Как найти дельта в эконометрике

До сих пор мы умели строить доверительные интервалы для отдельных параметров и их линейных комбинаций. Например, для (beta _1) или суммы (beta _1+5beta _2).

Иногда нужно построить доверительный интервал для нелинейного по параметрам выражения. Например, в полиномиальной модели (y_i=beta _1+beta _2x_i+beta _3x_i^2+varepsilon _i) нам может быть интересен доверительный интервал для вершины параболы, то есть для (frac{-beta _2}{2beta _3}).

Асимптотическая теория позволяет решить эту задачу при помощи так называемого дельта-метода¹. Опишем его.

Пусть у нас есть некоторая состоятельная и асимптотически нормальная оценка параметра, то есть:

(sqrt nleft(widehat {beta }-beta right)underset{rightarrow }{d}xi ,) где (xi Nleft(0,mathit{var}left(xi right)right).)

Или, иными словами, величина (widehat {beta }) имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием (beta ) и дисперсией (frac{vmathit{ar}left(xi right)} n).

Какое распределение имеет функция от этой оценки (gleft(widehat {beta }right))?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки (x_0):

begin{equation*} fleft(xright)=fleft(x_0right)+f’left(x_0right)left(x-x_0right)+oleft(xright),text{ }text{ }xrightarrow x_0 end{equation*}

Применим это разложение к функции от нашей оценки параметра:

begin{equation*} gleft(widehat {beta }right)=gleft(beta right)+g’left(beta right)left(widehat {beta }-beta right)+o(widehat {beta }) end{equation*}

begin{equation*} gleft(widehat {beta }right)-gleft(beta right)=g’left(beta right)left(widehat {beta }-beta right)+o(widehat {beta }) end{equation*}

begin{equation*} sqrt nleft(gleft(widehat {beta }right)-gleft(beta right)right)=g’left(beta right)sqrt nleft(widehat {beta }-beta right)+sqrt nast o(widehat {beta }) end{equation*}

Так как (sqrt nleft(widehat {beta }-beta right)underset{rightarrow }{d}xi ,) где (xi N(0,sigma ^2)), то

begin{equation*} sqrt nleft(gleft(widehat {beta }right)-gleft(beta right)right)underset{rightarrow }{d}g’left(beta right)xi end{equation*}

По свойству дисперсии

begin{equation*} mathit{var}left(g’left(beta right)xi right)=left(g’left(beta right)right)^2ast mathit{var}left(xi right) end{equation*}

Следовательно,

begin{equation*} sqrt nleft(gleft(widehat {beta }right)-gleft(beta right)right)underset{rightarrow }{d}Nleft(0,g’left(beta right)^2ast mathit{var}left(xi right)right) end{equation*}

Поэтому случайная величина (gleft(widehat {beta }right)) будет иметь асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием (gleft(beta right)) и дисперсией (g’left(beta right)^2ast mathit{var}left(xi right)/n).

На практике величина (mathit{var}left(xi right)) неизвестна, но для целей построения асимптотического доверительного интервала можно заменить её оценкой.

Чтобы понять, как работает дельта-метод, рассмотрим модель парной регрессии (y_i=beta _1+beta _2x_i+varepsilon _i), для которой выполнены все предпосылки линейной модели со стохастическим регрессором из параграфа 6.2. Построим доверительный интервал для функции от оценки коэффициента при переменной (gleft(widehat {beta _2}right)).

В параграфе 6.4 мы доказали, что

begin{equation*} sqrt nleft(widehat {beta _2}-beta _2right)underset{rightarrow }{d}Nleft(0,frac{mathit{var}(left(x_i-mu _xright)varepsilon _i)}{left(mathit{var}left(x_iright)right)^2}right) end{equation*}

Следовательно, в обозначениях данного приложения:

begin{equation*} mathit{var}left(xi right)=frac{mathit{var}(left(x_i-mu _xright)varepsilon _i)}{left(mathit{var}left(x_iright)right)^2} end{equation*}

Таким образом, случайная величина (gleft(widehat {beta _2}right)) будет иметь асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием (gleft(beta _2right)) и дисперсией (g’frac{left(beta _2right)^2ast mathit{var}(left(x_i-mu _xright)varepsilon _i)}{left(mathit{var}left(x_iright)right)^2ast n}). Отметим, что дробь в последнем произведении — это просто дисперсия МНК-оценки коэффициента при переменной, так как в конце параграфа 6.4 мы доказали, что:

begin{equation*} mathit{var}left(widehat {beta _2}right)=frac{mathit{var}(left(x_i-mu _xright)varepsilon _i)}{left(mathit{var}left(x_iright)right)^2ast n}. end{equation*}

Поэтому случайная величина (gleft(widehat {beta _2}right)) будет иметь асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием (gleft(beta _2right)) и дисперсией (g’left(beta _2right)^2ast mathit{var}left(widehat {beta _2}right)).

Заменим в последнем выражении неизвестные случайные величины их оценками и получим оценку дисперсии (gleft(widehat {beta _2}right)), которая будет равна: (g’left(widehat {beta _2}right)^2ast mathit{var}left(widehat {beta _2}right)). Если извлечь из этой величины корень, то получим соответствующую стандартную ошибку:

begin{equation*} sqrt{g’left(widehat {beta _2}right)^2ast mathit{var}left(widehat {beta _2}right)}=g’left(widehat {beta _2}right)ast mathit{se}left(widehat {beta _2}right) end{equation*}

95-процентный асимптотический доверительный интервал для величины (gleft(beta _2right)) будет иметь вид:

begin{equation*} left(gleft(widehat {beta _2}right)-1,96ast g’left(widehat {beta _2}right)ast mathit{se}left(widehat {beta _2}right),gleft(widehat {beta _2}right)+1,96ast g’left(widehat {beta _2}right)ast mathit{se}left(widehat {beta _2}right)right). end{equation*}

Аналогичным образом могут быть построены доверительные интервалы и для коэффициентов в модели множественной регрессии.

Пример 6.6. Применение дельта-метода для парной регрессии

Оценка параметров модели при помощи МНК позволила получить следующие результаты:

begin{equation*} widehat y_i=underset{(0,2)}{2,3}+4,underset{(0,1)}{0}x_i end{equation*}

Постройте 95-процентный асимптотический доверительный интервал для величины (left(beta _2right)^3).

Решение:

begin{equation*} left(gleft(widehat {beta _2}right)-1,96ast g’left(widehat {beta _2}right)ast mathit{se}left(widehat {beta _2}right),gleft(widehat {beta _2}right)+1,96ast g’left(widehat {beta _2}right)ast mathit{se}left(widehat {beta _2}right)right) end{equation*}

begin{equation*} left(left(widehat {beta _2}right)^3-1,96ast 3ast left(widehat {beta _2}right)^2ast mathit{se}left(widehat {beta _2}right),left(widehat {beta _2}right)^3+1,96ast 3ast left(widehat {beta _2}right)^2ast mathit{se}left(widehat {beta _2}right)right) end{equation*}

begin{equation*} left(4^3-1,96ast 3ast 4^2ast 0,1,4^3+1,96ast 3ast 4^2ast 0,1right) end{equation*}

begin{equation*} left(54,6,73,4right) end{equation*}

***

Полученный нами результат может быть обобщен и на многомерный случай:

Теорема о дельта-методе.

Если

1. (sqrt nleft(widehat {beta }-beta right)underset{rightarrow }{d}xi ) (где (xi ) — случайный вектор),

2. (gleft(xright)) — вектор непрерывно дифференцируемых функций в окрестности точки (beta ),

то

begin{equation*} sqrt nleft(gleft(widehat {beta }right)-gleft(beta right)right)underset{rightarrow }{d}Gleft(beta right)^Txi , end{equation*}

(Gleft(xright)) — это матрица частных производных функций из вектора (gleft(xright)). Число строк в этой матрице равно длине вектора (widehat {beta }), а число столбцов — вектора (gleft(xright)).

В частности, если (xi Nleft(overrightarrow 0,Vright)), то

begin{equation*} sqrt nleft(gleft(widehat {beta }right)-gleft(beta right)right)underset{rightarrow }{d}Nleft(overrightarrow 0,Gleft(beta right)^Tmathit{VG}left(beta right)right) end{equation*}

Примечание: здесь значок T означает транспонирование.

1. В русскоязычной литературе он также иногда называется методом построения доверительного интервала со стабилизацией дисперсии. ↵

Теория по эконометрике

Коэффициент
эластичности модели парной регрессии.
Для многих эконометрических задач
требуется рассчитывать средний
коэффициент эластичности для сравнительной
оценки влияния независимой переменной
на зависимую в разных моделях парной
регрессии. Общая формула для определения
коэффициента эластичности:

где

—
производная от функциональной зависимости,
описывающей регрессию;

— выборочное среднее значение независимой
переменной;

— выборочное среднее значение зависимой
переменной.

Средний
коэффициент эластичности показывает,
на сколько процентов в среднем по
совокупности изменится результат у от
своего среднего значения при изменении
фактора х на 1 % от своего среднего
значения.

Для
сопоставления факторов по степени их
влияния на зависимую переменную
применяются частные коэффициенты
эластичности Δ и

— коэффициенты.

Частный
коэффициент эластичности рассчитывается
по соотношению:

.

Частный
коэффициент эластичности показывает,
на сколько процентов изменится зависимая
переменная y при изменении j-го фактора
на 1 %. Данный коэффициент не учитывает
степень колеблемости факторов. Для
этого рассчитываются

— коэффициенты:

,
где

,

.

—
коэффициент показывает, на какую часть
величины среднего квадратического
отклонения σ_y
изменится зависимая переменная Y с
изменением соответствующей независимой
переменной xj на величину своего среднего
квадратического отклонения при
фиксированном на постоянном уровне
значении остальных независимых
переменных.

Долю
влияния фактора в суммарном влиянии
всех факторов можно оценить по величине
дельта-коэффициента.

,
Где

— коэфф корреляции, оценивающий тесноту
взаимосвязи j-того
фактора x_j
с результатом y.

,
j=1,m

Стандартизованная
форма модели множественной регрессии.

Стандартизованные переменные

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #

  13.03.201631.43 Mб31Часть1.pdf

• #
• #
• #
• #
• #
• #