Как найти декартовые координаты точки на плоскости

Содержание:

Декартовы координаты на плоскости:

Изучая материал этой лекции, вы расширите свои знания о координатной плоскости.

Вы научитесь находить длину отрезка и координаты его середины, зная координаты его концов.

Сформируете представление об уравнении фигуры, выведете уравнения прямой и окружности.

Ознакомитесь с методом координат, позволяющим решать геометрические задачи средствами алгебры.

Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка

В 6 классе вы ознакомились с координатной плоскостью, то есть с плоскостью, на которой изображены две перпендикулярные координатные прямые (ось абсцисс и ось ординат) с общим началом отсчета (рис. 8.1). Вы умеете отмечать на ней точки по их координатам и наоборот, находить координаты точки, отмеченной на координатной плоскости.

Договорились координатную плоскость с осью

Координаты точки на плоскости называют декартовыми координатами в честь французского математика Рене Декарта (см. рассказ на с. 103).

Вы знаете, как находить расстояние в между двумя точками, заданными своими координатами на координатной прямой. Для точек (рис. 8.2) имеем:

Научимся находить расстояние между точками заданными на плоскости

Рассмотрим случай, когда отрезок не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.3).

Через точки проведем прямые, перпендикулярные координатным осям. Получим прямоугольный треугольник в котором Отсюда

Тогда формулу расстояния между точками можно записать так:

Докажите самостоятельно, что эта формула остается верной и для случая, когда отрезок перпендикулярен одной из осей координат.

Пусть — точки плоскости Найдем координаты точки — середины отрезка

Рассмотрим случай, когда отрезок не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.4). Будем считать, что (случай, когда рассматривается аналогично). Через точки проведем прямые, перпендикулярные оси абсцисс, которые пересекут эту ось соответственно в точках По теореме Фалеса тогда Поскольку то можем записать: Отсюда Аналогично можно показать что

Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются верными и для случая, когда отрезок перпендикулярен одной из осей координат. Докажите это самостоятельно.

Пример №1

Докажите, что треугольник с вершинами в точках является равнобедренным прямоугольным.

Решение:

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем стороны данного треугольника:

Следовательно, то есть треугольник равнобедренный.

Поскольку то треугольник прямоугольный.

Пример №2

Точка — середина отрезка Найдите координаты точки

Решение:

Обозначим — координаты точки — координаты точки — координаты точки

Поскольку то получаем:

Аналогично

Ответ:

Пример №3

Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках является прямоугольником.

Решение:

Пусть точка — середина диагонали Тогда

Следовательно,

Пусть точка — середина диагонали Тогда

Следовательно,

Таким образом, точки совпадают, то есть диагонали четырехугольника имеют общую середину. Отсюда следует, что четырехугольник — параллелограмм.

Найдем диагонали параллелограмма:

Следовательно, диагонали параллелограмма равны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником.

Уравнение фигуры. Уравнение окружности

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, какую фигуру называют графиком уравнения. В этом пункте вы ознакомитесь с понятием уравнения фигуры.

Координаты каждой точки параболы, изображенной на рисунке 9.1, являются решением уравнения И наоборот, каждое решение уравнения с двумя переменными является координатами точки, лежащей на этой параболе. В этом случае говорят, что уравнение параболы, изображенной на рисунке 9.1, имеет вид

Определение. Уравнением фигуры заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными обладающее следующими свойствами:

1. если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;
2. любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре

Например, уравнение прямой, изображенной на рисунке 9.2, имеет вид а уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9.3, имеет вид Принято говорить, что, например, уравнения задают прямую и гиперболу соответственно.

Если данное уравнение является уравнением фигуры то эту фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Пользуясь этими соображениями, выведем уравнение окружности радиуса с центром в точке

Пусть — произвольная точка данной окружности (рис. 9.4). Тогда Используя формулу расстояния между точками, получим:

Отсюда

Мы показали, что координаты произвольной точки данной окружности являются решением уравнения Теперь покажем, что любое решение уравнения является координатами точки, принадлежащей данной окружности.

Пусть пара чисел — произвольное решение уравнения

Тогда Отсюда

Это равенство показывает, что точка удалена от центра окружности на расстояние, равное радиусу окружности, а следовательно, точка принадлежит данной окружности.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 9.1. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида где некоторые числа, причем является уравнением окружности радиуса с центром в точке с координатами

Если центром окружности является начало координат (рис. 9.5), то В этом случае уравнение окружности имеет вид

Пример №4

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок если

Решение:

Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то можем найти координаты центра окружности:

Следовательно,

Радиус окружности равен отрезку Тогда

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Пример №5

Докажите, что уравнение задает окружность. Найдите координаты центра и радиус этой окружности.

Решение:

Представим данное уравнение в виде

Следовательно, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке и радиусом

Ответ:

Пример №6

Докажите, что треугольник с вершинами в точках является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около треугольника

Решение:

Найдем квадраты сторон данного треугольника:

Поскольку то данный треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине Центром описанной окружности является середина гипотенузы — точка радиус окружности Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Уравнение прямой

В предыдущем пункте, рассматривая окружность как ГМТ, равноудаленных от данной точки, мы вывели ее уравнение. Для того чтобы вывести уравнение прямой, рассмотрим ее как ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

Пусть — данная прямая. Выберем две точки и так, чтобы прямая была серединным перпендикуляром отрезка (рис. 10.1).

Пусть — произвольная точка прямой Тогда по свойству серединного перпендикуляра отрезка выполняется равенство то есть

Мы показали, что координаты произвольной точки прямой являются решением уравнения

Теперь покажем, что любое решение уравнения является координатами точки, принадлежащей данной прямой

Пусть — произвольное решение уравнения Тогда Это равенство означает, что точка равноудалена от точек следовательно, точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка то есть прямой

Итак, мы доказали, что уравнение является уравнением данной прямой

Однако из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение прямой выглядит гораздо проще, а именно: где и — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение можно преобразовать к такому виду. Возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим:

Обозначив получим уравнение

Поскольку точки различны, то хотя бы одна из разностей не равна нулю. Следовательно, числа и не равны нулю одновременно.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 10.1. Уравнение прямой имеет вид?

где — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно.

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида где — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если то графиком уравнения является вся плоскость Если то уравнение не имеет решений.

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение вида называют линейным уравнением с двумя переменными. Уравнение прямой является частным видом линейного уравнения. Схема, изображенная на рисунке 10.2, иллюстрирует сказанное.

на уроках алгебры в 7 классе мы приняли без доказательства тот факт, что графиком линейной функции является прямая. Сейчас мы можем это доказать.

Перепишем уравнение Мы получили уравнение вида для случая, когда Поскольку в этом уравнении то мы получили уравнение прямой.

А любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида Ответ на этот вопрос отрицательный.

Дело в том, что прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может являться графиком функции, а следовательно, не может быть задана уравнением вида

Вместе с тем, если в уравнении прямой принять то его можно переписать так: Мы получили частный вид уравнения прямой, все точки которой имеют одинаковые абсциссы. Следовательно, эта прямая перпендикулярна оси абсцисс. Ее называют вертикальной.

Если то уравнение прямой можно записать так:

Обозначив получим уравнение

Следовательно, если то уравнение прямой задает вертикальную прямую; если то это уравнение задает невертикальную прямую.

Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде

Данная таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте.

Пример №7

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

Решение:

1) Поскольку данные точки имеют равные абсциссы, то прямая является вертикальной. Ее уравнение имеет вид

2) Поскольку данные точки имеют разные абсциссы, то прямая не является вертикальной. Тогда можно воспользоваться уравнением прямой в виде

Подставив координаты точек в уравнение получаем систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, находим, что

Ответ:

Пример №8

Найдите периметр и площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат.

Решение:

Найдем точки пересечения данной прямой с осями координат.

С осью абсцисс: при получаем

С осью ординат: при получаем

Следовательно, данная прямая и оси координат ограничивают прямоугольный треугольник (рис. 10.3) с вершинами Найдем стороны треугольника:

Тогда искомые периметр и площадь соответственно равны

Ответ:

Угловой коэффициент прямой

Рассмотрим уравнение Оно задает невертикальную прямую, проходящую через начало координат.

Покажем, что прямые где параллельны.

Точки принадлежат прямой а точки и принадлежат прямой (рис. 11.1). Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что середины диагоналей четырехугольника совпадают. Следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Отсюда

Теперь мы можем сделать такой вывод: если то прямые параллельны (1).

Пусть прямая пересекает единичную полуокружность в точке (рис. 11.2). Угол называют углом между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Если прямая совпадает с осью абсцисс, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс считают равным

Если прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол то считают, что и прямая параллельная прямой также образует угол с положительным направлением оси абсцисс (рис. 11.3).

Рассмотрим прямую уравнение которой имеет вид (рис. 11.2). Если Поскольку точка принадлежит прямой Отсюда Таким образом, для прямой получаем, что

где — угол, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент называют угловым коэффициентом этой прямой.

Если невертикальные прямые параллельны, то они образуют равные углы с положительным направлением оси абсцисс. Тогда тангенсы этих углов равны, следовательно, равны и их угловые коэффициенты. Таким образом,

если прямые параллельны, то (2).

Выводы (1) и (2) объединим в одну теорему.

Теорема 11.1. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда

Пример №9

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна прямой

Решение:

Пусть уравнение искомой прямой Поскольку эта прямая и прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть

Следовательно, искомое уравнение имеет вид Учитывая, что данная прямая проходит через точку получаем: Отсюда

Искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Метод координат

Мы часто говорим: прямая парабола окружность тем самым отождествляя фигуру с ее уравнением. Такой подход позволяет сводить задачу о поиске свойств фигуры к задаче об исследовании ее уравнения. В этом и состоит суть метода координат.

Проиллюстрируем сказанное на таком примере.

Из наглядных соображений очевидно, что прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Однако это утверждение не является аксиомой, поэтому его надо доказывать.

Эта задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений

где числа одновременно не равны нулю и

Решая эту систему методом подстановки, мы получим квадратное уравнение, которое может иметь два решения, одно решение или вообще не иметь решений. Следовательно, для данной системы существует три возможных случая:

1. система имеет два решения — прямая и окружность пересекаются в двух точках;
2. система имеет одно решение — прямая касается окружности;
3. система не имеет решений — прямая и окружность не имеют общих точек.

С каждым из этих случаев вы встречались, решая задачи 10.17-10.19.

Метод координат особенно эффективен в тех случаях, когда требуется найти фигуру, все точки которой обладают некоторым свойством, то есть найти геометрическое место точек.

Отметим на плоскости две точки Вы хорошо знаете, какой фигурой является геометрическое место точек таких, что

Это серединный перпендикуляр отрезка Интересно выяснить, какую фигуру образуют все точки для которых Решим эту задачу для

Плоскость, на которой отмечены точки «превратим» в координатную. Сделаем это так: в качестве начала координат выберем точку в качестве единичного отрезка — отрезок ось абсцисс проведем так, чтобы точка имела координаты (рис. 11.6).

Пусть — произвольная точка искомой фигуры Тогда Отсюда

Следовательно, если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением уравнения

Пусть — некоторое решение уравнения Тогда легко показать, что А это означает, что точка такова, что Тогда Следовательно, точка принадлежит фигуре

Таким образом, уравнением фигуры является уравнение то есть фигура — это окружность с центром в точке и радиусом

Мы решили задачу для частного случая, когда Можно показать, что искомой фигурой для любого положительного будет окружность. Эту окружность называют окружностью Аполлония

Как строили мост между геометрией и алгеброй

Идея координат зародилась очень давно. Ведь еще в старину люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы.

Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места расположения объектов на поверхности Земли.

Только в XIV в. французский ученый Николя Орем (ок. 1323-1382) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбита страница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой.

Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма и Рене Декарта. В своих трудах эти ученые показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.

Несмотря на то что П. Ферма опубликовал свою роботу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» предложил новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита а коэффициенты — первыми: Привычные нам обозначения степеней и т. д. также ввел Р. Декарт.

Справочный материал

Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками можно найти по формуле

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка с концами можно найти по формулам:

Уравнение фигуры

Уравнением фигуры заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными обладающее следующими свойствами:

1) если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;

2) любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре

Уравнение окружности

Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

Любое уравнение вида где — некоторые числа, причем является уравнением окружности радиуса с центром в точке с координатами

Уравнение прямой

Уравнение прямой имеет вид — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно. Любое уравнение вида — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если то уравнение прямой задает вертикальную прямую; если то это уравнение задает невертикальную прямую.

Угловой коэффициент прямой

Коэффициент в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой, и он равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс.

Необходимое и достаточное условие параллельности невертикальных прямых

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда

1. Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в пространстве

Система
координат
– способ, позволяющий численно описать
положение точки на плоскости.

Прямоугольная
система координат (декартова)задается
2 взаимно перпендикулярными прямыми —
осями, на каждой из которых выбрано
положительное направление и задан
единичный (масштабный) отрезок. Единицу
масштаба обычно берут одинаковой для
обеих осей. Эти оси наз. осями координат,
точку их пересечения О – началом
координат. Ось абсцисс – Ох, ось ординат
– Оу. Оси делят плоскость на 4 области
– четверти
или квадранты.
Единичные векторы осей обозначают i
и j(
|i
| =| j
| = 1, i
┴j
) .

Произвольный
вектор ОМ называется радиус-вектором
точки М. Координатами точки М в системе
координат Оху (Oij)
наз. координаты радиуса-вектора ОМ. Если
ОМ (х; у), то М (х; у). Эти два числа х и у
полностью определяют положение точки
на плоскости – каждой паре х и у
соответствует единственная точка, и
наоборот.

Полярная
система координат
задается точкой О, называемой полюсом,
лучом Ор, называемым полярной осью, и
единичным вектором е того же направления,
что и луч Ор.

Возьмем
на плоскости точку М, не совпадающую с
О. Положение точки М определяется двумя
числами: ее расстоянием г от полюса О и
углом φ, образованным отрезком ОМ с
полярной осью (отсчет углов против
движению часовой стрелки). Числа r и φ
называются полярными координатами
точки М, пишут М(r; φ), при этом r называют
полярным радиусом, φ — полярным углом.

Полярный
угол φ ограничивают промежутком (—π;
π] (или 0< φ< 2πr), а полярный радиус —
[0;∞).

Прямоугольные
координаты точки М выражаются через
полярные координаты точки следующим
образом:

Полярные
же координаты точки М выражаются через
ее декартовы координаты такими формулами:

Декартова
система координат в пространстве:

Прямоугольная
система координат в пространстве
образуется тремя взаимно перпендикулярными
осями координат Ох, Оу и Оz.
Оси координат пересекаются в точке О,
которая называется началом координат,
на каждой оси выбрано положительное
направление, указанное стрелками, и
единица измерения отрезков на осях.
Единицы измерения обычно одинаковы для
всех осей. Ох — ось абсцисс, Оу — ось
ординат, Оz
— ось аппликат.

1. Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве.

 Расстояние
между двумя точками —
это длина отрезка, что соединяет эти
точки.

Формулы
вычисления расстояния между двумя
точками:

• Формула
  вычисления расстояния между двумя
  точками A(x_a, y_a)
  и B(x_b, y_b)
  на плоскости:

AB =
√(xb — xa)² + (yb — ya)²

• Формула
  вычисления расстояния между двумя
  точками A(x_a, y_a, z_a)
  и B(x_b, y_b, z_b)
  в пространстве:

AB =
√(xb — xa)² + (yb — ya)² +
(zb — za⁾²

Вывод
формулы для вычисления расстояния между
двумя точками на плоскости

Из
точек A и B опустим перпендикуляры на
оси координат.

Рассмотрим
прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты
этого треугольника равны:

AC
= x_b —
x_a; 
BC
= y_b —
y_a.

Воспользовавшись
теоремой Пифагора, вычислим длину
отрезка AB:

AB =
√AC² + BC².

Подставив
в это выражение длины отрезков AC и BC,
выраженные через координаты точек A и
B, получим формулу для вычисления
расстояния между точками на плоскости.

Формула
для вычисления расстояния между двумя
точками в пространстве выводится
аналогично.

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

• #
• #
• #

Математика

6 класс

Урок № 79

Декартова система координат на плоскости

Перечень рассматриваемых вопросов:

• прямоугольная система координат;
• координатная плоскость;
• координатная ось, координата точки;
• изображение точек с действительными координатами на плоскости.

Тезаурус

Координатная плоскость. Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Координатные оси пересекаются в точке, являющейся началом отсчёта для каждой из них.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла, которые называются координатными четвертями.

Координаты точки М (х; у), где х – абсцисса, у – ордината точки.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Единичные отрезки осей возьмём равными друг другу.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Положительное направление на осях указывается стрелкой.

Точку пересечения осей называют началом координат.

Оси взаимно перпендикулярны, поэтому заданную таким образом систему координат называют прямоугольной.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла – координатные четверти. Обозначают римскими цифрами как показано на рисунке.

Одним из первых, кто начал широко использовать прямоугольную систему координат в своих исследованиях, был французский философ и математик Рене Декарт, поэтому её часто называют декартовой системой координат.

Пусть A – произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку A прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси y, пересечёт ось x в точке A₁, а прямая, параллельная оси x, пересечёт ось y в точке A₂. Координату точки A₁ на оси x называют абсциссой точки A. Координату точки A₂ на оси y называют ординатой точки A. Абсциссу x и ординату y точки A называют координатами точки A.

Координаты точки, записывают в круглых скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: М (х; у).

Важно!

х – первая координата

у – вторая координата

Поменять местами х и у нельзя – получится другая точка.

Поэтому пару координат (x; y) точки A называют упорядоченной парой чисел.

Если на плоскости задана прямоугольная система координат хOу, то:

– каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

– разным точкам плоскости соответствуют разные упорядоченные пары чисел;

– каждая упорядоченная пара чисел соответствует одной точке плоскости.

То есть установлено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

Алгоритм построения точки на координатной плоскости

Построим точку А(3; 6).

Введём прямоугольную систему координат.

На каждой оси откладываем заданные координаты х и у (x > 0 и y > 0, значит, точка A расположена в I координатной четверти).

Проводим перпендикуляры к оси х и оси у.

Точка их пересечения – искомая точка.

В(– 4; 5) – имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату, значит, расположена во II четверти.

С(– 8; – 4) – имеет обе отрицательные координаты, значит, расположена в III четверти.

D(9; – 2) – имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату, значит, расположена в IV четверти.

F(6; 0), E(– 5; 0) – точки лежат на оси абсцисс.

H(0; – 5) – точка лежит на оси ординат.

O(0; 0) – начальная точка системы координат.

В географии положение объектов на земной поверхности определяется двумя координатами: широтой и долготой.

В концертном зале своё кресло можно найти по номеру ряда и места.

В шахматах каждой клетке соответствует буква столбца и цифра ряда.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Построить прямую АВ, если А(3; 2), В(– 3; – 4).

Найти:

1) координаты точек пересечения прямой AB с осями;

2) координаты середины отрезка AB.

Шаг 1. Строим точки А и В по их координатам.

Шаг 2. Проводим прямую АВ.

Шаг 3. Находим точки пересечения с осями координат, обозначаем их буквами M и N. Определяем их координаты:

М (1; 0), N (0; – 1).

Шаг 4. Находим по графику середину отрезка АВ, это точка N (0; – 1).

Ответ: координаты точек пересечения прямой AB с осями: М (1; 0), N (0; – 1), координаты середины отрезка AB: N (0; – 1).

Тип 2. Нарисуйте фигуру, последовательно соединяя точки

(0; 4), (– 2; – 2), (3; 2), (– 3; 2), (2; – 4), (0; 4).

Декартовы координаты — это (декартова система координат) система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям прямоугольные декартовы координаты.

Содержание:

1. Декартовы координаты на прямой
2. Декартовы координаты на плоскости
3. Декартовы координаты в пространстве
4. Координаты середины отрезка
5. Формула расстояния между точками

Декартовы координаты на прямой

В курсе алгебры постоянно приходится пользоваться прямоугольной системой координат. Рассмотрим прямоугольную систему координат на прямой. Хорошей иллюстрацией этой системы координат является термометр.

Пусть некоторой точке прямой ставится в соответствие число 0; положительные целые числа 1, 2, 3, … располагаются на равных расстояниях друг от друга с одной стороны от 0, отрицательные целые числа -1, -2, -3… — с противоположной стороны, а дробные числа вставляются между ними естественным образом. Смещение точки относительно другой точки х есть положительное или отрицательное число — х. Если на прямой введена система координат, то каждой точке Р соответствует некоторое число х, а каждому числу х соответствует некоторая точка (рис. 2.444).

Стрелка показывает положительное направление отсчета координат. Прямую с установленной на ней системой координат называют координатной прямой. Точку О называют началом координат. Кроме этого, на координатной прямой вводится единичный отрезок ОЕ, его иногда называют масштабом. 

Декартовы координаты на плоскости

Положение точки на плоскости может быть определено ее расстоянием до двух фиксированных взаимно перпендикулярных прямых — осей. В этом случае каждой точке плоскости будет соответствовать не одно число, а пара чисел. Соответствие между точками и парами чисел задается на плоскости: выбирают прямую, называемую осью Ох, вводят на ней систему координат. На оси Ох рисуют стрелку, чтобы указать ее положительное направление. Эта ось называется также осью абсцисс.

Проводят прямую Оу, перпендикулярную оси Ох и проходящую через точку О прямой Ох, имеющую координату 0, и вводят на прямой Оу систему координат так, чтобы точка с координатой 0 совпадала с точкой О. Прямая Оу называется осью Оу или осью ординат. Положительное направление на оси Оу также указывается стрелкой. Точка О пересечения прямых Ох и Оу (осей координат) называется началом координат (рис. 2.445).

На рисунке 2.446 изображена построенная прямоугольная система координат. Если дана точка Р, то из нее опускают перпендикуляр на ось Ох. Пусть основанием перпендикуляра будет точка М и х — координата точки М на прямой Ох (рис. 2.446). Тогда число х называют абсциссой точки Р. На рисунке 2.446 .

Затем опускают из точки Р перпендикуляр на ось Оу. Пусть основанием этого перпендикуляра будет точка N и у — координата точки N на прямой Оу. Тогда число у называют ординатой точки Р. На рисунке 2.446 . Для краткости указываем, что точка Р имеет координаты х и у, так: Р(х, у). В нашем случае .

Порядок, в котором записываются координаты точки, очень существенен. Координаты (1, 3) имеет точка , а координаты (3, 1) — отличная от нее точка (рис. 2.447). Нельзя сказать, где находится точка, если неизвестно, какое число в паре чисел (х, у) стоит первым.

Ниже приводится определение координат точки на плоскости. 

Определение. Абсциссой точки Р называют координату основания перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось Ох; ординатой точки Р называют координату основания перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось Оу.

Если прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, то две оси координат разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями. Четыре четверти нумеруются в порядке, изображенном на рисунке 2.448.

         

Таким образом, между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел имеется взаимооднозначное соответствие. Такое соответствие называют прямоугольной системой координат.

Декартовы координаты в пространстве

Построим горизонтальную плоскость и введем на ней декартову систему координат хОу (рис. 2.449). 

Если ввести также координатную прямую Oz, перпендикулярную плоскости хОу в точке О, то тем самым будет введена система координат в пространстве. Точка О будет началом этой системы координат.

Стрелки осей Ох, Оу и Oz на рисунках указывают положительное направление каждой оси.

В декартовой системе координат в пространстве мы имеем три оси: Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат, Oz — ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси Ох и Оу, Оу и Oz, Ох и Oz — координатные плоскости. Их обозначают соответственно: ху, yz, xz (рис. 2.450). Координатные плоскости разбивают все пространство на восемь частей — октантов.

Если задана такая система координат, то каждой точке пространства можно поставить в соответствие упорядоченную тройку действительных чисел, а каждой тройке чисел — единственную точку.

Пусть дана точка А, расположенная в первом октанте. Опустим из нее на плоскости yz, xz, ху перпендикуляры (рис. 2.451). Длины этих перпендикуляров называют координатами точки А. Записывают: . Если точка лежит в какой-нибудь из координатных плоскостей, ее соответствующая координата равна 0, а если на оси координат, то две координаты такой точки — нули. Например, точка В (0; 2; -3) лежит в плоскости yz, а точка С (5; 0; 0) — на оси Ох.

На рисунке 2.452: точка Р лежит в плоскости хОу, так что ее проекция на ось Ог есть 0. Ее проекция на ось Ох совпадает с точкой, имеющей координату 2, а на ось Оу — с точкой, имеющей координату 3. Поэтому пишут Р(2, 3, 0).

Таким образом, нахождение координат точки в пространстве сводится к построению соответствующего прямоугольного параллелепипеда (иногда его воспроизводят частично, чтобы были видны координаты точки (рис. 2.453)).

 

Порядок записи этих трех чисел также существенен. На рисунке 2.452 изображены точки имеющие своими координатами числа 2, 3 и 0, записанные в разном порядке.

Можно иначе находить координаты точки пространства. Пусть дана точка М. Спроектируем точку М на оси Ох, Оу, Ог в точки соответственно (рис. 2.454). Координаты точек на осях сопоставляются точке М как ее координаты х, у, г. Таким образом, координатами точки в пространстве называют координаты ее проекций на оси координат.

Если есть три координаты — три числа то для них найдется соответствующая точка пространства. На рисунке 2.455 три числа на осях координат отмечены тремя точками Пусть отрезки  — ребра прямоугольного параллелепипеда с вершиной в точке О (рис. 2.456). Получили точку Р с координатами —

Прямоугольная система координат носит имя Рене Декарта (1596—1650). В 1637 г. вышла книга с длинным по обычаю времен названием «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода», с ней в науку вошел метод координат. Со времен Декарта алгебра и геометрия стали сотрудничать между собой к выгоде обеих дисциплин. Введенную систему координат с тех пор стали называть декартовой.

Координаты середины отрезка

Рассмотрим отрезок , принадлежащий оси Ох. Пусть Р — середина этого отрезка и пусть наши три точки имеют соответственно координаты (рис. 2.457). Выразим х через и .

Дано, что

1.     (дано) (рис. 2.457).

2.     (запись отрезка в координатах на прямой).

3.    (1, 2).

Эта формула годится и в случае, когда

Рассмотрим случай, когда отрезок произвольно расположен на плоскости (рис. 2.458).

1. Точка Р является серединой отрезка (дано) (рис. 2.458).

2. Построим проекции точек на ось Ох, получим точки (построение).

3.    Точка М является серединой отрезка .

4.     (3, формула середины отрезка на прямой).

Аналогично можно получить, что . Все это можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 1. Даны точки  Серединой отрезка является точка

Формула расстояния между точками

Пусть мы знаем координаты двух точек  на плоскости (рис. 2.459). Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Расстояние между точками находится по формуле

Например, если то из полученной формулы следует, что

Формула расстояния между точками верна и в пространстве. Пусть даны две точки и  Расстояние между точками Р и Q находится по формуле

Пример: 

Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин.

Решение: 

Из условия задачи имеем:

1. , его стороны обозначим через 

2. CD = BD.

3. CD = AD (требуется доказать).

Мы хотим применить для решения задачи декартову систему координат, а значит, надо удачно выбрать расположение этой системы.

4.    Для данной задачи удачный выбор системы координат показан на рисунке 2.460. Начало координат помещено в точку А, а оси проведены через точки Б и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей (построение).

5.    Точка В имеет координаты (, 0), точка С — (0, ) (1, 4).

6.    Середина отрезка СВ точка D имеет координаты (1, формула середины отрезка).

7.     (4, 6 формула расстояния между точками).

8.  (5, 6, формула расстояния между точками).

9. CD = BD (7, 8).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

• Математика решение заданий и задач

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Напомним, что координатной прямой называется прямая с
выбранными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением. Положение
точки на прямой задаётся одним числом – её координатой.

Расстояние между точкой  и точкой  равно .

Координата середины отрезка  равна .

Теперь напомним, что прямоугольная декартова система координат
на плоскости задаётся двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми
– осями координат, с масштабом, одинаковым для обеих осей.

Точка пересечения координатных прямых называется началом
координат и является начальной для каждой из них. Ось  называют осью абсцисс, а ось  – осью ординат. Плоскость, на которой задана прямоугольная
декартова система координат, называется координатной плоскостью и
обозначается .

Каждой точке координатной плоскости ставится в соответствие пара
чисел, которые называются координатами этой точки: абсцисса
(соответствующая координата прямоугольной проекции этой точки на ось икс) и ордината
(соответствующая координата прямоугольной проекции этой точки на ось игрек).
Эти числа называют декартовыми координатами данной точки.

При этом важно помнить, что, записывая координаты точки, абсциссу
всегда ставят на первое место, а ординату – на второе.

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части. Их называют координатными
четвертями.

Расстояние между точкой  и точкой  выражается формулой:

.

Середина отрезка  имеет координаты: .

Также напомним, что уравнение окружности с центром в
точке  и радиусом  имеет вид:

.

А уравнение окружности с центром в начале координат и
радиусом  имеет следующий вид:

.

Уравнение прямой в декартовых
координатах на плоскости имеет вид:

.

Напомним некоторые частные случаи.

Если , , то уравнение принимает вид . В этом случае прямая параллельна оси . В частности, если , то прямая совпадает с осью .

Если , , то уравнение принимает вид . В этом случае прямая параллельна оси . В частности, если , то прямая совпадает с осью .

Если , то уравнение принимает вид . В этом случае прямая проходит через начало координат.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называются три взаимно перпендикулярные координатные прямые – оси
координат, пересекающихся в одной точке. Точка пересечения координатных прямых
называется началом координат и является начальной точкой для каждой из
них.

Ось  называют осью абсцисс, ось  – осью ординат, а ось  – осью аппликат.

Плоскость, которая проходит через оси  и , называется координатной плоскостью .

Плоскость, которая проходит через оси  и , называется координатной плоскостью .

А плоскость, которая проходит через оси  и , называется координатной плоскостью .

Пространство, в котором заданы оси ,  и  обозначается .

Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел –
координаты прямоугольных проекций этой точки на оси ,  и  соответственно.

Числа ,  и  называют декартовыми координатами точки.

 называют абсциссой точки ,  – ординатой точки , а  – аппликатой этой точки.

Расстояние между точкой  и точкой  выражается формулой:

.

Середина отрезка  имеет координаты: .

Также напомним, что уравнение сферы с центром в точке  и радиусом  имеет вид:

.

Если центром сферы является начало координат, то уравнение
сферы имеет следующий вид:

.

Уравнение плоскости имеет вид , где .

Мы
с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической
части занятия.

Задание
первое. На координатной прямой отмечены точки  и
.
Точка  – середина отрезка . Найдите расстояние между точками  и  и координату точки .

Решение.

Задание
второе. Запишите уравнение окружности с центром в начале
координат, проходящей через точку .

Решение.

Задание
третье. Найдите координаты точки пересечения прямых  и
.

Решение.

Задание
четвёртое. Найдите расстояние  между
точками  и
.

Решение.

Задание
пятое. Запишите уравнение сферы, проходящей через точки ,
 и
,
если её радиус равен .

Решение.

Задание
шестое. Найдите значение ,
при котором прямая  касается
окружности .

Решение.