Как найти декартовые координаты точки на плоскости

Содержание:

Декартовы координаты на плоскости:

Изучая материал этой лекции, вы расширите свои знания о координатной плоскости.

Вы научитесь находить длину отрезка и координаты его середины, зная координаты его концов.

Сформируете представление об уравнении фигуры, выведете уравнения прямой и окружности.

Ознакомитесь с методом координат, позволяющим решать геометрические задачи средствами алгебры.

Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка

В 6 классе вы ознакомились с координатной плоскостью, то есть с плоскостью, на которой изображены две перпендикулярные координатные прямые (ось абсцисс и ось ординат) с общим началом отсчета (рис. 8.1). Вы умеете отмечать на ней точки по их координатам и наоборот, находить координаты точки, отмеченной на координатной плоскости.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Договорились координатную плоскость с осью Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Координаты точки на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют декартовыми координатами в честь французского математика Рене Декарта (см. рассказ на с. 103).

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Вы знаете, как находить расстояние в между двумя точками, заданными своими координатами на координатной прямой. Для точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 8.2) имеем:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Научимся находить расстояние между точками Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемзаданными на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Рассмотрим случай, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.3).

Через точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением проведем прямые, перпендикулярные координатным осям. Получим прямоугольный треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в котором Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Тогда формулу расстояния между точками Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно записать так:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Докажите самостоятельно, что эта формула остается верной и для случая, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением перпендикулярен одной из осей координат.

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — точки плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Найдем координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середины отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Рассмотрим случай, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.4). Будем считать, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (случай, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемрассматривается аналогично). Через точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением проведем прямые, перпендикулярные оси абсцисс, которые пересекут эту ось соответственно в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением По теореме Фалеса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемто можем записать: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Аналогично можно показать что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются верными и для случая, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением перпендикулярен одной из осей координат. Докажите это самостоятельно.

Пример №1

Докажите, что треугольник с вершинами в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является равнобедренным прямоугольным.

Решение:

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем стороны данного треугольника:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равнобедренный.

Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением прямоугольный. Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №2

Точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середина отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Найдите координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Обозначим Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — координаты точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то получаем: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Аналогично Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №3

Докажите, что четырехугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с вершинами в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является прямоугольником.

Решение:

Пусть точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середина диагонали Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — середина диагонали Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Таким образом, точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением совпадают, то есть диагонали четырехугольника Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имеют общую середину. Отсюда следует, что четырехугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — параллелограмм.

Найдем диагонали параллелограмма:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, диагонали параллелограмма Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником. Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение фигуры. Уравнение окружности

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, какую фигуру называют графиком уравнения. В этом пункте вы ознакомитесь с понятием уравнения фигуры.

Координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением каждой точки параболы, изображенной на рисунке 9.1, являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением И наоборот, каждое решение уравнения с двумя переменными Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является координатами точки, лежащей на этой параболе. В этом случае говорят, что уравнение параболы, изображенной на рисунке 9.1, имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Определение. Уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением заданной на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют уравнение с двумя переменными Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением обладающее следующими свойствами:

  1. если точка принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то ее координаты являются решением данного уравнения;
  2. любое решение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Например, уравнение прямой, изображенной на рисунке 9.2, имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением а уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9.3, имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Принято говорить, что, например, уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задают прямую и гиперболу соответственно.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Если данное уравнение является уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то эту фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Пользуясь этими соображениями, выведем уравнение окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольная точка данной окружности (рис. 9.4). Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Используя формулу расстояния между точками, получим:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Отсюда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Мы показали, что координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением произвольной точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением данной окружности являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Теперь покажем, что любое решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является координатами точки, принадлежащей данной окружности.

Пусть пара чисел Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольное решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Это равенство показывает, что точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением удалена от центра окружности Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением на расстояние, равное радиусу окружности, а следовательно, точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит данной окружности.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 9.1. Уравнение окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имеет вид

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнением окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке с координатами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Если центром окружности является начало координат (рис. 9.5), то Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением В этом случае уравнение окружности имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №4

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то можем найти координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением центра Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением окружности:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Радиус окружности Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равен отрезку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №5

Докажите, что уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задает окружность. Найдите координаты центра и радиус этой окружности.

Решение:

Представим данное уравнение в виде Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и радиусом Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №6

Докажите, что треугольник с вершинами в точках Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около треугольника Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Найдем квадраты сторон данного треугольника:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Поскольку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то данный треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Центром описанной окружности является середина гипотенузы Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением радиус окружности Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемСледовательно, искомое уравнение имеет вид

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение прямой

В предыдущем пункте, рассматривая окружность как ГМТ, равноудаленных от данной точки, мы вывели ее уравнение. Для того чтобы вывести уравнение прямой, рассмотрим ее как ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — данная прямая. Выберем две точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением так, чтобы прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением была серединным перпендикуляром отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 10.1).

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольная точка прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда по свойству серединного перпендикуляра отрезка выполняется равенство Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Мы показали, что координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением произвольной точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Теперь покажем, что любое решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является координатами точки, принадлежащей данной прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольное решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Это равенство означает, что точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением равноудалена от точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением следовательно, точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит серединному перпендикуляру отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Итак, мы доказали, что уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнением данной прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Однако из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение прямой выглядит гораздо проще, а именно: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно преобразовать к такому виду. Возведем обе части уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в квадрат. Имеем:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Обозначив Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получим уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Поскольку точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением различны, то хотя бы одна из разностей Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равна нулю. Следовательно, числа Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 10.1. Уравнение прямой имеет вид?

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно.

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то графиком уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является вся плоскость Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемЕсли Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение не имеет решений.

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют линейным уравнением с двумя переменными. Уравнение прямой является частным видом линейного уравнения. Схема, изображенная на рисунке 10.2, иллюстрирует сказанное.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

на уроках алгебры в 7 классе мы приняли без доказательства тот факт, что графиком линейной функции Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является прямая. Сейчас мы можем это доказать.

Перепишем уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Мы получили уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением для случая, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку в этом уравнении Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то мы получили уравнение прямой.

А любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемОтвет на этот вопрос отрицательный.

Дело в том, что прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может являться графиком функции, а следовательно, не может быть задана уравнением вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Вместе с тем, если в уравнении прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принять Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то его можно переписать так: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Мы получили частный вид уравнения прямой, все точки которой имеют одинаковые абсциссы. Следовательно, эта прямая перпендикулярна оси абсцисс. Ее называют вертикальной.

Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно записать так:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Обозначив Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получим уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задает вертикальную прямую; если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то это уравнение задает невертикальную прямую.

Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Данная таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №7

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

1) Поскольку данные точки имеют равные абсциссы, то прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является вертикальной. Ее уравнение имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

2) Поскольку данные точки имеют разные абсциссы, то прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не является вертикальной. Тогда можно воспользоваться уравнением прямой в виде Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Подставив координаты точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем систему уравнений:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решив эту систему уравнений, находим, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №8

Найдите периметр и площадь треугольника, ограниченного прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и осями координат.

Решение:

Найдем точки пересечения данной прямой с осями координат.

С осью абсцисс: при Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

С осью ординат: при Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, данная прямая и оси координат ограничивают прямоугольный треугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 10.3) с вершинами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Найдем стороны треугольника: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда искомые периметр и площадь соответственно равны Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Угловой коэффициент прямой

Рассмотрим уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Оно задает невертикальную прямую, проходящую через начало координат.

Покажем, что прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны.

Точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежат прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением а точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежат прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 11.1). Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что середины диагоналей Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением четырехугольника Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением совпадают. Следовательно, четырехугольник Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — параллелограмм. Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Теперь мы можем сделать такой вывод: если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны (1).

Пусть прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением пересекает единичную полуокружность в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 11.2). Угол Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют углом между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Если прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением совпадает с осью абсцисс, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс считают равным Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Если прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением образует с положительным направлением оси абсцисс угол Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то считают, что и прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельная прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением также образует угол Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с положительным направлением оси абсцисс (рис. 11.3).

Рассмотрим прямую Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением уравнение которой имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением(рис. 11.2). Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Таким образом, для прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем, что

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — угол, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют угловым коэффициентом этой прямой.

Если невертикальные прямые параллельны, то они образуют равные углы с положительным направлением оси абсцисс. Тогда тангенсы этих углов равны, следовательно, равны и их угловые коэффициенты. Таким образом,

если прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны, то Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (2).

Выводы (1) и (2) объединим в одну теорему.

Теорема 11.1. Прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны тогда и только тогда, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пример №9

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и параллельна прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решение:

Пусть уравнение искомой прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Поскольку эта прямая и прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, искомое уравнение имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Учитывая, что данная прямая проходит через точку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением получаем: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Искомое уравнение имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Ответ: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Метод координат

Мы часто говорим: прямая Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением парабола Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением окружность Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением тем самым отождествляя фигуру с ее уравнением. Такой подход позволяет сводить задачу о поиске свойств фигуры к задаче об исследовании ее уравнения. В этом и состоит суть метода координат.

Проиллюстрируем сказанное на таком примере.

Из наглядных соображений очевидно, что прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Однако это утверждение не является аксиомой, поэтому его надо доказывать.

Эта задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

где числа Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением одновременно не равны нулю и Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Решая эту систему методом подстановки, мы получим квадратное уравнение, которое может иметь два решения, одно решение или вообще не иметь решений. Следовательно, для данной системы существует три возможных случая:

  1. система имеет два решения — прямая и окружность пересекаются в двух точках;
  2. система имеет одно решение — прямая касается окружности;
  3. система не имеет решений — прямая и окружность не имеют общих точек.

С каждым из этих случаев вы встречались, решая задачи 10.17-10.19.

Метод координат особенно эффективен в тех случаях, когда требуется найти фигуру, все точки которой обладают некоторым свойством, то есть найти геометрическое место точек.

Отметим на плоскости две точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Вы хорошо знаете, какой фигурой является геометрическое место точек Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением таких, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Это серединный перпендикуляр отрезка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Интересно выяснить, какую фигуру образуют все точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением для которых Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Решим эту задачу для Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Плоскость, на которой отмечены точки Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением «превратим» в координатную. Сделаем это так: в качестве начала координат выберем точку Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в качестве единичного отрезка — отрезок Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением ось абсцисс проведем так, чтобы точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имела координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением (рис. 11.6).

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — произвольная точка искомой фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Отсюда

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Следовательно, если точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то ее координаты являются решением уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Пусть Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторое решение уравнения Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда легко показать, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением А это означает, что точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением такова, что Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Тогда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Следовательно, точка Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Таким образом, уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то есть фигура Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — это окружность с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и радиусом Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Мы решили задачу для частного случая, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Можно показать, что искомой фигурой для любого положительного Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением будет окружность. Эту окружность называют окружностью АполлонияДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Как строили мост между геометрией и алгеброй

Идея координат зародилась очень давно. Ведь еще в старину люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы.

Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места расположения объектов на поверхности Земли.

Только в XIV в. французский ученый Николя Орем (ок. 1323-1382) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбита страница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой.

Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма и Рене Декарта. В своих трудах эти ученые показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.

Несмотря на то что П. Ферма опубликовал свою роботу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» предложил новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением а коэффициенты — первыми: Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решениемДекартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением Привычные нам обозначения степеней Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением и т. д. также ввел Р. Декарт.

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Справочный материал

Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно найти по формуле Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Координаты середины отрезка

Координаты Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением середины отрезка с концами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением можно найти по формулам:

Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение фигуры

Уравнением фигуры Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением заданной на плоскости Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют уравнение с двумя переменными Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением обладающее следующими свойствами:

1) если точка принадлежит фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то ее координаты являются решением данного уравнения;

2) любое решение Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение окружности

Уравнение окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением где Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением является уравнением окружности радиуса Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением с центром в точке с координатами Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

Уравнение прямой

Уравнение прямой имеет вид Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно. Любое уравнение вида Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением — некоторые числа, причем Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то уравнение прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением задает вертикальную прямую; если Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением то это уравнение задает невертикальную прямую.

Угловой коэффициент прямой

Коэффициент Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением в уравнении прямой Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением называют угловым коэффициентом прямой, и он равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс.

Необходимое и достаточное условие параллельности невертикальных прямых

Прямые Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением параллельны тогда и только тогда, когда Декартовы координаты на плоскости - определение и примеры с решением

  • Декартовы координаты в пространстве
  • Геометрические преобразования в геометрии
  • Планиметрия — формулы, определение и вычисление
  • Стереометрия — формулы, определение и вычисление
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
  • Ортогональное проецирование
  1. Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в пространстве

Система
координат

– способ, позволяющий численно описать
положение точки на плоскости.

Прямоугольная
система координат (декартова)
задается
2 взаимно перпендикулярными прямыми —
осями, на каждой из которых выбрано
положительное направление и задан
единичный (масштабный) отрезок. Единицу
масштаба обычно берут одинаковой для
обеих осей. Эти оси наз. осями координат,
точку их пересечения О – началом
координат. Ось абсцисс – Ох, ось ординат
– Оу. Оси делят плоскость на 4 области
четверти
или квадранты
.
Единичные векторы осей обозначают i
и j(
|i
| =| j
| = 1, i
┴j
) .

Произвольный
вектор ОМ называется радиус-вектором
точки М. Координатами точки М в системе
координат Оху (Oij)
наз. координаты радиуса-вектора ОМ. Если
ОМ (х; у), то М (х; у). Эти два числа х и у
полностью определяют положение точки
на плоскости – каждой паре х и у
соответствует единственная точка, и
наоборот.

Полярная
система координат

задается точкой О, называемой полюсом,
лучом Ор, называемым полярной осью, и
единичным вектором е того же направления,
что и луч Ор.

Возьмем
на плоскости точку М, не совпадающую с
О. Положение точки М определяется двумя
числами: ее расстоянием г от полюса О и
углом φ, образованным отрезком ОМ с
полярной осью (отсчет углов против
движению часовой стрелки). Числа r и φ
называются полярными координатами
точки М, пишут М(r; φ), при этом r называют
полярным радиусом, φ — полярным углом.

Полярный
угол φ ограничивают промежутком (—π;
π] (или 0< φ< 2πr), а полярный радиус —
[0;∞).

Прямоугольные
координаты точки М выражаются через
полярные координаты точки следующим
образом:

Полярные
же координаты точки М выражаются через
ее декартовы координаты такими формулами:

Декартова
система координат в пространстве:

Прямоугольная
система координат в пространстве
образуется тремя взаимно перпендикулярными
осями координат Ох, Оу и Оz.
Оси координат пересекаются в точке О,
которая называется началом координат,
на каждой оси выбрано положительное
направление, указанное стрелками, и
единица измерения отрезков на осях.
Единицы измерения обычно одинаковы для
всех осей. Ох — ось абсцисс, Оу — ось
ординат, Оz
— ось аппликат.

  1. Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве.

 Расстояние
между двумя
точками 
это длина отрезка, что соединяет эти
точки.

Формулы
вычисления расстояния между двумя
точками:

  • Формула
    вычисления расстояния между двумя
    точками
     A(xa, ya)
    и B(xb, yb)
    на плоскости:

AB =
√(xb — xa)2 + (yb — ya)2

  • Формула
    вычисления расстояния между двумя
    точками
     A(xa, ya, za)
    и B(xb, yb, zb)
    в пространстве:

AB =
√(xb — xa)2 + (yb — ya)2 +
(zb — za)2

Вывод
формулы для вычисления расстояния между
двумя точками на плоскости

Из
точек A и B опустим перпендикуляры на
оси координат.

Рассмотрим
прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты
этого треугольника равны:

AC
= xb —
xa
BC
= yb —
ya.

Воспользовавшись
теоремой Пифагора, вычислим длину
отрезка AB:

AB =
√AC2 + BC2.

Подставив
в это выражение длины отрезков AC и BC,
выраженные через координаты точек A и
B, получим формулу для вычисления
расстояния между точками на плоскости.

Формула
для вычисления расстояния между двумя
точками в пространстве выводится
аналогично.

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра

  • #
  • #
  • #

Математика

6 класс

Урок № 79

Декартова система координат на плоскости

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • прямоугольная система координат;
  • координатная плоскость;
  • координатная ось, координата точки;
  • изображение точек с действительными координатами на плоскости.

Тезаурус

Координатная плоскость. Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Координатные оси пересекаются в точке, являющейся началом отсчёта для каждой из них.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла, которые называются координатными четвертями.

Координаты точки М (х; у), где х – абсцисса, у – ордината точки.

Обязательная литература:

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Единичные отрезки осей возьмём равными друг другу.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Положительное направление на осях указывается стрелкой.

Точку пересечения осей называют началом координат.

Оси взаимно перпендикулярны, поэтому заданную таким образом систему координат называют прямоугольной.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла – координатные четверти. Обозначают римскими цифрами как показано на рисунке.

Одним из первых, кто начал широко использовать прямоугольную систему координат в своих исследованиях, был французский философ и математик Рене Декарт, поэтому её часто называют декартовой системой координат.

Пусть A – произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку A прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси y, пересечёт ось x в точке A1, а прямая, параллельная оси x, пересечёт ось y в точке A2. Координату точки A1 на оси x называют абсциссой точки A. Координату точки A2 на оси y называют ординатой точки A. Абсциссу x и ординату y точки A называют координатами точки A.

Координаты точки, записывают в круглых скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: М (х; у).

Важно!

х – первая координата

у – вторая координата

Поменять местами х и у нельзя – получится другая точка.

Поэтому пару координат (x; y) точки A называют упорядоченной парой чисел.

Если на плоскости задана прямоугольная система координат хOу, то:

– каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

– разным точкам плоскости соответствуют разные упорядоченные пары чисел;

– каждая упорядоченная пара чисел соответствует одной точке плоскости.

То есть установлено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

Алгоритм построения точки на координатной плоскости

Построим точку А(3; 6).

Введём прямоугольную систему координат.

На каждой оси откладываем заданные координаты х и у (x > 0 и y > 0, значит, точка A расположена в I координатной четверти).

Проводим перпендикуляры к оси х и оси у.

Точка их пересечения – искомая точка.

В(– 4; 5) – имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату, значит, расположена во II четверти.

С(– 8; – 4) – имеет обе отрицательные координаты, значит, расположена в III четверти.

D(9; – 2) – имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату, значит, расположена в IV четверти.

F(6; 0), E(– 5; 0) – точки лежат на оси абсцисс.

H(0; – 5) – точка лежит на оси ординат.

O(0; 0) – начальная точка системы координат.

В географии положение объектов на земной поверхности определяется двумя координатами: широтой и долготой.

В концертном зале своё кресло можно найти по номеру ряда и места.

В шахматах каждой клетке соответствует буква столбца и цифра ряда.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Построить прямую АВ, если А(3; 2), В(– 3; – 4).

Найти:

1) координаты точек пересечения прямой AB с осями;

2) координаты середины отрезка AB.

Шаг 1. Строим точки А и В по их координатам.

Шаг 2. Проводим прямую АВ.

Шаг 3. Находим точки пересечения с осями координат, обозначаем их буквами M и N. Определяем их координаты:

М (1; 0), N (0; – 1).

Шаг 4. Находим по графику середину отрезка АВ, это точка N (0; – 1).

Ответ: координаты точек пересечения прямой AB с осями: М (1; 0), N (0; – 1), координаты середины отрезка AB: N (0; – 1).

Тип 2. Нарисуйте фигуру, последовательно соединяя точки

(0; 4), (– 2; – 2), (3; 2), (– 3; 2), (2; – 4), (0; 4).

Декартовы координаты — это (декартова система координат) система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям прямоугольные декартовы координаты.

Содержание:

  1. Декартовы координаты на прямой
  2. Декартовы координаты на плоскости
  3. Декартовы координаты в пространстве
  4. Координаты середины отрезка
  5. Формула расстояния между точками

Декартовы координаты на прямой

В курсе алгебры постоянно приходится пользоваться прямоугольной системой координат. Рассмотрим прямоугольную систему координат на прямой. Хорошей иллюстрацией этой системы координат является термометр.

Пусть некоторой точке прямой ставится в соответствие число 0; положительные целые числа 1, 2, 3, … располагаются на равных расстояниях друг от друга с одной стороны от 0, отрицательные целые числа -1, -2, -3… — с противоположной стороны, а дробные числа вставляются между ними естественным образом. Смещение точки Декартовы координаты на плоскости и в пространстве относительно другой точки х есть положительное или отрицательное число Декартовы координаты на плоскости и в пространстве — х. Если на прямой введена система координат, то каждой точке Р соответствует некоторое число х, а каждому числу х соответствует некоторая точка (рис. 2.444).

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Стрелка показывает положительное направление отсчета координат. Прямую с установленной на ней системой координат называют координатной прямой. Точку О называют началом координат. Кроме этого, на координатной прямой вводится единичный отрезок ОЕ, его иногда называют масштабом

Декартовы координаты на плоскости

Положение точки на плоскости может быть определено ее расстоянием до двух фиксированных взаимно перпендикулярных прямых — осей. В этом случае каждой точке плоскости будет соответствовать не одно число, а пара чисел. Соответствие между точками и парами чисел задается на плоскости: выбирают прямую, называемую осью Ох, вводят на ней систему координат. На оси Ох рисуют стрелку, чтобы указать ее положительное направление. Эта ось называется также осью абсцисс.

Проводят прямую Оу, перпендикулярную оси Ох и проходящую через точку О прямой Ох, имеющую координату 0, и вводят на прямой Оу систему координат так, чтобы точка с координатой 0 совпадала с точкой О. Прямая Оу называется осью Оу или осью ординат. Положительное направление на оси Оу также указывается стрелкой. Точка О пересечения прямых Ох и Оу (осей координат) называется началом координат (рис. 2.445).

На рисунке 2.446 изображена построенная прямоугольная система координат. Если дана точка Р, то из нее опускают перпендикуляр на ось Ох. Пусть основанием перпендикуляра будет точка М и х — координата точки М на прямой Ох (рис. 2.446). Тогда число х называют абсциссой точки Р. На рисунке 2.446 Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.

Затем опускают из точки Р перпендикуляр на ось Оу. Пусть основанием этого перпендикуляра будет точка N и у — координата точки N на прямой Оу. Тогда число у называют ординатой точки Р. На рисунке 2.446 Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Для краткости указываем, что точка Р имеет координаты х и у, так: Р(х, у). В нашем случае Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Порядок, в котором записываются координаты точки, очень существенен. Координаты (1, 3) имеет точка Декартовы координаты на плоскости и в пространстве, а координаты (3, 1) — отличная от нее точка Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (рис. 2.447). Нельзя сказать, где находится точка, если неизвестно, какое число в паре чисел (х, у) стоит первым.

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Ниже приводится определение координат точки на плоскости. 

Определение. Абсциссой точки Р называют координату основания перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось Ох; ординатой точки Р называют координату основания перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось Оу.

Если прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, то две оси координат разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями. Четыре четверти нумеруются в порядке, изображенном на рисунке 2.448.

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве         Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Таким образом, между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел имеется взаимооднозначное соответствие. Такое соответствие называют прямоугольной системой координат.

Декартовы координаты в пространстве

Построим горизонтальную плоскость и введем на ней декартову систему координат хОу (рис. 2.449). 

Если ввести также координатную прямую Oz, перпендикулярную плоскости хОу в точке О, то тем самым будет введена система координат в пространстве. Точка О будет началом этой системы координат.

Стрелки осей Ох, Оу и Oz на рисунках указывают положительное направление каждой оси.

В декартовой системе координат в пространстве мы имеем три оси: Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат, Oz — ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси Ох и Оу, Оу и Oz, Ох и Oz — координатные плоскости. Их обозначают соответственно: ху, yz, xz (рис. 2.450). Координатные плоскости разбивают все пространство на восемь частей — октантов.

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Если задана такая система координат, то каждой точке пространства можно поставить в соответствие упорядоченную тройку действительных чисел, а каждой тройке чисел — единственную точку.

Пусть дана точка А, расположенная в первом октанте. Опустим из нее на плоскости yz, xz, ху перпендикуляры Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (рис. 2.451). Длины этих перпендикуляров называют координатами точки А. Записывают: Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Если точка лежит в какой-нибудь из координатных плоскостей, ее соответствующая координата равна 0, а если на оси координат, то две координаты такой точки — нули. Например, точка В (0; 2; -3) лежит в плоскости yz, а точка С (5; 0; 0) — на оси Ох.

На рисунке 2.452: точка Р лежит в плоскости хОу, так что ее проекция на ось Ог есть 0. Ее проекция на ось Ох совпадает с точкой, имеющей координату 2, а на ось Оу — с точкой, имеющей координату 3. Поэтому пишут Р(2, 3, 0).

Таким образом, нахождение координат точки в пространстве сводится к построению соответствующего прямоугольного параллелепипеда (иногда его воспроизводят частично, чтобы были видны координаты точки (рис. 2.453)).

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Порядок записи этих трех чисел также существенен. На рисунке 2.452 изображены точки Декартовы координаты на плоскости и в пространстве имеющие своими координатами числа 2, 3 и 0, записанные в разном порядке.

Можно иначе находить координаты точки пространства. Пусть дана точка М. Спроектируем точку М на оси Ох, Оу, Ог в точки Декартовы координаты на плоскости и в пространстве соответственно (рис. 2.454). Координаты точек Декартовы координаты на плоскости и в пространстве на осях сопоставляются точке М как ее координаты х, у, г. Таким образом, координатами точки в пространстве называют координаты ее проекций на оси координат.

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Если есть три координаты — три числа Декартовы координаты на плоскости и в пространстве то для них найдется соответствующая точка пространства. На рисунке 2.455 три числа на осях координат отмечены тремя точками Декартовы координаты на плоскости и в пространстве Пусть отрезки Декартовы координаты на плоскости и в пространстве — ребра прямоугольного параллелепипеда с вершиной в точке О (рис. 2.456). Получили точку Р с координатами Декартовы координаты на плоскости и в пространствеДекартовы координаты на плоскости и в пространстве

Прямоугольная система координат носит имя Рене Декарта (1596—1650). В 1637 г. вышла книга с длинным по обычаю времен названием «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода», с ней в науку вошел метод координат. Со времен Декарта алгебра и геометрия стали сотрудничать между собой к выгоде обеих дисциплин. Введенную систему координат с тех пор стали называть декартовой.

Координаты середины отрезка

Рассмотрим отрезок Декартовы координаты на плоскости и в пространстве, принадлежащий оси Ох. Пусть Р — середина этого отрезка и пусть наши три точки имеют соответственно координаты Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (рис. 2.457). Выразим х через Декартовы координаты на плоскости и в пространстве и Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Дано, что

1.    Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (дано) (рис. 2.457).

2.    Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (запись отрезка в координатах на прямой).

3.    Декартовы координаты на плоскости и в пространстве(1, 2).

Эта формула годится и в случае, когда Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Рассмотрим случай, когда отрезок Декартовы координаты на плоскости и в пространстве произвольно расположен на плоскости (рис. 2.458).

1. Точка Р является серединой отрезка Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (дано) (рис. 2.458).

2. Построим проекции точек Декартовы координаты на плоскости и в пространстве на ось Ох, получим точки Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (построение).

3.    Точка М является серединой отрезка Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.

4.    Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (3, формула середины отрезка на прямой).

Аналогично можно получить, что Декартовы координаты на плоскости и в пространстве . Все это можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 1. Даны точки Декартовы координаты на плоскости и в пространстве Серединой отрезка Декартовы координаты на плоскости и в пространстве является точка Декартовы координаты на плоскости и в пространствеДекартовы координаты на плоскости и в пространстве

Формула расстояния между точками

Пусть мы знаем координаты двух точек Декартовы координаты на плоскости и в пространстве на плоскости (рис. 2.459). Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Расстояние между точками Декартовы координаты на плоскости и в пространстве находится по формуле

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Например, если Декартовы координаты на плоскости и в пространстве то из полученной формулы следует, что

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Формула расстояния между точками верна и в пространстве. Пусть даны две точки Декартовы координаты на плоскости и в пространстве и Декартовы координаты на плоскости и в пространстве Расстояние между точками Р и Q находится по формуле

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Пример: 

Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин.

Решение: 

Из условия задачи имеем:

1. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве, его стороны обозначим через Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

2. CD = BD.

3. CD = AD (требуется доказать).

Мы хотим применить для решения задачи декартову систему координат, а значит, надо удачно выбрать расположение этой системы.

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

4.    Для данной задачи удачный выбор системы координат показан на рисунке 2.460. Начало координат помещено в точку А, а оси проведены через точки Б и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей (построение).

5.    Точка В имеет координаты (Декартовы координаты на плоскости и в пространстве, 0), точка С — (0, Декартовы координаты на плоскости и в пространстве) (1, 4).

6.    Середина отрезка СВ точка D имеет координаты Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (1, формула середины отрезка).

7.    Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (4, 6 формула расстояния между точками).

8. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве (5, 6, формула расстояния между точками).

9. CD = BD (7, 8).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

  • Математика решение заданий и задач

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Лекции:

  • Наибольшее значение функции
  • Степенные ряды. Теорема Абеля
  • Построить ряд по степеням
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Модуль комплексного числа
  • Найти область определения функции
  • Возрастание и убывания функции на промежутке
  • Интегрирование заменой переменной по частям. Неопределенный интеграл
  • Степенные ряды
  • Найти неопределённый интеграл: пример решения

Напомним, что координатной прямой называется прямая с
выбранными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением. Положение
точки на прямой задаётся одним числом – её координатой.

Расстояние между точкой  и точкой  равно .

Координата середины отрезка  равна .

Теперь напомним, что прямоугольная декартова система координат
на плоскости
задаётся двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми
– осями координат, с масштабом, одинаковым для обеих осей.

Точка пересечения координатных прямых называется началом
координат
и является начальной для каждой из них. Ось  называют осью абсцисс, а ось  – осью ординат. Плоскость, на которой задана прямоугольная
декартова система координат, называется координатной плоскостью и
обозначается .

Каждой точке координатной плоскости ставится в соответствие пара
чисел, которые называются координатами этой точки: абсцисса
(соответствующая координата прямоугольной проекции этой точки на ось икс) и ордината
(соответствующая координата прямоугольной проекции этой точки на ось игрек).
Эти числа называют декартовыми координатами данной точки.

При этом важно помнить, что, записывая координаты точки, абсциссу
всегда ставят на первое место, а ординату – на второе.

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части. Их называют координатными
четвертями
.

Расстояние между точкой  и точкой  выражается формулой:

.

Середина отрезка  имеет координаты: .

Также напомним, что уравнение окружности с центром в
точке
 и радиусом  имеет вид:

.

А уравнение окружности с центром в начале координат и
радиусом  имеет следующий вид:

.

Уравнение прямой в декартовых
координатах на плоскости имеет вид:

.

Напомним некоторые частные случаи.

Если , , то уравнение принимает вид . В этом случае прямая параллельна оси . В частности, если , то прямая совпадает с осью .

Если , , то уравнение принимает вид . В этом случае прямая параллельна оси . В частности, если , то прямая совпадает с осью .

Если , то уравнение принимает вид . В этом случае прямая проходит через начало координат.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называются три взаимно перпендикулярные координатные прямые – оси
координат, пересекающихся в одной точке. Точка пересечения координатных прямых
называется началом координат и является начальной точкой для каждой из
них.

Ось  называют осью абсцисс, ось  – осью ординат, а ось  – осью аппликат.

Плоскость, которая проходит через оси  и , называется координатной плоскостью .

Плоскость, которая проходит через оси  и , называется координатной плоскостью .

А плоскость, которая проходит через оси  и , называется координатной плоскостью .

Пространство, в котором заданы оси ,  и  обозначается .

Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел –
координаты прямоугольных проекций этой точки на оси ,  и  соответственно.

Числа ,  и  называют декартовыми координатами точки.

 называют абсциссой точки ,  – ординатой точки , а  – аппликатой этой точки.

Расстояние между точкой  и точкой  выражается формулой:

.

Середина отрезка  имеет координаты: .

Также напомним, что уравнение сферы с центром в точке  и радиусом  имеет вид:

.

Если центром сферы является начало координат, то уравнение
сферы имеет следующий вид:

.

Уравнение плоскости имеет вид , где .

Мы
с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической
части занятия.

Задание
первое.
На координатной прямой отмечены точки  и
.
Точка  – середина отрезка . Найдите расстояние между точками  и  и координату точки .

Решение.

Задание
второе.
Запишите уравнение окружности с центром в начале
координат, проходящей через точку .

Решение.

Задание
третье.
Найдите координаты точки пересечения прямых  и
.

Решение.

Задание
четвёртое.
Найдите расстояние  между
точками  и
.

Решение.

Задание
пятое.
Запишите уравнение сферы, проходящей через точки ,
 и
,
если её радиус равен .

Решение.

Задание
шестое.
Найдите значение ,
при котором прямая  касается
окружности .

Решение.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Dragon adventures roblox как найти яйцо
  • Ошибка multiple как исправить
  • Как найти в телеге по номеру телефона
  • Прикол как ты меня нашел
  • Как найти запчасти man