Как найти циклическую частоту по закону - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

амплитуда,
период,
частота,
циклическая частота,
фаза,
начальная фаза.

Рис. 1. Основные характеристики колебаний – это амплитуда, период и начальная фаза

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_{0} ) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Рис. 2. Амплитуда – это максимальное отклонение от горизонтальной оси либо вверх, либо вниз. Горизонтальная ось проходит через уровень нуля на оси, на которой отмечены амплитуды

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

( large T left( c right) ) – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

Рис. 3. Период колебаний – это горизонтальное расстояние между двумя похожими точками на графике

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

Рис. 4. Удобно определять период, как расстояние между двумя соседними вершинами, либо между двумя впадинами

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

( large nu left( frac{1}{c} right) ).

Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^{-1} right) ), потому, что по свойствам степени ( large displaystyle frac{1}{c} = c^{-1} ).

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

[ large displaystyle boxed{ frac{ 1 text{колебание}}{1 text{секунда}} = 1 text{Гц} }]

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

[ large boxed{ nu = frac{1}{T} }]

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

Рис. 5. На графике частота – это количество периодов, уместившихся в одну секунду

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

( large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) )

Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».

Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:

[ large boxed{ omega = 2pi cdot nu }]

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac{1}{T} ) и вычислить частоту ( large nu ).

И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

Рис. 6. На графике циклическая (круговая) частота – это количество периодов, уместившихся в 2 пи секунд

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_{0} ).

(large varphi_{0} left(text{рад} right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рис. 7. Угол отклонения качелей перед началом колебаний

Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_{0} ) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_{0} ) принимаем равной нулю.

Рис. 8. Вертикальное положение стартовой точки в момент времени t = 0 и сдвиг графика по горизонтали определяется начальной фазой

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_{0} ) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол (large varphi_{0} ) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_{0} ) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_{0} ).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

[large T = 5 – 1 = 4 left( text{сек} right)]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac{Delta t }{T} ):

[large frac{Delta t }{T} = frac{1}{4} ]

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.

Для этого используем формулу:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large displaystyle frac{1}{4} cdot 2pi = frac{pi }{2} =varphi_{0} )

Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

[large varphi_{0} = — frac{pi }{2} ]

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_{0} = 0 ).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_{0} ) записываем со знаком «-».

Примечания:

Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
На графике колебаний начальная фаза ( varphi_{0}) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

Рис. 9. Угол отклонения от равновесия – фаза, изменяется в процессе колебаний

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной ( varphi_{0}) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Рис. 10. Перед началом колебаний задаем начальную фазу — начальный угол отклонения от равновесия. А угол, который изменяется во время колебаний, называют фазой

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

Рис. 11. На графике колебаний фаза – это точка, скользящая по кривой. В различные моменты времени она находится в разных положениях на графике

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_{0}) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

Обозначим их:

( large varphi_{01}) – для первого процесса и,

( large varphi_{02}) – для второго процесса.

Рис. 12. Для двух колебаний можно ввести понятие разности фаз

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

[large boxed{ Delta varphi = varphi_{01} — varphi_{02} }]

Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:

[large boxed{ T cdot N = t }]

( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);

( large N left( text{шт} right) ) – количество полных колебаний;

( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;

Период и частота колебаний связаны так:

[large boxed{ T = frac{1}{nu} }]

(large nu left( text{Гц} right) ) – частота колебаний.

Количество и частота колебаний связаны формулой:

[large boxed{ N = nu cdot t}]

Связь между частотой и циклической частотой колебаний:

[large boxed{ nu cdot 2pi = omega }]

(large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.

Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

(large varphi_{0} left( text{рад} right) ) — начальная фаза;

(large varphi left( text{рад} right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

Между фазой и количеством колебаний связь описана так:

[large boxed{ varphi = N cdot 2pi }]

Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

Источник

Циклическая частота колебаний, теория и онлайн калькуляторы

Циклическая частота колебаний

Определение

Мерой колебательного движения служит циклическая (или угловая, или круговая) частотой колебаний.

Это скалярная физическая величина.

Циклическая частота при гармонических колебаниях

Пусть колебания совершает материальная точка. При этом материальная точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение.

Самыми простыми колебаниями являются гармонические колебания. Рассмотрим следующую кинематическую модель. Точка M с постоянной по модулю скоростью ($v$) движется по окружности радиуса A. В этом случае ее угловую скорость обозначим ${omega }_0$, эта скорость постоянна (рис.1).

Проекция точки $M$ на диаметр окружности (точка $N$), на ось X, выполняет колебания от $N_1$ до $N_2 $и обратно. Такое колебание N ,будет гармоническим. Для описания колебания точки N необходимо записать координату точки N, как функцию от времени ($t$). Пусть при $t=0$ радиус OM образует с осью X угол ${varphi }_0$. Через некоторый промежуток времени этот угол изменится на величину ${omega }_0t$ и будет равен ${omega }_0t+{varphi }_0$, тогда:

[x=A{cos left({omega }_0t+{varphi }_0right) }left(1right).]

Выражение (1) является аналитической формой записи гармонического колебания точки N по диаметру $N_1N_2$.

Обратимся к выражению (1). Величина $A$ — это максимальное отклонение точки, совершающей колебания, от положения равновесия (точки О — центра окружности), называется амплитудой колебаний.

Параметр ${omega }_0$ — циклическая частота колебаний. $varphi =({omega }_0t+{varphi }_0$) — фаза колебаний; ${varphi }_0$ — начальная фаза колебаний.

Циклическую частоту гармонических колебаний можно определить как частную производную от фазы колебаний по времени:

[{omega }_0=frac{?varphi }{partial t}=dot{varphi }left(2right).]

При ${varphi }_0=0$, уравнение колебаний (1) преобразуется к виду:

[x=A{cos left({omega }_0tright) }left(3right).]

Если начальная фаза колебаний равна ${varphi }_0=frac{pi }{2}$ , то получим уравнение колебаний в виде:

[x=A{{rm s}in left({omega }_0tright) }left(4right).]

Выражения (3) и (4) показывают, что при гармонических колебаниях абсцисса $x$ — это функция синус или косинус от времени. При графическом изображении гармонических колебаний получается косинусоида или синусоида. Форма кривой определена амплитудой колебаний и величиной циклической частоты. Положение кривой зависит от начальной фазы.

Циклическую частоту колебаний можно выразить через период (T) колебаний:

[{omega }_0=frac{2pi }{T}left(5right).]

Циклическую частоту с частотой $?$$?$ свяжем выражением:

[{omega }_0=2pi nu left(6right).]

Единицей измерения циклической частоты в Международной системе единиц (СИ) является радиан, деленный на секунду:

[left[{omega }_0right]=frac{рад}{с}.]

Размерность циклической частоты:

[{dim left({omega }_0right)=frac{1}{t}, }]

где $t$ — время.

Частные случаи формул для вычисления циклической частоты

Груз на пружине (пружинный маятник — идеальная модель) совершает гармонические колебания с круговой частотой равной:

[{omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}left(7right),]

$k$ — коэффициент упругости пружины; $m$ — масса груза на пружине.

Малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими колебаниями с циклической частотой равной:

[{omega }_0=sqrt{frac{mga}{J}}left(8right),]

где $J$ — момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ — расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ — масса маятника.

Примером физического маятника является математический маятник. Круговая частота его колебаний равна:

[{omega }_0=sqrt{frac{g}{l}}left(9right),]

где $l$ — длина подвеса.

Угловая частота затухающих колебаний находится как:

[omega =sqrt{{omega }^2_0-{delta }^2}left(10right),]

где $delta $ — коэффициент затухания; в случае с затуханием колебаний ${omega }_0$ называют собственной угловой частотой колебаний.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Чему равна циклическая частота гармонических колебаний, если максимальная скорость материальной точки равна ${dot{x}}_{max}=10 frac{см}{с}$, а ее максимальное ускорение ${ddot{x}}_{max}=100 frac{см}{с^2}$?

Решение: Основой решения задачи станет уравнение гармонических колебаний точки, так как из условий, очевидно, что они происходят по оси X:

[x=A{cos left({omega }_0t+{varphi }_0right) }left(1.1right).]

Скорость колебаний найдем, используя уравнение (1.1) и кинематическую связь координаты $x$ и соответствующей компоненты скорости:

[v_x=frac{dx}{dt}=-A{omega }_0left({sin left({omega }_0t+{varphi }_0right) }right)left(1.2right).]

Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равна:

[v_{max}={dot{x}}_{max}=Aщ_0 left(1.3right).]

Ускорение точки вычислим как:

[a_x==frac{dv_x}{dt}=-A{{omega }_0}^2left({cos left({omega }_0t+{varphi }_0right) }right)left(1.4right),]

из (1.4):

[a_{max}={ddot{x}}_{max}=A{{omega }_0}^2(1.5).]

Из формулы (1.3) выразим амплитуду, подставим ее в (1.5), получим циклическую частоту:

[{dot{x}}_{max}=A{omega }_0to A=frac{{dot{x}}_{max}}{{omega }_0};; {ddot{x}}_{max}=A{щ_0}^2=frac{{dot{x}}_{max}}{щ_0}{щ_0}^2to щ_0=frac{{ddot{x}}_{max}}{{dot{x}}_{max}}.]

Вычислим циклическую частоту:

[щ_0=frac{100}{10}=10(frac{рад}{с}).]

Ответ: $щ_0=10frac{{rm рад}}{{rm с}}$

Пример 2

Задание: На длинном невесомом стержне закреплены два груза одинаковой массы. Один груз находится на середине стержня, другой на его конце (рис.2). Система совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стрежня. Какова циклическая частота колебаний? Длина стержня равна $l$.

Решение: Основой для решения задачи является формула нахождения частоты колебаний физического маятника:

[{omega }_0=sqrt{frac{mga}{J}}left(2.1right),]

где $J$ — момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ — расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ — масса маятника. Масса маятника по условию задачи состоит из масс двух одинаковых шариков (масса одного шарика $frac{m}{2}$). В нашем случае расстояние $a$ равно расстоянию между точками O и C (см. рис.2):

[a=frac{3}{4}l left(2.2right).]

Найдем момент инерции системы из двух точечных масс. Относительно центра масс (если ось вращения провести через точку C), момент инерции системы ($J_0$) равен:

[J_0=2cdot frac{m}{2}cdot frac{l^2}{16}=frac{ml^2}{16}left(2.3right).]

Момент инерции нашей системы относительно оси, проходящей через точку О найдем по теореме Штейнера:

[J=J_0+m{(frac{3}{4}l )}^2=frac{ml^2}{16}+frac{m9l^2}{16}=frac{5}{8}ml^2left(2.4right).]

Подставим правые части выражение (2.2) и (2.4) в (2.1) вместо соответствующих величин:

[{omega }_0=sqrt{frac{mgfrac{3}{4}l }{frac{5}{8}ml^2}}=sqrt{frac{6g}{5l}}.]

Ответ: ${omega }_0=sqrt{frac{6g}{5l}}$

Читать дальше: амплитуда скорости груза.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Циклическая частота колебаний

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 207.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 207.

Любые колебательные процессы в Природе (в том числе и непериодические) могут быть представлены в виде бесконечной суммы простых гармонических колебаний. Поэтому в первую очередь изучаются гармонические колебания. Рассмотрим такую характеристику этих колебаний, как циклическая частота.

Период и частота гармонических колебаний

Впервые гармоническими колебаниями заинтересовались еще античные философы, изучая вопросы музыкальной гармонии. Поэтому простейшие колебания, происходящие по закону круговых функций (синуса или косинуса), называются гармоническими.

Формула гармонических колебаний:

$$x=Asin(omega t+varphi)$$

Рис. 1. График гармонических колебаний.

Как можно видеть из графика колебаний (а также из изучения круговых функций в математическом анализе), функции эти регулярно повторяют свои значения. Более того, регулярно повторяется форма графика колебаний. Это свойство функции называется периодичностью. То есть, функция, обладающая периодичностью, имеет равные значения на промежутках, равных своему периоду.

Период обозначается латинской буквой $T$. Однако, физический и математический подход к измерению периода немного различен.

В математике в качестве аргумента круговой функции рассматривается угол поворота вектора, образующего ее, и этот угол удобно измерять в радианах (каждый радиан равен дуге, имеющей длину радиуса). В радианах измеряется и период круговой функции. Для простого синуса или косинуса $T = 2pi$.

Рис. 2. Период синуса и косинуса.

В физике угол поворота менее важен, нередко такой угол даже невозможно указать (например, для колебаний пружинного маятника). Поэтому в физике период измеряется в единицах времени – секундах. Дополнительно это дает возможность ввести специальную характеристику, позволяющую определить «скорость» колебаний – частоту (обозначается греческой буквой $nu$ («ню»).

Если период показывает, за сколько времени совершается одно колебание, то частота показывает, сколько колебаний совершается за одну секунду:

$$nu= {1over T}$$

Частота измеряется в колебаниях в секунду или Герцах (Гц). Один герц – это одно колебание в секунду.

Круговая частота

Как видим, физический и математический подход к описанию периода функций несколько отличаются, и возникает вопрос их связи.

Из приведенной выше формулы гармонических колебаний можно видеть, что она имеет период:

$$T = {2pi over omega}$$

В эту формулу входит параметр $omega$, который обратно пропорционален периоду. При сравнении этой формулы с формулой частоты можно получить:

$$T = {2pi over omega}={1over nu}$$

Или, после упрощений:

$$omega = 2pi nu$$

Таким образом, параметр $omega$ в $2pi$ раз больше частоты колебаний. Поскольку в одном круге $2pi$ радиан, то параметр $omega$ называется «круговой» или «циклической» частотой.

Физический смысл частоты – это количество колебаний, происходящих в системе за единицу времени, а физический смысл круговой частоты – это количество радиан, проходящих функцией, описывающей систему, за единицу времени.

Рис. 3. Круговая (циклическая) частота.

Таким образом, удобный и наглядный параметр частоты может быть легко преобразован для вида, удобного в математических преобразованиях.

Что мы узнали?

Круговая (циклическая) частота – это важный параметр гармонического колебания, удобный в математической обработке функций. Круговая частота обозначает количество радиан, прошедших гармонической функцией за единицу времени. Она прямо пропорциональна обычной частоте.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка доклада

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 207.

А какая ваша оценка?

Источник

Колебания.
Механические
колебания.
Превращения
энергии при механических колебаниях.
Период колебаний.
Частота колебаний.
Циклическая
частота колебаний.
Амплитуда
механических колебаний.
Гармонические
колебания.
Фаза гармонического
колебания.
Аналитическое
представление колебаний.
Графическое
представление колебаний.
Скорость точки в
гармоническом колебании.
Ускорение точки
в гармоническом колебании.
Динамика
гармонического колебания.
Период колебаний
пружинного маятника.
Математический
маятник. Квазиупругая сила.
Колебания тела,
плавающего на поверхности жидкости.
Колебания однородной
жидкости в U
– образной трубке.
Колебания тела в
сферической чаше.
Энергия гармонического
колебания.
Затухающие
колебания.
Вынужденные
колебания.
Резонанс.
Свободные колебания.
Собственная частота.
Автоколебания.

1. Колебания.
Колебаниями
вообще называют периодические изменения
состояния системы, при которых периодически
изменяются значения различных физических
величин, характеризуют данную систему.
Например, периодические изменения
давления и плотности воздуха, напряжения
и силы электрического тока есть колебания
этих величин.

Математически
периодичность означает, что, если

— есть периодическая функция времени с
периодом Т,
то при любом t
выполняется
равенство

2. Механические
колебания
– движения тела, которые точно или почти
точно повторяются через равные интервалы
времени.

Механические
колебания возникают в системах, имеющих
положение устойчивого равновесия.
Согласно с принципом минимума потенциальной
энергии, в положении устойчивого
равновесия потенциальная энергия
системы минимальна. Когда тело выводят
из положения устойчивого равновесия,
его потенциальная энергия возрастает.
При этом возникает сила, направленная
к положению равновесия (возвращающая
сила), и чем дальше от положения равновесия
отклоняется тело, тем больше его
потенциальная энергия и тем больше
модуль возвращающей силы. Например, при
отклонении пружинного маятника от
положения равновесия, роль возвращающей
силы играет сила упругости, модуль
которой изменяется пропорционально
отклонению

,
где х
отклонение маятника от положения
равновесия. Потенциальная энергия
пружинного маятника изменяется
пропорционально квадрату смещения

Аналогично возникают
колебания нитяного маятника и шарика,
движущегося по дну сферической чаши
радиуса R,
который можно рассматривать как нитяной
маятник с длиной нити равной радиусу
чаши (Рис.78).

3.Превращения
энергии при механических колебаниях.
Если отсутствуют силы трения, то полная
механическая энергия тела, совершающего
колебательное движение, остаётся
постоянной. В процессе колебаний
происходят периодические взаимные
превращения потенциальной и кинетической
энергии тела. Проведем рассуждения на
примере колебаний нитяного маятника .
Для упрощения рассуждений примем
потенциальную энергию маятника в
положении равновесия равной нулю. В
крайнем отклонённом положении
потенциальная энергия маятника
максимальна, а кинетическая энергия
равна нулю, т.к. в этом положении маятник
находится в покое. При движении к
положению равновесия высота маятника
над поверхностью Земли уменьшается,
уменьшается и потенциальная энергия,
при этом возрастают его скорость и
кинетическая энергия. В положении
равновесия потенциальная энергия равна
нулю, а кинетическая энергия максимальна.
Продолжая движение по инерции, маятник
проходит положение равновесия. После
прохождения положения равновесия
кинетическая энергия маятника убывает,
но возрастает его потенциальная энергия.
Когда произойдёт остановка маятника,
его кинетическая энергия станет равной
нулю, а потенциальная энергия достигнет
максимума и всё повторится в обратном
порядке.

По закону сохранения
энергии потенциальная энергия маятника
в крайнем отклоненном положении равна
его кинетической в момент прохождения
положения равновесия.

В процессе колебаний
в любой момент времени полная механическая
энергия маятника равна его потенциальной
в крайнем отклонённом положении или
кинетической энергии в момент прохождения
положения равновесия

где

высота
маятника в крайнем отклоненном положении,

скорость
в момент прохождения положения
равновесия.

4. Период
колебания
– минимальный интервал времени , через
который происходит повторение движения,
или интервал времени, в течение которого
происходит одно полное колебание. Период
(Т)
измеряется в секундах.

5. Частота
колебании
—

определяет число полных колебаний,
совершаемых за одну секунду. Частота и
период связаны соотношением

Частота измеряется
в герцах (Гц). Один герц – одно полное
колебание совершаемое за одну секунду

6. Циклическая
частота или круговая частота

определяет число полных колебаний,
свершаемых за

секунд

Частота – величина
положительная

,

7. Амплитуда
механических колебаний
– максимальное отклонение тела от
положения равновесия. В общем случае
колебаний амплитуда есть максимальное
значение, которое принимает периодически
изменяющаяся физическая величина.

8. Гармонические
колебания
– колебания, в которых колеблющаяся
величина изменяется по закону синуса
или косинуса (по гармоническому закону):

Здесь

амплитуда
колебаний,

циклическая
частота.

9
.
Фаза
гармонического колебания –
величина

,
стоящая под
знаком синуса или косинуса. Фаза
определяет значение колеблющейся
величины в данный момент времени,

начальная
фаза, т.е. в момент начала отсчёта времени

Простейшим
примером гармонических колебаний
является колебание проекции на оси
координат точки m
движущейся равномерно по окружности

радиуса А
в плоскости XOY,
центр которой совпадает с началом
координат (рис. 79)

Для простоты
положим

,
т.е.

тогда

Многие известные
колебательные системы можно лишь
приближенно считать гармоническими
лишь приближенно при очень малых
отклонениях. Главным условием
гармонического колебания является
постоянство циклической частоты и
амплитуды. Например, при колебаниях
нитяного маятника, угол отклонения от
вертикали изменяется неравномерно,
т.е. циклическая частота

не постоянна. Если отклонения очень
малы, то движение маятника происходит
очень медленно и неравномерностью
движения можно пренебречь, полагая

.
Чем медленнее движение, тем меньше
сопротивление среды, те меньше потери
энергии и меньше изменения амплитуды.

Итак, малые колебания
можно приближенно считать гармоническими.

1
0.
Аналитическое
представление колебаний
– запись колеблющейся величины в виде
функции

,
выражающей зависимость величины от
времени.

11. Графическое
представление колебаний – представление
колебаний
в виде графика функции

в координатных осях OX
и t
.

Например, аналитически
гармоническое колебания записывается
в виде

,
а его графическое представление
изображается синусоидой — сплошная
линия на Рис.80.

12.
Скорость точки при гармоническом
колебании
– получим, дифференцируя по времени
функцию х(t)

,
где

амплитуда скорости, пропорциональна
циклической частоте и амплитуде смещения.

Итак, скорость V
по синусоидальному закону с таким же
периодом T,
что и смещение
х
в пределах

.
Фаза скорости

опережает фазу смещения на

.
Это значит, что скорость максимальна,
когда точка проходит положение равновесия

,
а при максимальных смещениях точки

её скорость равна нулю . График скорости
представлен пунктирной линией на рис
Рис.80

13. Ускорение
точки при гармонических колебаниях
получим,
дифференцируя скорость по времени или
дифференцируя смещение х
дважды по времени :

где

— амплитуда ускорения пропорциональная
амплитуде смещения и квадрату циклической
частоты.

У
скорение
точки при гармонических колебаниях
изменяется по синусоидальному закону
с тем же периодом Т,
что и смещение в пределах

Фаза ускорения опережает фазу смещения
на

.
Ускорение равно нулю в момент прохождения
точкой положения равновесия, На Рис.81
график ускорения изображен пунктирной
линией, сплошная линия изображает
график смещения.

Учитывая, что

ускорение запишем в виде

т.е. ускорение в
гармоническом колебании пропорционально
смещению и всегда направлено к положению
равновесия ( против смещения). Удаляясь
от положения равновесия точка движется
ускоренно, приближаясь к положению
равновесия точка движется ускоренно.

14. Динамика
гармонического колебания.
Умножив ускорение точки, совершающей
гармоническое колебание, на её массу
получим согласно второму закону Ньютона
силу, действующую на точку

Обозначим

Теперь запишем силу, действующую на
точку

Из последнего равенства
следует, что гармонические колебания
вызываются силой пропорциональной
смещению и направленной против смещения,
т.е. к положению равновесия.

15. Период
колебаний пружинного маятника. Пружинный
маятник совершает колебания под
действием силы упругости

Сила пропорциональная
смещению и направленная к положению
равновесия вызывает гармонические
колебания точки. Поэтому колебания
пружинного маятника гармонические.
Коэффициент жесткости равен

Помня, что

получим период свободных колебаний
пружинного маятника

Частота пружинного
маятника равна

1
5.
Математический
маятник –
материальная точка, подвешенная на
бесконечно тонкой, невесомой, нерастяжимой
нити, совершающая колебания в вертикальной
плоскости, под действием силы тяжести.

Груз, подвешенный
на нити, размеры которого пренебрежимо
малы по сравнению с длиной нити , можно
приближенно считать математическим
маятником. Часто такой маятник называют
нитяным маятником.

Рассмотрим малые
колебания математического маятника
длиной l.
В положении равновесия сила тяжести
уравновешена силой натяжения нити,
т.е.

.

Если отклонить
маятник на малый угол

,
то сила тяжести и сила натяжения,
направленные под углом друг к другу, в
сумме дают равнодействующую силу

,которая
направлена к положению равновесия. На
Рис.82 отклонение маятника от вертикали
равно

Угол

настолько мал, что циклическую частоту,
т.е. угловую скорость вращения нити
можно считать постоянной. Поэтому

и смещение маятника запишем в виде

Таким образом,
малые колебания математического маятника
есть гармонические колебания. Из Рис.
82 следует, что сила

,
но

,
следовательно

где m,
g,
и l
постоянные величины. Обозначим

и получим модуль возвращающей силы в
виде

.
Если учесть, что сила

всегда направлена к положению равновесия,
т.е. против смещения, то её выражение
запишем в виде

Итак, сила, вызывающая
колебания математического маятника
пропорциональна смещению и направлена
против смещения, как при колебаниях
пружинного маятника, т.е характер этой
силы такой же как и силы упругой. Но по
природе упругая сила есть сила
электромагнитная. Сила же вызывающая
колебания математического маятника по
своей природе есть сила гравитационная
– неэлектромагнитная поэтому её называют
квазиупругой
силой. Любая сила, которая действует
как сила упругая, по природе не является
электромагнитной, называется квазиупругой
силой. Это позволяет нам записать
выражение периода колебаний математического
маятника в виде

Из этого равенства
следует, что период колебаний
математического маятника не зависит
от массы маятника, но зависит от его
длины и ускорения свободного падения.
Зная период колебаний математического
маятника и его длину, можно определить
ускорение свободного падения в любой
точке на поверхности Земли.

17. Колебания
тела, плавающего на поверхности жидкости.
Для простоты
рассмотрим тело массы m
в форме цилиндра с площадью основания
S.
Тело плавает
частично погрузившись в жидкость,
плотность которой

(Рис.
83).

Пусть в положении
равновесия глубина погружения

.
При этом равнодействующая силы Архимеда

и силы тяжести

равна нулю

Если изменить
глубину погружения на х
то сила Архимеда станет равной

и модуль равнодействующей силы F
станет отличен от нуля

Учитывая, что

получим

Обозначая

,
модуль силы F
в виде

Если глубина
погружения увеличивается, т.е. тело
смещается вниз, сила Архимеда становится
больше силы тяжести и равнодействующая
F
направлена вверх, т.е. против смещения.
Если же глубина погружения уменьшается
, т.е. смещается вверх от положения
равновесия, сила Архимеда становится
меньше силы тяжести и равнодействующая
F
направлена вниз, т.е. против смещения.

Итак, сила F
всегда направлена против смещения и
её модуль пропорционален смещению

Э
та
сила квазиупругая и она вызывает
гармонические колебания тела, плавающего
на поверхности жидкости. Период этих
колебаний вычисляется по общей для
гармонических колебаний формуле

18. Колебания
однородной жидкости в U-трубке.
Пусть однородная жидкость массы m,
плотность которой

налита
в U
– образную трубку, площадь сечения
которой S
(Рис.84) В состоянии равновесия высоты
столбов в обоих коленах трубки одинаковы,
по закону сообщающихся сосудов для
однородной жидкости.

Если жидкость
вывести из состояния равновесия, то
высоты столбов жидкости в коленах будут
периодически изменяться, т.е. жидкость
в трубке будет совершать колебан
ия.

Пусть в некоторый
момент времени высота столба жидкости
в правом колене на х
больше . чем в левом. Это значит, что на
жидкость в трубке действует сил тяжести
жидкости в столбе высотой х,

,
где

— объём столба жидкости высотой x.
Произведение

величина постоянная, следовательно

Таким образом,
модуль силы F
пропорционален разности высот столбов
жидкости в коленах, т.е. пропорционален
смещению жидкости в трубке. Направление
этой силы всегда противоположно смещению,
т.е.

Следовательно
эта сила вызывает гармонические колебания
жидкости в трубке. Период этих колебаний
запишем по правилу для гармонических
колебаний

19. Колебания
тела в сферической чаше.
Пусть тело скользит без трения в
сферической чаше радиуса R
(Рис. 78). При малых отклонениях от положения
равновесия колебания этого тела можно
рассматривать как гармонические
колебания математического маятника,
длина которого равна R,
с периодом равным

20. Энергия
гармонического колебания.
В качестве примера рассмотрим колебания
пружинного маятника. При смещении х
его потенциальная энергия равна

.
В
этот же момент его кинетическая энергия
равна

Учитывая, что

получим
полную механическую энергию маятника

Или подставив

Эта формула
позволяет вычислить полную механическую
энергию любой системы, совершающей
гармонические колебания.

21. Затухающие
колебания.
Механические колебания происходят в
средах, оказывающих сопротивление
движению. Поэтому энергия колебательного
движения расходуется на работу по
преодолению сил трения.

Е
сли
силы трения не очень велики, то амплитуда
колебаний постепенно уменьшается и
колебания прекратятся. График затухающего
колебания представлен на Рис. 85. Это
периодическое движение, амплитуда
которого постепенно уменьшается.

Если сила трения
очень велика, то затухающие колебания
не происходят. Тело , выведенное из
положения равновесия какими-либо силами,
после прекращения действия этих сил
возвращается в положение равновесия и
останавливается. Такое движение
называется апериодическим (непериодическим).
График апериодического движения
представлен на Рис.86.

2
2.
Вынужденные
колебания
– незатухающие колебания системы,
которые вызываются внешними периодически
меняющимися с течением времени силами
( вынуждающие силы).

Если вынуждающая
сила изменяется по гармоническому
закону

где

амплитуда
вынуждающей силы,

её
циклическая частота, то в системе могут
установиться вынужденные гармонические
колебания с циклической частотой равной
частоте вынуждающей силы

23. Резонанс
– резкое возрастание амплитуды
вынужденных колебаний при совпадении
частоты вынуждающей силы с частотой
свободных колебаний системы

.
Если колебание происходит в среде,
оказывающей сопротивление, то график
зависимости амплитуды вынужденных
колебаний от частоты вынуждающей силы
выглядит так как на Рис.87

Вынуждающая сила,
частота которой совпадает с частотой
свободных колебаний системы, даже при
очень малых амплитудах вынуждающей
силы может вызвать колебания с очень
большой амплитудой.

24. Свободные
колебания. Собственная частота системы.
Свободными колебаниями называют
колебания системы, происходящие под
действием её внутренних сил. Для
пружинного маятника внутренней силой
является сила упругости. Для математического
маятника, который состоит из самого
маятника и Земли, внутренней силой
является сила тяжести. Для тела, плавающего
на поверхности жидкости, внутренней
силой является сила Архимеда.

25. Автоколебания
– незатухающие
колебания, происходящие в среде, за счет
источника энергии не обладающего
колебательными свойствами, компенсирующего
потери энергии на преодоление сил
трения. Автоколебательные системы
получают равные порции энергии через
равные интервалы времени например,
через один период. Примером автоколебательной
системы являются часы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Механические колебания.

Гармонические колебания.
Уравнение гармонических колебаний.
Пружинный маятник.
Математический маятник.
Свободные и вынужденные колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: nu =1/T . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

к оглавлению ▴

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение x=0 . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции x(t) , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на pi /2 , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина alpha , равная значению фазы при t=0 , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: $x_{0}=Acos alpha$ .

Величина называется omega циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное 2 pi радиан: , откуда

$omega = frac{displaystyle 2pi }{displaystyle T}$ (2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

$x=Acos(frac{displaystyle 2pi t }{displaystyle T}+ alpha), x=Acos(2 pi nu t + alpha)$ .

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину $x_{0}$ и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае $x_{0}=A$ , поэтому можно положить alpha=0 . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае $x_{0}=0$ , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

к оглавлению ▴

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

$v_{x}=dot{x}=-Aomega sin(omega t+alpha )$ . (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

$a_{x}=ddot{x}=-Aomega^{2} cos(omega t+alpha )$ . (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем $-omega^{2}$ :

$a_{x}=-omega^{2}x$ . (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

$ddot{x}+omega^{2}x=0$ . (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой omega и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

к оглавлению ▴

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате x=0 отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости vec F со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

$ma_{x}=F_{x}$ . (8)

Если x>0 (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и $F_{x}<0$ . Наоборот, если x<0 , то $F_{x}>0$ . Знаки и $F_{x}$ всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

$F_{x}=-kx$

Тогда соотношение (8) принимает вид:

$ma_{x}=-kx$

или

$a_{x}=-frac{displaystyle k}{displaystyle m}x$ .

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle k}{displaystyle m}$ .

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle k}{displaystyle m}}$ . (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

$T=2 pi sqrt{frac{displaystyle m}{displaystyle k}}$ . (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

к оглавлению ▴

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

и спроектируем его на ось :

$ma_{x}=T_{x}$ .

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. x>0 ), то:

$T_{x}=-Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. x<0 ), то:

$T_{x}=Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Итак, при любом положении маятника имеем:

$ma_{x}=-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ . (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство T=mg . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

$ma_{x}=-mgfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ ,

или

$a_{x}=-frac{displaystyle g}{displaystyle l}x$ .

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle g}{displaystyle l}$ .

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle g}{displaystyle l}}$ . (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

$T=2pi sqrt{frac{displaystyle l}{displaystyle g}}$ . (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

к оглавлению ▴

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы F(t) , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна $omega_{0}$ , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

$F(t)=F_{0}cos omega t$ .

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
omega вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты $omega=omega_{r}$ наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: $omega_{r} approx omega_{0}$ , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, $omega_{r} = omega_{0}$ , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при $omega Rightarrow omega_{0}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Механические колебания.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник