Как найти d2z dxdy

Производные и дифференциалы высших порядков.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. 

Частными производными 2-го порядка функции $u=f(x_1, x_2, …, x_n)$ называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом: $$frac{partial}{partial x_k}left(frac{partial u}{partial x_k}right)=frac{partial^2u}{partial x^2_k}=f»_{x_kx_k}(x_1, x_2, …, x_k, …, x_n).$$ $$frac{partial}{partial x_l}left(frac{partial u}{partial x_k}right)=frac{partial^2u}{partial x_kpartial x_l}=f»_{x_kx_l}(x_1, x_2, …, x_k, …, x_l, …, x_n).$$ и т. д.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Дифференциалом 2-го порядка $d^2f$ функции $u=f(x_1, x_2,…, x_n)$ называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого ка функция переменных $x_1, x_2, .., x_n$ при фиксированных значениях $dx_1, dx_2, …, dx_n:$ $$d^2u=d(du).$$

Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка:$$d^3u=d(d^2u).$$

Вообще, $$d^mu=d(d^{m-1}u).$$

Дифференциал $m$-го порядка функции $u=f(x_1, x_2,…, x_n),$ где $x_1, x_2, .., x_n -$ независимые переменные, выражается символической формулой $$d^mu=left(frac{partial}{partial x_1}dx_1+frac{partial}{partial x_2}dx_2+…+frac{partial}{partial x_n}dx_nright)^mu,$$ которая формально раскрывается по биномиальному закону.

Например, в случае функции $z=f(x, y)$ двух независимых переменных и для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы формулы $$d^2z=frac{partial^2 z}{partial x^2}dx^2+2frac{partial^2 z}{partial xpartial y}dxdy+frac{partial^2 z}{partial y^2}dy^2,$$

$$d^3z=frac{partial^3 z}{partial x^3}dx^3+3frac{partial^3 z}{partial x^2partial y}dx^2dy++3frac{partial^3 z}{partial xpartial y^2}dxdy^2+frac{partial^3 z}{partial y^3}dy^3.$$

Примеры.

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций: ($x, y, z -$ независимые переменные):

7.101. $z=x^3+3x^2y-y^3.$

Решение.

$$dz=z’_xdx+z’_ydy.$$

$$z’_x=(x^3+3x^2y-y^3)’_x=3x^2+6xy;$$

$$z’_y=(x^3+3x^2y-y^3)’_y=3x^2-3y^2.$$

Таким образом

$$dz=(3x^2+6xy)dx+(3x^2-3y^2)dy.$$

Дифференцируем вторично, учитывая, что $dx$ и $dy$ не зависят от $x$ и $y$ (т.е. считая $dx$ и $dy$ постоянными): $$d^2z=d((3x^2+6xy)dx+(3x^2-3y^2)dy)=d(3x^2+6xy)dx+d(3x^2-3y^2)dy=$$ $$=(6xdx+6xdy+6ydx)dx+(6xdx-6ydy)dy=6((x+y)dx^2+2xdxdy-ydy^2).$$Ответ: $dz=(3x^2+6xy)dx+(3x^2-3y^2)dy;$ $d^2 z=6((x+y)dx^2+2xdxdy-ydy^2).$

7.108.$u=xy+yz+zx.$

Решение.

$$du=d(xy+yz+zx)=xdy+ydx+ydz+zdy+zdx+xdz=$$ $$=(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz.$$

Дифференцируем вторично, учитывая, что $dx,,, dy$ и $dz$ не зависят от $x,,, y$ и $z$ (т.е. считая $dx,, dy$ и $dz$ постоянными): $$d^2u=d((y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz)=$$ $$=(dy+dz)dx+(dx+dz)dy+(dx+dy)dz=2(dxdy+dxdz+dydz).$$Ответ: $du=(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz;$ $d^2 u=2(dxdy+dxdz+dydz).$

7.110.Найти $d^3z,$ если $z=e^ysin x.$

Решение.

$$dz=d(e^ysin x)=e^ycos xdx+sin xe^y dy.$$ Дифференцируем вторично, учитывая, что $dx$ и $dy$ не зависят от $x$ и $y$ (т.е. считая $dx$ и $dy$ постоянными): $$d^2z=d(e^ycos xdx+sin xe^y dy)=$$ $$=-sin x e^ydxdx+cos x e^y dydx+e^ycos xdxdy+sin xe^ydydy=$$ $$=-sin x e^y dx^2+2e^ycos xdxdy+sin xe^y dy^2.$$

$$d^3z=d(-sin x e^y dx^2+2e^ycos xdxdy+sin xe^y dy^2)=$$ $$=(-cos xe^ydx^2-2e^ysin xdxdy+cos xe^ydy^2)dx+$$ $$+(-sin xe^ydx^2+2e^ycos xdxdy+sin xe^ydy^2)dy=$$ $$=-cos xe^ydx^3+-3e^ysin xdx^2dy+3cos xy^ydxdy^2+sin xe^ydy^3.$$

Ответ: $d^3z=-cos xe^ydx^3+-3e^ysin xdx^2dy+3cos xy^ydxdy^2+sin xe^ydy^3.$

7.112. Найти $d^6u,$ если $u=ln(x+y+z).$

Решение.

Будем пользоваться формулой

$$d^mu=left(frac{partial}{partial x_1}dx_1+frac{partial}{partial x_2}dx_2+…+frac{partial}{partial x_n}dx_nright)^mu,$$

$$frac{partial u}{partial x}=frac{partial u}{partial y}=frac{partial u}{partial z}=frac{1}{x+y+z};$$

$$frac{partial^2 u}{partial x^2}=frac{partial^2 u}{partial y^2}=frac{partial^2 u}{partial z^2}=frac{partial^2u}{partial xpartial y}=frac{partial^2u}{partial ypartial x}=frac{partial^2u}{partial xpartial z}=frac{partial^2u}{partial zpartial x}=frac{partial^2u}{partial ypartial z}=frac{partial^2u}{partial zpartial y}=$$ $$=-frac{1}{(x+y+z)^2};$$

…

$$frac{partial^6 u}{partial x^6}=frac{partial^6 u}{partial y^6}=frac{partial^6 u}{partial z^6}=frac{partial^6u}{partial x^5partial y}=frac{partial^6u}{partial x^4partial y^2}=…frac{partial^6u}{partial xpartial y^5}=frac{partial^6u}{partial x^5partial z}=…=$$ $$=frac{partial^6u}{partial xpartial z^5}=frac{partial^6u}{partial y^5partial z}=…=frac{partial^6 u}{partial ypartial z^5}=(-1)^55!frac{1}{(x+y+z)^6}=frac{5!}{(x+y+z)^6}.$$

Отсюда получаем $$d^6(ln(x+y+z))=left(frac{partial}{partial x}dx+frac{partial}{partial y}dy+frac{partial}{partial z}dzright)^6(ln(x+y+z))=$$ $$=-frac{5!}{(x+y+z)^6}(dx+dy+dz)^6.$$

Ответ: $d^6u=-frac{5!}{(x+y+z)^6}(dx+dy+dz)^6.$

Домашнее задание.

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций: ($x, y, z -$ независимые переменные):

7.102. $z=frac{y}{x}-frac{x}{y}.$

7.103. $z=sqrt{x^2+2xy}.$

7.105. $z=(x+y)e^{xy}.$

7.106. $z=xlnfrac{y}{x}.$

7.111. Найти $d^3u,$ если $u=x^3+y^3+z^3-3xyz..$

7.113. Найти $d^mu,$ если $u=e^{ax+by+cz}.$

68

69

2º. Случай трех переменных. Аналогично выражение P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz, где

P(x,y,z)dx, Q(x,y,z)dy, R(x,y,z)dz — непрерывные, вместе со своими частными производными 1-го порядка, функции переменных х, у и z, тогда и только тогда представляет собой полный дифференциал некоторой функции u(х,у,z), когда выполнены условия

ддQx ≡ ддPy , ддRy ≡ ддQz , ддPz ≡ ддRx .

Пример. Убедится в том, что выражение (3x2 + 3y −1)dx + (z2 + 3x)dy + (2yz + 1)dz есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию.

Решение. Здесь P=3x²+3y-1, Q=z²+3x, R=2yz+1. Устанавливаем, что

ддQx = ддPy = 3, ддRy = ддQz = 2z, ддPz = ддRx = 0

и, следовательно, (3x2 + 3y −1)dx + (z2 + 3x)dy + (2yz + 1)dz = du = ддux dx + ддuy dy + ддuz dz , где u

— искомая функция.

Имеем: ддux = 3x2 + 3y −1, значит u = ∫(3x2 + 3y −1)dx = x2 + 3xy − x + ϕ (y, z) .

С другой стороны,

ддuy = 3x + ддϕy = z2 + 3x, ддuz = ддϕz = 2yz + 1,

откуда ддϕy = z2 и ддϕz = 2yz + 1. Задача сводится к отысканию функции двух переменных

ϕ (у,z), частные производные которой известны и выполнено условие полного дифференциала. Находим ϕ :

ϕ (y, z) = ∫z2dy = yz2 +ψ (z)

ддϕz = 2yz +ψ ‘(z) = 2yz + 1, ψ ‘(z) = 1,ψ (z) = z + C,

т. е. ϕ (y, z) = yz2 + z + C . Окончательно, u=x²+3xy-x+yz²+z+C.

Дифференцирование неявных функций

1°. Случай одной независимой переменной. Если уравнение f(х,у) =0, где f(х,у) — дифференцируемая функция переменных х и у, определяет у как функцию от х, то производная этой неявно заданной функции при условии, что f‘y(х, у)≠0, может быть найдена по формуле

					dy	= −	fx ‘(x, y)	.	(1)
					dx	f y ‘(x, y)
Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием
формулы (1).
Пример. Найти	dy	и	d 2 y	, если (x²+y²)³-3(x²+y²)+1=0.
dx	dx2
							70

71

72

73

74

d 2 x dy2

75

76