Как найти давление на дне резервуара

ЛАБОРАТОРНАЯ
РАБОТА 3.

ИЗМЕРЕНИЕ
ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ

Цель
работы.
Приобретение
навыков по измерению гидростатического
давления жидкостными приборами.

3.1. Общие сведения

Абсолютное
давление в любой точке покоящейся
жидкости определяется по основному
уравнению гидростатики

p=
p_о
+gH,

где
p_о
— абсолютное давление на свободной
поверхности жидкости; 
— плотность жидкости; H
— глубина погружения точки под свободной
поверхностью.

В
работе вычисляется давление в заданной
точке (например, на дне резервуара) через
показания различных приборов и затем
сравниваются результаты, полученные
двумя путями.

3.2. Порядок
выполнения работы

1. В
   резервуаре 2 над жидкостью создать
   давление выше атмосферного (p_оp_а),
   о чем свидетельствуют превышение уровня
   жидкости в пьезометре 3 над уровнем в
   резервуаре и прямой перепад уровней в
   мановакуумметре 5 (рис. 2.1, а). Для этого
   устройство поставить на правую сторону,
   а затем поворотом его против часовой
   стрелки отлить часть жидкости из левого
   колена мановакуумметра 5 в резервуар
   2.

2. Снять
   показания пьезометра h_п,
   уровнемера H
   и мановакуумметра
   h_м.

3. Вычислить
   абсолютное давление на дне резервуара
   через показания пьезометра, а затем —
   через величины, измеренные уровнемером
   и мановакуумметром. Для оценки
   сопоставимости результатов определения
   давления на дне резервуара двумя путями
   найти относительную погрешность p.

4. Над
   свободной поверхностью жидкости в
   резервуаре 2 создать вакуум (p_о<p_а),
   когда уровень жидкости в пьезометре 3
   становится ниже, чем в резервуаре, а на
   мановакуумметре 5 появляется обратный
   перепад h_в
   (рис.2.1, б). Для этого поставить устройство
   на левую сторону, а затем наклоном
   вправо отлить часть жидкости из
   резервуара 2 в левое колено мановакуумметра
   5. Далее выполнить операции по п.п. 2 и
   3.

Таблица 2.1

№ п/п	Наименование величин	Обозначения, формулы	Условия опыта
РоРа	РоРа
1.	Пьезометрическая высота, м	hп
2.	Уровень жидкости в резервуаре, м	H
3.	Манометрическая высота, м	hм		———
4.	Вакуумметрическая высота, м	hв	——
5.	Абсолютное давление на дне резервуара по показанию пьезометра, Па	p= pа+g hп
6.	Абсолютное давление в резервуаре над жидкостью, Па	pо= pа+ g hм		———
pо= pа —  g hв	——
7.	Абсолютное давление на дне резервуара через показания мановакуумметра и уровнемера, Па	p*= pо +gH
8.	Относительная погрешность результатов определения давления на дне резервуара, %	p=100(p-p*)/ p

Примечание.
Принять атмосферное давление p_а
= 101325 Па,

плотность
воды 
= 1000 кг/м³.

1. Перевернуть
   устройство против часовой стрелки (рис
   2.1, в) и определить манометрическое или
   вакуумметрическое давление в заданной
   преподавателем точке С
   через
   показания пьезометра 6, а затем с целью
   проверки найти его через показания
   обратного пьезометра 7 и уровнемера 4.

В
процессе проведения опытов и обработки
экспериментальных данных заполнить
таблицу 2.1.

5

Соседние файлы в папке гидра первый семест

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как вы уже знаете, согласно закону Паскаля, давление в жидкостях распространяется одинаково во всех направлениях. Что же необходимо знать, чтобы рассчитать это давление? От чего зависит давление жидкости?

Взгляните на рисунок 1.

Как вы думаете, в каком сосуде больше жидкости? А будет ли одинаково давление, оказываемое на дно сосудов? С этими вопросами нам и предстоит разобраться. 

Вывод формулы

Выведем формулу для расчета давления жидкости на дно сосуда, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда (рисунок 2).

Давление жидкости $p$ рассчитывается по формуле: $p = frac{F}{S}$, где $F$ — это сила, действующая на дно сосуда, а $S$ — это площадь дна сосуда.

1. Сила $F$ в данном случае равна весу $P$ жидкости, которая находится в сосуде;
2. Как узнать вес жидкости? Необходимо знать массу $m$ жидкости;
3. Массу $m$ мы можем вычислить по известной нам формуле: 
   $m = rho V$;

1. Так как нам известна жидкость, находящаяся в сосуде, мы знаем ее плотность . Остается вычислить объем $V$ жидкости. Обозначим высоту столба жидкости буквой $h$, площадь дна сосуда — $S$. Тогда объем можно вычислить по формуле:
   $V = Sh$;

1. Итак, подставляем наши данные в формулу для вычисления массы и получаем:
   $m = rho Sh$;

1. Таким образом, возвращаемся к весу жидкости и получаем, что: 
   $P = mg$, где $g$ — ускорение свободного падения, или $P = g rho Sh$.

С другой стороны, мы знаем, что вес столба жидкости равен силе, с которой жидкость давит на дно сосуда. Поэтому если мы разделим вес $P$ на площадь $S$, то получим искомое давление жидкости:
$p = frac{P}{S}$,
или $p =frac{g rho Sh}{S}$,

То есть:

$p = rho gh$.

Рассмотрим измерительные величины, которые мы будем использовать в данной формуле: плотность мы будем выражать в килограммах на кубический метр ($frac{кг}{м^3}$), $g = 9.8 frac{H}{кг}$, высоту столба жидкости  — в метрах ($м$). Тогда давление $p$ будет выражено в паскалях ($Па$).

Выводы

Так мы с вами вывели формулу для расчета давления жидкости на дно сосуда. Какие выводы мы можем сделать? 

От каких величин зависит давление жидкости на дно сосуда?

Давление жидкости не зависит от формы сосуда, оно зависит только от плотности жидкости и высоты ее столба.

Обратите внимание, что во многих случаях, когда говорят о высоте столба жидкости, говорят о глубине.

По какой формуле рассчитывают давление жидкости на стенки сосуда, давление внутри жидкости?

По формуле $p = rho gh$ можно вычислить давление на стенки сосуда или внутри жидкости, так как на одной глубине давление в жидкости будет одинаково во всех направлениях.

Вопросы и пример задачи

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть ответ

Дано:
$rho = 800 frac{кг}{м^3}$
$h = 8 space м$

$p — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Упражнения

Дано:
$h = 0.6 space м$
$rho_1 = 1000 frac{кг}{м^3}$
$rho_2 = 800 frac{кг}{м^3}$
$rho_3 = 13600 frac{кг}{м^3}$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$p_1 — ?$
$p_2 — ?$
$p_3 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Дано:
$h = 10 space 900 space м$
$rho = 1030 frac{кг}{м^3}$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$p — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Дано:
$m = 5 space кг$
$h = 1 space м$
$rho = 1000 frac{кг}{м^3}$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$S — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Задания

Показать ответ

Скрыть

Дано:
$h = 0.086 space м$
$rho = 1000 frac{кг}{м^3}$
$g = 9.8 frac{Н}{кг}$

$p — ?$

Показать решение и овет

Скрыть

Главная страница

Содержание

Введение

Основы гидростатики

Основы гидродинамики

Гидравлические сопротивления

Истечние жидкости из отверстий, насадков и из-под затворов

Гидравлический расчет простых трубопроводов

Гидравлические машины

Пловец, нырнувший глубоко, ощущает боль в ушах. На барабанные перепонки воздействует сила давления воды.

Корабль в воде не тонет благодаря выталкивающей силе. Вода способна легко изменять свою форму, она воздействует на поверхности тел при соприкосновении с ними.

Чему равна сила давления воды и что это такое, расскажем в статье.

Что это такое?

В сосуде, заполненном водой, на дно давит сила, равная весу столба жидкости. Это вызванное силой тяжести давление называется гидростатическим.

Оно определяется отношением силы к площади, то есть его физический смысл – это сила, действующая на единицу площади (см2).

Законы гидростатики описал Блез Паскаль. В 1648 г. он удивил горожан опытом, демонстрирующим свойства воды.

Вставив в бочку, заполненную водой, длинную узкую трубку, он налил в нее несколько кружек воды, и бочку разорвало.

Согласно закону Паскаля, приложенное к H2O усилие распространяется равномерно во всем объеме. Это объясняется тем, что вода почти не сжимается. В гидравлических прессах используют это свойство.

Плотность воды все же растет при высоком давлении. Это учитывается при расчетах конструкций глубоководных аппаратов.

Факторы, влияющие на показатель

При отсутствии внешнего воздействия, играют роль два фактора:

• высота столба;
• плотность.

Выше уровень воды, налитой в сосуд, — выше напор на дно. Если в одной емкости ртуть, а в другой вода и при этом уровни жидкостей одинаковы, то в первом случае давление на дно больше, так как ртуть имеет большую плотность.

Сверху на содержимое сосуда давит также атмосферный воздух. Поэтому в сообщающихся сосудах уровень одинаков, ведь в каждом из них над поверхностью атмосфера одна и та же.

Если же к поверхности приложить поршень и давить на него, то напор будет складываться из:

• внешней силы;
• веса воды.

При этом форма сосуда не определяет размер усилия, создаваемого столбом. Оно будет одним и тем же при равной высоте столба, хотя стенки емкости могут расширяться кверху или сужаться.

На дно и стенку сосуда – в чем разница?

Вода, заполняющая емкость, оказывает давление по направлению всегда перпендикулярно поверхности твердого тела, по всей площади соприкосновения с дном и стенками.

Усилие на дно распределено равномерно, то есть оно одинаково в любой точке. Заполнив водой сито, можно увидеть, что струи, текущие через отверстия, равны по напору.

Наполнив сосуд, имеющий отверстия одного диаметра в стенках на разной высоте, можно наблюдать различный напор вытекающей струи. Чем выше отверстие – тем слабее струя. То есть, давление на стенки емкости тем больше, чем ближе ко дну.

Единицы измерения

Давление воды измеряют в:

• паскалях – Па;
• метрах водяного столба – м. в. ст.
• атмосферах – атм.

Практически достаточно знать, что 1 атмосфера равна 10 метрам водяного столба или 100000 Па (100кПа).

Формулы расчета

Давление на дно сосуда рассчитывается делением силы на площадь, то есть оно равно произведению плотности воды, высоты столба и ускорения свободного падения g (величина постоянная, равна 9,8 м/с2).

Пример расчета: бак наполнен водой (плотность 1000 кг/м3) до высоты 1,2 м. Нужно найти, какое давление испытывает дно бака. Решение: P = 1000*1, 2*9, 8 = 11760 Па, или 11, 76 кПа.

Для расчета давления на стенки сосуда применяют все ту же формулу напора, приведенную выше. При расчете берется глубина от точки, в которой нужно рассчитать напор, до поверхности воды.

Пример расчета: на глубине 5 м на стенку резервуара с водой будет оказываться давление P=1000 *5 * 9, 8=49000 кПа, что составляет 0,5 атмосферы.

Расчет давления воды на дно и стенки сосуда в видео:

Применение на практике

Примеры использования знаний свойств воды:

1. Подбирая насос для водоснабжения дома высотой 10 м, понимают, что напор должен быть минимум 1 атм.
2. Водонапорная башня снабжает водой дома ниже ее по высоте, напор в кране у потребителей обеспечен весом столба воды в баке.
3. Если в стенках бочки появились отверстия, то, чем ниже они расположены, тем более прочным должен быть материал для их заделки.
4. Замеряют дома напор холодной воды в кране манометром. Если он менее чем 0,3 атм (установлено санитарными нормами), есть основания для претензий к коммунальщикам.

Используя гидравлический пресс, можно получить большое усилие, при этом приложив малую силу. Примеры применения:

• выжимка масла из семян растений;
• спуск на воду со стапелей построенного судна;
• ковка и штамповка деталей;
• домкраты для подъема грузов.

Заключение

Такие свойства воды, как текучесть и несжимаемость, дают возможность использовать силу ее давления для самых различных целей.

Опасность этого явления учитывают при расчетах на прочность корпусов подводных лодок, стенок и днищ резервуаров, в которых хранят воду. Сила давления воды совершает полезную работу, она же способна и разрушать.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Давление и силы давления

Жидкость оказывает давление на стенки сосуда, в котором она находится, или на любую другую поверхность, соприкасающуюся с ней. Давление – величина скалярная. Оно измеряется абсолютной величиной нормальной (перпендикулярной поверхности) силы, действующей со стороны жидкости на единицу площади поверхности:

Давление в различных точках поверхности может быть разным. Поэтому площадь S мы должны брать достаточно маленькой.

По закону Паскаля давление жидкости не зависит от ориентации поверхности. Как бы ни была расположена поверхность в данном месте жидкости, давление на нее будет одним и тем же.

Сила давления всегда перпендикулярна поверхности. В обычных условиях она направлена так, как если бы жидкость стремилась расшириться.

Задача 1. В сосуд, имеющий форму куба с ребром a, налита доверху жидкость плотностью ρ. Определите силы давления жидкости на дно и стенки сосуда.

Давление жидкости на дно сосуда равно весу столба жидкости высотой a с площадью основания, равной единице: , где g – ускореннее свободного падения. (Для простоты здесь и в других задачах, где это специально не оговорено, предполагается, что атмосферное давление отсутствует). Сила давления на дно сосуда (рис. 1, а)

а

б

Рис. 1

Давление на боковую грань куба будет зависеть от расстояния до поверхности жидкости. На глубине h давление . Так как давление изменяется с глубиной по линейному закону (рис. 1. б), для определения силы давления мы должны среднее давление

умножить на площадь боковой грани

Задача 2. В цилиндрический сосуд диаметром D = 0,7 м вставлен поршень с длинной вертикальной трубкой диаметром d = 0,05 м (рис. 2). Максимальная сила трения между поршнем и стенками сосуда F_тp = 100 Н. Через трубку в сосуд наливают воду. При каком уровне воды в трубке H поршень начнет двигаться? Чему будет равна при этом сила давления воды на дно сосуда? Поршень расположен на высоте h = 0,2 м от дна сосуда. Плотность воды ρ = 10³ кг/м³. Массой поршня с трубкой пренебречь.

Рис. 2

Давление в жидкости на уровне поверхности поршня определяется расстоянием от этого уровня до свободной поверхности жидкости:

Поршень начнет двигаться, когда сила давления на него со стороны жидкости станет равной максимальной силе трения:

где  – плошали поперечных сечений сосуда и трубки соответственно. Подставляя сюда выражение для p₁, находим

Давление на дно сосуда .

Сила давления

Задача 3. Длинная вертикальная труба с поршнем опущена одним концом в сосуд с водой. Вначале поршень находится у поверхности воды, затем его медленно поднимают. Как зависит сила, прикладываемая к поршню, от высоты h ее поднятия? Площадь поперечного сечения трубы S, атмосферное давление p₀. Изменением уровня воды в сосуде, массой поршня и ею трением о стенки трубы пренебречь.

При поднятии поршня вода под действием атмосферного давления будет вначале заполнять трубу (рис 3, а). Давление в трубе на уровне жидкости в сосуде равно атмосферному давлению p₀. Давление воды на поршень меньше атмосферного на величину веса столба жидкости высотой h и площадью основания, равной единице:

а

б

Рис. 3

Сверху на поршень по-прежнему действует атмосферное давление. Поэтому для удержания поршня на высоте h к нему надо приложить силу, равную

и направленную вверх.

С увеличением h давление воды на поршень будет уменьшаться. На высоте

давление обратится в ноль. При дальнейшем поднятии поршня уровень воды в трубе изменяться не будет, тан как сила атмосферного давления, действующая на столб жидкости в трубе снизу, уравновесится силой тяжести. Для удержания поршня на высоте h > h₀ к нему надо приложить силу .

Зависимость прикладываемой к поршню силы F от высоты его поднятия h изображена графически на рисунке 3, б.

Высота столба воды в трубе , очевидно, может служить для измерения атмосферного давлении p₀. Однако обычно в барометрах используют ртуть, и нормальному атмосферному давлению тогда соответствует значительно меньшая высота столба ртути  = 0,76 м (плотность ртути ρ_рт = 1,36×10⁴ кг/м³).

Примером другого гидростатического устройства, широко используемого в практике, являются сообщающиеся сосуды. Известен закон сообщающихся сосудов: если давление над жидкостью в сосудах одинаково, то уровни жидкости в них равны. Нетрудно доказать этот закон для случая цилиндрических сосудов (рис. 4). Так как жидкость в соединительной трубке находится в равновесии, то давления на нее с обеих сторон должны быть одинаковы. Поэтому равны и уровни жидкости в сосудах.

Рис. 4

В общем случае для доказательства закона сообщающихся сосудов можно воспользоваться принципом отвердевания, который часто используют в гидростатике. Суть этого принципа заключается в следующем: всегда можно представить себе, что часть жидкости отвердела – равновесие оставшейся части жидкости от этого не нарушится. Так, в цилиндрических сообщающихся сосудах мы можем мысленно выделить часть жидкости, которая заполняла бы сообщающиеся сосуды любой извилистой формы (см. рис. 4), и представить себе, что остальная часть жидкости отвердевает. Тогда равновесие выделенной нами части жидкости не нарушится, и, следовательно, уровни жидкости в извилистых сообщающихся сосудах будут такими же, какими были в цилиндрических сосудах, т.е. одинаковыми.

Закон сообщающихся сосудов справедлив только для однородной жидкости. Если в сосуды налиты жидкости разных плотностей, то уровни в сосудах могут быть разными.

Задача 4. В U – образную трубку налита ртуть. Поверх ртути в одно из колен трубки налили воду (рис. 5, a). Высота столбика воды l = 0,1 м. Определите разность уровней жидкостей в коленах трубки. Нарисуйте график зависимости давления в обоих коленах трубки от высоты. Плотность ртути ρ_рт = 1,36×10⁴ кг/м³, плотность воды ρ_рт = 10³ кг/м³. Атмосферное давление не учитывайте.

а

б

Рис. 5

Давления на ртуть на уровне h_o соприкосновения воды и ртути в обоих коленах должны быть одинаковы (закон сообщающихся сосудов для однородной жидкости). Поэтому

где разность уровней h₂ – h₁ обозначена через Δh. Отсюда

Давление в колене, содержащем только ртуть, меняется с высотой h по закону

Эта формула справедлива и в изогнутой части трубки. (Представите себе, что изогнутое колено сообщается с прямым цилиндрическим сосудом, в котором тоже находится ртуть. Тогда давления на одинаковой высоте в обоих сосудах должны быть равны). В другом колене в области , где находится только вода, давление

Ниже уровня h₀ зависимость давления от высоты дается той же формулой, что и в первом колене:

Зависимость давления в коленах трубки от высоты изображена графически на рисунке 5, б. Как видно, выше уровня h₀ давления на одинаковой высоте разные.

---

Выталкивающая сила

На тело, погруженное в жидкость, как известно, действует выталкивающая сила. Эта сила является равнодействующей сил давления жидкости на тело. Найдем, например, выталкивающую силу, действующую на кубик с ребром a целиком погруженный в жидкость плотностью ρ. Сила давления со стороны жидкости на верхнюю грань кубика равна

где h – расстояние от этой грани до поверхности жидкости (для простоты мы считаем, что плоскость верхней грани кубика параллельна поверхности жидкости). На нижнюю грань кубика действует сила

Силы давления на боковые грани кубика уравновешивают друг друга. Равнодействующая сил давлении, т.е. выталкивающая сила, равна

и направлена вертикально вверх. Мы получили закон Архимеда: выталкивающая сила равна силе тяжести, действующей на вытесненную телом жидкость.

В общем случае закон Архимеда можно доказать с помощью принципа отвердевания. Мысленно заменим погруженное тело жидкостью. Очевидно, что эта жидкость будет находиться в равновесии. Следовательно, сила тяжести, действующая на нее, уравновешена силами давления со стороны окружающей жидкости. Если теперь представить себе, что выделенная нами часть отвердела, то равновесие оставшейся части не нарушится, и поэтому не изменятся силы давления на отвердевшую жидкость. Равнодействующая этих сил будет по-прежнему равна силе тяжести.

При доказательстве мы считали, что тело целиком погружено в жидкость. Однако аналогичные рассуждения легко провести и в случае, когда только часть тела находится в жидкости (проделайте это сами). И мы опять получим, что выталкивающая сила равна силе тяжести, действующей на вытесненную телом жидкость:

где ρ – плотность жидкости, V – объем погруженной в жидкость части тела, g –ускорение свободного падения.

Задача 5. На дне водоема установлена П – образная конструкция из трех одинаковых балок, соединенных между собой (рис. 6). Как зависит сила давления этой конструкции на дно от уровня воды в водоеме? Рассмотрите два случая: 1) вода подтекает под опоры; 2) опоры плотно соприкасаются с дном. Балки имеют квадратное сечение со стороной a, длина балки l = 2a. Плотность материала балок ρ₀. плотность воды ρ.

а

б

в

Рис. 6

Сила давления F_д на дно определяется разностью силы тяжести конструкции  и выталкивающей силы F. В первом случае, когда вода подтекает под опоры (например, если дно водоема покрыто галькой – рисунок 6, а), справедлив закон Архимеда. Зависимость выталкивающей силы от высоты уровня воды h дается формулами:

Соответствующий график для силы F_д изображен на рисунке 6, в – он обозначен цифрой 1.

Во втором случае отсутствует давление воды на опоры снизу (рис.6, б), и пользоваться законом Архимеда уже нельзя. Для определения силы F необходимо найти равнодействующую сил давления:

F = 0 при h ≤ a,

Последнее выражение обращается в нуль при  и при больших h становится отрицательным. Это означает, что при  силы давления не выталкивают конструкцию из воды, а наоборот, прижимают ее ко дну. Зависимость силы давления на дно от высоты уровня воды показана на втором графике рисунка 6, в.

Задача 6. Пробковый кубик с ребром a = 0,1 м погрузили в воду на глубину h = 0,2 м с помощью тонкостенной трубки диаметром d = 0,05 м (рис. 7). Определите, какой груз надо положить в трубку, чтобы кубик от нее оторвался. Плотность пробки ρ₀ = 200 кг/м³, плотность воды ρ = 10³ кг/м³.

Рис. 7

Вес груза равен разности выталкивающей силы F действующей на кубик, и силы тяжести кубика . Если бы кубик был окружен со всех сторон водой, то на него по закону Архимеда действовала бы выталкивающая сила . В нашем случае выталкивающая сила будет большей, так как на часть поверхности верхней грани кубика, «заключенную» в трубку, не действует давление воды:

где  – площадь сечения трубки. Таким образом, сила тяжести грузика

Масса грузика т = 1,2 кг.

Выталкивающую силу, действующую на кубик, можно найти и другим способом. Рассмотрим кубик с трубкой как единое тело, вытесняющее объем воды

Тогда по закону Архимеда на кубик с трубкой действует выталкивающая сила

которая равна выталкивающей силе, действующей на кубик, так как равнодействующая сил давления воды на трубку равна нулю.

Жидкость в движущемся сосуде

Изучим теперь равновесие жидкости в сосуде, движущемся с ускорением. По второму закону Ньютона в этом случае векторная сумма всех сил, действующих на любой выделенный элемент жидкости, должна равняться , где m – масса выделенной жидкости,  – ускорение сосуда. Но на выделенный элемент жидкости действуют сила тяжести и силы давления со стороны окружающей жидкости. Их равнодействующая и должна быть равна .

Задача 7. Сосуд с жидкостью плотностью ρ падает с ускорением a. Определите давление жидкости на глубине h и силу давления на дно сосуда. Высота уровня воды в сосуде H, площадь дна сосуда s.

Выделим столбик жидкости высотой h с площадью основания s. На него действуют сила тяжести  и сила давления , направленная вверх. Равнодействующая этик сил создает ускорение столбика:

где  – масса столбика. Для давления p на глубине h отсюда находим

Сила давления на дно сосуда

будет тем меньше, чем больше ускорение сосуда a. При  (свободное падение) сила давления жидкости обращается в ноль – наступает состояние невесомости. При  жидкость будет свободно падать с ускорением g, а сосуд – с большим ускорением, и вода вытечет из сосуда.

Задача 8. На дне сосуда с жидкостью лежит тело. Может ли тело всплыть, если сосуд начнет двигаться вверх с ускорением? Определите силу давления тела на дно сосуда, если ускорение сосуда a, плотность жидкости ρ₀, плотность тела ρ, его объем V.

На тело, лежащее на дне сосуда, действуют сила тяжести mg сила реакции дна N и выталкивающая сила F (рис. 8). Если сосуд покоится, то сумма этих сил равняется нулю. При движении сосуда с ускорением a вверх по второму закону Ньютона имеем

Рис. 8

Определим выталкивающую силу F. Аналогично решению предыдущей задачи, легко получить, что при ускоренном движении сосуда, вверх давление на глубине h дается формулой

т.е. давление в  раз больше, чем в неподвижном сосуде. Соответственно будет большей и выталкивающая сила:

где  – масса вытесненной телом воды.

Подставляя это выражение в формулу второго закона Ньютона, для силы реакции дна получаем

Легко видеть, что в сосуде, движущемся с ускорением вверх, сила реакции дна всегда больше, чем в неподвижном. Поэтому тело не только не всплывает, а наоборот, сильнее прижимается ко дну.

Задача 9. Сосуд с жидкостью движется горизонтально с ускорением a. Определите форму поверхности жидкости в сосуде.

Выделим горизонтальный столбик жидкости длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 9). По второму закону Ньютона

где  – масса столбика, p₁ и p₂ – давления на него слева и справа.

  

Рис. 9

Давление на глубине h определяется по обычной формуле  (по вертикали ускорения нет). Подставляя выражения для m и p в уравнение второго закона Ньютона, получаем

или

Но  – это разность высот точек поверхности жидкости. Мы получаем, что поверхность жидкости – плоскость, наклоненная к горизонту под углом α, причем .

Заметим, что давление жидкости на данной высоте здесь не одно и то же. Линии равного давления параллельны поверхности жидкости. Если ввести расстояние h´ от точки до поверхности жидкости, то давление в этой точке

Поэтому можно сказать, что ускоренное движение сосуда эквивалентно замене ускорения свободного падения  на величину . Это утверждение в равной степени относится и к предыдущим двум задачам.

Упражнения

1. Три сосуда, имеющие формы цилиндра, усеченного конуса и перевернутого усеченного конус с одинаковыми площадями оснований и рапными объемами, доверху наполнены водой. Как соотносятся между собой силы давлении воды на дно сосудов?

2. Трубка ртутного барометра подвешена нити. Определите натяжение нити, если высота уровня ртути и трубке Н = 0,76 м, внешний диаметр трубки D = 0,02 м, внутренний d = 0,017 м. нижний конец трубки погружен в ртуть на глубину h = 0,1 м, масса трубки m = 0,3 кг, плотность ртути ρ = 1,36×10⁴ кг/м⁴. Считайте, что торцы трубки плоские.

3. Длинная вертикальная трубка погружена одним концом в сосуд с ртутью. В трубку наливают m = 0,71 кг воды, которая не вытекает из трубки. Определите изменение уровня ртути и сосуде. Диаметр сосуда D = 0,06 м, плотность ртути ρ = 1,36×10⁴ кг/м⁴. Толщиной стоим трубки пренебречь.

4. В сосуде с водой плавает кусок льда. Изменится ли уровень воды в сосуде, если лед растает? Что будет, если в лед вморожен а) кусочек свинца: б) кусочек пробки?

5. В цилиндрические сообщающиеся сосуды диаметрами D = 0,06 м и d = 0,02 м налита вода. Как изменятся уровни воды в сосудах, если в один из сосудов поместить тело массой т = 0,02 кг, которое будет плавать в воде? Плотность воды ρ = 10³ кг/м³.

6. Сосуд с водой скользит без трения по наклонной плоскости с углом наклона α. Определите, как расположится поверхность воды и сосуде.

Ответы

1. Сила давления на дно наибольшая у сосуда, имеющего форму усеченного конуса, наименьшая – у перевернутого конуса.

2.

3.

4. Если лед чистый или в него вморожен кусочек пробки, то уровень воды не изменится. Если же в лед вморожен кусочек свинца, уровень воды понизится.

5.

6. Поверхность параллельна наклонной плоскости.