Содержание
- — Как определить на что оканчивается число?
- — Как найти последнюю цифру?
- — Какой цифрой оканчивается число 2 в 2018 степени?
- — Какой цифрой оканчивается число 7 999?
- — Как найти последние две цифры степени?
- — Какой цифрой оканчивается число 9999 2018?
- — Какая самая бесконечная цифра?
- — Какая самая маленькая цифра в мире?
- — Каким числом оканчивается выражение 9 в степени 2018?
- — Какой цифрой оканчивается число 2013 2013?
Как определить на что оканчивается число?
Ответ, проверенный экспертом
- Есть такое правило:
- чтобы определить, на какую цифру оканчивается число, нужно:
- 1)посмотреть на само число и найти последнюю цифру этого числа
- 2)производить операции будем с этой цифрой, в данном случае, с 3.
- 3)поделить степень этого числа на 4.
Как найти последнюю цифру?
Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4. Последние цифры степеней чисел 2 , 12, 22 и т. д. (3, 13, 23 и т.
Какой цифрой оканчивается число 2 в 2018 степени?
Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.
Какой цифрой оканчивается число 7 999?
А 7^999 оканчивается на 3.
Как найти последние две цифры степени?
Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4. Последние цифры степеней чисел 2 , 12, 22 и т. д. (3, 13, 23 и т.
Какой цифрой оканчивается число 9999 2018?
число 999 – нечетное, т. к. оканчивается на 9. ((99999)9 оканчивается на 9, т.
Какая самая бесконечная цифра?
Гу́гол (от англ. googol) — число, в десятичной системе счисления изображаемое единицей со 100 нулями: 10100 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Какая самая маленькая цифра в мире?
Ноль самая маленькая цифра.
Каким числом оканчивается выражение 9 в степени 2018?
Ответ, проверенный экспертом
Степени 9 кончаются на 9 у нечетных и на 1 у четных степеней.
Какой цифрой оканчивается число 2013 2013?
В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 20132013 равна 3.
Интересные материалы:
Как удалить контакт из whatsapp на андроид?
Как удалить контакт из whatsapp на телефоне?
Как удалить контакт из whatsapp?
Как удалить контакт которого нет в моем списке в Ватсапе?
Как удалить контакт на смартфоне андроид?
Как удалить контакт с айфон 6?
Как удалить контакт с андроида 7?
Как удалить контакт с телефона вертекс?
Как удалить контакт с Вайбера на андроид?
Как удалить контакт с Ватцапа?
1) Если умножать целые числа, одно из которых оканчивается нулём, то и ответ тоже будет оканчиваться на ноль.
2) Если умножать число, оканчивающееся на 5 на чётное число, то ответ будет оканчиваться на ноль, а если на нечётное, то на 5.
3) При делении целого числа на 4, то если получается дробный хвост, то он всегда будет оканчиваться числом 5. Возможно 3 варианта хвоста: 0.5 , 0.75 и 0.25.
4) И вообще при умножении целых чисел достаточно перемножить последние разряды чтобы узнать последнюю цифру.
Например есть 2 числа, которые нужно перемножить:
65456469 и 4242358
Перемножаем последние разряды, то есть 9 Х 8 = 72.
Вот 2 и будет последней цифрой.
Проверяем на калькуляторе:
65456469 Х 4242358 = 277689774913902
Совпало. Перед тем, как написать ответ, я так проверил ещё несколько перемножений. Это всегда работает с целыми числами.
5) То же самое и с суммой двух целых чисел. Суммируете последние разряды, и полученное число будет являться последним числом. Если получится двузначное число, например 15, то берёте из него младший разряд, то есть 5.
19. Задачи на теорию чисел
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Последняя цифра числа
Задание
1
#2195
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите последнюю цифру числа:
а) (3^{33})
б) (57^{57})
в) (2016^{2016})
а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.
То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел (457) и (369). Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть (7cdot 9 = 63), и так последняя цифра у (63) – это (3), то последняя цифра произведения чисел (457) и (369) тоже (3).
Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки: [3,, 9,, 7,, 1,, 3,, 9,, 7,, 1,cdots] Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры (3, 9, 7, 1) повторяются, значит, последняя цифра числа (3^{33}) зависит от того, какой остаток будет давать число (33) при делении на (4) (так как блоки по (4) цифры).
Так как остаток (33) при делении на (4) равен (1), то (3^{33}) заканчивается на такую же цифру, как и (3^1). Таким образом, последняя цифра числа (3^{33}) – это (3).
б) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа (57^{57}) – это (7).
в) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа (2016^{2016}) – это (6).
Ответ:
а) (3)
б) (7)
в) (6).
Задание
2
#2196
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Академик Котовский нашел самое большое простое число: (1999876891^{999}-1). Не перепутал ли чего академик?
Посмотрим на последнюю цифру числа (1999876891^{999}).
Так как число (1999876891) оканчивается на (1), то и число (1999876891^{999}) тоже оканчивается на (1), тогда число (1999876891^{999}-1) оканчивается на (0), значит, оно делится на (10), следовательно, оно не простое. Академик ошибся.
Ответ:
Перепутал
Задание
3
#2197
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Делится ли число (27^{23}+33^{11}) на (10)?
Найдем последнюю цифру числа (27^{23}+33^{11}).
Так как последняя цифра числа (27^{23}) – это (3), а последняя цифра числа (33^{11}) – это (7), то последняя цифра числа (27^{23}+33^{11}) – это (0), а значит это число делится на (10).
Ответ:
Да
Задание
4
#2198
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Докажите, что все числа вида (n!) при всевозможных натуральных (n), больших четырёх, оканчиваются на одну и ту же цифру.
При (n geq 5): [n! = 1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot …cdot n = 120cdot …cdot n] – делится на (10), следовательно, последняя цифра такого числа равна (0).
Ответ:
Доказательство
Задание
5
#2199
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите последнюю цифру числа, равного (0! + 1! + 2! + 3! + dots + 2017!), если (0! = 1) – по определению.
Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр исходных слагаемых.
Так как при (ngeq 5) последняя цифра числа (n!) равна (0), то все числа вида (n!) при (ngeq 5) не дадут вклада в последнюю цифру исходной суммы.
Таким образом, последняя цифра исходной суммы совпадает с последней цифрой суммы [0! + 1! + 2! + 3! + 4!,] которая равна последней цифре суммы последних цифр её слагаемых, то есть последней цифре числа [1 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14,] которой является цифра (4).
Ответ:
(4)
Задание
6
#2505
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Последняя цифра числа (n^2) равна (4) ((ninmathbb{N})). Может ли предпоследняя цифра числа (n^2) быть нечётной?
Так как последняя цифра числа (n^2) равна (4), то (n^2) – чётное, следовательно, (n) – чётное, тогда (n^2) делится на (4), что равносильно тому, что число, образованное двумя последними цифрами числа (n^2), делится на (4).
Не более чем двузначные числа, у которых последняя цифра равна (4), которые и сами делятся на (4): [04,qquad 24,qquad 44,qquad 64,qquad 84,.]
Таким образом, предпоследняя цифра числа (n^2) обязательно чётна.
Ответ:
Нет
Задание
7
#2504
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Можно ли составить из цифр (1), (2), (8), (9) (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в (17) раз больше другого?
Докажем методом от противного: пусть такие числа (m), (n) существуют. Пусть при этом (m = 17cdot n), тогда какой может быть последняя цифра числа (m)?
Ответ на последний вопрос зависит от последней цифры числа (n). Рассмотрим все возможные варианты:
1) последняя цифра числа (n) – это цифра (1), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (7), но (m) не может содержать в своей записи цифру (7).
2) последняя цифра числа (n) – это цифра (2), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (4), но (m) не может содержать в своей записи цифру (4).
3) последняя цифра числа (n) – это цифра (8), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (6), но (m) не может содержать в своей записи цифру (6).
4) последняя цифра числа (n) – это цифра (9), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (3), но (m) не может содержать в своей записи цифру (3).
Таким образом, подходящих (m) и (n) не существует.
Ответ:
Нет
ЕГЭ по математике — одно из самых сложных тестирований для выпускников. Многолетняя практика показала, что очень часто ученики допускают неточности при вычислении последней цифры натурального числа. Данная тематика сама по себе довольно сложна, так как требует особой точности, внимательности и развитого логического мышления. Чтобы без проблем справиться с подобными заданиями, рекомендуем воспользоваться удобным онлайн-сервисом «Школково». На нашем сайте вы найдете все необходимое для решений уравнений на нахождение последней ненулевой цифры числа и подтяните знания в смежных тематиках.
Сдавайте Единый государственный экзамен на «отлично» вместе со «Школково»!
Наш образовательный портал построен таким образом, чтобы выпускнику было максимально удобно готовиться к итоговой аттестации. Сначала ученик обращается к разделу «Теоретическая справка»: вспоминает правила решения уравнений, освежает в памяти важные формулы, которые помогают найти последнюю цифру числа. После этого переходит в «Каталоги», где находит множество задач различных уровней сложности. Если с каким-либо упражнением возникают затруднения, его можно перенести в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже и решить самостоятельно либо с помощью преподавателя.
Специалисты «Школково» собрали, систематизировали и изложили материалы по теме в максимально простой и понятной форме. Таким образом большое количество информации усваивается в короткие сроки. Школьники смогут выполнять даже те задания, которые совсем недавно вызывали у них большие трудности, в том числе и те, где необходимо указать несколько решений.
Чтобы занятия проходили максимально эффективно, рекомендуем начать с наиболее легких примеров. Если они не вызвали сложностей, не теряйте время — переходите к задачам среднего уровня, так вы определите свои слабые стороны, сделаете упор на наиболее сложные для вас задания и добьетесь больших результатов. После ежедневных занятий в течение 1―2 недель вы сможете за пару минут вывести даже последнюю цифру числа Пи. Данное задание достаточно часто встречается в ЕГЭ по математике.
База упражнений на нашем портале постоянно обновляется и дополняется преподавателями с большим стажем. У школьников есть отличная возможность каждый день получать совершенно новые задания, а не зацикливаться на одних и тех же примерах, как зачастую приходится делать при повторении по школьному учебнику.
Начните занятия на сайте «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать!
Обучение на нашем портале доступно всем желающим. Чтобы вы отслеживали свой прогресс и получали новые задания, созданные персонально для вас, зарегистрируйтесь в системе. Желаем вам удачной подготовки!
УСТАЛ? Просто отдохни
Метод анализа последней цифры числа
В ряде случаев удобным оказывается так называемый метод анализа последней (последних) цифры числа.
Пример №30.
Доказать, что число 19981999200020012002 не является квадратом целого числа.
Доказательство. Натуральное число п может оканчиваться на любую из десяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Выясним, на какую цифру при этом может оканчиваться квадрат этого числа:
Среди цифр, на которые оканчивается 
, отсутствует цифра «2». Поэтому данное число не может являться квадратом целого числа.
Пример №31.
Доказать, что ни при каком натуральном п число 
не является квадратом натурального числа.
Решение:
Выясним, на какую цифру может оканчиваться число . Сделаем это последовательно. Сначала оценим последнюю цифру числа 
далее эта последовательность последних цифр 3,9,7,1,3,9,7,1,… циклически повторяется. Оценим теперь последние цифры чисел 
и 
:
далее последовательность последних цифр 4,8,6,2,… также циклически повторяется. Суммируя, получаем,что
и далее эта последовательность последних цифр выражения 
опять-таки циклически (с периодом 4) повторяется.
Таким образом, методом анализа последней цифры удалось установить, что при любых натуральных п число 
может оканчиваться только на цифры 3 или 7. Но квадрат никакого натурального числа этими цифрами не оканчивается (квадрат натурального числа может оканчиваться только на одну из цифр 0, 1,4, 5, 6, 9), что и доказывает утверждение.
Пример №32.
Найти последнюю цифру числа 
.
Решение:
Решим сначала более простую задачу, а именно найдём последнюю цифру числа 
. Выясним, на какие цифры может оканчиваться натуральная степень числа 2:
Очевидно, что при дальнейшем увеличении показателя степени последовательность последних цифр 
будет циклически повторяться. Представим число 
в виде: 
Имеем: 
Заметим, что число 
в скобках оканчивается цифрой 
, и поэтому любая его натуральная степень также будет оканчиваться этой цифрой. Итак, число 
оканчивается цифрой , и это число умножается на четыре. Поэтому последней цифрой их произведения будет 
Если теперь повторить проведенные рассуждения для числа
, то окажется (сделайте это самостоятельно), что добавление одной или нескольких цифр перед 
не оказывает влияния на полученный результат.
Ответ: число оканчивается цифрой
Пример №33.
Существует ли такое натуральное число n ,что 
делится нацело на 2005?
Решение:
Последней цифрой у натурального числа n может быть любая из цифр 
Последней цифрой у числа 
может быть соответственно 
Тогда последняя цифра у числа , как несложно посчитать, может соответственно принимать значения 
Но тогда это число не делится даже на 
, а значит, не может делиться и на 
.
Существуют задачи, решение которых опирается на знание определений и свойств специфических групп целых чисел или же на определённые понятия. К таким задачам можно отнести задачи на простые числа, а также на НОК и НОД. Для их решения разработаны, в том числе, специальные приёмы, учитывающие их специфику. Рассмотрим примеры задач этого типа.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Предмет математика
Эти страницы возможно вам будут полезны:
Is there a way to get the last digit of a number. I am trying to find variables that end with «1» like 1,11,21,31,41,etc..
If I use a text variable I can simply put
print number[:-1]
but it works for variables with text(like «hello) but not with numbers. With numbers I get this error:
TypeError: 'int' object is not subscriptable
I am trying to see if there’s a better way to deal with numbers this way. I know a solution is to convert to a string and then do the above command but I’m trying to see if there’s another way I have missed.
Thanks so much in advance…
asked Mar 10, 2011 at 2:36
Remainder when dividing by 10, as in
numericVariable % 10
This only works for positive numbers. -12%10 yields 8
answered Mar 10, 2011 at 2:36
Jim GarrisonJim Garrison
85.3k20 gold badges153 silver badges190 bronze badges
0
Use the modulus operator with 10:
num = 11
if num % 10 == 1:
print 'Whee!'
This gives the remainder when dividing by 10, which will always be the last digit (when the number is positive).
answered Mar 10, 2011 at 2:37
CameronCameron
95.4k25 gold badges194 silver badges222 bronze badges
2
So you want to access the digits in a integer like elements in a list; easiest way I can think of is:
n = 56789
lastdigit = int(repr(n)[-1])
# > 9
Convert n into a string, accessing last element then use int constructor to convert back into integer.
For a Floating point number:
n = 179.123
fstr = repr(n)
signif_digits, fract_digits = fstr.split('.')
# > ['179', '123']
signif_lastdigit = int(signif_digits[-1])
# > 9
answered Oct 17, 2011 at 5:07
Zv_oDDZv_oDD
1,8181 gold badge18 silver badges26 bronze badges
1
I can’t add a comment yet, but I wanted to iterate and expand on what Jim Garrison said
Remainder when dividing by 10, as in
numericVariable % 10
This only works for positive numbers. -12%10 yields 8
While modulus (%) is working as intended, throw on an absolute value to use the modulus in this situation.
abs(numericVariable) % 10
answered Feb 21, 2017 at 21:19
Micah PearceMicah Pearce
1,7833 gold badges27 silver badges60 bronze badges
Lostsoul, this should work:
number = int(10)
#The variable number can also be a float or double, and I think it should still work.
lastDigit = int(repr(number)[-1])
#This gives the last digit of the variable "number."
if lastDigit == 1 :
print("The number ends in 1!")
Instead of the print statement at the end, you can add code to do what you need to with numbers ending in 1.
Hope it helped!
answered Feb 3, 2019 at 3:37
Convert to string first:
oldint = 10101
newint = int(str(oldint)[-1:])
answered Dec 15, 2019 at 3:05
JayJay
1,2593 gold badges11 silver badges22 bronze badges
The simplest and most efficient way is to use the reminder :
last_digit = orginal_number % 10
answered Aug 14, 2020 at 17:37
1
This is a simple yet effective way to do it
if number < 0:
remainder = number % -10
else:
remainder = number % 10
answered Jun 28, 2022 at 10:29
1
By using iteration and the in built function of ‘digit’ the number is treated as binary and so it goes from backwards to forwards. Here is an example of a bit of code for you.
for digit in binary:
denary= denary*2 + int(digit)
answered Nov 5, 2017 at 15:02
Try this efficient one-liner code to call the last digit of any integer.
The logic is first to convert the given value to a string and then convert it into the list to call the last digit by calling the -1 index. After that, convert it into an integer to wrap it up.
val is a variable that represents any integer.
int(list(str(val))[-1])
Example:
val = 23442
int(list(str(val))[-1])`
Output: 2
answered Dec 22, 2022 at 10:43
1