Как найти дельта по графику

Mathematicians are fond of Greek letters, and they use the capital letter delta, which looks like a triangle (∆), to symbolize change. When it comes to a pair of numbers, delta signifies the difference between them. You arrive at this difference by using basic arithmetic and subtracting the smaller number from the larger one. In some cases, the numbers are in chronological order or some other ordered sequence, and you may have to subtract the larger one from the smaller one to preserve the order. This might result in a negative number.

Absolute Delta

If you have a random pair of numbers and you want to know the delta – or difference – between them, just subtract the smaller one from the larger one. For example, the delta between 3 and 6 is (6 — 3) = 3.

If one of the numbers is negative, add the two numbers together. The operation looks like this: (6 — {-3}) = (6 + 3) = 9. It’s easy to understand why delta is bigger in this case if you visualize the two numbers on the x-axis of a graph. The number 6 is 6 units to the right of the axis, but negative 3 is 3 units to the left. In other words, it’s farther from the 6 than positive 3, which is to the right of the axis.

You need to remember some of your grade school arithmetic to find the delta between a pair of fractions. For example, to find the delta between 1/3 and 1/2, you must first find a common denominator. To do this, multiply the denominators together, then multiply the numerator in each fraction by the denominator of the other fraction. In this case, it looks like this: 1/3 x 2/2 = 2/6 and 1/2 x 3/3 = 3/6. Subtract 2/6 from 3/6 to arrive at the delta, which is 1/6.

Relative Delta

A relative delta compares the difference between two numbers, A and B, as a percentage of one of the numbers. The basic formula is A — B/A x100. For example, if you make $10,000 a year and donate $500 to charity, the relative delta in your salary is 10,000 — 500/10,000 x 100 = 95%. This means you donated 5 percent of your salary, and you still have 95 percent of it left. If you earn $100,000 a year and make the same donation, you’ve kept 99.5 percent of your salary and donated only 0.5 percent of it to charity, which doesn’t sound quite as impressive at tax time.

From Delta to Differential

You can represent any point on a two-dimensional graph by a pair of numbers that denote the distance of the point from the intersection of the axes in the x (horizontal) and y (vertical) directions. Suppose you have two points on the graph called point 1 and point 2, and that point 2 is farther from the intersection than point 1. The delta between the x values of these points – ∆ x – is given by (x₂ — x₁), and ∆ y for this pair of points is (y₂ — y₁). When you divide ∆y by ∆x, you get the slope of the graph between the points, which tells you how fast x and y are changing wth respect to each other.

The slope provides useful information. For example, if you plot time along the x-axis and measure the position of an object as it travels through space on the y-axis, the slope of the graph tells you the average speed of the object between those two measurements.

Speed may not be constant, though, and you may want to know the speed at a particular point in time. Differential calculus provides a conceptual trick that allows you to do this. The trick is to imagine two points on the x-axis and allow them to get infinitely close together. The ratio of ∆y to ∆x – ∆y/∆x – as ∆x approaches 0 is called the derivative. It’s usually expressed as dy/dx or as df/dx, where f is the algebraic function that describes the graph. On a graph on which time (t) is mapped on the horizontal axis, «dx» becomes «dt,» and the derivative, dy/dt (or df/dt), is a measure of instantaneous speed.

Математики любят греческие буквы и используют дельту заглавной буквы, которая выглядит как треугольник (∆), чтобы символизировать изменение. Когда дело доходит до пары чисел, дельта обозначает разницу между ними. Вы получаете эту разницу, используя основную арифметику и вычитая меньшее число из большего. В некоторых случаях числа располагаются в хронологическом порядке или в некоторой другой упорядоченной последовательности, и вам, возможно, придется вычесть большее из меньшего, чтобы сохранить порядок. Это может привести к отрицательному числу.

Абсолютная Дельта

Если у вас есть случайная пара чисел, и вы хотите узнать дельту — или разницу — между ними, просто вычтите меньшее из большего. Например, дельта между 3 и 6 составляет (6 — 3) = 3.

Если одно из чисел отрицательно, сложите два числа вместе. Операция выглядит следующим образом: (6 — {-3}) = (6 + 3) = 9. Легко понять, почему в этом случае дельта больше, если вы визуализируете два числа на оси x графика. Число 6 равно 6 единицам справа от оси, но отрицательное значение 3 равно 3 единицам слева. Другими словами, он дальше от 6, чем от положительного 3, который находится справа от оси.

Вам нужно запомнить некоторую арифметику вашей начальной школы, чтобы найти дельту между парой дробей. Например, чтобы найти дельту между 1/3 и 1/2, вы должны сначала найти общий знаменатель. Для этого умножьте знаменатели вместе, а затем умножьте числитель в каждой дроби на знаменатель другой дроби. В этом случае это выглядит так: 1/3 x 2/2 = 2/6 и 1/2 x 3/3 = 3/6. Вычтите 2/6 из 3/6, чтобы получить дельту, которая составляет 1/6.

Относительная дельта

Относительная дельта сравнивает разницу между двумя числами, A и B, в процентах от одного из чисел. Базовая формула A — B / A x100. Например, если вы зарабатываете 10 000 долларов в год и жертвуете 500 долларов на благотворительность, относительная дельта вашей зарплаты составляет 10 000 — 500/10 000 x 100 = 95%. Это означает, что вы пожертвовали 5 процентов своей зарплаты, а у вас осталось 95 процентов. Если вы зарабатываете 100 000 долларов в год и делаете то же самое пожертвование, вы сохранили 99, 5% своей зарплаты и пожертвовали только 0, 5% на благотворительность, что не очень впечатляет в момент налогообложения.

От дельты к дифференциалу

Вы можете представить любую точку на двумерном графике парой чисел, которые обозначают расстояние от точки до пересечения осей в направлениях x (горизонтальное) и y (вертикальное). Предположим, у вас есть две точки на графике, называемые точкой 1 и точкой 2, и эта точка 2 находится дальше от пересечения, чем точка 1. Дельта между значениями x этих точек — ∆ x — определяется как (x ₂ — x ₁), и y для этой пары точек равно (y ₂ — y ₁). Когда вы делите ∆y на ∆x, вы получаете наклон графика между точками, который говорит вам, как быстро x и y изменяются относительно друг друга.

Склон предоставляет полезную информацию. Например, если вы наносите время вдоль оси x и измеряете положение объекта при его перемещении в пространстве по оси Y, наклон графика показывает среднюю скорость объекта между этими двумя измерениями.

Скорость может быть не постоянной, и вы можете узнать скорость в определенный момент времени. Дифференциальное исчисление обеспечивает концептуальный трюк, который позволяет вам сделать это. Хитрость заключается в том, чтобы представить две точки на оси х и позволить им бесконечно сближаться. Отношение ∆y к ∆x — ∆y / ∆x — при приближении ∆x к 0 называется производной. Обычно это выражается как dy / dx или как df / dx, где f — алгебраическая функция, которая описывает граф. На графике, на котором время (t) отображается на горизонтальной оси, «dx» становится «dt», а производная dy / dt (или df / dt) является мерой мгновенной скорости.

Как рассчитать дельту

Четвертой буквой греческого алфавита, «дельтой», в науке принято называть изменение какой-либо величины, погрешность, приращение. Записывается этот знак различными способами: чаще всего в виде небольшого треугольника Δ перед буквенным обозначением величины. Но иногда можно встретить и такое написание δ, либо латинской строчной буквой d, реже латинской прописной — D.

Инструкция

Для нахождения изменения какой-либо величины вычислите или измерьте ее начальное значение (x1).

Вычислите или измерьте конечное значение этой же величины (x2).

Найдите изменение данной величины по формуле: Δx=x2-x1. Например: начальное значение напряжения электрической сети U1=220В, конечное значение — U2=120В. Изменение напряжения (или дельта напряжения) будет равно ΔU=U2–U1=220В-120В=100В

Для нахождения абсолютной погрешности измерения определите точное или, как его иногда называют, истинное значение какой-либо величины (x0).

Возьмите приближенное (при измерении – измеренное) значение этой же величины (x).

Найдите абсолютную погрешность измерения по формуле: Δx=|x-x0|. Например: точное число жителей города — 8253 жителя (х0=8253), при округлении этого числа до 8300 (приближенное значение х=8300). Абсолютная погрешность (или дельта икс) будет равна Δx=|8300-8253|=47, а при округлении до 8200 (х=8200), абсолютная погрешность — Δx=|8200-8253|=53. Таким образом, округление до числа 8300 будет более точным.

Для сравнения значений функции F(х) в строго фиксированной точке х0 со значениями этой же функции в любой другой точке х, лежащей в окрестностях х0, используются понятия «приращение функции» (ΔF) и «приращение аргумента функции» (Δx). Иногда Δx называют «приращением независимой переменной». Найдите приращение аргумента по формуле Δx=x-x0.

Определите значения функции в точках х0 и х и обозначьте их соответственно F(х0) и F(х).

Вычислите приращение функции: ΔF= F(х)- F(х0). Например: необходимо найти приращение аргумента и приращение функции F(х)=х˄2+1 при изменении аргумента от 2 до 3. В этом случае х0 равно 2, а х=3.
Приращение аргумента (или дельта икс) будет Δx=3-2=1.
F(х0)= х0˄2+1= 2˄2+1=5.
F(х)= х˄2+1= 3˄2+1=10.
Приращение функции (или дельта эф) ΔF= F(х)- F(х0)=10-5=5

Обратите внимание

Вычитать нужно не из большего числа меньшее, а из конечного значения (не важно: больше оно или меньше) начальное!

Полезный совет

При нахождении Δ все значения используйте только в одинаковых единицах измерения.

Источники:

• Справочник по математике для средних учебных заведений, А.Г. Цыпкин, 1983

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина вектора перемещения равна пройденному точкой пути:

[left|Delta overlineright|=Delta s left(6right).]

Длину вектора перемещения (как и любого вектора) можно обозначать как $left|Delta overlineright|$ или просто $Delta r$ (без указания стрелки).

Если тело совершает несколько перемещений, то их можно складывать по правилам сложения векторов:

Если направление движения тела изменяется, то модуль вектора перемещения не равен пройденному телом пути.

Примеры задач на путь и перемещение

Задание: Мяч бросили вертикально вверх от поверхности Земли. Он долетел до высоты 20 м. и упал на Землю. Чему равен путь, который прошел мяч, каков модуль перемещения?

Решение: Сделаем рисунок.

В нашей задаче мяч движется прямолинейно сначала вверх, затем вниз. Так как путь — длина траектории, то получается, что мяч дважды прошел расстояние h, следовательно:

Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальную точку и конечную при движении тела, но тело начало движение из той же точки, в которую вернулось, следовательно, перемещение мяча равно нулю:

Ответ: $ Путь Delta s=2h$. Перемещение $Delta r=0$

Задание: В начальный момент времени тело находилось в точке с координатами $(x_0=3;; y_0=1)$(см). Через некоторый промежуток времени оно переместилось в точку координаты которой ($x=2;;y=4$) (см). Каковы проекции вектора перемещения на оси X и Y?

Решение: Сделаем рисунок.

Радиус — вектор начальной точки запишем как:

Радиус — вектор конечной точки имеет вид:

Вектор перемещения представим как:

Из формулы видим, что:

[Delta r_x=-1;;Delta r_y=3. ]

Ответ: $Delta r_x=-1;;Delta r_y=3 $

Дельта-вектор в сверточных алгебрах

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС(ОмИИТ))

ДЕЛЬТА-ВЕКТОР В СВЕРТОЧНЫХ АЛГЕБРАХ

В математике и физике уже долгое время используется понятие дельта-функции. Это очень удобный математический объект, позволяющий эффективно решать большой круг научных задач. К сожалению, при работе с дельта-функцией возникают и серьезные проблемы. Например, нельзя перемножать дельта-функции. Дифференцирование дельта-функций также приводит к весьма неоднозначным результатам. Иногда применение дельта-функции является причиной появления нескольких взаимоисключающих решений для одной задачи.

В данной статье дельта-функция рассматривается немного под другим углом — это ни есть раз и навсегда заданная функция. Существуют пространства векторов, среди которых возможно найти вектор, обладающий всеми свойствами дельта-функции по отношению к векторам своего пространства.

Предположим, что задано пространство Гильберта . Пусть , и — произвольные вектора пространства , являющиеся действительными функциями переменной , принадлежащей некому множеству .

,

где . При этом, если — любой вектор пространства , то и , при любом .

Следовательно, на множестве задано также и скалярное произведение двух векторов [1]:

. (1)

Определим на базе скалярного произведения (1) двух произвольных векторов пространства Гильберта понятие свертки:

Определение 1: сверткой двух произвольных векторов пространства Гильберта является третий вектор этого же пространства, получаемый из следующего соотношения:

. (2)

Докажем для свертки свойство коммутативности.

Лемма 1. В отношении свертки двух произвольных векторов пространства Гильберта истинны следующие соотношения:

.

.

С учетом подстановки и имеем:

.

Что и требовалось доказать.

На базе введенного понятия свертки (2) определяем дельта-вектор пространства Гильберта.

Определение 2: дельта-вектором пространства Гильберта , на котором определена свертка, называется такой вектор , в отношении которого выполняется условие:

, (3)

где – любой вектор пространства .

Теорема 1. Если в пространстве Гильберта, в котором определен ортогональный базис и свертка, существует дельта-вектор, то этот вектор единственный и может быть вычислен по следующей формуле:

.

Доказательство. Пусть — произвольный вектор пространства Гильберта. Имеем по определению дельта-вектора (3):

. (4)

Разложим вектора и по базису :

,

где и — коэффициенты разложения. С учетом равенства Парсеваля формула (4) преобразуется следующим образом:

.

Разложим по базису и получим следующее:

, (5)

так как — любой вектор, то коэффициенты — могут быть любыми, кроме того они независимы. Следовательно, равенство (5) может быть истинно только при условии

.

И так, любой вектор раскладывается единственным образом в любом базисе:

,

а вектор соответственно:

.

Что и требовалось доказать.

Докажем некоторые свойства дельта-вектора пространства Гильберта.

Лемма 2: квадрат нормы (или энергия) дельта-вектора пространства Гильберта всегда равен .

.

.

Вводим подстановку: , :

.

используем свойство коммутативности свертки:

.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим другое важное свойство дельта-вектора – четность (симметричность). Для доказательства этого сначала докажем такое интересное свойство свертки:

Лемма 4: для любого произвольного и истинно следующее соотношение:

.

Для доказательства в формулу:

введем подстановку: ,

.

Исходя из определения дельта-вектора получаем:

.

Что и требовалось доказать.

Теперь можно доказать четность дельта-вектора.

Лемма 5: для любого произвольного истинно соотношение:

.

Как следствие Леммы 4, истинны утверждения, что

.

Но из определения скалярного произведения:

.

.

Что и требовалось доказать.

Введем в рассматриваемое пространство понятие единичного вектора.

Определение 3: Единичным вектором будем считать такой вектор, для которого справедливо соотношение:

.

Очевидно, что в рассматриваемом пространстве действительных функций, единичный вектор является действительной функцией . Для дальнейшего описания свойств дельта-вектора введем понятие площади вектора.

Определение 4: площадью вектора пространства Гильберта, если в нем определен единичный вектор является действительное число , определяемое следующим соотношением:

. (6)

Докажем следующее свойство дельта-векотра.

Лемма 6. Площадь дельта-вектора всегда равна 1.

Найдем площадь дельта-вектора в соответствии с формулой (6):

.

Что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим интерполяционные возможности дельта-вектора. Для этого предположим, что у нас имеется набор из «смещенных» по оси функций вида . Предположим, что функции образуют полный ортогональный базис. В этом случае, по этим функциям возможно разложить любой вектор пространства .

Теорема 2. Если в пространстве Гильберта возможно задать полный ортогональный базис размерности состоящий из функций вида , то любой вектор этого пространства может быть однозначно восстановлен по своим значениям в точках .

Так как, функции образуют полный ортогональный базис, то вектор возможно разложить по этому базису:

, (7)

где – размерность базиса рассматриваемого пространства; – интервал значений . Остается только найти коэффициенты разложения по данному базису:

.

Таким образом, формула (7) принимает вид:

. (8)

Это означает, что имея только отсчеты вектора в точках возможно полностью восстановить весь вектор. Что и требовалось доказать.

Приведем пример пространства, в котором существует дельта-вектор. Таким пространством является множество всех функций со спектром, ограниченным отрезком . Скалярным произведением векторов и этого пространства выберем следующее известное соотношение [2]:

.

Исходя из формулы (4) получим, что для дельта-вектора данного пространства справедливо соотношение:

,

где — любой вектор рассматриваемого пространства. Данное соотношение – это классическая свертка двух функций и . Сразу оговоримся, что классическая дельта-функция Дирака в данном случае дельта-вектором выступать не может, так как ее спектр не ограничен интервалом и, следовательно, она не является вектором нашего пространства. Необходимо искать дельта вектор среди функций с ограниченным спектром.

Как известно из теории [2], классическая свертка во временной области соответствует перемножению спектров функций в спектральной области. Подберем такую функцию , спектр которой в отношении спектра любой функции рассматриваемого пространства обладает свойством:

.

.

А таким спектром обладает функция:

. (9)

Известно, что смещенные по оси времени на интервалы функции вида (9) образуют полный ортогональный базис. Учитывая, что , а , формула (8) приобретает вид широко известной интерполяционной формулы Котельникова [3]:

,

где .

В заключении приведем основные результаты, полученные в данной работе.

1. Дельта-функция Дирака не является уникальным математическим объектом. Существуют пространства Гильберта, в которых имеется вектор, обладающий свойствами дельта-функции в отношении всех векторов своего пространства.

2. Площадь дельта-вектора равна 1.

3. Квадрат нормы (энергия) дельта-вектора равна значению этого вектора в точке 0.

4. Если в пространстве Гильберта, в котором определен ортогональный базис и свертка, существует дельта-вектор, то этот вектор единственный и может быть стандартно вычислен из любого базиса этого пространства.

5. Дельта-вектор обладает свойством симметрии.

6. В пространстве функций, ограниченных по Котельникову существует дельта-вектор, определяемый формулой:

.

1. Элементарное введение в абстрактную алгебру: М.:Мир, 1979.

2. Кудрявцев математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: Высш. школа, 1981.

3. Романюк цифровой обработки сигналов. М.:МФТИ, 2005.