Как найти делимое при делении дробей - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю:

Найдём частное двух обыкновенных дробей.

При необходимости дробь сокращают.

Пример:

49:23=49⋅32=42⋅3193⋅21=2⋅13⋅1=23

В случае деления целого числа на обыкновенную дробь целое число можно умножить на дробь, обратную делителю, или сначала представить целое число в виде неправильной дроби, а затем выполнить деление обыкновенных дробей:

8:45=8⋅54=82⋅541=2⋅51=101=10;8:45=81:45=81⋅54=82⋅541=2⋅51=101=10.

Чтобы найти частное смешанных чисел, смешанные числа представляют в виде неправильных дробей и выполняют деление по правилу деления обыкновенных дробей:

325:15=3⋅5+25:15=175:15=175⋅51=17⋅5151⋅1=17⋅11⋅1=171=17;412:634=92:274=92⋅427=91⋅4221⋅273=1⋅21⋅3=23.

Источник

План урока:

Умножение обыкновенных дробей

Нахождение дроби от числа

Деление обыкновенных дробей

Нахождение числа по заданному значению его дроби

Дробные выражения

Умножение обыкновенных дробей

Разберем ситуацию.

На уроке технологии девочки занимались выпечкой. Они готовили печенье. По рецепту на изготовление одного килограмма печенья уходит 3/8 килограмма сахара. Сколько сахара необходимо принести детям, чтобы приготовить 1/2 килограмма печенья?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам необходимо узнать количество сахара нужное для изготовления 1/2 килограмма печенья. По условию, мы знаем, что для выпечки 1 кг лакомства требуется 3/8 кг сахара. Следовательно, чтобы вычислить требуемую массу сахарного песка необходимо найти произведение 3/8 и 1/2 . Известные множители представлены в виде обыкновенных дробей. Чтобы выполнить умножение обыкновенных дробей нужно использовать правило:

2wetwry

числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель. Первый результат пишем над чертой дроби, второй под чертой:

Получается, чтобы испечь нужное количество печенья школьницы должны подготовить 3/16 килограмма сахарного песка.

Нахождение дроби от числа

Разберем следующую ситуацию и узнаем, как найти дробь от числа.

Вениамин очень любит уроки изобразительного искусства. В его альбоме для рисования 48 листов. Мальчик удивленно заметил, что своими рисунками уже заполнил 7/8 альбома. Сколько всего рисунков получилось у школьника?

3wetwry

Задачу можно решить двумя способами. Подробно рассмотрим каждый из них.

Способ 1.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нам нужно узнать, сколько листов соответствует записи 7/8. Для этого давайте вспомним, о чем нам говорят компоненты дробных выражений:

4wetwry

Теперь, можно сказать, что весь альбом разделили на 8 частей, а использовали только 7. Попробуем посчитать. Вначале, делим 48 на 8:

48 : 8 = 6.

6 листов приходится на 1/8 часть альбома. Зная, что таких частей было взято 7, найдем произведение 6 и 7 :

6 × 7 = 42.

Мы выяснили, что Вениамин нарисовал 42 рисунка.

Для решения задачи таким способом, нужно выполнить два действия, а это не всегда удобно. Так же, такой способ может вызывать трудности при вычислениях, если компоненты не делятся нацело.

В таких ситуациях, логичнее будет использование второго способа.

Способ 2.

По условию нам известно число и часть этого числа, выраженная обыкновенной дробью. Нужно найти числовое значение соответствующее данной дроби. Задания такого вида имеют собственное название «Нахождение дроби от числа» и правило, используя, которое можно с легкостью вычислить любое числовое значение соответствующее дробному выражению:

5wetwry

Применим изученное правило на практике. Чтобы найти 7/8 от 48 нам нужно, просто умножить 7/8 на 48:

Мальчик нарисовал 42 рисунка.

Запомните оба способа, и применяйте их для решения различных заданий.

Деление обыкновенных дробей

Разберем пример.

Строительная бригада выполняла ремонт городской дороги.На ремонт определенного участка дороги, рабочие потратили 7/9 тонны асфальта. Определите, сколько километров дороги отремонтировали рабочие, если на ремонт одного километра уходит 3/7 тонны строительного материала.

6hsfhd

По условию нам известно, что всего было использовано 7/9 тонны материала, при этом мы знаем, что на один километр требуется 3/7 тонны. Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно количество использованного асфальтаразделить на количество строительного материала, необходимое для починки одного километра. В результате мы получим число отремонтированных километров. В данном случае, в качестве делимого и делителя выступают обыкновенные дроби. И перед нами возникает проблема «Как же выполнить деление обыкновенных дробейс разными знаменателями?».

В арифметике на этот случай имеется определенное правило, которое расскажет, как выполнить деление обыкновенных дробей.

Выполним деление имеющихся чисел с применением рассмотренного правила

7wetwry

Выполним деление, имеющихся дробных чисел с применением рассмотренного правила. Разделим 7/9 на 3/7. Делимое 7/9 оставляем без изменений, а делитель 3/7 переворачиваем, и получаем 7/3. Находим произведение данных выражений:

Все очень просто. Главное помните, что при выполнении деления дробей с разными знаменателями делитель переворачиваем и находим произведение перевернутого делителя и делимого!

Нахождение числа по заданному значению его дроби

В школе проходила неделя экологии. Учащиеся шестого класса были приглашены лесничеством на высадку деревьев. До обеда, ребята высадили 6/11 всех саженцев. Сколько растений осталось высадить школьникам, если до обеда дети высадили 54 дерева?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно определить число по заданному значению его дроби. В арифметике существует правило, используя, которое возможно с легкостью найти любое число по значению его дроби:

9wetwry

Теперь мы знаем, что для вычисления общего количества саженцев, нужно известное значение дроби разделить на саму дробь. Зная, что число – 54, а дробь – 6/11, имеем:

В результате получили неправильную дробь. Выделим из полученного произведения целую часть.Для этого разделим числитель на знаменатель:

594 : 6 = 99.

Выходит, что за целый день школьникам нужно высадить 99 растений.

В математике часто встречаются задания, в которых требуется вычислить значение «многоэтажных» дробей. Как называются такие дробные выражения, каким способом их вычислять рассмотрим далее.

Дробные выражения

Когда ученик видит в учебнике задание в виде выражения:

то желание заниматься математикой сразу пропадает. Сегодня мы узнаем,как решать дробные выражения и докажем, что даже такие выражения совершенно не сложные, и выполнить вычисления сможет каждый желающий после изучения нашего урока!

Никого не пугает запись обыкновенной дроби – 3/7, 4/15, 8/14.

Каждый понимает, что дробная черта заменяет привычный знак деления – : .

Например:

10/21 = 10 : 21 или 7/18 = 7 : 18.

Выходит, что частное чисел или выражений, в случае замены знака деления чертой дроби, называют дробным выражением.

Вот так, проведя два простых вычисления, мы выполнили задание, вызывающее недоумение у школьников. Математика интересная и простая наука. Если приложите немного внимания и терпения, то результат не заставит себя ждать!

Знаешь ли ты?

1) Ученые – селекционеры вывелиновый вид яблонь. Удивительным является то, что корни растения уходит в землю более чем на 49/50километра (около 980 метров), а общая длина корневища достигает 4000 метров.

2) За всю жизнь человек выпивает примерно 75 тонн воды. Подсолнечнику, например, достаточно 1/4 тонны(250 литров), чтобы вырасти и принести семена.

3) Италия в который раз удивила весь мир. Около вулкана Этна растет каштан, диаметр ствола которого, составляет,3/50 километра (около 60 метров),это чуть ли не половина футбольного стадиона.

4) Пальма Рафия Тедигера встречается только в Бразилии. Она интересна тем, что её листья имеют гигантские размеры. Черенок листка достигает1/200 километра (5 метров), длина листика – более1/50 километра (более 20 метров), ширина – более 5 метров (1/200 километра).

5) По сообщениям ихтиологов(ученых, занимающихся изучением рыб), самую большую длину в мире,имеют ремень-рыбы. Во взрослом возрасте они достигают длины более 1/100километра(более 10 метров), а длина молодых особей находится в пределах 0,003 километра или 3 метров.

Источник

Следующее действие, которое можно выполнять с дробями это деление. Выполнять деление дробей достаточно просто главное знать несколько правил деления. Разберем правила деления и рассмотрим решение примеров на данную тему.

Деление дроби на дробь.

Чтобы делить дробь на дробь, нужно дробь, которая является делителем перевернуть, то есть получить обратную дробь делителю и потом выполнить умножение дробей.

(bf frac{a}{b} div frac{c}{d} = frac{a}{b} times frac{d}{c}\)

Пример:

Выполните деление обыкновенных дробей .

Деление дроби на число.

Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на число.

(bf frac{a}{b} div n = frac{a}{b} div frac{n}{1} = frac{a}{b} times frac{1}{n}\)

Рассмотрим пример:

Выполните деления дроби на натуральное число (frac{4}{7} div 3).

Как мы уже знаем, что любое число можно представить в виде дроби (3 = frac{3}{1} ).

(frac{4}{7} div 3 = frac{4}{7} div frac{3}{1} = frac{4}{7} times frac{1}{3} = frac{4 times 1}{7 times 3} = frac{4}{21}\)

Деление числа на дробь.

Чтобы поделить число на дробь, нужно знаменатель делителя умножить на число, а числитель делителя записать в знаменатель. То есть дробь делитель перевернуть.

Рассмотрим пример:

Выполните деление числа на дробь.

Деление смешанных дробей.

Перед тем как приступить к делению смешанных дробей, их нужно перевести в неправильную дробь, а дальше выполнить деление по правилу деления дроби на дробь.

Пример:

Выполните деление смешанных дробей.

(2frac{3}{4} div 3frac{1}{6} = frac{11}{4} div color{red} {frac{19}{6}} = frac{11}{4} times color{red} {frac{6}{19}} = frac{11 times 6}{4 times 19} = frac{11 times color{red} {2} times 3}{2 times color{red} {2} times 19} = frac{33}{38}\)

Деление числа на число.

Чтобы поделить простые числа, нужно представить их в виде дроби и выполнить деление по правилам деления дроби на дробь.

Пример:

(2 div 5 = frac{2}{1} div color{red} {frac{5}{1}} = frac{2}{1} times color{red} {frac{1}{5}} = frac{2 times 1}{1 times 5} = frac{2}{5}\)

Примечание к теме деление дробей:
На нуль делить нельзя.

Вопросы по теме:
Как делить дроби? Как разделить дробь на дробь?
Ответ: дроби делятся так, первую дробь делимое умножаем на дробь обратную дроби делителя.

Как делить дроби с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, все дроби делятся по правилу деления дроби на дробь.

Пример №1:
Выполните деление и назовите делитель, дробь, обратную делителю: а) (frac{5}{9} div frac{8}{13}) б) (2frac{4}{5} div 1frac{7}{8})

Решение:
а) (frac{5}{9} div frac{8}{13} = frac{5}{9} times frac{13}{8} = frac{65}{72}\\)

( frac{8}{13}) – делитель, ( frac{13}{8}) – обратная дробь делителя.

б) (2frac{4}{5} div 1frac{7}{8} = frac{14}{5} div frac{15}{8} = frac{14}{5} times frac{8}{15} = frac{14 times 8}{5 times 15} = frac{112}{75} = 1frac{37}{75}\\)

( frac{15}{8}) – делитель, ( frac{8}{15}) – обратная дробь делителя.

Пример №2:
Вычислите деление: а) (5 div 1frac{1}{4}) б) (9frac{2}{3} div

Решение:

а) (5 div 1frac{1}{4} = frac{5}{1} div frac{5}{4} = frac{5}{1} times frac{4}{5} = frac{color{red} {5} times 4}{1 times color{red} {5}} = frac{4}{1} = 4 \\)

б) (9frac{2}{3} div 8 = frac{29}{3} div frac{8}{1} = frac{29}{3} times frac{1}{8} = frac{29 times 1}{3 times 8} = frac{29}{24} = 1frac{5}{24}\\)

Источник

Перед тем как перейти к делению дробей, вспомним теоретические основы. Итак, дробь — это форма записи числа:

где a — числитель, b — знаменатель.

Дробь называется правильной — если числитель меньше знаменателя (к примеру, 7/8), неправильной — если числитель больше знаменателя (например, 9/6).

Как разделить дробь на дробь?

Правило деления дробей заключается в следующем:

Числитель первой дроби умножается на знаменатель второй, в результате получим числитель итоговой дроби;
Знаменатель первой дроби умножаем на числитель второй, в результате получим знаменатель итоговой дроби.

В общем виде, деление дробей выглядит следующим образом:

Другими словами, деление обыкновенных дробей заключается в умножении первой дроби на обратную от второй.

Пример 1:

3 7

5 7

Решение:

3 7

5 7

3 7

7 5

3 ∙ 7 7 ∙ 5

21 35

3 5

Как делить дроби с разными знаменателями?

Деление дробей с разными знаменателями никак не отличается от деления дробей с одинаковыми знаменателем и выполняется по единому алгоритму.

Пример 2:

7 9

2 3

Решение:

7 9

2 3

7 9

3 2

7 ∙ 3 9 ∙ 2

21 18

7 6

1 6

Как разделить дробь на целое число?

Чтобы разделить дробь на натуральное число нужно это число привести к неправильному виду, а затем воспользоваться вышеописаным правилом.

Пример 3:

5 4

÷ 3

Решение:

5 4

÷ 3

5 4

1 3

5 ∙ 1 4 ∙ 3

5 12

Деление целого числа на дробь

Для деления целого числа на дробь, аналогично предыдущему пункту, переводим число в неправильную дробь и производим деление дробей по общему правилу.

Пример 4:

5 ÷

2 6

Решение:

5 1

2 6

5 1

6 2

5 ∙ 6 1 ∙ 2

30 2

15 1

Как делить смешанные дроби?

Деление смешанных дробей сводится к переводу их к неправильному виду и дальнейшим действиям согласно вышеописанным алгоритмам. Перевод смешанного числа в неправильную дробь, в общем виде, выглядит следующим образом:

Пример 5:

2 5

4 9

Решение:

2 5

4 9

3 ∙ 5 + 2 5

4 9

17 5

4 9

17 5

9 4

17 ∙ 9 5 ∙ 4

153 20

13 20

Смотрите также:

Смотрите также
Калькуляторы
Последние примеры

Калькулятор деления дробей

Оцените материал:

Загрузка…

Источник

Деление дробей — тема, которая включает в себя действия с обыкновенными дробями, смешанными числами и десятичными дробями.

Запишем на одной странице все правила, касающиеся деления обыкновенных дробей, смешанных чисел и натуральных чисел.

1. Деление обыкновенных дробей.

Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

(то есть первую дробь нужно переписать без изменений и умножить её на «перевёрнутую» вторую дробь).

$[frac{a}{b}:frac{c}{d} = frac{a}{b} cdot frac{d}{c} = frac{{a cdot d}}{{b cdot c}}]$

При умножении дробей проще сокращать множители, чем результат.

Если в результате получается неправильная дробь, нужно выделить из неё целую часть.

Примеры деления обыкновенных дробей:

$[1)frac{3}{7}:frac{5}{{11}} = frac{3}{7} cdot frac{{11}}{5} = frac{{3 cdot 11}}{{7 cdot 5}} = frac{{33}}{{35}};]$

$[2)frac{8}{9}:frac{{20}}{{27}} = frac{8}{9} cdot frac{{27}}{{20}} = frac{{mathop {overline 8 }limits^2 cdot mathop {overline {27} }limits^3 }}{{mathop {underline 9 }limits_1 cdot mathop {underline {20} }limits_5 }} = frac{{2 cdot 3}}{{1 cdot 5}} = frac{6}{5} = 1frac{1}{5};]$

$[3)frac{{30}}{{49}}:frac{{40}}{{63}} = frac{{30}}{{49}} cdot frac{{63}}{{40}} = frac{{mathop {overline {30} }limits^3 cdot mathop {overline {63} }limits^9 }}{{mathop {underline {49} }limits_7 cdot mathop {underline {40} }limits_4 }} = frac{{3 cdot 9}}{{7 cdot 4}} = frac{{27}}{{28}}.]$

2. Деление обыкновенной дроби на натуральное число.

Применив правило деления обыкновенных дробей

$[frac{a}{b}:c = frac{a}{b} cdot frac{1}{c} = frac{a}{{b cdot c}},]$

приходим к выводу:

Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения.

Примеры деления обыкновенной дроби на число:

$[1)frac{2}{3}:5 = frac{2}{{3 cdot 5}} = frac{2}{{15}};]$

$[2)frac{{24}}{{25}}:16 = frac{{mathop {overline {24} }limits^3 }}{{25 cdot mathop {underline {16} }limits_2 }} = frac{3}{{25 cdot 2}} = frac{5}{{50}};]$

$[3)frac{{18}}{{37}}:9 = frac{{mathop {overline {18} }limits^2 }}{{37 cdot mathop {underline 9 }limits_1 }} = frac{2}{{37 cdot 1}} = frac{2}{{37}}.]$

Заметим, что если числитель дроби делится на число без остатка, при делении можно числитель разделить на число, а знаменатель оставить тем же:

$[frac{a}{b}:c = frac{{a:c}}{b}]$

$[3)frac{{18}}{{37}}:9 = frac{{18:9}}{{37}} = frac{2}{{37}}.]$

Стоит ли запоминать ещё одно правило или использовать одно правило для всех случаев — решать вам.

3. Деление натурального числа на дробь.

Применив правило деления обыкновенных дробей

$[a:frac{c}{d} = a cdot frac{d}{c} = frac{{a cdot d}}{c},]$

приходим к выводу:

чтобы разделить натуральное число на дробь, надо в числитель записать произведения этого числа и знаменателя, а в знаменатель записать числитель.

$[a:frac{c}{d} = frac{{a cdot d}}{c}]$

Можно запомнить это правило и применять его в дальнейшем. А можно делить число на дробь, применяя для всех случаев деления дробей одно правило. Выбирайте, что для вас удобнее.

Примеры деления натурального числа на дробь:

$[1)36:frac{4}{9} = 36 cdot frac{9}{4} = frac{{mathop {overline {36} }limits^9 cdot 9}}{{mathop {underline 4 }limits_1 }} = frac{{9 cdot 9}}{1} = 81;]$

$[2)28:frac{{21}}{{40}} = 28 cdot frac{{40}}{{21}} = frac{{mathop {overline {28} }limits^4 cdot 40}}{{mathop {underline {21} }limits_3 }} = frac{{4 cdot 40}}{3} = frac{{160}}{3} = 53frac{1}{3};]$

$[3)11:frac{{11}}{{15}} = 11 cdot frac{{15}}{{11}} = frac{{mathop {overline {11} }limits^1 cdot 15}}{{mathop {underline {11} }limits_1 }} = frac{{1 cdot 15}}{1} = 15.]$

Здесь можно сделать ещё один вывод:

$[a:frac{a}{b} = b]$

4. Деление смешанных чисел.

Чтобы разделить смешанные числа (смешанные дроби), надо превратить их в неправильные дроби и разделить по правилу деления обыкновенных дробей:

$[afrac{b}{c}:mfrac{n}{k} = frac{{a cdot c + b}}{c}:frac{{m cdot k + n}}{k} = frac{{(a cdot c + b) cdot k}}{{c cdot (m cdot k + n)}}]$

(эту формулу запоминать не надо. Достаточно знать, как переводить смешанные дроби в неправильные и делить обыкновенные дроби).

Примеры деления смешанных дробей:

$[1)2frac{3}{7}:3frac{1}{{11}} = frac{{17}}{7}:frac{{34}}{{11}} = frac{{17}}{7} cdot frac{{11}}{{34}} = frac{{mathop {overline {17} }limits^1 cdot 11}}{{7 cdot mathop {underline {34} }limits_2 }} = frac{{1 cdot 11}}{{7 cdot 2}} = frac{{11}}{{14}};]$

$[2)5frac{2}{5}:1frac{3}{{15}} = frac{{27}}{5}:frac{{18}}{{15}} = frac{{27}}{5} cdot frac{{15}}{{18}} = frac{{mathop {overline {27} }limits^3 cdot mathop {overline {15} }limits^3 }}{{mathop {underline 5 }limits_1 cdot mathop {underline {18} }limits_2 }} = frac{{3 cdot 3}}{{1 cdot 2}} = frac{9}{2} = 4frac{1}{2};]$

$[3)6frac{2}{3}:3frac{1}{3} = frac{{20}}{3}:frac{{10}}{3} = frac{{20}}{3} cdot frac{3}{{10}} = frac{{mathop {overline {20} }limits^2 cdot mathop {overline 3 }limits^1 }}{{mathop {underline 3 }limits_1 cdot mathop {underline {10} }limits_1 }} = frac{{2 cdot 1}}{{1 cdot 1}} = 2.]$

Примеры деления смешанного числа и обыкновенной дроби:

$[1)2frac{7}{9}:frac{{10}}{{21}} = frac{{25}}{9}:frac{{10}}{{21}} = frac{{25}}{9} cdot frac{{21}}{{10}} = frac{{mathop {overline {25} }limits^5 cdot mathop {overline {21} }limits^7 }}{{mathop {underline 9 }limits_3 cdot mathop {underline {10} }limits_2 }} = frac{{5 cdot 7}}{{3 cdot 2}} = frac{{35}}{6} = 5frac{5}{6};]$

$[2)frac{{12}}{{49}}:2frac{5}{{14}} = frac{{12}}{{49}}:frac{{33}}{{14}} = frac{{12}}{{49}} cdot frac{{14}}{{33}} = frac{{mathop {overline {12} }limits^4 cdot mathop {overline {14} }limits^2 }}{{mathop {underline {49} }limits_7 cdot mathop {underline {33} }limits_{11} }} = frac{{4 cdot 2}}{{7 cdot 11}} = frac{8}{{77}}.]$

В следующий раз рассмотрим все правила, касающиеся деления десятичных дробей.

Источник