Как найти деление комплексных чисел - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Деление комплексных чисел в алгебраической форме
Деление комплексных чисел в геометрической форме

Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Определение

Частным двух комплексных чисел
$z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и
$z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называется число
$z$, которое задается соотношением:

$z=frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+frac{a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} i$

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме:

сначала делимое и делитель умножают на число,
комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом;
в числителе умножают два комплексных числа;
полученную дробь почленно делят.

Пример

Задание. Найти частное
$frac{-2+i}{1-i}$

Решение. Домножим и числитель, и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю
$1-i$, это будет
$1+i$, тогда имеем:

$frac{-2+i}{1-i}=frac{-2+i}{1-i} cdot frac{1+i}{1+i}=frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

Далее перемножаем комплексные числа как алгебраические двучлены, учитывая, что
$i^{2}=-1$:

$frac{-2+i}{1-i}=frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=frac{-2-2 i+i-1}{1^{2}-i^{2}}=$

$=frac{-3-i}{1-(-1)}=frac{-3-i}{2}=-frac{3}{2}-frac{i}{2}$

Ответ. $frac{-2+i}{1-i}=-frac{3}{2}-frac{i}{2}$

Деление комплексных чисел в геометрической форме

Если надо поделить комплексные числа $z_{1}$ и
$z_{2}$ в геометрической форме:
$frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{left|z_{1}right|left(cos phi_{1}+i sin phi_{1}right)}{left|z_{2}right|left(cos phi_{2}+i sin phi_{2}right)}$ , то искомое число

$z=frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{left|z_{1}right|}{left|z_{2}right|}left[cos left(phi_{1}-phi_{2}right)+i sin left(phi_{1}-phi_{2}right)right]$

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти частное
$frac{z_{1}}{z_{2}}$, если
$z_{1}=2 cdotleft(cos frac{3 pi}{4}+i sin frac{3 pi}{4}right)$, а
$z_{2}=cos frac{pi}{4}+i sin frac{pi}{4}$

Решение. Искомое частное

$frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{2 cdotleft(cos frac{3 pi}{4}+i sin frac{3 pi}{4}right)}{cos frac{pi}{4}+i sin frac{pi}{4}}=$

$=frac{2}{1} cdotleft[cos left(frac{3 pi}{4}-frac{pi}{4}right)+i sin left(frac{3 pi}{4}-frac{pi}{4}right)right]=$

$=2 cdotleft[cos frac{pi}{2}+i sin frac{pi}{2}right]=2 cdot(0+i)=2 i$

Ответ. $frac{z_{1}}{z_{2}}=2 cdotleft(cos frac{pi}{2}+i sin frac{pi}{2}right)=2 i$

Читать дальше: возведение комплексного числа в степень.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти частное двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Деление в алгебраической форме
Деление в геометрической форме

Деление в алгебраической форме

Результатом деления (т.е. частное) двух комплексных чисел x = a₁ + b₁i и y = a₂ + b₂i также является комплексное число z:

Порядок действий следующий:

Делимое и делитель умножаем на число, комплексно сопряженное делителю. Не забываем, что i² = -1.

Примечание: Для (a + bi) комплексно сопряженным будет число (a – bi), т.е. действительная часть остается той же, а у мнимой знак меняется на противоположный.
В результате выполнения умножения в знаменателе получается обычное действительное число.
(a₂ + b₂i)(a₂ – b₂i) = a₂ ⋅ a₂ – a₂ ⋅ b₂i + b₂i ⋅ a₂ – b₂i ⋅ b₂i = a₂² – b₂² ⋅ i² = a₂² + b₂².
Теперь выполним аналогичное действие в числителе:
(a₁ + b₁i)(a₂ – b₂i) = a₁ ⋅ a₂ – a₁ ⋅ b₂i + b₁i ⋅ a₂ – b₁i ⋅ b₂i = a₁a₂ – b₁b₂i² – a₁b₂i + b₁a₂i = (a₁a₂ + b₁b₂) + (a₂b₁ – a₁b₂) ⋅ i.
Делим полученный числитель на знаменатель:

Пример 1:
Разделим комплексное число (3 – i) на (-5 + 2i).

Решение:
Руководствуемся планом действий, описанным выше, и получаем:

Деление в геометрической форме

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, например, x = |x| ⋅ (cos φ₁ + i ⋅ sin φ₁) и y = |y| ⋅ (cos φ₂ + i ⋅ sin φ₂), то разделить их можно по формуле ниже:

Пример 2
Найдем частное комплексных чисел: x = 4 ⋅ (cos 60° + i ⋅ sin 60°) и y = 2 ⋅ (cos 25° + i ⋅ sin 25°).

Решение:
|x| : |y| = 4 : 2 = 2
φ₁ – φ₂ = 60° – 25° = 35°
x : y = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°)

Источник

Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел

Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$, тригонометрической форме $z_1 = r_1 (cos varphi_1 + isin varphi_1), z_2 = r_2(cos varphi_2 + isin varphi_2)$ и показательной форме $z_1 = r_1 e^{varphi_1 i} , z_2 = r_2 e^{varphi_2 i}$.

Формула суммы и разности

В алгебраической форме $$z_1 + z_2 = (a+bi) + (c+di) = (a + c) + (b + d)i, $$ $$z_1 — z_2 = (a+bi) — (c+di) = (a-c) + (b — d)i, $$в тригонометрической и показательной форме тоже можно выполнять сложение и вычитание, но удобнее это делать в алгебраической.

Формула произведения

В алгебраической форме $$z_1 cdot z_2 = (a+bi) cdot (c+di) = (ac — bd) + i(ad + bc),$$ в тригонометрической форме $$z_1 cdot z_2 = r_1 r_2 (cos (varphi_1 + varphi_2) + isin (varphi_1 + varphi_2)),$$в показательной форме $$z_1 cdot z_2 = r_1 r_2 e^{(varphi_1+varphi_2)i}.$$

Формула деления

В алгебраической форме $$frac{z_1}{z_2} =frac{z_1 overline{z_2}}{z_2 overline{z_2}} = frac{ac+bd}{c^2+d^2} + frac{bc-ad}{c^2+d^2}i, $$в тригонометрической форме $$frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} (cos(varphi_1 — varphi_2)+isin(varphi_1-varphi_2)),$$в показательной форме $$frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2}e^{(varphi_1 — varphi_2)i}.$$

Введите первое комплексное число

Введите второе комплексное число

Пример 1

Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел $$z_1 = 1+2i, z_2 = -2+i.$$

Решение

Сначала находим сумму. Для этого раскрываем скобки и проводим вычисления с подобными $$z_1 + z_2 = (1+2i) + (-2+i) = 1+2i — 2 + i = (1-2) + (2i+i) = -1 + 3i.$$

Тоже самое делаем для того, чтобы найти разность. Раскрываем скобки и вычисляем $$z_1 — z_2 = (1+2i) — (-2+i) = 1+2i + 2 — i = 3 + i.$$

Теперь найдем произведение чисел. Раскрываем скобки попарно перемножая слагаемые в скобках. Но не забываем, что $i = sqrt{-1}$, а это значит, что $i^2 = -1$, получаем $$z_1 cdot z_2 = (1+2i)cdot (-2+i) = -2 + i — 4i + 2i^2 = $$ $$ = -2 — 3i — 2 = -4-3i.$$

Выполним деление комплексных чисел. Здесь необходимо числитель и знаменатель домножить на комплексно-сопряженное число к знаменателю, чтобы избавиться от дроби $$frac{z_1}{z_2} = frac{1+2i}{-2+i} = frac{(1+2i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)} = $$ В числителе и знаменателе раскрываем скобки, то есть выполняем умножение комплексных чисел по соответствующей формуле. И не забываем про то, что $i^2 = -1$ $$ = frac{-2-i-4i-2i^2}{4+2i-2i-i^2} = frac{-2-5i+2}{4+1} = frac{-5i}{5} = -i.$$

Ответ

$$z_1 + z_2 = -1+3i, z_1 — z_2 = 3+i, z_1 cdot z_2 = -4-3i, frac{z_1}{z_2} = -i$$

Пример 2

Найти произведение и частное комплексных чисел $z_1 = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{3})$ и $z_2 = 4(cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6})$

Решение

Начнем с умножения двух чисел. Вычисляем произведение модулей и складываем аргументы синуса и косинуса $$z_1 cdot z_2 = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{3}) cdot 4(cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6}) = $$ $$ = 8 (cos (frac{pi}{3} + frac{pi}{6}) + isin (frac{pi}{3}+frac{pi}{6})) = 8(cosfrac{pi}{2} + isin frac{pi}{2}).$$

Деление выполняется наоборот. Ищем частное модулей и разность аргументов $$frac{z_1}{z_2} = frac{2}{4} (cos (frac{pi}{3} — frac{pi}{6}) +isin (frac{pi}{3}-frac{pi}{6}) = frac{1}{2} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6}).$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$z_1 cdot z_2 = 8(cosfrac{pi}{2} + isin frac{pi}{2}), frac{z_1}{z_2} = frac{1}{2} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6})$$

Пример 3

Найти произведение и частное комплексных чисел $ z_1 = 6e^{frac{pi}{2}i} $ и $ z_2 = 2e^{frac{pi}{4}i} $

Решение

Для умножения двух комплексных чисел необходимо перемножить их аргументы и сложить показатели степеней $$z_1 cdot z_2 = 6e^{frac{pi}{2}i} cdot 2e^{frac{pi}{4}i} = 12e^{(frac{pi}{2}+frac{pi}{4})i} = 12e^{frac{3pi}{4}i}.$$

Для деления нужно найти частное аргументов двух комплексных чисел и вычислить разницу показателей степеней $$frac{z_1}{z_2} = frac{6e^{frac{pi}{2}i}} {2e^{frac{pi}{4}i}} = frac{6}{2} e^{(frac{pi}{2}-frac{pi}{4})i} = 3e^{frac{pi}{4}i}.$$

Ответ

$$z_1 cdot z_2 = 12e^{frac{3pi}{4}i}, frac{z_1}{z_2} = 3e^{frac{pi}{4}i}$$

Источник

Деление комплексных чисел — основные правила

Определение 1

Частным двух комплексных чисел (z_{1}=a_{1}+b_{1} i) и (z_{2}=a_{2}+b_{2} )i называют число z, заданное соотношением: (z=frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+frac{a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} i)

Общий алгоритм для деления комплексных чисел на практике:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

умножение делимого и делителя на число, комплексно сопряженное делителю, что преобразует делитель в действительное число;
в числителе умножают пару комплексных чисел;
полученную дробь почленно делят.

В каких формах это можно делать

Комплексные числа делят разными методами, подтвержденными доказательствами. Существуют алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы для подобных операций. В каждом перечисленном случае необходимо использовать определенную формулу.

Формула деления в алгебраической форме

Когда требуется выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме, в первую очередь числитель и знаменатель умножают на число, сопряженное к знаменателю. Таким образом, удается исключить комплексность в знаменателе:

(frac{z_1}{z_2} = frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = frac{(a_1+b_1 i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)} = frac{a_1 cdot a_2 + b_1 cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} + ifrac{a_2 cdot b_1 — a_1 cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2})

Формула деления в тригонометрической форме

Деление в тригонометрической форме подразумевает деление модулей комплексных чисел. После выполнения данной операции определяют разность аргументов:

(frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} (cos (varphi_1 — varphi_2) + isin (varphi_1 — varphi_2)))

Формула деления в показательной форме

Показательная форма деления комплексных чисел в тригонометрии предполагает деление модулей и вычисление разности аргументов в экспоненте:

(frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} e^{(varphi_1 — varphi_2)i})

Примеры решения задач

Задача 1

Задача

Необходимо найти частное пары комплексных чисел:

(z_1 = 3+i) и (z_2 = 2-3i)

Решение:

Заметим, что комплексные числа заданы в алгебраической форме. В связи с этим целесообразно использовать в действиях соответствующую формулу.

(frac{z_1}{z_2} = frac{3+i}{2-3i} =)

Сопряженное комплексное число к знаменателю:

(overline{z_2} = 2+3i)

Нужно домножить и разделить на сопряженное комплексное число к знаменателю дроби. Таким образом, получится исключить комплексность в знаменателе:

(= frac{(3+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = frac{6 + 9i + 2i — 3}{4 + 6i — 6i + 9} =)

Далее следует привести подобные слагаемые и записать вывод с ответом:

(= frac{3 + 11i}{13} = frac{3}{13} + frac{11}{13}i)

Ответ: (frac{z_1}{z_2} = frac{3}{13} + frac{11}{13}i)

Задача 2

Задача

Требуется выполнить деление комплексных чисел:

(z_1 = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{6}))

(z_2 = 4(cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6}))

Решение:

Комплексные числа в условии задачи записаны в тригонометрической форме. По этой причине необходимо использовать в расчетах соответствующую формулу. В данном случае следует определить деление модулей и разность аргументов:

Деление модулей:

(frac{r_1}{r_2} = frac{2}{4} = frac{1}{2})

Разность аргументов:

(varphi_1 — varphi_2 = frac{pi}{3} — frac{pi}{6} = frac{pi}{6})

Следующим шагом является деление чисел:

(frac{z_1}{z_2} = frac{1}{6} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6} ))

Ответ: (frac{z_1}{z_2} = frac{1}{6} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6} ))

Задача 3

Задача

Нужно найти частное комплексных чисел:

(z_1 = 3e^{frac{pi}{2}i})

(z_2 = 4e^{frac{pi}{4}i})

Решение: Согласно формуле деления в показательной форме определяем разность аргументов и частное модулей:

(frac{r_1}{r_2} = frac{3}{4})

(varphi_1 — varphi_2 = frac{pi}{2} — frac{pi}{4} = frac{pi}{4})

При подстановке в формулу полученных значений уравнение будет преобразовано следующим образом:

(frac{z_1}{z_2} = frac{3}{4} e^{frac{pi}{4}i})

Ответ: (frac{z_1}{z_2} = frac{3}{4} e^{frac{pi}{4}i})

Задача 4

Задача

Определить частное:

(frac{-2+i}{1-i})

Решение:

В первую очередь следует домножить числитель и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю:

(1-i)

Данным числом является:

(1+i)

Таким образом:

(frac{-2+i}{1-i}=frac{-2+i}{1-i} cdot frac{1+i}{1+i}=frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)})

Затем следует перемножить комплексные числа, как алгебраические двучлены, с учетом:

(i^{2}=-1)

(frac{-2+i}{1-i}=frac{(-2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=frac{-2-2 i+i-1}{1^{2}-i^{2}}=)

(=frac{-3-i}{1-(-1)}=frac{-3-i}{2}=-frac{3}{2}-frac{i}{2})

Ответ:( frac{-2+i}{1-i}=-frac{3}{2}-frac{i}{2})

Задача 5

Задача

Необходимо найти частное:

(frac{z_{1}}{z_{2}})

При условии, что:

(z_{1}=2 cdotleft(cos frac{3 pi}{4}+i sin frac{3 pi}{4}right))

(z_{2}=cos frac{pi}{4}+i sin frac{pi}{4})

Решение:

Искомое частное:

(frac{z_{1}}{z_{2}}=frac{2 cdotleft(cos frac{3 pi}{4}+i sin frac{3 pi}{4}right)}{cos frac{pi}{4}+i sin frac{pi}{4}}=)

(=frac{2}{1} cdotleft[cos left(frac{3 pi}{4}-frac{pi}{4}right)+i sin left(frac{3 pi}{4}-frac{pi}{4}right)right]=)

(=2 cdotleft[cos frac{pi}{2}+i sin frac{pi}{2}right]=2 cdot(0+i)=2 i)

Ответ: (frac{z_{1}}{z_{2}}=2 cdotleft(cos frac{pi}{2}+i sin frac{pi}{2}right)=2 i)

Задача 6

Задача

Необходимо разделить два комплексных числа:

(z_{1}=-1+3i)

(z_{2}=1+2i)

Решение:

С помощью соответствующей формулы можно записать уравнение:

(z_{1} div z_{2} = frac{-1+3i}{1+2i} = frac{(-1+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = frac{-1 cdot 1 + 3 cdot 2}{1^{2}+2^{2}} + i frac{3 cdot 1 + (-1) cdot (-2)}{1^{2}+2^{2}} =)

(= frac{5}{5} + i frac{5}{5}=1+i)

Ответ: ( z_{1} div z_{2} = 1+i)

Задача 7

Задача

Необходимо вычислить частное комплексных чисел:

(z_{1}=sqrt{2} left( cos frac{pi}{2} + i sin frac{pi}{2} right))

(z_{2}=sqrt{2} left( cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4} right))

Решение:

Используя соответствующую формулу, запишем:

(z_{1} div z_{2} = frac{r_{1}}{r_{2}} (cos ( varphi _{1} — varphi _{2}) + i sin ( varphi _{1} — varphi _{2})) = frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} left( cos left( frac{pi}{2}-frac{pi}{4} right) + i sin left( frac{pi}{2}-frac{pi}{4} right) right) =)

(= 1 cdot left( cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4} right) = cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4})

Ответ:( z_{1} div z_{2} = cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4})

Задача 8

Задача

Требуется разделить два комплексных числа:

(z_{1} = sqrt{2} e^{-frac{pi}{2}i})

(z_{2} = 2 e^{-frac{pi}{4}i})

Решение:

Используя соответствующую формулу деления комплексных чисел, можно решить уравнение:

(z_{1} div z_{2} = frac{r_{1}}{r_{2}} cdot e^{i ( varphi _{1} — varphi _{2})} = frac{sqrt{2}}{2} cdot e^{i left( -frac{pi}{2} +frac{pi}{4} right) } = frac{sqrt{2}}{2} cdot e^{-frac{pi}{4}i})

Ответ: (z_{1} div z_{2} = frac{sqrt{2}}{2} cdot e^{-frac{pi}{4}i})

Источник

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.

Определение

Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z , при умножении которого на z2 получается z1:

z=z1/z2, если z∙z2=z1 (z2≠0).

Для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:

$[{z_1} = a + bi]$

$[{z_2} = c + di]$

$[z = frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = frac{{a + bi}}{{c + di}} = frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}i]$

На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, комплексно-сопряженное делителю.

С помощью формулы правило деления комплексных можно записать так:

$[frac{{a + bi}}{{c + di}} = frac{{(a + bi) cdot (c - di)}}{{(c + di) cdot (c - di)}} = frac{{ac - adi + bci - bd{i^2}}}{{{c^2} + {d^2}}} = ]$

$[ = frac{{(ac + bd) + (bc - ad)i}}{{{c^2} + {d^2}}} = frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}i]$

Примеры.

Найти частное комплексных чисел:

$[1){z_1} = 2 + 5i;{z_2} = 3 - 2i;]$

$[2){z_1} = 23 + i;{z_2} = 2 + i;]$

$[3){z_1} = 8i;{z_2} = 5i;]$

$[4){z_1} = 2 + 7i;{z_2} = 10.]$

Решение:

1) Чтобы выполнить деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, и делимое, и делитель умножаем на число, комплексно-сопряженное делителю (вариант: и числитель, и знаменатель умножаем на число, сопряженное знаменателю):

$[frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = frac{{2 + 5i}}{{3 - 2i}} = frac{{(2 + 5i)(3 + 2i)}}{{(3 - 2i)(3 + 2i)}} = frac{{2 cdot 3 + 2 cdot 2i + 5i cdot 3 + 5i cdot 2i}}{{{3^2} + {2^2}}} = ]$

Умножение комплексных чисел выполняем как умножение многочленов.

i² заменяем на -1.

$[ = frac{{6 + 4i + 15i + 10{i^2}}}{{13}} = frac{{6 + 19i - 10}}{{13}} = frac{{ - 4 + 19i}}{{13}} = - frac{4}{{13}} + frac{{19}}{{13}}i;]$

$[2)frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = frac{{23 + i}}{{2 + i}} = frac{{(23 + i)(2 - i)}}{{(2 + i)(2 - i)}} = frac{{46 - 23i + 2i - {i^2}}}{{{2^2} + {1^2}}} = ]$

$[ = frac{{46 - 21i + 1}}{5} = frac{{47 - 21i}}{5} = frac{{47}}{5} - frac{{21}}{5}i;]$

$[3)frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = frac{{8i}}{{5i}} = frac{{8i cdot ( - 5i)}}{{5i cdot ( - 5i)}} = frac{{ - 40{i^2}}}{{25}} = frac{{40}}{{25}} = frac{8}{5};]$

$[4)frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = frac{{2 + 7i}}{{10}} = frac{{(2 + 7i) cdot 10}}{{10 cdot 10}} = frac{{20 + 70i}}{{100}} = ]$

$[ = frac{{20}}{{100}} + frac{{70}}{{100}}i = frac{1}{5} + frac{7}{{10}}i.]$

Деление комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, будет рассмотрено позже.

Источник