Как найти циркуляцию вектора вдоль контура

Циркуляция векторного поля

Пусть
в области
задано
непрерывное векторное полеи
ориентированная гладкая кривая(с
заданным направлением обхода). Обозначим
единичный вектор касательной к линиичерез,
направление которого совпадает с
выбранным направлением на линии.Определение.
Линейным
интегралом
векторного поля
вдоль
линииназывается
криволинейный интеграл 1 рода от
скалярного произведения векторови:

,

где
–
дифференциал длины дуги кривой.

Если
ввести в рассмотрение вектор(здесь–
радиус вектор точки, описывающий линию)
и обозначить его проекции на координатные
оси через,
то предыдущую формулу можно записать
в виде

,

где
вектор
направлен
по касательной к.
Правая часть последнего равенства
является криволинейным интегралом 2
рода.

Если–
силовое поле, то линейный интеграл равен
работе, которую поле совершает по
перемещению материальной точки вдоль
ориентированной линии.Определение.
Линейный
интеграл называется циркуляцией
векторного
поля
,
если–
замкнутая линия.

Если
–
замкнутая пространственная кривая, то
ее направление обхода специально
оговаривается.Пример.
Вычислить циркуляцию векторного поля
по
замкнутой линии,
состоящей из одного витка винтовой
линииот
точкидо
точкии
прямолинейного отрезка.Решение.
Виток
соответствует
изменению параметрав
уравнениях кривой отдо.
Прямаяимеет
направляющий вектор,
поэтому ее параметрические уравнения
будут,
гдеизменяется
отдо.
Вычислим циркуляцию как сумму криволинейных
интегралов по дуге винтовой линии и по
прямолинейному отрезку:.Ответ:
.Вопрос.
Циркуляция векторного поля
по
замкнутому контуру,
где,
может быть вычислена по формуле:

Ротор

Определение.
Если векторное поле
имеет
дифференцируемые в точкесоставляющие,
торотором
(или
вихрем) векторного поля
в
точкеназывается
вектор

,

где
частные производные вычислены в этой
точке.

В символической форме
имеет
вид:

.

Поясним
физический
смысл ротора
векторного поля. Рассмотрим векторное
поле
как
поле скоростей движущейся жидкости.
Поместим в таком потоке, в определенной
его точке, бесконечно малое колесико с
лопастями, расположенные по окружности
этого колесика. Под воздействием потока
жидкости такое колесико будет вращаться
с некоторой скоростью, зависящей от
направления оси колесика.

Выберем
систему координат так, чтобы его ось
колесика совпадала бы с осью
.
Найдем ротор поля линейных скоростейтвердого
тела, вращающегося вокруг осис
постоянной угловой скоростью,
причем.

Тогда
линейная скорость вращения тела будет
равна:
,
где–
радиус вектор точки.
Тогда
по определению ротора получим (здесь
определитель раскрываем по первой
строке):.
С
точностью до постоянного множителя
ротор поля скоростейпредставляет
собой угловую скорость вращения твердого
тела, т.е. он характеризует «вращательную
компоненту» поля скоростей. С этим
связано само название «ротор» (от
латинского «вращатель»).

Направление
ротора совпадает с направлением
наибольшей плотности циркуляции.Вопрос.
Вторая координата ротора векторного
поля
равна
(введите
с клавиатуры только число)

Ваш
ответ

0

Формула Стокса

Если
функции
дифференцируемы
в областии
в этой области расположен некоторый
замкнутый контур,
то для любой незамкнутой поверхности,
имеющей границу,
имеет местоформула
Стокса:

,

где
на
берется
та сторона, в точках которой вектор
нормалинаправлен
так, чтобы видимый с его конца обход
контурасовершался
бы против часовой стрелки (ориентация
поверхности согласована с обходом
контура).

Формула Стокса позволяет
свести вычисление циркуляции векторного
поляпо
контурук
вычислению потока полячерез
незамкнутую поверхность,
опирающуюся на контур(здесь–
граница незамкнутой поверхности).
Заметим, что–
любая поверхность, имеющая границей
контур,
поэтому возможен наиболее простой ее
выбор.

Если через контурпровести
две поверхностии,
то

.

Учитывая,
что
иограничивают
некоторую пространственное телои,
меняя направление нормали на поверхностина
противоположное, т.е. на внешнее по
отношению к,
получим

,

т.
е. поток вихря через замкнутую поверхность
равен . Это означает, что поле вихря
является соленоидальным.

Пример.
Найти
по формуле Стокса циркуляцию векторного
поля
по
линиипересечения
с координатными плоскостями той части
поверхности,
которая лежит в 1 октанте, т.е..

Решение.
Находим
ротор заданного векторного поля:
Пусть
поверхностью с границейявляется
поверхность.
Она является эллиптическим параболоидом
и расположена в первом октанте.
Вычислим
циркуляцию:.

Нормаль
к поверхностиравна.
Тогда единичная нормаль имеет координаты:.
Откуда.
В данном случае,
т.к.в
первом октанте. При этом скалярное
произведение векторовиравно:.

Отсюда
по формулеполучим:.Ответ:
.Вопрос.
Используя формулу Стокса, циркуляцию
векторного поля
по
линии пересечения параболоидас
координатной плоскостьюможно
свести к вычислению интеграла:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задача 1. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура Г: , , лежащего в плоскости , в положительном направлении относительно орта K.

Решение. Способ 1. Контуром интегрирования Г является АВА: половина окружности радиуса 1 с центром в начале координат и отрезок прямой .

По формуле Стокса имеем

За поверхность S, ограниченную контуром Г, примем полукруг образованный сечением кругового цилиндра плоскостью .

Следовательно,

Ответ: .

Способ 2. Можно было решать по определению.

Циркуляция векторного поля вдоль контура Г определяется формулой линейного интеграла вдоль замкнутой линии Г:

Дуга АВ является частью окружности

Вычисляем

Получаем:

Окончательно,

Ответ: .

Задача 2. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность , , в направлении внешней нормали.

Решение. Поверхностью является пирамида V, образованная плоскостью и координатными плоскостями.

Проекция поверхности на плоскость XOY есть треугольник D, ограниченный прямыми , ,

Так как поверхность замкнутая, то можем воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса:

Ответ: .

Примеры решений задач по теории поля

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):

Примеры: базовые понятия теории поля

Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.

Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $overline{a}=(3x-y) overline{i}+(6z+5x) overline{k}$

Задача 3. Дано скалярное поле $u(x,y,z)$ и векторное поле $overline{a}(x,y,z)$. Найти $grad u$, $div overline{a}$, $rot overline{a}$ в точке $M(1;5;-2)$.

$$u=frac{sqrt{x}}{y}-frac{yz}{x+sqrt{y}}, quad
overline{a}=yzoverline{i} +xzoverline{j} +xyoverline{k}$$

Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля

$$overline{a}=left( frac{x}{y}+ycos x right)overline{i} +left(-frac{x^2}{2y^2}+sin xright)overline{j}.$$

Поток поля через поверхность

Задача 5. Найти поток векторного поля $overline{a}=2x overline{i}+y overline{j}-2z overline{k}$ через часть плоскости $P: 2x+y/2+z=1$, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью $Oz$).

Задача 6. Найти поток векторного поля $overline{a}$ через часть поверхности $S$, вырезаемую плоскостями $P_1, P_2$ (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

$$ overline{a}=(x^3+xy^2)overline{i}+(y^3+x^2y)overline{j}+z^2overline{k},\
S: x^2+y^2=1, P_1^ z=0; P_2: z=3$$

Задача 7. Найти поток векторного поля $overline{a}$ через замкнутую поверхность $S$ (нормаль внешняя).

$$ overline{a}=xoverline{i}+zoverline{j}-yoverline{k},\
S: z=4-2(x^2+y^2), z=2(x^2+y^2).$$

Задача 8. Найти поток векторного поля $overline{a}=x^3overline{i}+y^3overline{j}+z^3overline{k}$ через замкнутую поверхность $S: x^2+y^2+z^2=1$ (нормаль внешняя).

Задача 9. Найти поток векторного поля $overline{a}$ через часть плоскости $S$, вырезанную плоскостью $P: z=1$ непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Остроградского (нормаль внешняя к замкнутой поверхности).

$$overline{a}=(x+xy^2) overline{i} + (y-yx^2)overline{j}+(z-3)overline{k}, quad S: x^2+y^2=z^2 (z geq 0).$$

Циркуляция векторного поля

Задача 10. Найти модуль циркуляции векторного поля $overline{a}=xyoverline{i}+yzoverline{j}+zxoverline{k}$ вдоль контура

$$x^2+y^2=9, x+y+z=1.$$

Задача 11. Найдите циркуляцию вектора $overline{a}=(x^2-y) overline{i}+ xoverline{j}+ overline{k}$ по контуру

$$x^2+y^2=1;\
z=1$$

с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$.
$$ overline{F} = (3x-1) overline{i}+ (y-x+z)overline{j}+4z overline{k}, $$
$L$ — контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.

Работа векторного поля

Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.

Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $overline{F} = xz overline{i} -overline{j}+y overline{k}$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y ge 0)$ от точки $M(sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-sqrt(3);0;1)$.

Типовой расчет по теории поля

Задание 15.
А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского.
Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.

$$ overline{F} = z overline{i}+ (x+y)overline{j}+y overline{k}, quad (p): 2x+y+2z=2. $$

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Полезные ссылки

• Учебник с примерами онлайн по теории поля
• Функции нескольких переменных — задачи с решениями

Содержание:

1. Пример 3:
2. Правила вычисления ротора

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле а ) к и замкнутый ориентированный контур L. Определение 1. Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от оектора а по контуру L Здесь dr — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, оп- Рис. 31 ределяемымориентацией контура (рис. 31); символ f означает, что интеграл берется по зам1«угому контуру L. ь

Пример 1. вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: По определению циркуляции имеем Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид: , и, значит, . Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора 8.1.

Ротор (вихрь) векторного поля Рассмотрим поле вектора Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам. Огределенив 2. Ротором вектора »(М) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством или, в символической, удобной для запоминания форме, Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например,

Определение 3. Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называете я безвихревым. Пример 2. Найти ротор вектора 4 Согласно формуле (3) имеем Так как rot а — вектор, то мы можем рассматривать векторное поле — поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим Таким образом, поле вектора rot а соленоида л ьно.

Теорема 7 (Стокса). Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L, При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Е, и что ориентация орта нормали п° к поверхности ЕС G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормши обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

Учитывая, что , и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде: Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Е и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу — контур А соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура А. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Е остается слева, так что веетор нормали п к поверхности Е составдя етсосью Oz острый угол 7 (cos 7 >0).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть — уравнение поверхности Е и функция ф(х}у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные gf и ^ в замкнутой области D.

Рассмотрим интеграл Линия L лежит на поверхности Е. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности , мы можем заменить г под знаком интеграла на ^(ж, у). Координаты перемсннойточки кривой А равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по А, Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина.

Имеем Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Е. Так как dS = cos 7 • da, то из формулы (8) получим, что Вектор нормали п° к поверхности Е определяется выражением к. Отсюда видно, что . Поэтому равенсгво (9) можно переписать так: Считая Е гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул Циркуляция векторного поля.

Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Складывая равенства почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче, Замечание 1. Мы показали, что поле вектора rote — соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Е, натянутой на контур L. Замечание 2. Формула (4) выведена в предположении, что поверхность £ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Бели это условие не выполнено, то разбиваем £ на частя так, чтобы каждая часть указанному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов.

Пример 3:

Вычислить циркуляцию вектора по линии 1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса. 4 1) Зададим линию L параметрически: Тогда 2) Найдем rota: Натянем на контур L кусок плосхости Тогда . Инвариантное определение ротора поля Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат. Теорема 8.

Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению, Здесь (Е) — плоская площадка, перпендикулярная вектору л; 5 — площадь этой площадки; L — контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; (Е) М означает, что площадка (Е) стягивается к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33). 4

Применим сначала к циркуляции (a,dr) вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу — теорему о среднем значении: откуда (скалярное произведение берется в некоторой средней точке Мф площадки (Е)). Пристягивании площадки (Е) кточке М средняяточка Л/ср тоже стремится кточ-ке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависитотвы-бора системы координат,то и сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора.

Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rota согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта. 8.3.

Физический смысл ротора поля Пустьтвердое

тело вращается вокруг неподвижной оси I с угловой скоростью и. Не нарушая общности, можно считать, что ось I совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) — изучаемая точка тела, где Вектор угловой скорости в нашем случае равен из = wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М, Отсюда Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля.

Правила вычисления ротора

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения. 8.4. Правила вычисления ротора 1. Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору, 2. Ротор обладает свойством линейности постоянные числа. 3. Ротор произведения скалярной функции и{М) на векторную а(М) вычисляется по формуле