Как найти давление в жидкости на кубик - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Асламазов Л. Гидростатика // Квант. – 1995. – № 1. – С. 51-55.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Давление и силы давления

Жидкость оказывает давление на стенки сосуда, в котором она находится, или на любую другую поверхность, соприкасающуюся с ней. Давление – величина скалярная. Оно измеряется абсолютной величиной нормальной (перпендикулярной поверхности) силы, действующей со стороны жидкости на единицу площади поверхности:

Давление в различных точках поверхности может быть разным. Поэтому площадь S мы должны брать достаточно маленькой.

По закону Паскаля давление жидкости не зависит от ориентации поверхности. Как бы ни была расположена поверхность в данном месте жидкости, давление на нее будет одним и тем же.

Сила давления всегда перпендикулярна поверхности. В обычных условиях она направлена так, как если бы жидкость стремилась расшириться.

Задача 1. В сосуд, имеющий форму куба с ребром a, налита доверху жидкость плотностью ρ. Определите силы давления жидкости на дно и стенки сосуда.

Давление жидкости на дно сосуда равно весу столба жидкости высотой a с площадью основания, равной единице: , где g – ускореннее свободного падения. (Для простоты здесь и в других задачах, где это специально не оговорено, предполагается, что атмосферное давление отсутствует). Сила давления на дно сосуда (рис. 1, а)

Рис. 1

Давление на боковую грань куба будет зависеть от расстояния до поверхности жидкости. На глубине h давление . Так как давление изменяется с глубиной по линейному закону (рис. 1. б), для определения силы давления мы должны среднее давление

умножить на площадь боковой грани

Задача 2. В цилиндрический сосуд диаметром D = 0,7 м вставлен поршень с длинной вертикальной трубкой диаметром d = 0,05 м (рис. 2). Максимальная сила трения между поршнем и стенками сосуда F_т_p = 100 Н. Через трубку в сосуд наливают воду. При каком уровне воды в трубке H поршень начнет двигаться? Чему будет равна при этом сила давления воды на дно сосуда? Поршень расположен на высоте h = 0,2 м от дна сосуда. Плотность воды ρ = 10³ кг/м³. Массой поршня с трубкой пренебречь.

Рис. 2

Давление в жидкости на уровне поверхности поршня определяется расстоянием от этого уровня до свободной поверхности жидкости:

Поршень начнет двигаться, когда сила давления на него со стороны жидкости станет равной максимальной силе трения:

где – плошали поперечных сечений сосуда и трубки соответственно. Подставляя сюда выражение для p₁, находим

Давление на дно сосуда .

Сила давления

Задача 3. Длинная вертикальная труба с поршнем опущена одним концом в сосуд с водой. Вначале поршень находится у поверхности воды, затем его медленно поднимают. Как зависит сила, прикладываемая к поршню, от высоты h ее поднятия? Площадь поперечного сечения трубы S, атмосферное давление p₀. Изменением уровня воды в сосуде, массой поршня и ею трением о стенки трубы пренебречь.

При поднятии поршня вода под действием атмосферного давления будет вначале заполнять трубу (рис 3, а). Давление в трубе на уровне жидкости в сосуде равно атмосферному давлению p₀. Давление воды на поршень меньше атмосферного на величину веса столба жидкости высотой h и площадью основания, равной единице:

Рис. 3

Сверху на поршень по-прежнему действует атмосферное давление. Поэтому для удержания поршня на высоте h к нему надо приложить силу, равную

и направленную вверх.

С увеличением h давление воды на поршень будет уменьшаться. На высоте

давление обратится в ноль. При дальнейшем поднятии поршня уровень воды в трубе изменяться не будет, тан как сила атмосферного давления, действующая на столб жидкости в трубе снизу, уравновесится силой тяжести. Для удержания поршня на высоте h > h₀ к нему надо приложить силу .

Зависимость прикладываемой к поршню силы F от высоты его поднятия h изображена графически на рисунке 3, б.

Высота столба воды в трубе , очевидно, может служить для измерения атмосферного давлении p₀. Однако обычно в барометрах используют ртуть, и нормальному атмосферному давлению тогда соответствует значительно меньшая высота столба ртути = 0,76 м (плотность ртути ρ_рт = 1,36×10⁴ кг/м³).

Примером другого гидростатического устройства, широко используемого в практике, являются сообщающиеся сосуды. Известен закон сообщающихся сосудов: если давление над жидкостью в сосудах одинаково, то уровни жидкости в них равны. Нетрудно доказать этот закон для случая цилиндрических сосудов (рис. 4). Так как жидкость в соединительной трубке находится в равновесии, то давления на нее с обеих сторон должны быть одинаковы. Поэтому равны и уровни жидкости в сосудах.

Рис. 4

В общем случае для доказательства закона сообщающихся сосудов можно воспользоваться принципом отвердевания, который часто используют в гидростатике. Суть этого принципа заключается в следующем: всегда можно представить себе, что часть жидкости отвердела – равновесие оставшейся части жидкости от этого не нарушится. Так, в цилиндрических сообщающихся сосудах мы можем мысленно выделить часть жидкости, которая заполняла бы сообщающиеся сосуды любой извилистой формы (см. рис. 4), и представить себе, что остальная часть жидкости отвердевает. Тогда равновесие выделенной нами части жидкости не нарушится, и, следовательно, уровни жидкости в извилистых сообщающихся сосудах будут такими же, какими были в цилиндрических сосудах, т.е. одинаковыми.

Закон сообщающихся сосудов справедлив только для однородной жидкости. Если в сосуды налиты жидкости разных плотностей, то уровни в сосудах могут быть разными.

Задача 4. В U – образную трубку налита ртуть. Поверх ртути в одно из колен трубки налили воду (рис. 5, a). Высота столбика воды l = 0,1 м. Определите разность уровней жидкостей в коленах трубки. Нарисуйте график зависимости давления в обоих коленах трубки от высоты. Плотность ртути ρ_рт = 1,36×10⁴ кг/м³, плотность воды ρ_рт = 10³ кг/м³. Атмосферное давление не учитывайте.

Рис. 5

Давления на ртуть на уровне h_o соприкосновения воды и ртути в обоих коленах должны быть одинаковы (закон сообщающихся сосудов для однородной жидкости). Поэтому

где разность уровней h₂ – h₁ обозначена через Δh. Отсюда

Давление в колене, содержащем только ртуть, меняется с высотой h по закону

Эта формула справедлива и в изогнутой части трубки. (Представите себе, что изогнутое колено сообщается с прямым цилиндрическим сосудом, в котором тоже находится ртуть. Тогда давления на одинаковой высоте в обоих сосудах должны быть равны). В другом колене в области , где находится только вода, давление

Ниже уровня h₀ зависимость давления от высоты дается той же формулой, что и в первом колене:

Зависимость давления в коленах трубки от высоты изображена графически на рисунке 5, б. Как видно, выше уровня h₀ давления на одинаковой высоте разные.

Выталкивающая сила

На тело, погруженное в жидкость, как известно, действует выталкивающая сила. Эта сила является равнодействующей сил давления жидкости на тело. Найдем, например, выталкивающую силу, действующую на кубик с ребром a целиком погруженный в жидкость плотностью ρ. Сила давления со стороны жидкости на верхнюю грань кубика равна

где h – расстояние от этой грани до поверхности жидкости (для простоты мы считаем, что плоскость верхней грани кубика параллельна поверхности жидкости). На нижнюю грань кубика действует сила

Силы давления на боковые грани кубика уравновешивают друг друга. Равнодействующая сил давлении, т.е. выталкивающая сила, равна

и направлена вертикально вверх. Мы получили закон Архимеда: выталкивающая сила равна силе тяжести, действующей на вытесненную телом жидкость.

В общем случае закон Архимеда можно доказать с помощью принципа отвердевания. Мысленно заменим погруженное тело жидкостью. Очевидно, что эта жидкость будет находиться в равновесии. Следовательно, сила тяжести, действующая на нее, уравновешена силами давления со стороны окружающей жидкости. Если теперь представить себе, что выделенная нами часть отвердела, то равновесие оставшейся части не нарушится, и поэтому не изменятся силы давления на отвердевшую жидкость. Равнодействующая этих сил будет по-прежнему равна силе тяжести.

При доказательстве мы считали, что тело целиком погружено в жидкость. Однако аналогичные рассуждения легко провести и в случае, когда только часть тела находится в жидкости (проделайте это сами). И мы опять получим, что выталкивающая сила равна силе тяжести, действующей на вытесненную телом жидкость:

где ρ – плотность жидкости, V – объем погруженной в жидкость части тела, g –ускорение свободного падения.

Задача 5. На дне водоема установлена П – образная конструкция из трех одинаковых балок, соединенных между собой (рис. 6). Как зависит сила давления этой конструкции на дно от уровня воды в водоеме? Рассмотрите два случая: 1) вода подтекает под опоры; 2) опоры плотно соприкасаются с дном. Балки имеют квадратное сечение со стороной a, длина балки l = 2a. Плотность материала балок ρ₀. плотность воды ρ.

Рис. 6

Сила давления F_д на дно определяется разностью силы тяжести конструкции и выталкивающей силы F. В первом случае, когда вода подтекает под опоры (например, если дно водоема покрыто галькой – рисунок 6, а), справедлив закон Архимеда. Зависимость выталкивающей силы от высоты уровня воды h дается формулами:

Соответствующий график для силы F_д изображен на рисунке 6, в – он обозначен цифрой 1.

Во втором случае отсутствует давление воды на опоры снизу (рис.6, б), и пользоваться законом Архимеда уже нельзя. Для определения силы F необходимо найти равнодействующую сил давления:

F = 0 при h ≤ a,

Последнее выражение обращается в нуль при и при больших h становится отрицательным. Это означает, что при силы давления не выталкивают конструкцию из воды, а наоборот, прижимают ее ко дну. Зависимость силы давления на дно от высоты уровня воды показана на втором графике рисунка 6, в.

Задача 6. Пробковый кубик с ребром a = 0,1 м погрузили в воду на глубину h = 0,2 м с помощью тонкостенной трубки диаметром d = 0,05 м (рис. 7). Определите, какой груз надо положить в трубку, чтобы кубик от нее оторвался. Плотность пробки ρ₀ = 200 кг/м³, плотность воды ρ = 10³ кг/м³.

Рис. 7

Вес груза равен разности выталкивающей силы F действующей на кубик, и силы тяжести кубика . Если бы кубик был окружен со всех сторон водой, то на него по закону Архимеда действовала бы выталкивающая сила . В нашем случае выталкивающая сила будет большей, так как на часть поверхности верхней грани кубика, «заключенную» в трубку, не действует давление воды:

где – площадь сечения трубки. Таким образом, сила тяжести грузика

Масса грузика т = 1,2 кг.

Выталкивающую силу, действующую на кубик, можно найти и другим способом. Рассмотрим кубик с трубкой как единое тело, вытесняющее объем воды

Тогда по закону Архимеда на кубик с трубкой действует выталкивающая сила

которая равна выталкивающей силе, действующей на кубик, так как равнодействующая сил давления воды на трубку равна нулю.

Жидкость в движущемся сосуде

Изучим теперь равновесие жидкости в сосуде, движущемся с ускорением. По второму закону Ньютона в этом случае векторная сумма всех сил, действующих на любой выделенный элемент жидкости, должна равняться , где m – масса выделенной жидкости, – ускорение сосуда. Но на выделенный элемент жидкости действуют сила тяжести и силы давления со стороны окружающей жидкости. Их равнодействующая и должна быть равна .

Задача 7. Сосуд с жидкостью плотностью ρ падает с ускорением a. Определите давление жидкости на глубине h и силу давления на дно сосуда. Высота уровня воды в сосуде H, площадь дна сосуда s.

Выделим столбик жидкости высотой h с площадью основания s. На него действуют сила тяжести и сила давления , направленная вверх. Равнодействующая этик сил создает ускорение столбика:

где – масса столбика. Для давления p на глубине h отсюда находим

Сила давления на дно сосуда

будет тем меньше, чем больше ускорение сосуда a. При (свободное падение) сила давления жидкости обращается в ноль – наступает состояние невесомости. При жидкость будет свободно падать с ускорением g, а сосуд – с большим ускорением, и вода вытечет из сосуда.

Задача 8. На дне сосуда с жидкостью лежит тело. Может ли тело всплыть, если сосуд начнет двигаться вверх с ускорением? Определите силу давления тела на дно сосуда, если ускорение сосуда a, плотность жидкости ρ₀, плотность тела ρ, его объем V.

На тело, лежащее на дне сосуда, действуют сила тяжести mg сила реакции дна N и выталкивающая сила F (рис. 8). Если сосуд покоится, то сумма этих сил равняется нулю. При движении сосуда с ускорением a вверх по второму закону Ньютона имеем

Рис. 8

Определим выталкивающую силу F. Аналогично решению предыдущей задачи, легко получить, что при ускоренном движении сосуда, вверх давление на глубине h дается формулой

т.е. давление в раз больше, чем в неподвижном сосуде. Соответственно будет большей и выталкивающая сила:

где – масса вытесненной телом воды.

Подставляя это выражение в формулу второго закона Ньютона, для силы реакции дна получаем

Легко видеть, что в сосуде, движущемся с ускорением вверх, сила реакции дна всегда больше, чем в неподвижном. Поэтому тело не только не всплывает, а наоборот, сильнее прижимается ко дну.

Задача 9. Сосуд с жидкостью движется горизонтально с ускорением a. Определите форму поверхности жидкости в сосуде.

Выделим горизонтальный столбик жидкости длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 9). По второму закону Ньютона

где – масса столбика, p₁ и p₂ – давления на него слева и справа.

Рис. 9

Давление на глубине h определяется по обычной формуле (по вертикали ускорения нет). Подставляя выражения для m и p в уравнение второго закона Ньютона, получаем

или

Но – это разность высот точек поверхности жидкости. Мы получаем, что поверхность жидкости – плоскость, наклоненная к горизонту под углом α, причем .

Заметим, что давление жидкости на данной высоте здесь не одно и то же. Линии равного давления параллельны поверхности жидкости. Если ввести расстояние h´ от точки до поверхности жидкости, то давление в этой точке

Поэтому можно сказать, что ускоренное движение сосуда эквивалентно замене ускорения свободного падения на величину . Это утверждение в равной степени относится и к предыдущим двум задачам.

Упражнения

1. Три сосуда, имеющие формы цилиндра, усеченного конуса и перевернутого усеченного конус с одинаковыми площадями оснований и рапными объемами, доверху наполнены водой. Как соотносятся между собой силы давлении воды на дно сосудов?

2. Трубка ртутного барометра подвешена нити. Определите натяжение нити, если высота уровня ртути и трубке Н = 0,76 м, внешний диаметр трубки D = 0,02 м, внутренний d = 0,017 м. нижний конец трубки погружен в ртуть на глубину h = 0,1 м, масса трубки m = 0,3 кг, плотность ртути ρ = 1,36×10⁴ кг/м⁴. Считайте, что торцы трубки плоские.

3. Длинная вертикальная трубка погружена одним концом в сосуд с ртутью. В трубку наливают m = 0,71 кг воды, которая не вытекает из трубки. Определите изменение уровня ртути и сосуде. Диаметр сосуда D = 0,06 м, плотность ртути ρ = 1,36×10⁴ кг/м⁴. Толщиной стоим трубки пренебречь.

4. В сосуде с водой плавает кусок льда. Изменится ли уровень воды в сосуде, если лед растает? Что будет, если в лед вморожен а) кусочек свинца: б) кусочек пробки?

5. В цилиндрические сообщающиеся сосуды диаметрами D = 0,06 м и d = 0,02 м налита вода. Как изменятся уровни воды в сосудах, если в один из сосудов поместить тело массой т = 0,02 кг, которое будет плавать в воде? Плотность воды ρ = 10³ кг/м³.

6. Сосуд с водой скользит без трения по наклонной плоскости с углом наклона α. Определите, как расположится поверхность воды и сосуде.

Ответы

1. Сила давления на дно наибольшая у сосуда, имеющего форму усеченного конуса, наименьшая – у перевернутого конуса.

4. Если лед чистый или в него вморожен кусочек пробки, то уровень воды не изменится. Если же в лед вморожен кусочек свинца, уровень воды понизится.

6. Поверхность параллельна наклонной плоскости.

Источник

В этой статье представляю задачи, связанные с плаванием тел и силой Архимеда. Как обычно, сначала пытаемся решить задачи простые, а затем перейдем к более сложным, которые вы найдете в следующей статье.

Задача 1. В воду погружен стеклянный кубик с ребром 10 см. Нижняя его грань находится на глубине 30 см. Рассчитайте силу давления жидкости, действующую: а) на верхнюю грань кубика; б) на нижнюю грань кубика; в) на правую грань; г) на левую грань; д) на переднюю и заднюю грани. Найдите равнодействующую всех этих сил.

Давление на грани кубика

Давление столба жидкости может быть вычислено по формуле , а сила давления может быть найдена из формулы , из которой находим: .

Не забываем, что очень важно помнить про перевод всех данных задачи в систему СИ, поэтому все расстояния и глубины из сантиметров переводим в метры.

Тогда сила давления на грань: , где — длина ребра кубика в метрах, — глубина, причем для боковых граней возьмем среднее значение () так как давление у верхнего края боковых граней и у нижнего – разное.

Сила давления на верхнюю грань, Н:

Сила давления на нижнюю грань, Н:

Сила давления на боковые грани, заднюю и переднюю, Н:

Понятно, что все силы, действующие на боковые, заднюю и переднюю грани друг друга компенсируют, а равнодействующая всех сил будет в итоге суммой сил давления на нижнюю и верхнюю грани:

Так как сила давления на нижнюю грань больше, чем на верхнюю, то равнодействующая направлена вверх.

Задача 2. Определите объем куска алюминия, на который в керосине действует архимедова сила величиной 120 Н.

Сила Архимеда может быть вычислена как , где — плотность жидкости, а — объем самого тела. То есть сила Архимеда не зависит от того, из чего сделано тело, а только от его объема. Вы спросите: почему тогда одинаковые по объему тела, например, шарики равных радиусов, сделанные из дерева и какого-либо металла, по-разному себя ведут в воде: один плавает, второй – тонет? Да просто есть ведь и сила тяжести, которая зависит как раз от массы тела, и в случае деревянного шарика сила Архимеда достаточна, чтобы компенсировать силу тяжести, а в случае с металлическим шариком – нет.

Рассчитаем объем: м

Задача 3. Плавающий деревянный брусок вытесняет 0,5 л воды. Сколько весит брусок?

Так как брусок плавает, то сила Архимеда равна силе тяжести. Нас спрашивают в задаче про вес бруска. Так как система в покое и ускорения нет, то вес бруска равен силе тяжести:

Можно эту задачу решить иначе: вес тела равен весу воды, вытесняемой им. Брусок вытеснил 0,5 литра воды. Воспользовавшись формулой плотности вещества, определяем, что масса такого количества воды равна 0,5 кг, а вес, значит, 5Н.

Задача 4. Тела изготовлены из дерева, пробки и стали. Они имеют объем 100 см каждое. Найдите архимедову силу, действующую на каждое тело, если его погрузить в воду.

Как было показано в одной из предыдущих задач, неважно, из чего изготовлено тело, а важен его объем, поэтому, раз тела обладают одним и тем же объемом, то и сила Архимеда на них действует одинаковая:

Ответ: 1 Н

Задача 5.Тело при погружении в воду становится легче в 5 раз, чем в воздухе. Определите плотность этого тела.

Мы с вами помним, конечно, что на всякое тело, погруженное как в жидкость, так и в газ, действует сила Архимеда. Поэтому в воздухе она также будет действовать на тело. Однако плотность воздуха так мала по сравнению с плотностью воды, что, я думаю, мы этой силой пренебрежем, и примем вес тела в воздухе равным силе тяжести.

Тогда вес тела — на воздухе, а вес тела в воде . А уменьшился вес этого тела в воде благодаря силе Архимеда: , откуда получаем, что

Масса тела равна произведению его плотности на объем:

Подставим:

Откуда и найдем плотность тела:

Ответ: плотность тела 1250 кг/м

Задача 6. На предмет, целиком погруженный в керосин, действует выталкивающая сила величиной 2 кН. Какой будет архимедова сила, действующая на него в воде? А в спирте?

Чтобы узнать, какой будет Архимедова сила, нужно знать объем предмета. Определим его, зная Архимедову силу в керосине: , откуда получаем, что .

Зная объем, определяем Архимедову силу в воде, Н:

Так как плотность спирта равна плотности керосина, то и Архимедовы силы в этих жидкостях будут одинаковы.

Задача 7.Цинковый шар имеет массу 360 г. При погружении в воду его вес становится равным 2,8 Н. Сплошной этот шар или полый?

Определим объем шара в предположении, что полости в нем нет, по формуле плотности (то есть найдем объем куска цинка массой 360 г):

Плотность цинка равна кг/м, объем получается м

Теперь определим реальный объем шара, то есть тот, который он вытесняет, по известному весу в жидкости. Вес шара Н, вес в жидкости равен , откуда объем вытесняемой жидкости (и объем шара)

мы получили больший объем, чем в первом случае, то есть шар имеет полость внутри, которая и влияет на его внешний объем.

Задача 8. Камень имеет объем 7,5 дм и массу 18,7 кг. Какую силу придется приложить, чтобы удерживать его в воздухе и в воде?

Чтобы удержать такой камень в воздухе, нужно преодолеть силу тяжести, то есть Н.

Теперь определим, какую силу достаточно будет приложить в воде, ведь там нам поможет сила Архимеда!

Тогда сила, которую нужно приложить в воде для удержания камня (или, проще, вес этого камня в воде) равна Н

Задача 9. Сплошное однородное тело, будучи погруженным в воду, весит 170 мН, а в глицерин – 144 мН. Каким будет вес этого тела, если его погрузить в четыреххлористый углерод?

Запишем систему уравнений по тем условиям, что описаны в задаче. Вес тела в воде равен весу тела на воздухе, уменьшенному на силу Архимеда:

Вес тела в глицерине равен весу тела на воздухе, уменьшенному на силу Архимеда – только в глицерине сила Архимеда отличается от той, что действовала на тело в воде:

Из этих двух уравнений, объединив их в систему, можно найти объем тела. Вычтем второе уравнение из первого:

Подставляем числа:

Теперь, когда мы знаем объем тела и плотность четыреххлористого углерода, можно найти силу Архимеда в нем:

Ответ: 110 мН

Задача 10. Кусок парафина толщиной 5 см плавает в воде. Он имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Какая часть куска выступает над водой?

Если кусок парафина плавает, а не тонет, значит, сила Архимеда достаточна для того, чтобы компенсировать силу тяжести. Тогда можно записать:

Представим массу куска через его объем и плотность:

Здесь — объем всего куска, а — объем погруженной части.

Тогда:

Так как объем – это произведение площади основания на высоту, то можно сократить площадь:

Откуда делаем вывод, что , то есть из пяти см выступает 0,5 см.

Задача 11. Прямоугольная баржа после приема груза осела на 0,5 м. Принимая длину баржи 5 м, а ширину – 3 м, рассчитать вес принятого ею груза.

Рассчитаем объем воды, который был вытеснен баржей после осадки:

Такой объем воды весит 7,5 тонн – это легко понять, помня величину плотности воды.

То есть вес груза, принятого баржей, равен , или 75 кН.

Задача 12. Плот состоит из 12 бревен, каждое из которых имеет объем 0,8 м. Бревна сосновые. Можно ли на этом плоту переправить на другой берег автомобиль массой 1,5 тонны?

Рассчитаем вес плота: Н

К этому весу будет еще добавлен вес автомобиля: Н

Определим силу Архимеда. Если она окажется больше, чем суммарный вес плота и автомобиля, то плот выдержит (не будет затоплен при переправе), а если меньше, то переправлять автомобиль нельзя. Предположим, весь объем плота оказывается в воде при погрузке автомобиля. Тогда сила Архимеда: Н.

Так как , то делаем вывод, что плот может переправить автомобиль и даже не погрузится при переправе целиком в воду, то есть колеса не намокнут.

Задача 13. Теплоход, вес которого вместе с оборудованием составляет 20 МН, имеет объем подводной части при погружении до ватерлинии 6000 м. Как велика грузоподъемность теплохода?

Сразу вычислим силу Архимеда, так как знаем водоизмещение судна:

Н.

Часть этой силы пойдет на компенсацию веса самого судна с оборудованием:

, или 40 МН – такого веса груз можно нагрузить на теплоход.

Задача 14. В сообщающиеся сосуды диаметром каждый налита жидкость плотностью . В один сосуд опустили тело массой , которое стало плавать в жидкости. Как и на сколько изменится уровень жидкости в сосудах?

Тело в одном из двух сосудов

Так как тело плавает, то заключаем, что сила Архимеда достаточна, чтобы скомпенсировать вес тела. Тогда запишем это формулой:

Так как сосудов два, и по закону уровень воды в них одинаков, то, если общий объем воды увеличивается на благодаря телу, то в каждом сосуде он поднимется на .

Высота подъема воды равна

Или

Источник

Как определить силу давления кубика на дно сосуда?

Однородный кубик с ребром 10,0 см и плотностью 2500 кг/м³ лежит на дне. Высота
уровня воды над верхней гранью кубика 20,0 см. Вода под кубик не подтекает. Давление
100 кПа, плотность воды равна 1000 кг/м³ . Насти силу давления кубика
на дно сосуда.

Решение.

Так как вода не подтекает под кубик,
то выталкивающая сила не возникает.
Давление на верхнюю грань кубика состоит из
атмосферного и гидростатического давлений

p = p_атм + p_гидр = p_атм + ρ_вgh.

Сила, действующая на дно сосуда со
стороны кубика равна

F = pS + mg,

Где S = a² – площадь основания кубика; m = ρ₁ga³ – масса кубика.

Тогда F = (p_атм + ρ_вgh)a² + ρ₁ga³ = 1,05 кH.

Ответ: F = 1,05 кH.

Источник: Пособие-репетитор для подготовки к централизованному тестированию. С.Н.Капельян, Л.А.Аксенович.

Источник

Главная страница

Содержание

Введение

Основы гидростатики

Основы гидродинамики

Гидравлические сопротивления

Истечние жидкости из отверстий, насадков и из-под затворов

Гидравлический расчет простых трубопроводов

Гидравлические машины

Лекция 2. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ

Гидравлика делится на два раздела: гидростатика и гидродинамика. Гидродинамика является более обширным
разделом и будет рассмотрена в последующих лекциях. В этой лекции будет рассмотрена гидростатика.

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости
и их практическое применение.

В покоящейся жидкости всегда присутствует сила давления, которая называется гидростатическим давлением.
Жидкость оказывает силовое воздействие на дно и стенки сосуда. Частицы жидкости, расположенные в верхних
слоях водоема, испытывают меньшие силы сжатия, чем частицы жидкости, находящиеся у дна.

Рассмотрим резервуар с плоскими вертикальными стенками, наполненный жидкостью (рис.2.1, а). На дно
резервуара действует сила P равная весу налитой жидкости G = γ V, т.е. P = G.

Если эту силу P разделить на площадь дна S_abcd, то мы получим среднее гидростатическое
давление, действующее на дно резервуара.

Гидростатическое давление обладает свойствами.

Свойство 1. В любой точке жидкости гидростатическое давление перпендикулярно площадке
касательной к выделенному объему и действует внутрь рассматриваемого объема жидкости.

Для доказательства этого утверждения вернемся к рис.2.1, а. Выделим на боковой стенке резервуара
площадку S_бок (заштриховано). Гидростатическое давление действует на эту площадку в виде
распределенной силы, которую можно заменить одной равнодействующей, которую обозначим P. Предположим,
что равнодействующая гидростатического давления P, действующая на эту площадку, приложена в точке
А и направлена к ней под углом φ (на рис. 2.1 обозначена штриховым отрезком со
стрелкой). Тогда сила реакции стенки R на жидкость будет иметь ту же самую величину, но
противоположное направление (сплошной отрезок со стрелкой). Указанный вектор R можно разложить на
два составляющих вектора: нормальный R_n (перпендикулярный к заштрихованной площадке) и
касательный R_τ к стенке.

Рис. 2.1. Схема, иллюстрирующая свойства гидростатического давления
а — первое свойство; б — второе свойство

Сила нормального давления R_n вызывает в жидкости напряжения сжатия. Этим напряжениям
жидкость легко противостоит. Сила R_τ действующая на жидкость вдоль
стенки, должна была бы вызвать в жидкости касательные напряжения вдоль стенки и частицы должны были бы
перемещаться вниз. Но так как жидкость в резервуаре находится в состоянии покоя, то составляющая
R_τ отсутствует. Отсюда можно сделать вывод первого свойства
гидростатического давления.

Свойство 2. Гидростатическое давление неизменно во всех направлениях.

В жидкости, заполняющей какой-то резервуар, выделим элементарный кубик с очень малыми сторонами
Δx, Δy, Δz (рис.2.1, б). На каждую из боковых поверхностей будет
давить сила гидростатического давления, равная произведению соответствующего давления P_x,
P_y , P_z на элементарные площади. Обозначим вектора давлений,
действующие в положительном направлении (согласно указанным координатам) как P’_x,
P’_y, P’_z, а вектора давлений, действующие в обратном направлении
соответственно P»_x, P»_y, P»_z. Поскольку кубик
находится в равновесии, то можно записать равенства

P’_xΔyΔz=P»_xΔyΔz
P’_yΔxΔz = P»_yΔxΔz
P’_zΔxΔy + γΔx, Δy, Δz = P»_zΔxΔy

где γ — удельный вес жидкости;
Δx, Δy, Δz — объем кубика.

Сократив полученные равенства, найдем, что

P’_x = P»_x; P’_y = P»_y; P’_z + γΔz = P»_z

Членом третьего уравнения γΔz, как бесконечно малым по сравнению с P’_z и P»_z, можно пренебречь и тогда окончательно

P’_x = P»_x; P’_y = P»_y; P’_z=P»_z

Вследствие того, что кубик не деформируется (не вытягивается вдоль одной из осей), надо полагать, что
давления по различным осям одинаковы, т.е.

P’_x = P»_x = P’_y = P»_y = P’_z=P»_z

Это доказывает второй свойство гидростатического давления.

Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве.

Это положение не требует специального доказательства, так как ясно, что по мере увеличения погружения точки
давление в ней будет возрастать, а по мере уменьшения погружения уменьшаться. Третье свойство гидростатического
давления может быть записано в виде

P=f(x, y, z)

Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила —
сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке
рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.2.2) и на ее свободную поверхность действует давление P₀. Найдем гидростатическое давление P в произвольно взятой точке М, расположенной на
глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на
ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного
объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь
будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.

Рис. 2.2. Схема для вывода основного уравнения гидростатики

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось:

PdS — P₀ dS — ρghdS = 0

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре
объемом hdS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они
перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на
dS и перегруппировав члены, найдем

P = P₀ + ρgh = P₀ + hγ

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой
точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления
P₀ на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев
жидкости.

Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее
всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности P₀. Другими словами
давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем
направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня (подробно рассмотрим
в п.2.6). В обычных условиях поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.

Пусть мы имеем резервуар с наклонной правой стенкой, заполненный жидкостью с удельным весом γ. Ширина
стенки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (от читателя), равна b
(рис.2.3). Стенка условно показана развернутой относительно оси АВ и заштрихована на рисунке. Построим
график изменения избыточного гидростатического давления на стенку АВ.

Так как избыточное гидростатическое давление изменяется по линейному закон P=γgh,
то для построения графика, называемого эпюрой давления, достаточно найти давление в двух точках, например
А и B.

Рис. 2.3. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на плоскую
поверхность

Избыточное гидростатическое давление в точке А будет равно

P_A = γh = γ·0 = 0

Соответственно давление в точке В:

P_B = γh = γH

где H — глубина жидкости в резервуаре.

Согласно первому свойству гидростатического давления, оно всегда направлено по нормали к ограждающей
поверхности. Следовательно, гидростатическое давление в точке В, величина которого равна γH,
надо направлять перпендикулярно к стенке АВ. Соединив точку А с концом
отрезка γH, получим треугольную эпюру распределения давления АВС с прямым
углом в точке В. Среднее значение давления будет равно

Если площадь наклонной стенки S=bL, то равнодействующая гидростатического давления равна

где hc = Н/2 — глубина погружения центра тяжести плоской поверхности под уровень жидкости.

Однако точка приложения равнодействующей гидростатического давления ц.д. не всегда будет совпадать
с центром тяжести плоской поверхности. Эта точка находится на расстоянии l от центра тяжести и равна
отношению момента инерции площадки относительно центральной оси к статическому моменту этой же площадки.

где J_Аx — момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной
Аx.

В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами bL и одна из его сторон лежит
на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления ц.д. находится на расстоянии b/3
от нижней стороны.

Пусть жидкость заполняет резервуар, правая стенка которого представляет собой цилиндрическую криволинейную
поверхность АВС (рис.2.4), простирающуюся в направлении читателя на ширину b. Восстановим из
точки А перпендикуляр АО к свободной поверхности жидкости. Объем жидкости в отсеке АОСВ
находится в равновесии. Это значит, что силы, действующие на поверхности выделенного объема V, и
силы веса взаимно уравновешиваются.

Рис. 2.4. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на
цилиндрическую поверхность

Представим, что выделенный объем V представляет собой твердое тело того же удельного веса, что и
жидкость (этот объем на рис.2.4 заштрихован). Левая поверхность этого объема (на чертеже вертикальная
стенка АО) имеет площадь Sx = bH, являющуюся проекцией криволинейной поверхности АВС на
плоскость yOz.

Cила гидростатического давления на площадь S_x равна F_x = γ
S_xh_c.

С правой стороны на отсек будет действовать реакция R цилиндрической поверхности. Пусть точка
приложения и направление этой реакции будут таковы, как показано на рис.2.4. Реакцию R разложим на
две составляющие R_x и R_z.

Из действующих поверхностных сил осталось учесть только давление на свободной поверхности
Р₀. Если резервуар открыт, то естественно, что давление Р₀ одинаково
со всех сторон и поэтому взаимно уравновешивается.

На отсек АВСО будет действовать сила собственного веса G = γV, направленная вниз.

Спроецируем все силы на ось Ох:

F_x — R_x = 0 откуда F_x = R_x = γS_xh_c

Теперь спроецируем все силы на ось Оz:

R_x — G = 0 откуда R_x = G = γV

Составляющая силы гидростатического давления по оси O_y обращается в нуль, значит R_y = F_y = 0.

Таким образом, реакция цилиндрической поверхности в общем случае равна

а поскольку реакция цилиндрической поверхности равна равнодействующей гидростатического давления R=F,
то делаем вывод, что

Тело, погруженное (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление,
направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела.

P_выт = ρ_жgV_погр

Для однородного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение

где: V — объем плавающего тела;
ρ_m — плотность тела.

Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь
гидравлической сущности этой теории.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние
называется устойчивостью. Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна называют
водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) — центром
водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести С и центр водоизмещения d лежат
на одной вертикальной прямой O’-O», представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания
(рис.2.5).

Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол α, часть судна
KLM вышла из жидкости, а часть K’L’M’, наоборот, погрузилось в нее. При этом получили новое
положении центра водоизмещения d’. Приложим к точке d’ подъемную силу R и линию ее
действия продолжим до пересечения с осью симметрии O’-O». Полученная точка m называется
метацентром, а отрезок mC = h называется метацентрической высотой. Будем считать h
положительным, если точка m лежит выше точки C, и отрицательным — в противном случае.

Рис. 2.5. Поперечный профиль судна

Теперь рассмотрим условия равновесия судна:

1) если h > 0, то судно возвращается в первоначальное положение;
2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия;
3) если h<0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее
опрокидывание судна.

Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем больше
будет остойчивость судна.

Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью
уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы
жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость
принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна
движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.6).

Рис. 2.6. Движение цистерны с ускорением

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G = mg и сила
инерции P_u, равная по величине ma. Равнодействующая
этих сил направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной
равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную,
составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от
ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в
цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту
под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным,
направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону
(см. рис.2.6, пунктир).

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости
во вращающихся сосудах (например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей). В этом
случае (рис.2.7) на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы: сила
тяжести G = mg и центробежная сила P_u = mω²r, где r
— расстояние частицы от оси вращения, а ω — угловая скорость вращения сосуда.

Рис. 2.7. Вращение сосуда с жидкостью

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и
представит собой параболоид вращения. Из чертежа находим

С другой стороны:

где z — координата рассматриваемой точки. Таким образом, получаем:

откуда

или после интегрирования

В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения r = 0, z = h = C, поэтому окончательно будем
иметь

т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом. Такую же форму
имеют и другие поверхности уровня.

Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты выделим
вертикальный цилиндрический объем жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки dS
(точка М) на произвольном радиусе r и высоте z и запишем условие его равновесия в
вертикальном направлении. С учетом уравнения (2.11) будем иметь

После сокращений получим

Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу r и уменьшается пропорционально
высоте z.

Проверить себя ( Тест )

Наверх страницы

Источник

Вася Иванов

Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.

Источник