Чтобы измерить любую физическую величину, надо правильно определить цену деления шкалы измерительного прибора (инструмента).
Рис. (1). Линейка и шарик
Цена деления шкалы — значение величины, которое соответствует разности двух ближайших отметок на этой шкале.
Для нахождения цены деления шкалы можно поступить следующим образом:
- найти две соседних отметки шкалы, возле которых написаны величины, соответствующие этим отметкам шкалы;
- найти разность этих величин;
- сосчитать количество промежутков между величинами отметок шкалы;
- полученную разность величин разделить на количество промежутков.
Как ты думаешь, одинаковую ли температуру показывают термометры, изображённые на рисунке?
Разную? Неверно! Показания термометров одинаковы: (26) °С. Однако их шкалы отличаются друг от друга. Выясним, в чём состоит это различие.
Например, между штрихами (20°С) и (30)(°С) на левом термометре столько же делений (промежутков), сколько их между (20°С) и (40°С) на правом термометре. Подсчитай: ровно (10) делений. Однако они отмеряют разное количество градусов! Поэтому говорят, что шкалы этих термометров имеют различную цену делений.
Итак, (10) делений на левом термометре отмеряют (10°С) (так как (30°С – 20°С = 10°С)), а (10) делений на правом термометре отмеряют уже (20°С) (так как (40°С – 20°С = 20°С)). Следовательно, на одно деление шкалы левого термометра приходится (1°С), а на одно деление шкалы правого — (2°С).
Рис. (2). Термометры
Запишем наши вычисления в виде дробей:
30°С−20°С10дел=10°С10дел=1°С/дел;40°С−20°С10дел=20°С10дел=2°С/дел.
Убедимся, что правый термометр показывает именно (26) °С.
После штриха (20) °С граница подкрашенного спирта поднялась на (3) деления.
Так как цена делений (2) °С/дел, то запишем равенство:
t=20°C+3 дел.⋅2°C/дел=20°C+6°С=26°C.
Источники:
Рис. 2. Термометры. © ЯКласс.
Каждый измерительный прибор обязательно содержит в себе шкалу, представляющую собой упорядоченный ряд отметок. Эти отметки могут быть с значениями, либо просто штрихи.
Как определить цену деления я объясню на примере нашего рисунка.
Итак, на верхней шкале красными штрихами обозначены величины 0, 10, 20 и 30. Для того чтобы было наиболее понятно возьмем деления 20 и 30. От 30 вычитаем 20, получаем 10.
Далее считаем сколько делений между штрихами получается 10, учитывая расстояние между последним белых штрихом и красным.
Затем полученную разницу 10 делим на количество делений 10, получаем 10÷10=1.
Следовательно цена деления данного прибора 1. Если это обычная школьная линейка, значит 1мм.
Также определяем цену деления на второй шкале. 50-0=50 50÷5=10.
Измерительные приборы. Цена деления.
Для измерения физических величин используют измерительные приборы. Например, для измерения высоты мы будем использовать такой измерительный прибор как линейка, для измерения массы тела — весы, для измерения температуры — термометр, а для измерения времени — часы и т.д..
Многие измерительные приборы имеют шкалу.
Шкала измерительного прибора представляет собой совокупность отметок (точек, штрихов) вместе со связанной с ними нумерацией (числами).
Для того, чтобы определить с какой точностью может измерить тот или иной прибор, необходимо знать его цену деления.
Ценой деления шкалы прибора называет расстояние между двумя ближайшими штрихами на шкале прибора.
Для того чтобы определить цену деления (С) надо
найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны значения величины;
вычесть из большего значения меньшее и полученное число разделить на число делений, находящихся между ними.
Например, рассмотрим такой измерительный прибор как шприц. Шприц нужен для измерения такой физической величины как объем (V). Рассмотрим шкалу шприца и определить ее цену деления (см.рис.).
Расчет цены деления шкалы прибора
Шкала прибора — это техническая отметка на шкале измерительного прибора, представляющая собой упорядоченный ряд отметок вместе со связанной с ними нумерацией.
Формула расчета шкалы прибора (цены деления):
h = (Xmax — Xmin) / N, где
h — цена деления;
Xmax — максимальное значение;
Xmin — минимальное значение;
N — количество делений.
Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.
На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета цены деления шкалы прибора по простой математической формуле в зависимости от максимального значения, минимального значения и количества делений. С помощью этой программы вы в один клик сможете рассчитать шкалу прибора (цену деления).
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 |
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin triangle=frac= frac<1 text<см>><1+1>=0,5 text <см>end Инструментальная погрешность: begin d=frac<triangle><2>=frac<0,5><2>=0,25 text <см>end Истинное значение: (L_0=4 text<см>) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text <см>$$ Относительная погрешность: $$ delta=frac<0,25><4,00>cdot 100text<%>=6,25text<%>approx 6,3text <%>$$ |
 |
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin triangle=frac= frac<1 text<см>><9+1>=0,1 text <см>end Инструментальная погрешность: begin d=frac<triangle><2>=frac<0,1><2>=0,05 text <см>end Истинное значение: (L_0=4,15 text<см>) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text <см>$$ Относительная погрешность: $$ delta=frac<0,05><4,15>cdot 100text<%>approx 1,2text <%>$$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: begin m_0=frac<99,8+101,2+100,3><3>=frac<301,3><3>approx 100,4 text <г>end Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end Находим среднее абсолютное отклонение: begin triangle_=frac<0,6+0,8+0,1><3>=frac<1,5><3>=0,5 text <(г)>end Мы видим, что полученное значение (triangle_) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin triangle m=maxleft<triangle_; dright>=maxleft<0,5; 0,05right> text <(г)>end Записываем результат: begin m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text <(г)>end Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin delta_m=frac<0,5><100,4>cdot 100text<%>approx 0,050text <%>end
п.6. Представление результатов эксперимента
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
- относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности
- относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности
- относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | (triangle=frac), мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | (frac<40-20><4+1>=4) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | (frac<200-100><4+1>=20) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | (frac<30-15><4+1>=3) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | (frac<400-200><4+1>=40) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем (V_0), мл | Абсолютная погрешность (triangle V=frac<triangle><2>), мл |
Относительная погрешность (delta_V=frac<triangle V>cdot 100text<%>) |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text<м>, x_2=(4,0pm 0,03) text <м>$$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin delta_1=frac<0,1><4,0>cdot 100text<%>=2,5text<%>\ delta_2=frac<0,03><4,0>cdot 100text<%>=0,75text <%>end Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac<10><2>=5 (text<км/ч>), triangle v_2=frac<1><2>=0,5 (text<км/ч>) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text<км/ч>, v_2=(72pm 0,5) text <км/ч>$$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_<10>+v_<20>, v_0=54+72=125 text <км/ч>$$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text <км/ч>$$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text <км/ч>$$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac<5,5><126,0>cdot 100text<%>approx 4,4text <%>$$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text<км/ч>, delta_vapprox 4,4text<%>)
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки (d=frac<0,1><2>=0,05 text<см>)
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text<см>, b=(60,10pm 0,05) text <см>$$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin delta_1=frac<0,05><90,20>cdot 100text<%>approx 0,0554text<%>approx uparrow 0,056text<%>\ delta_2=frac<0,05><60,10>cdot 100text<%>approx 0,0832text<%>approx uparrow 0,084text <%>end Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text<см>^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text<%>+0,084text<%>=0,140text<%>=0,14text <%>$$ Абсолютная погрешность: begin triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text<см>^2\ S=(5421,0pm 7,6) text<см>^2 end Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text<см>^2, delta_Sapprox 0,14text<%>)
Как узнать цену делению?
Чтобы начать понимать как находить цену деления, необходимо разобраться в самом определении. Цена деления — разность значений величины, соответствующих двум соседним отметкам шкалы. Как вы знаете, шкалы различных, или одинаковых измерительных инструментов могут достаточно сильно разниться. Этому есть немало технических, а так-же исторических причин. Именно поэтому, перед любым измерением необходимо узнать цену деления того или иного прибора.
«Быстро и просто» — вычисление цены деления
Это делается буквально в несколько действий, поэтому трудностей возникнуть не должно ни у кого. Первым делом нужно:
- Обратить внимание на штрихи, напротив которых имеется какое либо значение.
- — Выбрать для себя два ближайших значения и отнять от большего меньшее.
- — Посчитать количество маленьких делений между выбранными оцифрованными штрихами.
- — Делим полученную ранее разность на количество недавно подсчитанных маленьких делений.
Браво господа — мы нашли цену деления шкалы. Теперь любой прибор со шкалой будет казаться намного проще!
Все физические измерительные приборы имеют определенную шкалу. Чтобы уметь пользоваться прибором, нужно знать, сколько физической величины припадает на одно деление шкалы прибора (цена деления) Что для этого нужно сделать.
Как найти цену деления прибора
Если измерения производятся приборами с цифровыми табло, то показания можно снимать без всяких проблем. Если же на измерительные приборы нанесены шкалы, то для того чтобы точно измерить величину, нужно знать цену деления прибора. Иногда она указывается на шкале, если же ее там нет, рассчитайте ее самостоятельно.
Вам понадобится
- — приборы с различными шкалами.
Инструкция
Внимательно осмотрите шкалу аналогового прибора, которым производится измерение. На ней нанесены единицы измерения, с которыми работает данный прибор. На любой шкале нанесены числовые значения измеряемой величины, между которыми находятся деления без количественных показателей. Величина, заключенная между ними, является наименьшей, которую можно измерить с помощью прибора. Цена деления прибора — это наименьшая величина, которую можно измерить прибором с данной шкалой. Эта наименьшая цена заключена в наименьшем делении шкалы прибора.
На шкале найдите два ближайших цифровых значений. При этом совершенно не важен их порядок. Например, если на мерном цилиндре, с помощью которого можно измерить объем жидкости в мл, нанесены числовые значения 0, 100, 200, 300, 400, 500, то можно взять пары чисел 0 и 100, 100 и 200 или 400 и 500 либо любую другую пару чисел по такому принципу. Отнимите от большего числового значения меньшее.
Посчитайте деления между ближайшими числовыми значениями на шкале. При подсчете учитывайте, что делением называется расстояние между двумя ближайшими линиями шкалы, а не сами эти линии. Рассчитайте цену деления прибора, поделив разность двух ближайших числовых значений шкалы на количество делений между ними. Это и будет минимальная величина, измеряемая прибором.
Например, чтобы найти цену деления шкалы вольтметра, который измеряет напряжение в вольтах, с числами 0, 2, 4, 6, 8 и пятью делениями между двумя ближайшими числовыми значениями, проделайте определенную последовательность действий. Возьмите два ближайших числовых значения — пусть это будут 4 и 6. Теперь от большего числа отнимите меньшее — получится 2. Это число поделите на количество делений между этими значениями (по условию оно равно 5). Получится 2/5=0,4 вольта. Цена деления вольтметра равна 0,4 В.
Источники:
- цена деления шкалы это
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
- Шкала измерительного прибора
- Цена деления
- Виды измерений
- Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
- Абсолютная погрешность серии измерений
- Представление результатов эксперимента
- Задачи
п.1. Шкала измерительного прибора
Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.
Примеры шкал различных приборов:
п.2. Цена деления
Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.
Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.
Пример определения цены деления:
 |
Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*} |
п.3. Виды измерений
Вид измерений
Определение
Пример
Прямое измерение
Физическую величину измеряют с помощью прибора
Измерение длины бруска линейкой
Косвенное измерение
Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений
Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.
Составляющие погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$
Если величина (a_0) — это истинное значение, а (triangle a) — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$
Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$
Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.
Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
|
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$ |
|
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}
п.6. Представление результатов эксперимента
Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$
Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$
Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:
- относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности
$$ delta_{a^2}=2delta_a $$
- относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности
$$ delta_{a^3}=3delta_a $$
- относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна
$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | (triangle=frac{b-a}{n+1}), мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | (frac{40-20}{4+1}=4) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | (frac{200-100}{4+1}=20) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | (frac{30-15}{4+1}=3) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | (frac{400-200}{4+1}=40) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем (V_0), мл | Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл |
Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%}) |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})