Как найти дельту эпсилон

Теоретический минимум

Понятие предела применительно к числовым последовательностям уже вводилось в теме «МА. Предел последовательности. Определение на языке «эпсилон-дельта».
Рекомендуется сначала ознакомиться с содержащимся там материалом.

Переходя к предмету этой темы, напомним понятие функции. Функция представляет собой очередной пример отображения. Мы будем рассматривать самый простой случай
вещественной функции одного вещественного аргумента (в чём заключается сложность других случаев — будет сказано позже). Функция в рамках этой темы понимается как
закон, по которому каждому элементу множества , на котором определена функция, ставится в соответствие один или несколько элементов
множества , называемого множеством значений функции. Если каждому элементу области определения функции ставится в соответствие один элемент
множества значений, то функция называется однозначной, в противном случае функция называется многозначной. Мы здесь будем говорить для простоты только об
однозначных функциях.

Сразу хотелось бы подчеркнуть принципиальное отличие функции от последовательности: существенно различны множества, связанные отображением в этих двух случаях.
Чтобы избежать необходимости использовать терминологию общей топологии, поясним различие с помощью неточных рассуждений. При обсуждении предела
последовательности мы говорили только об одном варианте: неограниченный рост номера элемента последовательности. При этом росте номера сами элементы
последовательности вели себя гораздо разнообразнее. Они могли «накапливаться» в малой окрестности некоторого числа; они могли неограниченно расти и т.п.
Грубо говоря, задание последовательности — задание функции на дискретной «области определения». Если же говорить о функции, определение которой дано
в начале темы, то понятие предела следует строить аккуратнее. Имеет смысл говорить о пределе функции при стремлении её аргумента к определённому значению .
Такая постановка вопроса не имела смысла применительно к последовательностям. Возникает необходимость внести некоторые уточнения. Все они связаны с тем,
как именно аргумент стремится к тому значению , о котором идёт речь.

Рассмотрим несколько примеров — пока что вскользь:


Эти функции позволят нам рассмотреть самые разные случаи. Приведём здесь же графики этих функций для большей наглядности изложения.

Функция в любой точке области определения имеет предел — это понятно интуитивно. Какую бы точку области определения мы ни взяли,
сразу можно сказать, к какому значению стремится функция, при стремлении аргумента к выбранному значению, причём предел будет конечным, если только аргумент
не стремится к бесконечности. График функции имеет излом. Это сказывается на свойствах функции в точке излома, но с точки зрения предела
эта точка ничем не выделена. Функция уже интереснее: в точке непонятно, какое значение предела приписать функции.
Если мы подходим к точке справа, то функция стремится к одному значению, если слева — функция стремится к другому значению. В предыдущих
примерах такого не было. Функция при стремлении к нулю хоть слева, хоть справа ведёт себя одинаково, стремясь к бесконечности —
в отличие от функции , которая при стремлении аргумента к нулю стремится к бесконечности, но знак бесконечности зависит от того, с какой
стороны мы подходим к нулю. Наконец, функция ведёт себя в нуле совершенно непонятно.

Формализуем понятие предела с помощью языка «эпсилон-дельта». Основное отличие от определения предела последовательности будет заключаться в необходимости
прописать стремление аргумента функции к некоторому значению. Для этого требуется вспомогательное в данном контексте понятие предельной точки множества.
Точка называется предельной точкой множества , если в любой окрестности содержится бесчисленное множество точек,
принадлежащих и отличных от . Чуть позже станет ясно, зачем требуется давать такое определение.

Итак, число называется пределом функции в точке , являющейся предельной точкой множества , на котором определена
функция, если

Последовательно разберём это определение. Выделим здесь части, связанные со стремлением аргумента к значению и со стремлением функции
к значению . Следует понимать общий смысл записанного утверждения, который приближённо можно трактовать следующим образом.
Функция стремится к при , если взяв число из достаточно малой окрестности точки , мы будем
получать значение функции из достаточно малой окрестности числа . И чем меньше будет окрестность точки , из которой берутся значения
аргумента, тем меньше станет окрестность точки , в которую будут попадать соответствующие значения функции.

Снова вернёмся к формальному определению предела и прочитаем его в свете только что сказанного. Положительное число ограничивает окрестность
точки , из которой будем брать значения аргумента. Причём значения аргумента, конечно, из области определения функции и не совпадающие с самой
точкой : мы ведь стремление пишем, а не совпадение! Так вот если мы возьмём значение аргумента из указанной -окрестности точки ,
то значение функции попадёт в -окрестности точки .
Наконец, сводим определение воедино. Какой бы малой мы ни выбрали -окрестность точки , всегда найдётся такая -окрестность точки ,
что при выборе значений аргумента из неё мы попадём в окрестность точки . Разумеется, размер -окрестности точки при этом
зависит от того, какая была задана окрестность точки . Если окрестность значения функции будет достаточно велика, то и соответствующий разброс значений
аргумента будет большим. С уменьшением окрестности значения функции уменьшится и соответствующий разброс значений аргумента (см. рис. 2).

Осталось уточнить некоторые детали. Во-первых, требование, чтобы точка была предельной, избавляет от необходимости заботиться, что точка
из -окрестности вообще принадлежит области определения функции. Во-вторых, участие в определении предела условия означает,
что аргумент может стремиться к значению как слева, так и справа.

Для случая, когда аргумент функции стремится к бесконечности, следует отдельно определить понятие предельной точки. называется предельной
точкой множества , если для любого положительного числа в интервале содержится бесчисленное множество
точек из множества .

Вернёмся к примерам. Функция особого интереса для нас не представляет. Разберёмся подробнее с другими функциями.

Примеры.

Пример 1. График функции имеет излом.
Функция несмотря на особенность в точке имеет в этой точке предел. Особенность в нуле — потеря гладкости.

Пример 2. Односторонние пределы.
Функция в точке не имеет предела. Как уже отмечалось, для существования предела требуется, чтобы при стремлении
слева и справа функция стремилась к одному и тому же значению. Здесь это, очевидно, не выполняется. Однако можно ввести понятие одностороннего предела.
Если аргумент стремится к данному значению со стороны бòльших значений, то говорят о правостороннем пределе; если со стороны меньших значений —
о левостороннем пределе.
В случае функции
— правосторонний предел
— левосторонний предел

На языке «эпсилон-дельта» формальное определение одностороннего предела :

Аналогично даётся определение левостороннего предела.

Пример 3. Бесконечный предел и предел на бесконечности.
Функция в точке имеет бесконечный предел. Формальное определение бесконечного предела
.

А вот функция в точке предела не имеет. Зато она имеет там односторонние пределы: правосторонний и левосторонний .

Обе эти функции имеют пределы при , равные нулю. Формальное определение предела на бесконечности:
.

Пример 4. Отсутствие односторонних пределов.
Функция в точке не только не имеет предела, она не имеет там даже односторонних пределов. Действительно, при стремлении
аргумента к нулю со стороны положительных или отрицательных значений дробь по модулю неограниченно растёт. Синус не имеет на бесконечности
определённого значения. Поэтому и односторонние пределы в точке не существуют.
Однако можно привести пример, когда бесконечные колебания синуса не мешают существованию предела (причём двустороннего).
Примером может служить функция . График приведён ниже; по понятным причинам построить его до конца в окрестности
начала координат невозможно. Предел при равен нулю.

Замечания.
1. Существует подход к определению предела функции, использующий предел последовательности — т.н. определение Гейне. Там строится последовательность точек, сходящаяся к требуемому значению
аргумента — тогда соответствующая последовательность значений функции сходится к пределу функции при этом значении аргумента. Эквивалентность определения Гейне и определения на языке
«эпсилон-дельта» доказывается.
2. Случай функций двух и более аргументов усложняется тем, что для существования предела в точке требуется, чтобы значение предела получалось одним и тем же при любом способе стремления аргумента
к требуемому значению. Если аргумент один, то стремиться к требуемому значению можно слева или справа. В случае большего количества переменных число вариантов резко возрастает. Случай функций
комплексной переменной и вовсе требует отдельного разговора.