Как найти действительную величину контура сечения призмы

26 декабря, 2013 Анна Веселова

Понравился материал? Подпишись на обновления!

Вы можете пропустить чтение записи и оставить комментарий. Размещение ссылок запрещено.

Сечение плоскостью призмы, пирамиды, цилиндра и конуса

СЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЬЮ

В заданиях на построение усечен­ных геометрических тел можно выде­лить следующие задачи: 1) построе­ние усеченного тела в системе трех плоскостей проекций; 2) определение истинной величины фигуры сечения; 3) построение развертки усеченного тела и 4) вычерчивание его аксоно­метрической проекции. Ниже помеще­ны рекомендации по решению каждой из перечисленных задач.

Вначале по положению секущей плоскости определяют вид фигуры се­чения и в зависимости от формы гео­метрического тела выбирают прием построения проекций сечения. В зада­ниях секущие плоскости занимают проецирующее положение, поэтому одна проекция сечения задается. Не­достающие проекции фигуры сечения призмы или пирамиды строят по точ­кам пересечения их ребер с заданной плоскостью. Если же плоскость пере­секает поверхность вращения по ле­кальной кривой, то начинают с определения ее характерных точек.

Например, фронтально проецирующая плоскость Р (рис. 106) пересекает цилиндр по не­полному эллипсу. Его характерными точками являются: 1) А и В — точки, принадлежащие линии пересечения плоскости Р с основанием цилиндра; 2) С — конец большой оси эллипса; 3) D и Е — концы малой оси эллипса и они же точки, лежащие на очерковых образующих ци­линдра Последовательность нахождения точек эллипса указана стрелками на примере проме­жуточных точек 1 и 2.

Истинную величину фигуры сече­ния определяют с помощью способа перемены плоскостей проекций или вращения. Если применяют способ перемены плоскостей проекций, то дополнительную плоскость задают параллельно секущей плоскости. Дополнительную плоскость совмещают с основной плоскостью проекций так, чтобы новая проекция сечения не наложилась на имеющиеся проекции. При использовании способа вращения ось вращения целесообразно распола­гать в секущей плоскости и на неко­тором расстоянии от тела.

Для примера показано положение оси вра­щения U (рис. 107) при определении истинной величины сечения четырехугольной призмы фронтально проецирующей плоскостью Р.

Построение развертки усеченного тела начинают с вычерчивания раз­вертки его полной боковой поверхно­сти. Далее на нее наносят линии се­чения и пристраивают к ней остальные части развертки — основания и фигуру сечения. Если какие-либо элементы, необходимые для построения разверт­ки, на проекциях искажены, то пред­варительно определяют их истинную величину.

Например, для построения развертки пра­вильной усеченной четырехугольной пирамиды (рис. 108) необходимо определить истинную ве­личину фигуры сечения — треугольника ADE и длину одного из ее боковых ребер, например ребра SB. Для определения истинной величины этих элементов их поворачивают до положения, параллельного плоскости V. Треугольник ADE повер­нут вокруг оси U, а ребро SB — вокруг высо­ты пирамиды. Далее строят развертку согласно рекомендациям в следующем порядке: задают положение вершины S; вычерчивают развертку полной боковой поверхности пирамиды; наносят на нее линии сечения DE и AE с помощью от­резков SE = = s ′ e′₁ = L₂ и DC = dc; пристраивают к ребру основания АВ фигуру усеченного основания— четырехугольник ABCD = abcd и к его стороне AD — треугольник ADE = a′₁e′₁ d′₁.

Усеченные тела на аксонометриче­ской проекции вначале вычерчивают целыми. Далее изображают проекцию сечения и контурными линиями обво­дят усеченную часть тела.

Для примера на рис. 109 вычерчена изо­метрическая проекция конуса, усеченного фронтально проецирующей плоскостью Р по параболе. Параболу на изометрической проекции начинают строить с ее вершины А. Эту точку получают с помощью координаты— х_А. Проекции нижних точек параболы В и С строят по координате х_{В, С}. Соединив точку А с серединой отрезка ВС, получают проек­цию оси симметрии параболы. Для построе­ния ее промежуточных точек откладывают по оси конуса от его основания отрезки, равные координатам z_1,2, z_3,1, z_5,6. Через концы от­ложенных отрезков проводят прямые, па­раллельные оси координат X, до пересечения с осью симметрии параболы. Через получен­ные точки проводят хорды параболы, которые параллельны ее нижней хорде ВС. Длину каждой хорды замеряют на горизонтальной проекции усеченного конуса и откладывают на соответствующей хорде изометрической проекции.

Задание 23. Усеченные геомет­рические тела. Построить заданные усеченные геометрические тела (приз­му, пирамиду, цилиндр, конус) в си­стеме трех плоскостей проекций, опре­делить истинные величины фигур се­чения, вычертить развертки усеченных тел и их аксонометрические проекции. Вид аксонометрической проекции ука­зан в табл. 13.

Изображение каждого геометриче­ского тела располагают на листе фор­мата A3.

Образцы выполненного задания с разными вариантами оформления приведены на рис. 110—113.

Работу над заданием следует на­чинать с компоновки чертежа, которая довольно трудоемка из-за большого количества изображений. Габариты горизонтальной, фронтальной, про­фильной и аксонометрической проек­ций тела подсчитывают по заданным проекциям. Размеры сечения и раз­вертки определяют приблизительно или делают на черновике нужные по­строения.

Сократить работу с предлагаемым за­данием можно, уменьшив число геометрических тел или упростив содержание задания. Например, отказаться от вычерчивания аксо­нометрической проекции тела или не строить его развертку.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Студопедия рекомендует:

Вопрос 2. Понятие гражданского процессуального права, его предмет, метод, система и значение Гражданское процессуальное право (ГПП) — совокупность правовых норм.
Модернизация российского образования В декабре 2001 года правительство России утвердило программный документ &ndash.
Средства индивидуальной защиты, группы, тактико-технические данные, порядок применения Проблема личной безопасности сотрудников органов внутренних дел при решении ими профессиональных задач или в ситуациях.
СЕМЯ. СТРОЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ СЕМЯН Семя – это репродуктивный орган, который у покрытосеменных растений образуется из семязачатка обычно после двойного.
Стандартное отклонение Среднее квадратичное отклонение (или стандартное отклонение) – вторая по значению константа вариаци­онного ряда.

Источник

Инфоурок

›

Математика

›Другие методич. материалы›Учебно-методический комплекс к практической работе по инженерной графике на тему » Построение натуральной величины фигуры сечения»

Учебно-методический комплекс к практической работе по инженерной графике на тему » Построение натуральной величины фигуры сечения»

1.

Сечение призмы
плоскостью

2.

Задание
• Выполнить чертеж усеченной призмы Найти действительную
величину контура сечения

3.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Варианты
Татаренко
Лякишев
Махнач
Пассар
Печеницына
Присяжнюк
Уткина
Черепанова
Щербакова
Щукин
Юрищева
Ядонист
Шиверских

4.

• На чистом формате выполните рамку, основную надпись
• Построение выполняется в центре листа – по данным варианта
выполнить три проекции шестигранной призмы с высотой h и
основанием d

5.

• Обозначать точки пересечения. Учитываем, что у призмы есть два
задних, невидимых ребра, т.е. точек будет 6

6.

• Из-за того, что все точки лежат на ребрах призмы, на виде сверху
они совпадут с углами основания

7.

• Для построения точек пересечения на виде слева проводим
горизонтальные линии проекционных связей

8.

• Обозначаем полученные точки и соединяем их – должен
получиться неправильный шестигранник

9.

• При выполнении обводки чертежа отсеченную часть (верхнюю)
не обводим, если при последующих построениях отсеченная
часть будет мешать – ее можно убрать

10.

• Строим натуральную величину сечения
• В свободном месте листа над видом прямо проводим три линии,
параллельные плоскости сечения, расстояние между которыми равно
расстоянию между гранями шестигранника и центрально горизонтальной
линией на виде сверху

11.

• Из точек пересечение секущей плоскости и призмы проводим
перпендикуляры (угол 900)

12.

• Отмечаем и соединяем точки пересечения секущей плоскости и
ребер шестигранника на натуральной величине сечения

13.

• Маркируем натуральную величину сечения, проставляем
размеры (вы вместо букв ставите цифры и условные
обозначения)

14.

• Оформляем основную надпись

15.

• Окончательный вид работы

Сечение геометрических тел плоскостями



Понятие о сечении и линии пересечения

В результате пересечения геометрического тела плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением (или фигурой сечения).

В общем случае сечение представляет собой плоскую фигуру, ограниченную замкнутой линией, все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности тела.

При пересечении плоскостью многогранных геометрических тел (призмы, пирамиды, параллелепипеда и т. п.) в общем случае получается замкнутая ломаная линия, состоящая из отдельных отрезков прямых линий, точки излома линии пересечения являются точками пересечения ребер многогранной фигуры плоскостью.

Если фигура представляет собой тело вращения (цилиндр, конус, шар и т. п.) или ее поверхность ограничена плавными кривыми поверхностями, линией сечения будет кривая, для построения которой необходимо определить характерные точки, расположенные на очерковых образующих, точки, удаленные на максимальное и минимальное расстояние от плоскости проекции, а также произвольные точки линии сечения. При этом чем больше точек пересечения плоскостью такой фигуры будет определено, тем правильнее будет построена линия пересечения.

***

Пересечение тел проецирующими плоскостями.
Построение действительной величины фигуры сечения.

При пересечении геометрических тел плоскостью проецирующего положения (т. е. перпендикулярной одной из плоскостей проекции) одна из проекций сечения изображается прямой линией, совпадающей с линейной (вырожденной) проекцией плоскости, т. е. сечение фигуры на этом виде представляет собой прямую, которая может быть параллельна какой-либо оси проекций (х, у или z), либо располагаться под наклоном к ней. Остальные проекции сечения определяют по характерным точкам пересечения плоскости с ребрами фигуры методом прямоугольного проецирования.

***

Пересечение многогранников плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью частного положения грани будут пересекаться по прямым линиям, и линией пересечения будет замкнутая или незамкнутая ломаная линия. Для построения этой линии достаточно найти точки пересечения ребер с заданной плоскостью (опорные точки) и соединить их с учетом видимости.

Пример пересечения призмы плоскостью

Задача

Построить линию пересечения призмы ABCD плоскостью а (рис. 1). Определить действительную величину фигуры сечения.

Решение.

Плоскость а является фронтально-проецирующей.
Фронтальная проекция сечения вырождается в прямую 1-2-3-4, совпадающую со следом а, секущей плоскости.
Горизонтальная проекция совпадает с горизонтальной проекцией основания ABCD. Профильная проекция строится по точкам.
Действительную величину сечения 1₂-2₂-З₂-4₂ определяют способом плоскопараллельного перемещения.

***



Пример пересечения пирамиды плоскостью

Задача

Построить линию пересечения пирамиды плоскостью а (рис. 2). Определить действительную величину сечения.

Решение

Т. к. плоскость а фронтально-проецирующая, то не требуется дополнительных построений. Фронтальный след плоскости совпадает с фронтальной проекцией сечения.
На пересечении ребер с фронтальным следом плоскости находим точки 7…4, линии сечения.
По точкам 7, 2, 3 и 4 на ребрах пирамиды строим горизонтальную и профильную линию сечения.
Действительную величину сечения 7-2-3-4 определяем способом замены плоскостей проекций.
Порядок построения показан на рис. 2. Фигура 1-4 и есть действительная величина сечения.
Выполняем третью проекцию по координатам точек вершин. Соединив полученные точки прямыми линиями, получаем третью проекцию пирамиды с линией пересечения плоскостью.

***

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

Пересечение цилиндра плоскостью

В сечении цилиндра плоскостью частного положения могут быть получены следующие линии (рис. 3):

• окружность, если секущая плоскость а перпендикулярна к оси вращения;
• эллипс, если секущая плоскость у не перпендикулярна и не параллельна к оси вращения;
• две образующие (прямые линии), если секущая плоскость параллельна образующим или оси поверхности.

Задача

Построить линию пересечения прямого кругового цилиндра фронтально проецирующей плоскостью а (рис. 4). Определить действительную величину сечения.

Решение

Секущая плоскость а относительно оси цилиндра расположена под острым углом. В этом случае линия пересечения на поверхности цилиндра расположенная в плоскости сечения, представляет собой эллипс с центром О на оси цилиндра; большая ось эллипса равна отрезку 1₂-7₂, а малая — диаметру цилиндра.
Т. к. плоскость а пересекает верхнее основание цилиндра, сечение имеет вид плоской фигуры, ограниченной дугой эллипса и отрезком прямой АВ.
Проекция фигуры сечения на виде сверху совпадает с проекцией цилиндра. На плоскости П₁ сечение строится по координатам характерных точек, которые затем соединяются плавной кривой.

Действительная величина сечения построена с помощью способа плоскопараллельного пересечения. Проекция сечения 7,-7, располагается горизонтально и из точек проводят перпендикуляры. На пересечении с линиями, проведенными из точек 1₁-12₁ получаем точки 1-12 и АВ. Соединив их последовательно, получаем действительную величину сечения.

Пересечение прямого кругового конуса плоскостью

Поверхность прямого кругового конуса является носителем кривых второго порядка — окружности, эллипса, параболы и гиперболы. Все эти кривые являются плоскими и могут быть получены в результате пересечения конической поверхности плоскостью. Чтобы получить ту или иную кривую второго порядка, необходимы условия, которые могут быть установлены из свойств этих кривых.

Чтобы получить в сечении получился эллипс, плоскость должна пересекать все образующие конической поверхности. В частном случае, когда диаметры равны (секущая плоскость перпендикуляра оси конической поверхности), в сечении получается окружность (рис. 5, а).

Чтобы в сечении получить параболу, секущая плоскость должна быть параллельна одной из образующих конуса. В пределе, когда секущая плоскость переходит в касательную, две симметричные дуги параболы преобразуются в две совпадающие прямые (рис. 5, б).

Гипербола в сечении получается, если секущая плоскость параллельна двум прямолинейным образующим конуса.
В частном случае, когда секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, гипербола распадается на две пересекающиеся прямые (рис. 5, в).

Пример построения действительной фигуры сечения и линии пересечения конуса плоскостью показан на рис. 6.

***

Построение линий пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер