Сергей Сергеевич Соев
Эксперт по предмету «Физика»
Задать вопрос автору статьи
Ускорение точки, движущейся по окружности
Полное ускорение точки, движущейся по окружности, складывается из двух составляющих:
- тангенциального ускорения, направленного по касательной к данной окружности;
- центростремительного ускорения, направленного по радиусу от точки к центру окружности.
Замечание 1
Тангенциальное ускорение отражает изменение величины скорости движения, центростремительное, называемое также нормальным и обозначаемое обычно как $a_n$, — измерение направления вектора скорости.
Центростремительное ускорение
Формула для расчета центростремительного ускорения:
$a_n = frac{v^2}{R}$,
где $v$ — мгновенная скорость, $R$ — радиус кривизны траектории.
Выразив мгновенную скорость из угловой как
$v = omega cdot R$
и подставив в формулу, найдем центростремительное ускорение как
$a_n = frac{(omega cdot R)^2}{R} = omega^2 cdot R$
Основы теории о центростремительном ускорении заложил голландский физик Христиан Гюйгенс (1629 — 1695 гг.). В своем сочинении «Маятниковые часы» он не только изложил инженерные расчеты, необходимые для изготовления хронометров, но и сформулировал физические законы циклического движения. В частности, Гюйгенс открыл зависимость периодичности колебаний маятника от длины подвеса, описал явление изохронности ввел понятие центробежной силы и центростремительного ускорения. Это дало толчок не только прикладной механике, но и развитию теории о движении небесных тел, повлиявшей, в частности, на научные взгляды Исаака Ньютона.
Особенностью кругового движения является то, что даже если точка движется по окружности со скоростью неизменной величины (тангенциальное ускорение равно нулю), ее суммарное ускорение не равно нулю, поскольку направление вектора скорости всё время меняется. В этом заключается физический смысл центростремительного ускорения.
«Формула центростремительного ускорения в физике» 👇
Геометрически центростремительное ускорение можно выразить следующим образом. Рассмотрим окружность, по которой движется точка.
Рисунок 1. Центростремительное ускорение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Выберем в качестве ее начального положения верхнюю точку. При этом вектор мгновенной скорости $vec{v_1}$ будет направлен горизонтально. Когда точка пройдет некоторую дугу, вектор мгновенной скорости $vec{v_2}$ окажется наклоненным к первому под углом $varphi$, который равен пройденному угловому расстоянию. Таким образом, центростремительный вектор окажется основанием равнобедренного треугольника с углом при вершине $varphi$ и стороной $bar{v_A} = bar{v_B}$. Обозначим длину основания этого треугольника как $Delta v$. Подобный треугольник со стороной $R$ мы видим внутри окружности. Его вершина соответствует ее центру. Приняв, что при достаточно малом $varphi$ длины дуги и хорды между точками $A$ и $B$ приблизительно совпадают, найдем из подобия треугольников, что
$frac{R}{v cdot Delta t} approx frac{v}{Delta v}$,
где $v cdot Delta t$ — путь, пройденный точкой по дуге, почти совпадающей с хордой.
Формулу можно преобразовать следующим образом:
$frac{Delta v}{Delta t} approx frac{v^2}{R}$
Учитывая малое пройденное угловое расстояние (при $Delta t$ стремящемся к нулю), можно считать вектор $vec{Delta v}$ направленным к центру окружности. Следовательно,
$vec{a_n} = frac{Delta vec{v}}{Delta t}; Delta t to 0; a_n = frac{v^2}{R}$
Замечание 2
Хорошим способом представить себе центростремительное ускорение является конкретный пример. Центростремительное ускорение Земли, вращающейся вокруг своей оси, составляет $0,03 м/с^2$. Это значит, что в его отсутствие почва «уходила бы у нас из под ног» со скоростью 3 см/с.
Пример 1
Велосипедист едет по дороге со скоростью 10 м/с. Какое центростремительное ускорение точки обода колеса, если его радиус 35 см?
Подставим в формулу центростремительного ускорения числовые значения:
$a_n = frac{{10}^2}{0,35} = 285 m/c^2$
Ответ: 285 метров в секунду.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Центростремительное ускорение
Основные формулы центростремительного ускорения
Центростремительное ускорение, которое также называют нормальным ускорением, всегда направлено к центру окружности, по которой движется точка.
Модуль центростремительного ускорения определяется формулой:
![[a_n=frac{v^2}{R}]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ad789e19488e91d9aae6f0e93f0c5d18_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Модуль 
остается постоянным, однако направление вектора все время меняется, поэтому движение по окружности не является равноускоренным.
Центростремительное ускорение также можно определить через угловую скорость:
![[a_n={omega }^2R]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb0b7c3da9bbea9d6863477e4afff5b2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Рис.1. Центростремительное ускорение при равномерном движении точки по окружности
Примеры решения задач
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |
Когда объект движется по кругу, сила будет стремиться притянуть объект к центру.
Сила, которая пытается притянуть объект в круговом движении к центру, известна как центростремительная сила, и, таким образом, центростремительное ускорение — это ускорение, действующее в нем.
Поскольку центростремительное ускорение состоит как из величины, так и из направления, оно является векторной величиной. В этой статье мы попытаемся выяснить, как найти центростремительное ускорение с помощью или без помощи некоторых величин. Формула для центростремительного ускорения дается как: ac = V2/r
Илиc = гω2
Где,
ac = центростремительное ускорение.
v = скорость объекта.
r = радиус траектории.
ω= угловая скорость.
Как найти центростремительное ускорение без скорости
Существуют различные способы найти центростремительное ускорение без полной информации, в зависимости от того, какой тип информации предоставлен. Одним из таких методов является определение центростремительной силы, хотя есть несколько значений, которые необходимо иметь заранее, чтобы найти какое-либо значение. Формула для центростремительная сила дается как: Fc = мв2/r
Где,
Fc= центростремительная сила.
m = масса объекта.
v = скорость объекта.
r = радиус орбиты объекта.
Как и в этом разделе, нужно найти центростремительное ускорение без скорости, предполагая, что скорость не указана в вопросе. Это означает, что в задаче должна быть указана другая информация, такая как центростремительная сила, масса объекта и радиус объекта, с помощью которых можно найти скорость объекта, а затем подставить ее в формулу для центростремительного ускорения. чтобы получить окончательный ответ.
Вопрос: Чему равно центростремительное ускорение автомобиля массой 200 кг, совершающего разворот по окружности диаметром 50 м? Сила, действующая на автомобиль, равна 500 Н.
Ответ: Радиус окружности можно найти, разделив диаметр на 2, так как радиус равен половине диаметра. Таким образом, радиус равен 25 м. Формула для центростремительной силы дается как: Fc = мв2/r
Измените эту формулу, чтобы получить выражение для скорости. Следовательно, v2 = Фcг / м
Замените 500 Н на Fc, 25 м для r и 200 кг для m в формулу, чтобы найти скорость.
Формула для нахождения центростремительного ускорения имеет вид:c = V2/r
Замена 7.91 м/с2 для v и 25 м для r в формулу для расчета центростремительного ускорения.
Следовательно, центростремительное ускорение автомобиля равно 2.5 м / с2.
Как найти центростремительное ускорение с радиусом и скоростью
Самый простой способ вычислить центростремительное ускорение — это использовать скорость объекта, движущегося по круговому пути, и радиус его кругового пути. Здесь используется та же формула, что была показана ранее, т.c = V2/r
Вопрос: Предмет массой 3 кг привязан к концу веревки длиной 2 м и вращается вокруг, закрепив один конец веревки. Если она составляет 250 об/мин, то найти центростремительное ускорение этого тела.
Ответ: Чтобы найти центростремительное ускорение, нужно сначала найти скорость тела. Чтобы найти скорость объекта, используется формула угловой скорости ω, заданная как: ω = dθ/dt
Где,
θ = угловое вращение
t = время
Если тело вращается со скоростью «N» оборотов в минуту, то формула имеет вид: ω = 2πN/T.
Где,
T = период оборота
Здесь период считается оборотами в минуту. Поскольку 1 мин = 60 с, Т = 60 с. Единицей СИ для этой формулы является рад/с. Подставьте 250 вместо N в формулу для расчета угловой скорости.
Теперь есть два уравнения для нахождения центростремительного ускорения:c=v2/ г и аc=rω2. Приравняйте оба этих уравнения, чтобы найти скорость. Следовательно,
Подставьте 2 м вместо r и 26.16 рад/с вместо ω в формулу для расчета скорости.
Теперь подставьте 52.32 м/с вместо v и 2 м вместо r в формулу для расчета центростремительного ускорения.
Следовательно, центростремительное ускорение тела равно 1368.7 м / с2.
Читайте о различных типах ускорения на Центростремительное ускорение против ускорения
Как найти центростремительное ускорение по времени и радиусу
Используется формула, включающая угловая скорость, чтобы найти центростремительное ускорение используя время и радиус. аc = гω2
А для нахождения угловой скорости используется формула ω = 2πN/T
Вопрос: Рассчитайте центростремительное ускорение мяча, привязанного к концу веревки с фиксированной осью на расстоянии 1.5 м от центра. Отжим 170 об/мин.
Ответ: 1 мин = 60 сек. Подставьте 170 вместо N и 60 вместо T в формулу для расчета угловой скорости.
Подставьте значение ω в формулу для центростремительного ускорения, включающую угловую скорость.
Следовательно, центростремительное ускорение мяча равно 474.72 м / с2.
Как найти центростремительное ускорение без массы
Существуют две основные формулы для нахождения центростремительное ускорение и, как отмечалось ранее, ни одна из формул центростремительного ускорения не включает массу в нем, поэтому легко найти центростремительное ускорение, если остальные значения заданы.
Задача: найти центростремительное ускорение автомобиля, движущегося по перекрестку со скоростью 50 км/ч. Длина круга около 40 м.
Ответ: Формула, используемая для этой задачи, будетc = V2/r
Длина раунда означает диаметр раунда. Поскольку диаметр равен 40 м, радиус окружности будет равен 20 м. Теперь нужно перевести скорость из км/ч в м/с. Чтобы преобразовать скорость, нужно умножить заданную скорость на 1000 м/3600 сек. Следовательно,
Подставьте 13.8 м/с вместо v и 20 м вместо r в формулу для расчета центростремительного ускорения.
Следовательно, центростремительное ускорение автомобиля равно 9.52 м / с2.
Как найти центростремительное ускорение с периодом
Время (T), необходимое объекту для совершения одного полного оборота, называется период. Если указан период, то с помощью периода можно найти скорость тела и подставить это значение скорости в формулу для центростремительного ускорения. Формула для нахождения скорости с помощью периода имеет вид: v = 2πN/T
Где,
N = обороты.
Т = период времени.
Вопрос: Если винт истребителя имеет диаметр 2.50 м и вращается со скоростью 1100 об/мин, то каково центростремительное ускорение кончика винта при этих обстоятельствах?
Ответ: Чтобы найти радиус гребного винта, диаметр необходимо разделить на 2. Следовательно, радиус гребного винта при заданном диаметре равен 1.25 м. Здесь пропеллер вращается со скоростью 1100 оборотов в минуту, что означает, что он вращается со скоростью 1100 оборотов за 60 секунд. Поэтому подставьте 1100 вместо N и 60 с вместо T в формулу для расчета скорости объекта.
Теперь формула для расчета центростремительного ускорения дается как:c = V2/r
Подставьте 115.13 м/с вместо v и 1.25 м вместо r в формулу, чтобы рассчитать центростремительное ускорение винта.
ac = V2/r
= (115.13 м/с)2/ 1.25m
= 10,603.9 м / с2
Следовательно, центростремительное ускорение воздушного винта равно 10,603.9 м / с2.
Как найти центростремительное ускорение из тангенциального ускорения
Величина изменения скорости по отношению к изменению во времени известна как Тангенциальное ускорение. Формула для тангенциального ускорения задается как:T = дв/дт
Где,
aT = тангенциальное ускорение.
dv = изменение скорости.
dt = изменение во времени.
Направление тангенциального ускорения обозначается касательной к окружности, тогда как направление центростремительного ускорения направлено к центру окружности (радиально внутрь). Поэтому объект в круговое движение с тангенциальным ускорением испытает полное ускорение, которое является суммой тангенциального ускорения и центростремительного ускорения. Формула для полного ускорения задается как: a = aT +c
Где,
а = полное ускорение.
aT = тангенциальное ускорение.
ac = центростремительное ускорение.
Итак, если дать полное ускорение и тангенциальное ускорение, легко найти центростремительное ускорение любого объекта.
Вопрос: каково центростремительное ускорение объекта, который имеет чистое ускорение (общее ускорение) 256.9 м/с?2 и тангенциальное ускорение 101.4 м/с2?
Ответ: Приведенная формула для соотношения центростремительного ускорения и тангенциального ускорения: a = aT +c
Переставить формула для расчета центростремительного ускорения.
ac = а — аT
Замена 256.9 м/с2 для а и 101.4 м/с2 дляT в приведенную выше формулу для расчета центростремительного ускорения.
Следовательно центростремительное ускорение объекта 155.5 м / с2.
Еще один простой способ найти центростремительное ускорение по данной формуле, включающей угол, который задается как: tanθ = aT/ac
Вопрос: Найдите центростремительное ускорение объекта, который образует угол 1.6º по отношению к вектору центростремительного ускорения и имеет тангенциальное ускорение 6.5 м/с.2.
Ответ: Чтобы найти центростремительное ускорение, нужно модифицировать данное уравнение.
Замена 6.5 м/с2 дляT и 1.6º для θ в приведенное выше уравнение для расчета центростремительного ускорения.
Следовательно центростремительное ускорение объекта 232.7 м / с2.
Как найти центростремительное ускорение маятника
Когда маятник движется, центростремительное ускорение на него действует тангенциальное ускорение. Чистая сила отвечает за центростремительное ускорение в нижней части качелей.
Формула для того же дается как: Напряжение — Вес = mac
Где,
(Натяжение – Вес) = результирующая сила.
m = масса объекта (качка маятника).
Таким образом, эта формула далее записывается как: T – mgcosθ = mac
Где,
Т = напряжение
g = ускорение свободного падения.
Нужно просто изменить данное уравнение, чтобы найти центростремительное ускорение.
ac = Т/м – gcosθ
Вопрос: найти центростремительное ускорение маятника массой 0.250 кг, образующей угол с нормалью 27°. Натяжение боба 97 Н.
Ответ: Величина ускорения свободного падения для Земли равна 9.8 м/с.2. Замените 97 Н на T, 0.250 кг на m, 27° на θ и 9.8 м/с.2 для g в приведенную выше формулу для расчета центростремительного ускорения.
Следовательно центростремительное ускорение маятника 379.3 м / с2.
Что такое центростремительное ускорение
Определение
Центростремительным ускорением называется ускорение тела при движении тела по окружности.
Данная величина характеризует, насколько быстро изменяется направление линейной скорости объекта при его движении по окружности.
Обозначается центростремительное ускорение латинской буквой a, так как это векторная величина, обычно ее обозначение условно выглядит так: (vec a)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Единицами измерения в международной системе СИ является м/с2.
Силы центростремительная и центробежная, в чем отличия
Определение
На любое тело, передвигающееся по круговой траектории, воздействует постоянная сила, которая направлена к центру окружности, описывающей траекторию движения. Эта сила получила название центростремительной.
Определение
Центробежная сила представляет собой силу инерции. По третьему закону Исаака Ньютона, на каждое действие приходится равное ему по силе, но противоположное по направлению противодействие. И центробежная сила является той самой силой, которая противоположна центростремительной силе.
Сходства центростремительной и центробежной силы:
- Они являются инерциальными.
- Возникают всегда при движении тела.
- Появляются только парами и всегда уравновешивают друг друга.
Их различия заключаются в следующем:
- Центростремительная сила всегда направлена к центру окружности, в то время как центробежная сила противоположна центростремительной по направлению.
- Слово «центростремительная» с латинского языка переводится как «искать центр», а «центробежная» — «бежать от центра».
Куда направлен вектор центростремительного ускорения
При передвижении точки по окружности ее скорость направлена по касательной к окружности, а ускорение — по радиусу к центру окружности. Т.е. центростремительное ускорение всегда перпендикулярно скорости.
Вывод формулы центростремительного ускорения
Как найти через угловую и линейную скорость
Центростремительное ускорение, при условии равномерного движения по окружности, можно вычислить с помощью линейной скорости движения.
Центростремительное ускорение можно вычислить через угловую скорость.
Определение
Угловой скоростью (omega) называется физическая величина, численно равная отношению угла поворота (varphi) к тому интервалу времени (t), за который этот поворот произошел:
(omega =fracvarphi t)
Измеряется величина в рад/с.
Зависимость ускорения от скорости математически выглядит так:
(a=omega^2times R)
Расчет центростремительного ускорения через радиус
Формула центростремительного ускорения в физике
Формула центростремительного ускорения
Определение и формула центростремительного ускорения
Определение
Центростремительным ускорением называют компоненту полного ускорения материальной точки, движущейся по криволинейной траектории,
которая определяет быстроту изменения направления вектора скорости.
Другой компонентой полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно отвечает за изменение величины скорости. Обозначают центростремительное ускорение, обычно ${overline{a}}_n$. Центростремительное ускорение еще называют нормальным.
Центростремительное ускорение равно:
[{overline{a}}_n=frac{v^2}{r^2}overline{r }=frac{v^2}{r}{overline{e}}_rleft(1right),]
где ${overline{e}}_r=frac{overline{r }}{r}$ — единичный вектор, который направлен от центра кривизны траектории к рассматриваемой точке; $r$ — радиус кривизны траектории в месте нахождения материальной точки в рассматриваемый момент времени.
Первым верные формулы для вычисления центростремительного ускорения получил Х. Гюйгенс.
Единицей измерения центростремительного ускорения в Международной системе единиц является метр, деленный на секунду в квадрате:
[left[a_nright]=frac{м}{с^2}.]
Формула центростремительного ускорения при равномерном движении точки по окружности
Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности. При таком перемещении величина скорости материальной точки неизменна ($v=const$). Но это не означает, что полное ускорение материальной точки при таком виде движения равно нулю. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к окружности, по которой перемещается точка. Следовательно, в этом движении скорость постоянно изменяет свое направление. Отсюда следует, что точка имеет ускорение.
Рассмотрим точки A и B которые лежат на траектории движения частицы. Вектор изменения скорости для точек A и B найдем как:
[Delta overline{v}={overline{v}}’-overline{v}left(2right).]
Если время, затрачиваемое на движение от точки A до точки B, стремится к нулю, то дуга AB мало не отличается от хорды AB. Треугольники AOB и BMN подобны, получим:
[frac{Delta v}{v}=frac{Delta l}{R}=alpha left(3right).]
Величину модуля среднего ускорения определяют как:
[leftlangle arightrangle =frac{Delta v}{Delta t}=frac{vDelta l}{RDelta t}left(4right).]
Перейдем к пределу при $Delta tto 0 $ от $leftlangle arightrangle $в формуле (4):
[a={mathop{lim }_{Delta tto 0} leftlangle arightrangle }={mathop{lim }_{Delta tto 0} frac{vDelta l}{rDelta t}=frac{v}{R} }mathop{{rm lim}}_{Delta tto 0}frac{Delta l}{Delta t}=frac{v}{R}v=frac{v^2}{R}left(5right).]
Вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол равный:
[beta =frac{pi +alpha }{2}left(6right).]
При $Delta tto 0 $ угол $alpha to 0.$ Получается, что вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол $frac{pi }{2}$.
И так, что материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, обладает ускорением, которое направленно к центру окружности (${overline{a}}_nbot overline{v}$), его величина равна скорости в квадрате, деленной на радиус окружности:
[a_n=frac{v^2}{R}={omega }^2R left(7right),]
где $omega $ — угловая скорость движения материальной точки ($v=omega cdot R$). В векторном виде формулу для центростремительного ускорения можно записать, опираясь на (7) как:
[{overline{a}}_n=-{omega }^2overline{R} left(8right),]
где $overline{R}$ — радиус-вектор, равный по длине радиусу дуги окружности, направленный от центра кривизны к местоположению рассматриваемой материальной точки.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Векторное уравнение $overline{r}left(tright)=overline{i}{cos left(omega tright)+overline{j}{sin left(omega tright) } }$, где $omega =2 frac{рад}{с},$ описывает движение материальной точки. По какой траектории движется данная точка? Чему равен модуль ее центростремительного ускорения? Считайте, что все величины в системе СИ.
Решение. Рассмотрим уравнение движения точки:
[overline{r}left(tright)=overline{i}{cos left(omega tright)+overline{j}{sin (omega t) } } left(1.1right).]
В декартовой системе координат это уравнение эквивалентно системе уравнений:
[left{ begin{array}{c}
x={cos left(omega tright);; } \
y={sin left(omega tright) } end{array}
left(1.2right).right.]
Для того, чтобы понять по какой траектории движется точка нам следует исключить время из уравнений системы (1.2). Для этого возведем оба уравнение в квадрат и сложим их:
[x^2+y^2={cos}^2left(omega tright)+{sin}^2left(omega tright)=1 left(1.3right).]
Из уравнения (1.3) мы видим, что траекторией движения точки является окружность (рис.2) радиуса $R=1$ м.
Для того чтобы найти центростремительное ускорение воспользуемся формулой:
[a_n=frac{v^2}{R}left(1.4right).]
Модуль скорости определим используя систему уравнений (1.2). Найдем компоненты скорости, которые равны:
[left{ begin{array}{c}
v_x=frac{dx}{dt}=-omega {sin left(omega tright) }, \
v_y=frac{dy}{dt}=omega {{cos left(omega tright) } , } end{array}
right.left(1.5right).]
Квадрат модуля скорости будет равен:
[v^2=v^2_x+v^2_y={omega }^2left(1.6right).]
Из того, какой получился модуль скорости (1.6), мы видим, что наша точка движется по окружности равномерно, следовательно, центростремительное ускорение будет совпадать с полным ускорением.
Подставим $v^2$ из (1.6) в формулу (1.4), имеем:
[a_n=frac{{omega }^2}{R}.]
Вычислим $a_n$:
$a_n=frac{4}{1}=4 left(frac{м}{с^2}right).$
Ответ. 1) Окружность; 2) $a_n=4 frac{м}{с^2}$
Пример 2
Задание. Каково центростремительное ускорение точек на ободе диска в момент времени, равный $t=2$c,
если диск вращается в соответствии с уравнением: $varphi (t)=3+2t^3$? Радиус диска равен $R=0,{rm 1}$ м.
Решение. Центростремительное ускорение точек диска будем искать, применяя формулу:
[a_n={omega }^2Rleft(2.1right).]
Угловую скорость найдем, используя уравнение $varphi (t)=3+2t^3$ как:
[omega =frac{dvarphi }{dt}=6t^2. ]
При $t=2 $c угловая скорость равна:
[omega left(t=2right)=24 left(frac{рад}{с}right).]
Можно вычислить центростремительное ускорение по формуле (2.1):
[a_n={24}^2cdot 0,1=57,6 left(frac{м}{с^2}right).]
Ответ. $a_n=57,6frac{м}{с^2}$
Читать дальше: формула циклической частоты колебаний.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!