонения X–M[X]
найдется (в силу симметричности
распределения) равное ему по абсолютной
величине отрицательное значение, причем
их вероятности будут одинаковыми. Если
центральный момент равен нечетного
порядка не равен нулю, то это говорит
об асимметричности распределения и чем
больше момент, тем больше асимметрия.
Поэтому в качестве характеристики
асимметрии распределения разумнее
всего взять какой-нибудь нечетный
центральный момент. Так как центральный
момент 1-го порядка всегда равен нулю,
то целесообразно для этой цели использовать
центральный момент 3-го порядка. Однако
принять этот момент для оценки
асимметричности неудобно потому, что
его величина зависит от единиц, в которых
измеряется случайная величина. Чтобы
устранить этот недостаток, ³
делят на ³
и таким образом получают характеристику.

Коэффициентом
асимметрии
A
называется
величина

.
(5.12)

Рис.
5.1

Если коэффициент асимметрии
отрицателен, то это говорит о большом
влиянии на величину₃
отрицательных отклонений. В этом случае
кривые распределения более пологи слева
от M[X].
Если коэффициент A
положителен, то кривая более пологи
справа.

Как
известно, дисперсия (2-й центральный
момент) служит для характеристики
рассеивания значений случайной величины
вокруг математического ожидания. Чем
больше дисперсия, тем более полога
соответствующая кривая распределения.
Однако нормированный момент 2-го порядка
₂/₂
не может служить характеристикой
«плосковершинности» или
«островершинности» распределения
потому, что для любого распределения
D[x]/₂=1.
В этом случае используют центральный
момент 4-го порядка.

Эксцессом
E
называется
величина

.
(5.13)

Рис.
5.2

исло 3 здесь выбрано потому, что для
наиболее распространенного нормального
закона распределения₄/₄=3.
Поэтому эксцесс служит для сравнения
имеющихся распределений с нормальным,
у которого эксцесс равен нулю. Это
означает, что если у распределения
эксцесс положителен, то соответствующая
кривая распределения более «островершина»
по сравнению с кривой нормального
распределения; если у распределения
эксцесс отрицателен, то соответствующая
кривая более «плосковершина».

Пример
5.6. ДСВ
X
задана следующим законом распределения:

X	1	3	5	7	9
P	0,1	0,4	0,2	0,2	0,1

Найти коэффициент
асимметрии и эксцесс.

Рис.
5.4

Решение.
Предварительно найдем начальные моменты
до 4-го порядка

Теперь вычислим
центральные моменты:

Таким образом,

Пример
5.7. НСВ
X
задана следующей плотностью распределения:

Найти коэффициент
асимметрии и эксцесс.

Рис.
5.5

Решение.
Предварительно найдем начальные моменты
до 4-го порядка

Теперь вычислим
центральные моменты:

Таким
образом,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Обобщенными числовыми характеристиками для случайных величин в теории вероятностей а также математической статистике являются начальные и центральные моменты. Задачи на отыскание моментов являются неотъемлемой частью теории вероятностей и математической статистики. Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание от величины в k-ой степени

Когда
Когда и т. д.

Для дискретной случайной величины начальные моменты определяют зависимостью

для непрерывной интегрированием

Если непрерывная величина задана интервалом , то моменты вычисляют по формуле

Центральным моментом k-го порядка называют математическое ожидание от величины

Когда

для имеем

при

и так далее.

Для дискретной случайной величины центральные моменты вычисляют по формуле

для непрерывной по следующей

Если случайная величина определена интервалом , то центральные моменты определяют интегрированием

Рассмотрим пример отыскания приведенных величин.

————————————

Пример 1. Задана функция плотности вероятностей

Вычислить начальные и центральные моменты второго и третьего порядка .
Решение. Для вычисления начальных моментов выполним интегрирование по вышеприведенным формулам

Промежуточные операции при интегрировании пропущены, они занимают много места, а Вам главное иметь инструкцию для вычислений, так как примеры у Вас будут другие.
Для вычисления центральных моментов инерции необходимо знать математическое ожидание случайной величины, поэтому определяем его первее

Найдено математическое ожидание подставляем в формулу центральных моментов. В случае получим

и при будем иметь

На этом решения примера завершено, функция плотности вероятностей приведена на графике

————————————

Примеры нахождения начальных и центральных моментов будут рассмотрены в следующей статье. Задачи совсем не сложные, а вычисления величин сводится к возведения в степень, интегрирование, умножение и суммирование.

Источник

Перечислим основные характеристики случайных величин:
— математическое ожидание (характеризует среднее значение);
— дисперсия;
— среднеквадратическое отклонение;
— медиана случайной величины;
— мода случайной величины;
— начальный момент;
— центральный момент;
— аcсимметрия;
— эксцесс;
— квантиль уровня.

Математическое ожидание для непрерывной и дискретной случайной величины
Дисперсия для непрерывной и дискретной случайной величины
Среднеквадратическое отклонение случайной величины

Медиана случайной величины — это такое значение случайной величины X, при котором X=Me и Me разделяет область значений на две части, вероятности попадания в любую из данных областей равновероятны, то есть выполняется условие:

p(X<Me)=p(X>Me)

F(Me)=0.5

Модой для дискретной случайной величины называют такое значение, которое наиболее вероятно.

Модой для непрерывной случайной величины называют наибольшее значение (точка локального максимума) плотности вероятности.

Мода и медиана на графике

Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины Х^k и определяется равенством:

ν_k=M(Х^k)

Формула начального момента для непрерывной случайной величины:

Формула начального момента для дискретной случайной величины:

Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины (X-M(Х))^k и определяется равенством:

μ_k=M[X-M(Х)]^k

Формула центрального момента для непрерывной случайной величины:

Формула центрального момента для дискретной случайной величины:

Центральный момент первого порядка случайной величины X равен нулю, то есть

μ₁=0

Центральный момент второго порядка случайной величины X равен дисперсии, то есть

μ₂=D(x)

μ₂=ν₂–(ν₁)²

Центральный момент третьего порядка случайной величины X характеризует асимметрию и определяется равенством:

μ₃=ν₃–3ν₂ν₁+2(ν₁)²

Центральный момент четвёртого порядка случайной величины X характеризует эксцесс и равен:

μ₄=ν₄–4ν₃ν₁+6ν₂(ν₁)²–3(ν₁)⁴

Асимметрия характеризует меру сдвига распределения случайной величины в левую или правую часть и находится по формуле:

График — асимметрия

Эксцесс — характеристика вогнутости и выпуклости распределения случайной величины и вычисляется по формуле:

График значений коэффициента эксцесса

Квантилем уровня p называют такое значение случайной величины x_p которое удовлетворяет условие:

F(x_p)=p

8125

Источник

Содержание:

Числовые характеристики случайных величин:

Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной. Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.

Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в с р е д н е м выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.

Математическое ожидание случайной величины

Определение: Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) д и с к р е т н о й случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С. (5.3)
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(СX) = С·M(X). (5.4)
Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е
Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY) = M(X)·M(Y). (5.6)
Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:
Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

Пример:

Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим

Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.

Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).

Дисперсия случайной величины

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид:

Для непрерывной случайной величины: На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: Для непрерывной случайной величины:

Рассмотрим свойства дисперсии.

Дисперсия постоянной величины равна нулю:
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е.
Дисперсия алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

Пример №1

Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства дисперсии, находим

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину

Определение: Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) σ(Х) случайной величины Х называют значение квадратного корня из ее дисперсии:

Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии.

Мода и медиана. Квантили

Кроме математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Определение: Модой Мо(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Определение: Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2.

Пример №2

Найти моду, медиану случайной величины Х с плотностью вероятности

Решение:

Кривая распределения представлена на рис. 5.1 Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х= Мо(Х) = 1. Медиану Ме(Х) = найдем из условия или откуда

Наряду с модой и медианой для описания случайной величины используется понятие квантиля.

Определение: Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.

Пример №3

По данным примера 5.3 найти квантиль

Решение:

Находим функцию распределения

Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.

Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины: Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид: Для непрерывной случайной величины:

Определение: Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:

Для непрерывной случайной величины: Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожиданиепри k = 2 второй центральный момент – дисперсия

Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный момент μ3 служит для характеристики ассиметрии (т.е. скошенности ) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины: Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.

На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А < 0).

Четвертый центральный момент μ4 служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число (Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Числовые характеристики независимых испытаний

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (т.е. повторные независимые испытания). В этом случае математическое ожидание числа появлений события А в n испытаниях находится по формуле M(X) = np, (5.30) а дисперсия по формуле D(X) = npq. (5.31)

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляют числовые характеристики среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое n взаимно независимых случайных величин через

Сформулируем положения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии D каждой из величин:
Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин: