Как найти делители отрицательного числа

Нахождение нод отрицательных чисел

Если
одно, несколько или все числа, наибольший
делитель которых нужно найти, являются
отрицательными числами, то их НОД равен
наибольшему общему делителю модулей
этих чисел. Это связано с тем,
что противоположные
числа a и −a имеют
одинаковые делители, о чем мы говорили
при изучении свойств делимости.

Пример.

Найдите
НОД отрицательных целых чисел −231 и −140.

Решение.

Модуль
числа −231 равен 231,
а модуль числа −140 равен 140,
иНОД(−231,
−140)=НОД(231, 140).
Алгоритм Евклида дает нам следующие
равенства:231=140·1+91; 140=91·1+49; 91=49·1+42; 49=42·1+7 и 42=7·6.
Следовательно,НОД(231,
140)=7.
Тогда искомый наибольший общий делитель
отрицательных чисел−231 и −140 равен 7.

Ответ:

НОД(−231,
−140)=7.

Пример.

Определите
НОД трех чисел −585, 81 и −189.

Решение.

При
нахождении наибольшего общего делителя
отрицательные числа можно заменить их
абсолютными величинами, то есть, НОД(−585,
81, −189)=НОД(585, 81, 189).
Разложения чисел 585, 81 и 189 на
простые множители имеют соответственно
вид585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7.
Общими простыми множителями этих трех
чисел являются 3 и 3.
Тогда НОД(585,
81, 189)=3·3=9,
следовательно,НОД(−585,
81, −189)=9.

Ответ:

НОД(−585,
81, −189)=9.

1. Корені
   многочлена. Теорема Безу. (33 и выше)

2. Кратні
   корені, критерій кратності кореня.

Кратные корни многочленов

Определение
1. Если
в разложении многочлена -степени

,

некоторые
множители окажутся одинаковыми, то

,

то -называется
корнем кратности,-кратностии
т.д.

 Теорема
1. Если а является корнем
многочлена кратности,
то для производнойэто
число является корнем кратности.

Доказательство. Пусть

,

где не
обращается в 0 при.

,

т.е. является
корнем кратности.

Следствие. Число а является
корнем кратности для,…,
корнем кратности 1 для.

1. Відділення
   кратних коренів.

Метод Штурма отделения корней многочлена

Рассмотрим
пример отделения корней многочлена по
методу Штурма на примере многочлена.
Для
применения этого метода к
многочлену требуется
составить систему Штурма .
Замечание:
многочлен должен
иметь действительные коэффициенты и
не иметь кратных корней.
Правило
построение системы Штурма:
1)
2)
Если известны и ,
то будет
равен остатку от деления на ,
взятым с обратным знаком:
.
Замечание:
В процессе деления, в отличии от алгоритма
Евклида, остаток можно умножать лишь
на произвольное положительное число
(для того, чтобы коэффициент при старшей
степени был целым или просто удобным),
т.к. знак остатка принципиально
важен.
Составим систему Штурма для
заданного многочлена
1) 
2)
Умножаем
остаток на 4 и берем его с противоположным
знаком.
Получим 
3)
Домножим
на 25, поменяем знак и получим: 
4)
Домножим
остаток на
обратную величину, поменяем знак и
получим: 
Получили
систему Штурма:
Определим
знаки этих многочленов при и
при .
Конечно, вычислять тут ничего не нужно,
достаточно посмотреть только на
коэффициенты при старших степенях и на
сами эти степени. Например:
И
т.д. Занесем результаты выводов в таблицу:

Вывод:
Многочлен имеет ровно действительных
корня.
Локализуем их. Для этого продолжим
таблицы, выбрав «на глазок» точки для
проверки знаков многочленов системы.
Первую точку нужно взять такой, чтобы
набор плюсов и минусов был одинаков
с ,
а последующие выгодны такие, при которых
количество перемен знаков изменяется,
причем таких перемен должно быть ровно
столько, сколько корней имеет многочлен.

Замечание:
повезло, т.к. при получаем ,
т.е. —
корень многочлена. Мы не только
локализовали, но определили его точное
значение. Заметим, что количество перемен
знаков уменьшается на 2, т.е. на этом
интервале есть один корень, он дает одно
изменение, и корень в этой точке дает
еще одну перемену. Но продолжим.

Вывод:
Про корни можно сказать: 
При
помощи компьютерных технологий можно
построить график функции и
убедиться в правильности рассуждений.

1. Розклад
   многочлена по степенях
   .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Деление отрицательных чисел

Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел: по заданному произведению и одному из множителей находят второй множитель.

Например, разделить -18 на -2 – это значит найти такое число х, что -2*х = -18. Сначала найдем знак числа х. Так как при умножении -2 на х получилось отрицательное число -18, то множители -2 и х должны иметь разные знаки. Поэтому х – положительное число. Теперь найдем модуль числа х.

Так как модуль произведения равен произведению модулей множителей, то |-18|=|-2|*x .

Отсюда |x| = |-18| : |-2|. Но так как х – положительное число, то |x| = x.

Значит, х = 9.

Пишут так: (-18) : (-2) = |-18| ∶ |-2| = 18 : 2 = 9, или короче (-18) : (-2) = 18 : 2 = 9.

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Примеры:

-4,5 : (-1,5) = 4,5 : 1,5 = 3.

-77 : (-11) = 77 : 11 = 7.

-36-12=3612=3.

Разделить -24 на 4 – это значит найти такое число х, что 4*х = -24. При умножении 4 на х получилось отрицательное число -24, значит множители 4 и х должны иметь разные знаки. Поэтому х – отрицательное число. При этом должно выполняться равенство |4| * |x| = |-24|.

Отсюда |x| = |-24| ∶ |4| = 24:4 = 6.

Значит, х – отрицательное число с модулем 6, т.е. х = -6.

Итак, -24:4 = -6.

Рассуждая таким же образом, получим 24 : (-4) = -6.

При делении чисел с разными знаками, надо:

1. Разделить модуль делимого на модуль делителя.
2. Поставить перед полученным числом знак » – «.

Примеры:

-16 : 8 = -(16 : = -2.

-363=-363=-12.

45-5=-455=-9.

При делении чисел с разными знаками обычно вначале определяюти записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного.

Например, 3,6 : (-3) = -(3,6 : 3) = -1,2

При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль.

Например, 0:(-8)=0;0-3=0.

Делить на нуль нельзя!

Частное, в которое входят отрицательные числа, читают так:

-54:(-2,7)– частное минус пятидесяти четырех и минус двух целых семи десятых.

Или: минус пятьдесят четыре разделить на две целых семь десятых.

(-6m):(-3m) – частное минус шесть эм и минус трех эм.

Или: минус шесть эм разделить на минус три эм.

Равенство, содержащее отрицательные числа, читают так:

-27x=-411 – минус две седьмых икс равны минус четырем одиннадцатым.

Примеры. Решим уравнения

1) -х*4=-100          2)        35 х=-910

-(х*4)=-100                      х=-(910:35)

Х=-100:(-4)                      х=-(910*53)

Х=100:4=25.                      Х=-32=-112.

Если m – ненулевое целое число и n делится на m, то тогда существует целое число k равное n/m.

Делителями могут быть все целые числа (как отрицательные, так и положительные).

Чтобы определить делители числа, необходимо применять признаки делимости, рассмотрим основные из них.

Признаки делимости

Признаки делимости на 2

Если число делится на 2, то такое число называется – четным, в противном случае – нечетным.
Если последняя цифра в числе четная или ноль, то такое число делится на два, например, 20, 44, 100 и т.д.

Признаки делимости на 3

Число делится на три, если сумма его чисел делится на три.
Например, число 249 делится на 3, так как 2 + 4 + 9 = 15, а число 15 делится на 3.

Признаки делимости на 4

Число делится на 4, если две последние цифры этого числа нули, либо две последние цифры являются числом делящимся на 4.
Например, число 1200 делится на 4, так как две последние цифры этого числа – ноли. Число 1312 делится на 4, так как две его последние цифры являются числом 12 и число 12 делится на 4.

Признаки делимости на 5

Если последняя цифра числа 0 или 5, то такое число делится на 5.
Например, числа 20, 15, 25, 100 делятся на 5.

Признаки делимости на 6

Если число одновременно делится и на 2 и на 3, то такое число делится на 6.
Например, число 12 делится на 6, так как 12 делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 7

Если результат вычитания из числа последней цифры умноженной на 2 делится на 7 или равен 0, то такое число делится на 7.

Например, число 798 делится на 7, так как 79 – 8*2 = 63, а число 63 делится на 7.
Число 77 делится на 7, так как 77 – 7*2 = 63, а число 63 делится на 7.

Признаки делимости на 8

Число делится на 8, если три последние цифры этого числа нули, либо три последние цифры являются числом, делящимся на 8.

Например, число 17000 делится на 8, так как три последние цифры этого числа – ноли.
Число 4240 делится на 8, так как три его последние цифры являются числом 240, а число 240 делится на 8.

Признаки делимости на 9

Число делится на девять, если сумма его цифр делится на девять.

Например, число 567 делится на 9, так как 5 + 6 + 7 = 18, а число 18 делится на 9.

Остаток от деления отрицательных чисел

Пятница, 28 октября, 2016

В этой статье я расскажу о том, как правильно находить остаток от деления отрицательных чисел. Этой теме, к сожалению, уделяется очень мало внимания в школе, хотя для понимания учеником базовых основ математики она чрезвычайно важна. Именно поэтому, как репетитор по математике, на своих занятиях я разбираю это материал с учениками во всех подробностях. Это значительно упрощает дальнейшую подготовку к ЕГЭ, ОГЭ, вступительным экзаменам и олимпиадам по математике.

Итак, приступим. Чтобы разделить друг на друга два целых числа с остатком, нужно воспользоваться следующей теоремой:

Здесь — делимое, — делитель, — неполное частное, — остаток. Сразу обращаем внимание, что остаток — это неотрицательное число. Понятно, что условие возникает потому, что деление на нуль невозможно.

Звучит довольно сложно, но на самом деле в этой теореме нет ничего сложного. Чтобы во всём разобраться, перейдём к примерам.

Примеры нахождения остатка от деления отрицательных чисел

Пример 1. Деление с остатком положительного целого числа на положительное целое число.

Допустим, что требуется разделить с остатком 27 на 4. Вопрос состоит в том, сколько раз число 4 содержится в числе 27? Но мы знаем, что нет такого целого числа, на которое можно умножить 4, чтобы получить 27. Поэтому вопрос нужно переформулировать. На какое число нужно умножить 4, чтобы получить число, максимально близкое к 27, но не превзойти его? Очевидно, что это число 6. Если 4 умножить на 6, то получится 24. До исходного делимого 27 не хватает 3. Следовательно, остаток от деления 27 на 4 составляет 3:

ост. .

Пример 2. Деление с остатком отрицательного целого числа на положительное целое число.

Что если требуется найти остаток от деления отрицательного целого числа -15 на положительное целое число 4? Начнём с того, что неполное частное должно получиться отрицательным, поскольку при делении отрицательного числа на положительное, результат получается отрицательным. Кто-нибудь может предположить, что неполное частное в данном случае должно быть равно -3. Но в этом случае, умножив -3 на 4, мы получим -12. И чтобы получить исходное делимое -15, нужно к результату -12 прибавить число -3, которое не может быть остатком, потому что остаток не может быть отрицательным!

Поэтому в данном случае неполное частное равно -4. В этом случае, умножая -4 на делитель 4, мы получаем -16. И теперь, чтобы получить исходное делимое -15, нужно к этому результату прибавить число 1. Оно неотрицательно и меньше модуля делителя (то есть 4). То есть оно и является остатком:

ост. .

Пример 3. Деление положительного целого числа на отрицательное целое число.

Рассмотрим теперь пример деления с остатком положительного целого числа 113 на отрицательное целое число -3. Неполное частное, как и в предыдущем примере, должно быть отрицательным, потому что при делении положительного числа на отрицательное, результат отрицателен. Давайте думать, чему конкретно равно неполное частное. Очевидно, что оно равно -37. Действительно, при умножении -37 на -3 получается 111. Теперь, чтобы получить исходное делимое, нужно прибавить к этому результату число 2, которое неотрицательно и меньше модуля делителя (то есть модуля -3, что равно 3). Итак, наш ответ:

ост. .

Пример 4. Деление с остатком отрицательного целого числа на отрицательное целое число.

Ну и последний пример. Отрицательное целое число -15 требуется поделить с остатком на отрицательное целое число -7. Неполное частное должно быть положительно по знаку, потому что при делении отрицательных чисел результат получается положительным. И оно равно 3. Действительно, умножая 3 на -7, получаем -21. Теперь к этому числу нужно прибавить положительное и меньшее модуля -7 (то есть 7) число 6, чтобы получить наше исходное делимое -15. Следовательно, остаток от деления отрицательных чисел -15 на -7 равен:

ост. .

Проверьте, насколько хорошо вы поняли этот урок. Найдите самостоятельно остаток от деления отрицательных чисел:

а) -16 на 7;

б) 8 на -9;

в) -114 на -4.

Свои ответы пишите в комментариях, я их проверю.

Материал подготовил репетитор по математике и физике по скайпу, Сергей Валерьевич

Деление отрицательных. Как делить два отрицательных числа. Как разделить, если одно число отрицательное. И разделим отрицательные числа на калькуляторе!

Для деления отрицательных чисел существует только два пункта правил!

О делении отрицательных.

1. Правило деления отрицательных чисел.
2. Как разделить отрицательные числа.
3. Как разделить отрицательное на положительное.
4. Как разделить отрицательные числа на калькуляторе.
5. Как разделить отрицательное на положительное на калькуляторе.

Правило деления отрицательных чисел.

Правила деления отрицательных аналогично умножению, только отличие в знаке.

1). Когда делимое и делить отрицательные

Первый пункт правил деления отрицательных чисел звучит так : «если делимое

a

и делитель

b

» отрицательные, то минус на минус дает плюс, т.е. результат(частное с) будет положительным:

(-a) : (-b) = a : b = с

2). Когда при делении только одно число отрицательное

Второй пункт правил деления отрицательных чисел звучит так : «если, либо делимое

a

, либо делитель

b

» отрицательные, то частное будет отрицательным (-с):

(-a) : b = -(a : b) = -с

Как разделить отрицательные числа.

Рассмотрим первый пункт правил деления отрицательных
(-a) : (-b) = a : b = с

Заменяем наши буквы на числа и получим пример деления отрицательных чисел.

(-15) : (-12) = 15 : 12 = 1.25
Проверяем на калькуляторе.


Как разделить отрицательные числа на калькуляторе.

Рассмотрим второй пункт правил деления отрицательных
(-a) : b = -(a : b) = -с

Как и в предыдущем пункте заменяем буквенные значения на числовые.

(-15) : 12 = -(15 : 12) = -1.25
Проверяем на калькуляторе.


Как разделить отрицательные числа на калькуляторе.

Следующим пунктом, мы разделим два отрицательных числа на калькуляторе

Набираем делимое 12.

Меняем знак на отрицательный, кнопкой плюс/минус -«±».

Нажимаем делить : «/»



Набираем делитель : 15.

Меняем знак на отрицательный, кнопкой плюс/минус : «±».

Нажимаем равно «=».



Получаем результат деления двух отрицательных чисел.



Как разделить отрицательное на положительное на калькуляторе.

Делим отрицательные на калькуляторе, когда только одно число отрицательное:

(-15) : 12

Набираем делимое 12.

Меняем знак на отрицательный, кнопкой плюс/минус -«±».

Нажимаем делить : «/»



Набираем делитель : 15.

Нажимаем равно «=».



Получаем результат деления двух отрицательных чисел, когда лишь одно число отрицательное.

Не благодарите, но ссылкой можете поделиться!

COMMENTS+

 
BBcode