- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Десятичные дроби
- Десятичная запись дробных чисел
Среди обыкновенных дробей выделяют дроби, у которых в знаменателе стоит единица с нулями, т.е. 10, 100, 1 000 и т.д., для таких дробей существует специальная форма записи, в которой используют запятую, например, вместо 
пишут 0,1 (читают: ноль целых одна десятая), 
пишут 2,34 (читают: две целых тридцать четыре сотых), 
пишут 25,657 (читают: двадцать пять целых шестьсот пятьдесят семь тысячных). Такую форму записи дробей называют десятичной, а саму дробь — десятичной дробью. Запятая отделяет целую часть от дробной.
Обратите внимание: после запятой стоит столько цифр, сколько нулей стоит в записи знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.
Поэтому вместо 
пишут 2,03 (читают: две целых три сотых), т.е. чтобы записать данную дробь в десятичной форме, после запятой перед тем числом, которое стоит в числителе мы дописываем ноль, чтобы после запятой было два знака, т.к. в знаменателе стоит два нуля, а вместо 
пишут 12,004 (читают: двенадцать целых 4 тысячных), т.е. чтобы записать данную дробь в десятичной форме, после запятой перед тем числом, которое стоит в числителе мы дописываем два нуля, чтобы после запятой было три знака, т.к. в знаменателе стоит три нуля.
Разряды десятичных дробей
Разрядные единицы:
записываются так:
0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; … .
При чтении десятичной дроби сначала называют ее часть, стоящую перед запятой, и добавляют слово «целых»; затем называют часть, стоящую после запятой, и добавляют название последнего разряда.
Например, в десятичной дроби 8,4567 последний разряд — это десятитысячные. Поэтому читают ее так: 8 целых 4567 десятитысячных.
Чтобы несократимую дробь 
преобразовать в десятичную, необходимо привести ее к одному из знаменателей 10, 100, 1 000 и т.д.
Примеры:
Несократимую дробь можно преобразовать в десятичную только тогда, когда разложение знаменателя 
на простые множители не содержит чисел, отличных от 2 и 5.
Примеры:
1) 
;
2) 
— нельзя преобразовать в десятичную дробь (в разложении знаменателя на простые множители есть 3).
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, можно ее числитель разделить на знаменатель.
Пример:
| — | 9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 6 | ||||||
| 8 | 0 | 0 | 5 | 6 | 2 | 5 | |||||||
| — | 1 | 0 | 0 | ||||||||||
| 9 | 6 | ||||||||||||
| — | 4 | 0 | |||||||||||
| 3 | 2 | ||||||||||||
| — | 8 | 0 | |||||||||||
| 8 | 0 | ||||||||||||
| 0 |
Не любую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби. Например, дробь 
обратить в десятичную нельзя. Разделим числитель данной дроби на знаменатель получим:
| — | 1 | 3 | 1 | 8 | ||||||||||
| 1 | 2 | 6 | 0 | , | 7 | 2 | 2 | 2 | . | . | . | |||
| — | 4 | 0 | ||||||||||||
| 3 | 6 | |||||||||||||
| — | 4 | 0 | ||||||||||||
| 3 | 6 | |||||||||||||
| — | 4 | 0 | ||||||||||||
| 3 | 6 | |||||||||||||
| 4 |
Мы видим, что деление можно продолжать бесконечно. И результат деления будет 0,72222… . В данном случае точки означают, что цифра 2 периодически повторяется бесконечно много раз.
Число 0,72222… — это бесконечная периодическая десятичная дробь, или периодическая дробь. Данную дробь принято записывать: 0,7(2) и читать: «нуль целых семь десятых и два в периоде». Цифру (2) называют периодом дроби 0,7(2). Записываем так:
При этом полученную периодическую дробь мы можем округлить до любого из разрядов, например, округлим дробь 0,72222… до десятых, получим:
0,7. В данном случае число 0,7 называют десятичным приближением до десятых дроби . Запишем:
0,7.
Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда, надо:
1) выполнить деление до следующего разряда;
2) полученную конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь округлить до нужного разряда.
Советуем посмотреть:
Сравнение десятичных дробей
Сложение и вычитание десятичных дробей
Приближенные значения чисел. Округление чисел
Умножение десятичных дробей
Деление десятичных дробей
Среднее арифметическое
Десятичные дроби
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 1178,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1559,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1561,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1734,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Номер 963,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 977,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 984,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1162,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 5,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 329,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 530,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 555,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 609,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 627,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1044,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1134,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 573,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 874,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 5,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
7 класс
Номер 34,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 39,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 149,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 157,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 161,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 202,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 586,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 856,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 999,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1149,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 218,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 247,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 282,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 300,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 301,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 303,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 391,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 466,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 479,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Представим
себе такую историю…
–
Саша, чем ты занимаешься? – поинтересовался у друга Паша.
–
Да я сегодня катался на велосипеде, – начал Саша. – Представляешь, я проехал 43
километра за 3 часа.
–
Ну ты и гоняешь! – удивился Паша.
–
Вот решил посчитать, с какой скоростью я проехал свой путь, – задумался Саша.
–
Ну, тут же нет ничего сложного, – сказал Паша. – Чтобы найти скорость, нужно
расстояние разделить на время.
–
Да, я уже поделил всё, – сказал Саша, – но число какое-то уж слишком большое
получилось.
–
И какая же скорость у тебя вышла? – спросил Паша.
–
Вот, смотри, – ответил Саша, – получилось, что я ехал со скоростью 14,333…
–
Да уж! И вправду странная скорость вышла, – задумался Паша. – Помнишь, мы
научились округлять натуральные числа и десятичные дроби? Может, и бесконечные
периодические дроби можно тоже как-нибудь округлить? Давай спросим у Мудряша.
–
Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и
выполним устные задания, – предложил Мудряш.
–
Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было
получиться!
–
Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Выполняя
вычисления с бесконечными периодическими дробями, удобно пользоваться их
приближениями, которые получают при округлении бесконечных десятичных дробей до
определённого разряда. В результате округления получается конечная десятичная
дробь, которую называют десятичным приближением обыкновенной дроби.
Число, которое образуется после округления, тем точнее, чем больше десятичных
знаков в приближении.
–
А ты научишь нас округлять бесконечные периодические дроби? – спросили
мальчишки.
–
Конечно! – согласился Мудряш. – Но для начала давайте вспомним, как мы округляли
десятичные дроби. И давайте для примера округлим следующие десятичные дроби: –
до десятых; –
до сотых.
–
Первая дробь — 152,268, – начал Саша. – Нужно округлить её до десятых. Мы
помним, что для того, чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых,
сотых и так далее, надо все следующие за этим разрядом цифры отбросить. Если
первая из отбрасываемых цифр равна 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя из
оставшихся цифр увеличивается на 1. Чтобы округлить до десятых, нам нужно откинуть
последние 2 цифры. Первая цифра, которую мы откинули, равна 6, значит, цифру в
разряде десятых увеличим на 1. Получим 152,3.
–
Вторая дробь — 42,35154, – продолжил Паша. – Эту дробь нам нужно округлить до
сотых. Чтобы десятичную дробь округлить до нужного разряда, надо все
следующие за этим разрядом цифры отбросить. Если при этом первая из цифр,
которые мы отбрасываем, равна 0, 1, 2, 3 или 4, то последняя из оставшихся цифр
не меняется. Итак, отбросим последние 3 цифры. Первая отбрасываемая цифра
равна 1, значит, увеличивать цифру 5 не надо. Получим 42,35.
–
Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Точно так же округляют и бесконечные
периодические десятичные дроби, «отсекая» в определённом месте «бесконечный
хвост». Чтобы разобраться, как округляют периодические дроби, давайте преобразуем
обыкновенную дробь в
периодическую. А затем округлим полученную периодическую дробь до единиц,
десятых, сотых и тысячных.
–
Это неправильная дробь, – начал Саша, – так как числитель больше знаменателя.
Выделим целую часть. Получим смешанное число .
–
Теперь выполним деление уголком числителя на знаменатель, – продолжил Паша. –
В результате получим периодическую дробь 1,58(3).
–
А теперь перейдём к округлению, – сказал Саша. – Сначала нам нужно эту
периодическую дробь округлить до единиц. Для этого нам нужно отбросить все
цифры, которые стоят после целой части. Первая отбрасываемая цифра равна 5,
значит, цифру в разряде единиц увеличим на 1. Получим 2.
–
Затем округлим полученную периодическую дробь до десятых, – продолжил Паша. –
Нам нужно откинуть все цифры, которые стоят после разряда десятых. Первая из
отбрасываемых цифр равна 8. Значит, цифру в разряде десятых увеличим на 1. Получим
десятичную дробь 1,6.
–
Теперь округлим нашу периодическую дробь до сотых, – сказал Саша. – Отбрасываем
все цифры, которые стоят после разряда сотых. Первая отбрасываемая цифра равна 3.
Значит, цифру в разряде сотых не меняем. Получим десятичную дробь 1,58.
–
И осталось округлить нашу периодическую дробь до тысячных, – продолжил Паша. –
Для округления нам необходимо отбросить все цифры, которые стоят после разряда
тысячных. Первая из отбрасываемых цифр равна 3. Следовательно, цифру в разряде
тысячных увеличивать не надо. Получим десятичную дробь 1,583.
–
Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Полученные числа 2; 1,6; 1,58 и 1,583 называют
десятичным приближением до единиц, десятых, сотых и тысячных
соответственно дроби .
Записывают десятичные приближения так:
–
Рассмотренный пример иллюстрируют следующее правило, – сказал Мудряш. – Запомните!
Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда,
надо:
во-первых,
выполнить деление до следующего разряда;
во-вторых,
полученную конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную
дробь округлить до нужного разряда по обычным правилам округления. Если «отбрасываемый»
разряд содержит цифры 0, 1, 2, 3, 4, то разряд, до которого округляют, не
изменяют; если «отбрасываемый» разряд содержит цифры 5, 6, 7, 8, 9, то его
отбрасывают, а разряд, до которого округляют, увеличивают на 1.
–
А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько
заданий.
Задание
первое: найдите десятичное приближение до указанного разряда:
а) –
до десятых; б) –
до десятых; в) –
до сотых; г) –
до тысячных.
Решение: первая
дробь — .
Её по условию нужно округлить до десятых. Выполним деление уголком. Достаточно
найти её значение до разряда сотых.
Получим
десятичную дробь 0,23. А теперь округлим эту дробь до десятых. Для этого
отбросим сотые. При этом отбрасываемая цифра равна 3, значит, цифру, стоящую в
десятых, увеличивать не нужно. Получим десятичную дробь нуль 0,2.
Следующая
дробь — .
Её тоже нужно округлить до десятых. Выполним деление уголком числителя на
знаменатель. Нам достаточно найти значение частного до разряда сотых.
Получим
десятичную дробь 3,14. В разряде сотых стоит 4. Значит, округляемый разряд
увеличивать не нужно. Получим дробь 3,1.
Перейдём
к следующей дроби .
Её нужно округлить до сотых. Разделим уголком четыре на тринадцать. Нам
достаточно найти значение частного до разряда тысячных.
Получим
десятичную дробь 0,307. Отбросим разряд тысячных. Так как после округляемой
цифры стоит 7, то округляемый разряд увеличиваем на 1. Получим 0,31.
И
последняя дробь — .
Её нужно округлить до тысячных. Выполним деление уголком двух на три. Нам
достаточно найти значение частного до разряда десятитысячных.
Получим
десятичную дробь 0,6666. Отбросим разряд десятитысячных. Там стоит 6, значит,
округляемый разряд нужно увеличить на 1. Получим 1,667.
Следующее
задание: найдите корень уравнения с точностью до сотых: а) ;
б) .
Решение: первое
уравнение .
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный
множитель. Выполним деление уголком до разряда тысячных. Получим десятичную
дробь 1,315. Результат нужно округлить до сотых. В разряде тысячных стоит 5.
Значит, разряд сотых увеличим на 1. Тогда получим десятичную дробь 1,32.
Следующее
уравнение .
Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. Выполним
деление уголком до разряда тысячных. Получим десятичную дробь 0,122. Результат
нужно округлить до сотых. В разряде тысячных стоит 2. Значит, разряд сотых не
изменяем. Тогда получим десятичную дробь 0,12.
И
последнее задание: площадь прямоугольника равна 2730 м2,
а длина одной из сторон этого прямоугольника равна 55 метрам. Найдите длину
другой стороны прямоугольника. Ответ округлите до сотых метра.
Решение: мы
знаем, что площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.
Выразим из этой формулы неизвестную сторону. Получим, что вторая сторона равна
частному 2730 и 55. Выполним деление уголком до разряда тысячных. Получим
десятичную дробь 49,633. В разряде тысячных стоит 6. Значит, разряд сотых
увеличим на 1. Тогда получим, что вторая сторона 49,64 метра.
Бесконечные периодические десятичные дроби
План урока
- Бесконечная периодическая десятичная дробь
- Десятичное приближение обыкновенной дроби
Цели урока
- Знать, что такое бесконечная периодическая десятичная дробь, конечная десятичная дробь, период дроби
- Уметь записывать бесконечные периодические десятичные дроби; находить десятичное приближение обыкновенных дробей.
Разминка
- Как определить, можно ли представить обыкновенную дробь в виде десятичной или нет?
- Какие способы перевода обыкновенной дроби в десятичную вы знаете?
- Можно ли представить смешанное число в виде десятичной дроби?
Бесконечная периодическая десятичная дробь
Вы умеете представлять обыкновенные дроби в виде десятичных дробей, если знаменатель этой дроби при разложении на простые множители не содержит числа, отличные от 2 и 5. Дробь 34можно представить в виде десятичной, т.к.
4 = 2 · 2.
При делении числителя на знаменатель в столбик мы получим 34=0,75; такие десятичные дроби называют
конечными десятичными дробями
, например: 0,24; 2,5; 6,75. А что можно сделать, если при разложении на простые множители знаменателя среди чисел оказалось число, отличное от 2 и 5? Давайте попробуем представить дробь 1011в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель в столбик:
Если мы продолжим деление, то в частном так и будут периодически повторяться цифры 9 и 0 бесконечное количество раз. Такая десятичная запись дроби 1011будет называться
бесконечной периодической десятичной дробью
или просто
периодической дробью
. А повторяющуюся группу цифр (90) —
периодом
, который при записи десятичной дроби заключают в скобки.
1011=0,90909…=0,(90).
Дробь читают «нуль целых, 90 сотых в периоде».
В начальной школе при делении натуральных чисел частное всегда было натуральным числом. В 5 классе мы познакомились с понятием десятичной дроби. Давайте обобщим, какое частное мы можем получить в результате деления натуральных чисел.
При делении натурального числа на натуральное число может получиться:
1) натуральное число;
2) конечная десятичная дробь;
3) бесконечная периодическая десятичная дробь.
Сравните 411 и 0,365.
Решение
Запишем обыкновенную дробь 411в виде периодической дроби. Для этого поделим числитель 4 на знаменатель 11 в столбик:
411=0,363…
Сравним поразрядно получившиеся дроби 0,363… и 0,365. Заметим, что в разряде тысячных первой дроби — цифра 3, второй дроби — 5, 3 < 5, значит и 0,363… < 0,365. Тогда 411< 0,365.
Ответ: 411< 0,365.
Десятичное приближение обыкновенной дроби
Вы уже научились в 5 классе округлять десятичные дроби:
0,4175 ≈ 0,4 (округление до десятых)
0,4175 ≈ 0,42 (округление до сотых)
0,4175 ≈ 0,418 (округление до тысячных).
Это действие можно совершать и с бесконечными периодическими дробями:
3,(45) = 3,4|5 ≈ 3,5 (до десятых);
3,(45) = 3,45|45 ≈ 3,45 (до сотых);
3,(45) = 3,454|5 ≈ 3,455 (до тысячных).
Представим обыкновенную дробь 56 в виде периодической дроби: 56≈0,8333…=0,8(3).
Округлим полученную дробь до сотых, для этого оставим в дробной части 3 цифры: 0,83|3≈0,83.
Полученное значение называют
десятичным приближением
до сотых дроби 56.
Правило десятичного приближения обыкновенной дроби до нужного разряда
1) Выполнить деление до следующего разряда.
2) Полученную конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь округлить до нужного разряда.
Упражнения
1. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите ее период:
1) 211; 2) 1445.
2. Найдите десятичное приближение 1533 до сотых и до тысячных.
1. Что такое периодическая дробь? Почему она так называется? Является ли она конечной десятичной дробью?
2. Как найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда?
Ответы
1. 1) 0,(18); 2) 0,3(1).
2. 0,45 и 0,455.
Смешанное число, состоящее из целого числа и дробной части,
1) переводим в неправильную дробь, то есть дробь, в которой числитель больше знаменателя.Затем, число большее делим на меньшее (можно даже «столбиком»).И получаем целую часть, и приписанную к ней дробную часть в виде десятичной дроби.Деление может произвестись не полностью, а с тем количеством знаков, которое обычно оговаривается в задании.
2)вторым способом перевода считается следующий способ:Целую часть смешанного числа оставляем без изменения, а дробь переводим в десятичную путём деления до нужного десятичного знака.И приписываем к целой части десятичную дробь.
Пример: перевести дробь 5 712 в десятичное число.
Оставим целое 5 без изменения, переводим 712 в десятичное число.712=0,583.