Как найти дельту по графику

Mathematicians are fond of Greek letters, and they use the capital letter delta, which looks like a triangle (∆), to symbolize change. When it comes to a pair of numbers, delta signifies the difference between them. You arrive at this difference by using basic arithmetic and subtracting the smaller number from the larger one. In some cases, the numbers are in chronological order or some other ordered sequence, and you may have to subtract the larger one from the smaller one to preserve the order. This might result in a negative number.

Absolute Delta

If you have a random pair of numbers and you want to know the delta – or difference – between them, just subtract the smaller one from the larger one. For example, the delta between 3 and 6 is (6 — 3) = 3.

If one of the numbers is negative, add the two numbers together. The operation looks like this: (6 — {-3}) = (6 + 3) = 9. It’s easy to understand why delta is bigger in this case if you visualize the two numbers on the x-axis of a graph. The number 6 is 6 units to the right of the axis, but negative 3 is 3 units to the left. In other words, it’s farther from the 6 than positive 3, which is to the right of the axis.

You need to remember some of your grade school arithmetic to find the delta between a pair of fractions. For example, to find the delta between 1/3 and 1/2, you must first find a common denominator. To do this, multiply the denominators together, then multiply the numerator in each fraction by the denominator of the other fraction. In this case, it looks like this: 1/3 x 2/2 = 2/6 and 1/2 x 3/3 = 3/6. Subtract 2/6 from 3/6 to arrive at the delta, which is 1/6.

Relative Delta

A relative delta compares the difference between two numbers, A and B, as a percentage of one of the numbers. The basic formula is A — B/A x100. For example, if you make $10,000 a year and donate $500 to charity, the relative delta in your salary is 10,000 — 500/10,000 x 100 = 95%. This means you donated 5 percent of your salary, and you still have 95 percent of it left. If you earn $100,000 a year and make the same donation, you’ve kept 99.5 percent of your salary and donated only 0.5 percent of it to charity, which doesn’t sound quite as impressive at tax time.

From Delta to Differential

You can represent any point on a two-dimensional graph by a pair of numbers that denote the distance of the point from the intersection of the axes in the x (horizontal) and y (vertical) directions. Suppose you have two points on the graph called point 1 and point 2, and that point 2 is farther from the intersection than point 1. The delta between the x values of these points – ∆ x – is given by (x₂ — x₁), and ∆ y for this pair of points is (y₂ — y₁). When you divide ∆y by ∆x, you get the slope of the graph between the points, which tells you how fast x and y are changing wth respect to each other.

The slope provides useful information. For example, if you plot time along the x-axis and measure the position of an object as it travels through space on the y-axis, the slope of the graph tells you the average speed of the object between those two measurements.

Speed may not be constant, though, and you may want to know the speed at a particular point in time. Differential calculus provides a conceptual trick that allows you to do this. The trick is to imagine two points on the x-axis and allow them to get infinitely close together. The ratio of ∆y to ∆x – ∆y/∆x – as ∆x approaches 0 is called the derivative. It’s usually expressed as dy/dx or as df/dx, where f is the algebraic function that describes the graph. On a graph on which time (t) is mapped on the horizontal axis, «dx» becomes «dt,» and the derivative, dy/dt (or df/dt), is a measure of instantaneous speed.

Как вычислить дельту

Греческой буквой Δ в науке принято обозначать разность между конечным и начальным значениями некой величины. Например, Δt – разность температур в начале и конце реакции или время, за которое выполнена работа. В некоторых случаях четвертую букву греческого алфавита заменяют прописной или строчной латинской d. Но латиницей в данном случае необходимо пользоваться осторожно, поскольку этой же буквой обозначаются и другие понятия.

Вам понадобится

• — измерительные приборы;
• — калькулятор.

Инструкция

Чтобы узнать, на сколько изменилась та или иная величина, нужно в первую очередь узнать начальное и конечное значение. Если речь идет о практической задаче, нужные параметры можно измерить. Нужный вам параметр можно в принципе назвать любой буквой, но лучше использовать принятые в науке обозначения. Допустим, вам нужно найти, насколько изменился объем вещества при нагревании. Результат первого измерения запишите как V1

Проведите второе измерение. Например, после того, как закончите нагревать объект. Определите его объем и обозначьте его как V2. Вычислите дельту по формуле ΔV = V2-V1. Может получиться так, что второй результат будет меньше первого. Посчитайте модуль числа так же, как и в любом другом случае, и поставьте знак «-». Не забудьте, что оба измерения должны быть в одних и тех же единицах. Если нужно, переведите их.

Нередки задачи, когда необходимо вычислить дельту между фактическим и средним значением. Например, вам дана точка, которая поменяла свои координаты по двум осям. Обозначьте координаты как x1,x2, x3 и т. д. Найдите среднее значение. Затем вычислите разницу между полученным результатом и значением каждой координаты.

Если вам нужно вычислить приращение функции f(x), определите ее значение в жестко заданной точке — пусть это будет, например, х0. Чтобы вычислить дельту, вам необходимо сравнить значение функции в этой точке с ее же значением в любой другой точке по заданной оси. Для этого вычтите значение функции в точке х1 из ее же значения в точке х0. Это и будет Δf. Чтобы найти приращение аргумента, определите его значения в заданных точках и вычислите разность.

Буквой Δ обозначают и абсолютную погрешность. Она тоже представляет собой разность. За начальное и конечное значение принимаются истинное и приближенное значения. Величина дельты в данном случае соответствует классу точности прибора.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Как рассчитать дельту между двумя числами

Как рассчитать дельту между двумя числами — Рецепты

Содержание

Математики любят греческие буквы, и они используют дельту заглавной буквы, которая выглядит как треугольник (∆), чтобы обозначить изменение. Когда дело доходит до пары чисел, дельта означает разницу между ними. Вы получаете эту разницу, используя простую арифметику и вычитая меньшее число из большего. В некоторых случаях числа расположены в хронологическом порядке или в другой упорядоченной последовательности, и вам, возможно, придется вычесть большее из меньшего, чтобы сохранить порядок. Это может привести к отрицательному числу.

Абсолютная дельта

Если у вас есть случайная пара чисел и вы хотите узнать дельту — или разницу — между ними, просто вычтите меньшее из большего. Например, дельта между 3 и 6 составляет (6 — 3) = 3.

Если одно из чисел отрицательное, сложите два числа. Операция выглядит так: (6 — <-3>) = (6 + 3) = 9. Легко понять, почему дельта больше в этом случае, если вы визуализируете два числа на оси x графика. Число 6 находится на 6 единиц справа от оси, а отрицательное 3 — на 3 единицы слева.Другими словами, она дальше от 6, чем положительная 3, которая находится справа от оси.

Чтобы найти дельту между парой дробей, вам нужно запомнить некоторые из школьных арифметических действий. Например, чтобы найти дельту между 1/3 и 1/2, вы должны сначала найти общий знаменатель. Для этого умножьте знаменатели вместе, а затем умножьте числитель каждой дроби на знаменатель другой дроби. В данном случае это выглядит так: 1/3 x 2/2 = 2/6 и 1/2 x 3/3 = 3/6. Вычтите 2/6 из 3/6, чтобы получить дельту, которая равна 1/6.

Относительная дельта

Относительная дельта сравнивает разницу между двумя числами, A и B, в процентах от одного из чисел. Основная формула — A — B / A x100. Например, если вы зарабатываете 10 000 долларов в год и жертвуете 500 долларов на благотворительность, относительная разница в вашей зарплате составляет 10 000–500 / 10 000 x 100 = 95%. Это означает, что вы пожертвовали 5 процентов своей зарплаты, и у вас все еще осталось 95 процентов. Если вы зарабатываете 100000 долларов в год и делаете такое же пожертвование, вы оставляете 99,5 процента своей зарплаты и жертвуете только 0,5 процента на благотворительность, что не столь впечатляюще с точки зрения налоговой отчетности.

От дельты к дифференциалу

Вы можете представить любую точку на двумерном графике парой чисел, которые обозначают расстояние от точки до пересечения осей в направлениях x (по горизонтали) и y (по вертикали). Предположим, у вас есть две точки на графике, называемые точкой 1 и точкой 2, и эта точка 2 находится дальше от пересечения, чем точка 1. Дельта между значениями x этих точек — ∆ x — задается выражением (x₂ — Икс₁), а ∆ y для этой пары точек есть (y₂ — у₁). Когда вы делите ∆y на ∆x, вы получаете наклон графика между точками, который показывает, насколько быстро x и y изменяются относительно друг друга.

Наклон дает полезную информацию. Например, если вы наносите время на ось x и измеряете положение объекта во время его перемещения в пространстве по оси y, наклон графика показывает вам среднюю скорость объекта между этими двумя измерениями.

Однако скорость может быть непостоянной, и вы можете узнать скорость в определенный момент времени. Дифференциальное исчисление предоставляет концептуальный трюк, который позволяет вам это делать. Уловка состоит в том, чтобы представить две точки на оси x и позволить им приблизиться друг к другу бесконечно близко. Отношение ∆y к ∆x — ∆y / ∆x — когда ∆x приближается к 0, называется производной. Обычно это выражается как dy / dx или как df / dx, где f — алгебраическая функция, описывающая график. На графике, на котором время (t) отложено по горизонтальной оси, «dx» становится «dt», а производная dy / dt (или df / dt) является мерой мгновенной скорости.

ru.mosg-portal.com

Что такое Дельта в математике? — Наука

Содержание:

По мере развития математики в течение истории математикам требовалось все больше и больше символов для представления чисел, функций, наборов и уравнений, которые выходили на свет. Поскольку большинство ученых имели некоторое понимание греческого языка, буквы греческого алфавита были легким выбором для этих символов. В зависимости от области математики или естественных наук, греческая буква «дельта» может символизировать различные понятия.

+ Изменить

Верхний регистр дельта (Δ) часто означает «изменение» или «изменение» в математике. Например, если переменная «x» обозначает движение объекта, то «Δx» означает «изменение в движении». Ученые часто используют это математическое значение дельты в физике, химии и технике, и оно часто встречается в словесных задачах.

дискриминантный

В алгебре дельта верхнего регистра (Δ) часто представляет дискриминант полиномиального уравнения, обычно это квадратное уравнение. Например, с учетом квадратичного ax² + bx + c дискриминант этого уравнения будет равен b² — 4ac, и будет выглядеть так: Δ = b² — 4ac. Дискриминант дает информацию о корнях квадратиков: в зависимости от значения Δ квадратик может иметь два действительных корня, один действительный корень или два комплексных корня.

В геометрии дельта в нижнем регистре (δ) может представлять угол в любой геометрической форме. Это потому, что геометрия имеет свои корни в работе Евклида в древней Греции, а затем математики отмечали свои углы греческими буквами. Поскольку буквы просто представляют углы, знание греческого алфавита и его порядка не является необходимым, чтобы понять их значение в этом контексте.

Частные производные

Производная функции является мерой бесконечно малых изменений в одной из ее переменных, а римская буква «d» представляет производную. Частичные производные отличаются от обычных производных тем, что функция имеет несколько переменных, но рассматривается только одна переменная: остальные переменные остаются фиксированными. Дельта в нижнем регистре (δ) представляет частные производные, поэтому частная производная функции «f» выглядит следующим образом: δf над δx.

Кронекер Дельта

Дельта в нижнем регистре (δ) также может иметь более специфическую функцию в продвинутой математике. Например, дельта Кронекера представляет собой взаимосвязь между двумя целочисленными переменными, которая равна 1, если две переменные равны, и 0, если они не равны. Большинству изучающих математику не придется беспокоиться об этих значениях дельты до тех пор, пока их обучение не станет очень продвинутым

Как рассчитать уравнение с дельта

1.3 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ “ХИМИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА И ТЕРМОХИМИЯ”
(для нехимических специальностей)

1. Рассчита й те Δ H o ₂₉₈ химическо й реак ц ии Na₂O(т) + H₂O(ж) → 2NaOH(т)
по значениям стандартных теплот образования веществ (, см. таблицу 1 приложения). Укажите тип реак ц и (экз о- или эндотермическая).

По данным таблицы 1 приложения, стандартные энтальпии образования Na₂O(т), H₂O(ж) и NaOH (т) при 298К равны соответственно –416, –286 и –427,8 кДж/моль. Используя следствие из закона Гесса, рассчитываем Δ H o ₂₉₈ химическо й реак ц ии :

Δ H o ₂₉₈ = 2( NaOH,т ) – [(Na₂O,т) + (H₂O,ж)] = 2 · (– 427,8) –
– [–416 + (–286)] = –153,6 кДж.

2. Определите, как изменяется энтропия при протекании химического процесса Na₂O(т) + H₂O(ж) → 2NaOH(т).

В данном процессе при взаимодействии 1 моль кристаллического и 1 моль жидкого вещества образуется 2 моль кристаллического вещества. Следовательно, система переходит в состояние с меньшим беспорядком, и энтропия уменьшается ( Δ S 0).

3. Рассчита й те величину Δ S o ₂₉₈ для про ц есса
Na₂O(т) + H₂O(ж) → 2NaOH(т), используя значения стандартных энтропи й веществ (см. таблицу 1 приложения).

Используя справочные данные: S o ( NaOH,т ) = 64,16 Дж/(моль · К),
S o (Na₂O,т) = 75,5 Дж/(моль · К), S o (H₂O,ж) = 70 Дж/(моль · К), рассчитываем Δ S o ₂₉₈ :

Δ S o ₂₉₈ = 2 · S o ( NaOH , т ) – [ S o (Na₂O, т ) + S o (H₂O, ж )] = 2 · 64,16 – (75,5 + 70) =
= – 17,18 Дж / К .

4. Рассчита й те изменение энергии Гиббса ( Δ G o ₂₉₈ ) для про ц есса
Na₂O(т) + H₂O(ж) → 2NaOH(т) по значениям стандартных энергий Гиббса образования веществ (см. таблицу 1 приложения). Возможно ли самопроизвольное протекание реакции при стандартных условиях и 298К ?

При стандартных условиях и T=298К Δ G o ₂₉₈ можно рассчитать как разность суммарной энергии Гиббса образования продуктов реакции и суммарной энергии Гиббса образования исходных веществ. Необходимые справочные данные: ( NaOH,т ) = –381,1 кДж/моль, (Na₂O) = –378 кДж/моль, (H₂O,ж) = –237 кДж/моль.

Δ G o ₂₉₈ = 2 · ( NaOH,т ) – [(Na₂O,т) + (H₂O,ж)] = 2 · (–381,1) –
– [–378 + (–237)] = –147,2 кДж.

Значение Δ G o ₂₉₈ отрицательно, поэтому самопроизвольное протекание реакции возможно.

Ответ: –147,2 кДж; возможно.

5. Определите, возможно ли при 95 o С самопроизвольное протекание про ц есса Na₂O(т) + H₂O(ж) → 2NaOH(т). Ответ обосну й те, рассчитав величину изменения энергии Гиббса при данно й температуре.

Переведем температуру в шкалу Кельвина: Т=273+95=368К. Для расчета Δ G o ₃₆₈ воспользуемся уравнением:

Воспользуемся изменениями энтальпии и энтропии, рассчитанными для данного процесса в предыдущих задачах. При этом величину изменения энтропии необходимо перевести из Дж /К в кДж/К, поскольку значения Δ H и Δ G обычно измеряют в кДж.

–17,18 Дж /К = –0,01718 кДж/К

Δ G o ₃₆₈ = –153,6 – 368 · (–0,01718) = –147,3 кДж.

Таким образом, Δ G o ₃₆₈ o С возможно.

Ответ: –147,3 кДж; возможно.

6. Составьте термохимическое уравнение реакции взаимодействия Na₂O(т) и H₂O(ж), если при этом образуется 1 моль NaOH (т). В ответе приведите количество теплоты, указанное в термохимическом уравнении.

Коэффициенты в термохимическом уравнении имеют смысл молей. Поэтому допустимы дробные значения коэффициентов. 1 моль гидроксида натрия может образоваться из 1/2 моля оксида натрия и 1/2 моля воды. В задании 1 (см. выше) рассчитано, что при образовании 2 моль NaOH в данной реакции выделяется 153,6 кДж теплоты ( Δ H o ₂₉₈ = –153,6 кДж). Поэтому при образовании 1 моль NaOH количество выделившейся теплоты будет в 2 раза меньше, т.е. 76,8 кДж. В термохимическом уравнении количество выделяющейся теплоты указывают со знаком “плюс”: 1/2 Na₂O(т) + 1/2 H₂O(ж) → NaOH (т) + 76,8 кДж.

Дельта-функция Дирака и ее свойства

Содержание

Обнаружили ошибку?
Выделите ее мышью
и нажмите

Вводные замечания

При рассмотрении преобразования Фурье мы говорили, что условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость исходного сигнала :

(1)

Данное ограничение существенно сужает класс функций, для которых может быть вычислено преобразование Фурье.
Так например, постоянный сигнал , или гармоническое колебание , не являются абсолютно-интегрируемыми, поэтому мы не можем получить их спектральные плотности в рамках классической теории. Однако приведенные сигналы имеют огромное практическое значение и оставление их за бортом аппарата спектрального анализа являлось бы существенным тормозом развития радиотехники.

К счастью, в первой половине XX века в теоретической физике произошли большие перемены. Появилась теории относительности и квантовой механики, которые потребовали переосмыслить понятие функции в целом. В результате была разработана теория обобщенных функций, которые расширили область применения методов математического анализа, устранили некоторые неопределенности в физике, а также расширили применимость методов спектрального анализа на функции, для которых условие абсолютной интегрируемости не выполняется.
Кроме того, использование аппарата обобщенных функций позволило сформулировать и обосновать переход от аналоговых непрерывных сигналов и систем к дискретным и цифровым.

Математическую теорию обобщенных функций можно найти в литературе [1, 2, 3, 4]. Нас будет особенно интересовать дельта-функция Дирака, свойства которой позволяют распространить преобразование Фурье на случай неинтегрируемых сигналов, а также находят широкое применение в теории обработки сигналов.

Дельта-функция Дирака

Рассмотрим прямоугольный импульс длительности :

(2)

Тогда при нормировке амплитуды импульса к длительности , получим прямоугольный импульс , площадь которого равна единице при любом конечном значении :

(3)

Семейство сигналов показано на рисунке 1 пунктирными и сплошной линиями для различного значения длительность .

Если мы устремим длительность импульса к нулю, то прямоугольный импульс перейдет в так называемую сингулярную функцию :

(4)

которая также показана на рисунке 1. При этом свойство единичной площади

(5)

будет сохраняться и для функции (4).

Рисунок 1. Прямоугольный импульс единичной площади

Обратим внимание, что в (4) и на рисунке 1 использовалось обозначение  вместо бесконечности. Это сделано специально, чтобы подчеркнуть (5). Если умножить на произвольную константу , то можно записать: .

Впервые функция одновременно обладающая свойствами (4) и (5) была использована Полем Дираком [1, стр. 84–88], поэтому мы будем называть данную функцию дельта-функция Дирака.

Очевидно, что выражения (4) и (5) противоречат классическим определениям функции и интеграла, поэтому дельта-функция Дирака  описывается в классе обобщенных функций.
Использование данной функции внутри линейного интегрального оператора: интеграла свертки, скалярного произведения, или интеграла Фурье, открывает определенные возможности для анализа.

Свойства дельта-функции Дирака

Чётность

Из выражения (2) и рисунка 1 можно заметить, что прямоугольный импульс является четной функцией времени. Тогда и дельта-функция Дирака также четная, т.е. .

Свойство скалярного произведения

Рассмотрим

скалярное произведение

некоторого непрерывного сигнала  и дельта-функции Дирака :

(6)

Подставим в (6) предел (4):

(7)

Представим интеграл (7) по определению Римана [5, стр. 301–302] в виде предела суммы площадей прямоугольных импульсов длительности , как это показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Интегрирование по Риману

Тогда выражение (7) можно представить как:

(8)

Заметим, что отличен от нуля только для . В результате, от суммы (8) останется только одно слагаемое, соответствующее :

(9)

Мы получили важнейшее свойство дельта-функции Дирака: скалярное произведение сигнала и возвращает значение сигнала при .

Фильтрующее свойство дельта-функции

Рассмотрим скалярное произведение и сдвинутой на дельта-функции :

(10)

Введем замену переменной , тогда , , пределы интегрирования не меняются, и выражение (10) принимает вид:

(11)

Выражение (11) является следствием свойства скалярного произведения и называется фильтрующим свойством дельта-функции [6, стр. 29]. Благодаря именно фильтрующему свойству, дельта-функция получила широкое распространение при описании дискретных систем.

Заметим, что равна нулю везде, за исключением . Тогда бесконечные пределы интегрирования (11) могут быть изменены на любой конечный интервал в окрестности , включающий данную точку:

(12)

Свертка с дельта-функцией

Рассмотрим интеграл свертки некоторого сигнала и дельта-функции :

(13)

В силу четности дельта-функции, а также используя фильтрующее свойство можно представить (13) в виде:

(14)

Таким образом, свертка с дельта-функцией не искажает и не задерживает сигнал. Выражение (14) называют динамическим представлением сигнала [6, стр. 29].

Если мы вспомним, что интеграл свертки описывает реакцию некоторого линейного фильтра на входной сигнал , то можно сделать вывод, что представляет собой импульсную характеристику идеального бесконечно короткого проводника, который никак не искажает сигнал. Сдвинутая на дельта-функция  описывает импульсную характеристику идеального элемента задержки на .

Размерность дельта-функцией

Рассматривая выражения (4) и (5) можно заметить, что размерность дельта функции обратна размерности ее аргумента. Так если аргумент функции описывает время и имеет размерность секунд, то размерность равна . Это легко проверить из выражения (5):

(15)

Аналогично, если дельта-функция описывает поведение в частотной области, и имеет аргумент размерности , то дельта-функция в этом случае будет иметь размерность .

Интегрирование дельта-функции

Подадим на вход интегратора дельта-функцию и рассмотрим выходной сигнал:

(16)

При в интервал интегрирования дельта-функция не попадает, поэтому можно сделать вывод, что при . Если , то дельта-функция попадает в интервал интегрирования и для всех . При получаем:

(17)

Таким образом, окончательно можно записать в виде:

(18)

Функция вида (18) называется функцией включения, или функцией Хевисайда [6, стр. 25]. График показан на рисунке 3.

Рисунок 3. Интегрирование дельта-функции

Интегрирование сдвинутой во времени дельта-функции возвращает сдвинутую во времени функцию Хевисайда:

(19)

Тогда можно заметить, что представляет собой безразмерную функцию, которая описывает импульсную характеристику идеального интегратора. Действительно, свертка сигнала  с функцией Хевисайда имеет вид:

(20)

Поменяем порядок интегрирования, и применим свойство свертки с дельта-функцией. Тогда:

(21)

Рисунок 4. Прямоугольный импульс как сумма функций Хевисайда

Таким образом мы показали, что представляет собой импульсную характеристику интегратора.

С другой стороны, использование аппарата обобщенных функций позволяет задать производную функции в точке разрыва , которая не существует в классическом понимании производной. Так, можно определить, что .

Используя взаимосвязь функции Хевисайда и дельта-функции можно определить производные некоторых негладких функций в точке разрыва. Например производную прямоугольно импульса единичной площади можно записать при помощи дельта-функций, если представить прямоугольный импульс в виде суммы двух функций Хевисайда как это показано на рисунке 4.

Тогда производная прямоугольного импульса равна:

(22)

Дифференцирование дельта-функции Дирака

Аппарат обобщенных функций позволяет определить производную разрывных функций в точке разрыва. Но что еще более интересно, так это то, что мы можем использовать аппарат обобщенных функций для получения производной самой дельта-функции. Производную дельта-функции  можно определить по аналогии с дельта-функцией как предел производной прямоугольного импульса единичной площади :

(23)

Поменяем местами оператор предела и дифференцирования, а также учтем (22):

(24)

Из (24) следует, что производная дельта-функции является нечетной функцией, т.е. .

Скалярное произведение сигнала и производной дельта-функции равно:

(25)

Интегрирование ведется по переменной , тогда предел по параметру можно вынести из под интеграла:

(26)

Можно заметить, что предел в выражении (26) ничто иное, как значение производной при . Таким образом можно заключить, что скалярное произведение исходной функции и производной дельта-функции возвращает значение производной исходной функции при , взятое с отрицательным знаком:

(27)

Соответственно скалярное произведение сдвинутой на производной дельта-функции и исходного сигнала возвращает :

(28)

а свертка исходного сигнала с производной , с учетом нечетности последней, имеет вид:

(29)

Таким образом, производная дельта-функции описывает импульсную характеристику идеального дифференциатора.

По аналогии можно определить производную дельта-функции произвольного порядка . Скалярное произведение сигнала и производной дельта-функции порядка равно:

(30)

Выражение (30) легко доказывается, применяя правило интегрирования по частям.

Преобразование Фурье дельта-функции Дирака

Рассмотрим преобразование Фурье дельта-функции Дирака:

(31)

Используем фильтрующее свойство дельта-функции и получим:

(32)

Таким образом, спектральная плотность дельта-функции Дирака равна единице для всех частот, как это показано на рисунке 5б.

Рисунок 5. Представление дельта-функции:
а — во временно́й области; б — спектральная плотность

Вспомним, что преобразование Фурье возвращает спектральную плотность, чья размерность равна размерности входного сигнала, деленную на единицу полосы. В случае преобразования Фурье дельта-функции получаем, что имеет размерность , т.е. является безразмерной величиной.

Также заметим, что спектральная плотность дельта-функции Дирака не убывает с ростом частоты , в отличии от спектральных плотностей абсолютно-интегрируемых сигналов, рассмотренных выше.

Чтобы понять этот эффект, необходимо снова обратиться к предельному переходу (4), и рассмотрим преобразование Фурье от левой и правой частей (4):

(33)

Вынесем оператор предела из под оператора преобразования Фурье (мы можем это делать ввиду свойства линейности преобразования Фурье), а также вспомним выражение для преобразования Фурье прямоугольного импульса рассмотренное в

предыдущем разделе.

Тогда (33) принимает вид:

(34)

Таким образом, спектральная плотность дельта-функции получается как предел функции , при стремящимся к нулю. На рисунке 6 показаны функции при устремлении параметра к нулю.

Рисунок 6. Функции при устремлении параметра к нулю

Из рисунка 6 видно, что при уменьшении параметра главный лепесток функции расширяется, и в пределе, при , главный лепесток становится бесконечно широким, а спектральная плотность дельта-функции постоянной для всех частот.

Выводы

В данном разделе мы ввели понятие обобщенной дельта-функции Дирака, и рассмотрели ее некоторые свойтсва.

Также была показана связь дельта-функции Дирака и функции Хевисайда, а также показана возможность применения дельта-функции для задач дифференцирования негладких функций.

Мы рассмотрели понятие производной дельта-функции и некторые ее свойства.

Также было рассмотрено преобразование Фурье дельта-функции и показано, что не убывает с ростом частоты.

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Свойства преобразования Фурье
Спектральные плотности некоторых сигналов

Список литературы

[1]

Принципы квантовой механики
Москва, Наука, 1979, 480 c.

[2]

Гельфанд, И.М. and Шилов, Г.Е.
Обобщенные функции и действия над ними.
Москва, Государственное издательство физико-математической литературы, 1959, 472 c.

[3]

Владимиров С.В.
Обобщенные функции в математической физике.
Москва

[4]

Колмогоров А.Н., Фомин С.В.
Элементы теории функций и функционального анализа.
Москва, Наука, 1968, 496 с.

[5]

Ильин, В.А., Позняк Э.Г.
Основы математического анализа.
Москва, Наука, 1965, 572 c.

[6]

Баскаков, С.И.
Радиотехнические цепи и сигналы.
Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[7]

Гоноровский И.С.
Радиотехнические цепи и сигналы
Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[8]

Bracewell R.
The Fourier Transform and Its Applications
McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Последнее изменение страницы: 12.05.2022 (19:42:46)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14