Как найти диагональ на координатной плоскости

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

• Длины всех сторон квадрата равны.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Задача 31272 Известна точка пересечения диагоналей.

Условие

Известна точка пересечения диагоналей квадрата К( 1,5; 2,5) и уравнение одной из его сторон х-4у = 0. Найти координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.

Все решения

Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x
k=1/4
tg α =1/4

Уравнение диагонали в общем виде:
y=k_(1)x+b

(Диагонали квадрата являются биссектрисами прямых углов квадрата, значит угол между стороной и диагональю квадрата равен 45^(o))

Так как
tg( β — α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )
и

y=(5/3)x+b — уравнение диагонали

Подставим координаты точки К

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b
Подставим координаты точки К
2,5=(-3/5)*1,5+b
b=3,4

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(5/3)х
<х-4у=0
<у=(5/3)х

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(-3/5)х+3,4
<х-4у=0 ⇒ y=(1/4)x
<у=(-3/5)х+3,4

Координаты двух других точек можно найти из симметрии.

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Задача 34286 Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из.

Условие

Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из сторон квадрата, а точка M(1;2) его вершина. Составить уравнение остальных сторон квадрата

Решение

Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0
это длина стороны квадрата

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1
k=4
k=tg α ;
Значит прямая c угловым коэффициентом 4 — это диагональ прямоугольника, размеры 1 × 4 ( длина 1, высота 4: tgα=4/1)

Параллельная ей прямая проходит через точку М
k=4
y=4x+m
Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=4*1+m
m=-2

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4⇒ 4y+x-9=0[/b]

Третья сторона имеет угловой коэффициент k=(-1/4) и находится на расстоянии 3/sqrt(17) от точки M (1;2)

9-4n=-3 или 9-4n=3
n=3 или n=3/2
[b]4y+x-12 =0[/b] или [b]4y+x-6=0[/b]

О т в е т. [b]y=4x-2[/b]; [b]4y+x-9=0[/b]; [b]4y+x-12 =0[/b] (или [b] 4y+x-6=0[/b])

Формулы и способы как находить диагональ квадрата

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

Определения и соглашения

1. Квадрат — это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
2. Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
3. Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
4. Корень квадратный из числа, это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical — корень).
5. Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали, если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a. Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади.

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS.

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр. В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ, который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R. Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r.

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

Хочется ещё отметить, что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Продолжая нашу цепочку и далее, мы научимся строить отрезки равные любому иррациональному числу.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Как рассчитать диагональ прямоугольника

Замкнутая геометрическая фигура, образованная двумя парами лежащих друг напротив друга параллельных отрезков одинаковой длины, называется параллелограммом. А параллелограмм, все углы которого равны 90°, называют еще и прямоугольником. В этой фигуре можно провести два отрезка одинаковой длины, соединяющих противоположные вершины — диагонали. Длина этих диагоналей вычисляется несколькими способами.

Инструкция

Если известны длины двух смежных сторон прямоугольника (А и В), то длину диагонали (С) определить очень просто. Исходите из того, что диагональ лежит напротив прямого угла в треугольнике, образуемом ею и этими двумя сторонами. Это позволяет применить в расчетах теорему Пифагора и вычислить длину диагонали, найдя квадратный корень из суммы возведенных в квадрат длин известных сторон: С=v(А?+В?).

Если известна длина лишь одной стороны прямоугольника (А), а также величина угла (?), который с ней образует диагональ, то для вычисления длины этой диагонали (С) придется использовать одну из прямых тригонометрических функций — косинус. Разделите длину известной стороны на косинус известного угла — это и будет искомая длина диагонали: С=А/cos(?).

Если прямоугольник задан координатами своих вершин, то задача вычисления длины его диагонали сведется к нахождению расстояния между двумя точками в этой системе координат. Примените теорему Пифагора к треугольнику, который образуют проекции диагонали на каждую из координатных осей. Допустим, прямоугольник в двухмерных координатах образован вершинами A(X?;Y?), B(X?;Y?), C(X?;Y?) и D(X?;Y?). Тогда вам нужно вычислить расстояние между точками A и C. Длина проекции этого отрезка на ось X будет равна модулю разности координат |X?-X?|, а проекции на ось Y — |Y?-Y?|. Угол между осями равен 90°, из чего вытекает, что эти две проекции являются катетами, а длина диагонали (гипотенузы) равна квадратному корню из суммы квадратов их длин: AC=v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?).

Для нахождения диагонали прямоугольника в трехмерной системе координат действуйте так же, как в предыдущем шаге, лишь добавив в формулу длину проекции на третью координатную ось: AC=v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?+(Z?-Z?)?).

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Как найти точку пересечения диагоналей четырехугольника

Общее уравнение прямой у= кх+в. Найдём уравнение прямой проходящей через точки А и С. А(-1;-3) тогда -3=-к+в (просто подставляем вместо х (-1), а вместо у (-3)). Аналогично для С(5;2) 2=5к+в. Решаем систему

5=6к, к=5/6, в= -3+5/6=-2цел1/6

значит у=5/6х- 2цел1/6

Так как у точек В(3;5) и D(3;-5) абсциссы одинаковые, то уравнение прямой х=3

Подставим в первое уравнение х = 3 и найдём у

у=(5/6)*3 – 2цел1/6=15/6 – 13/6=2/6=1/3

Тогда точка пересечения диагоналей О(3;1/3)

В четырехугольнике с вершинами $%A(5,6), B(8,-1), C(-7,2), D(-1,8)$% найти точку пересечения диагоналей $%AC$% и $%BD$%.

Нашел координаты $%AC$% и $%BD$%, составил уравнения (исходя из того, что диагонали перпендикулярны). Подставив в первое точку $%C$%, а во второе точку $%D$% составил полные уравнения. Решил систему из двух уравнений и получил неверные ответы.

Может быть дело в том, что диагонали необязательно перпендикулярны и надо по-другому составлять уравнения?

задан 11 Июн ’12 8:41

AlexeyVorobyev
85 ● 2 ● 6 ● 13
100&#037 принятых

Зачем попарно – не нужно это. Пусть p1,p2,p3,p4 – это точки с указанными координатами. Берем точку p1. Нужно найти какая из точек p2,p3,p4 является противоположной. Перебираем 3 варианта.Вариант 1. Строим прямую через p1 и p2. Определяем лежат ли точки p3 и p4 относительно этой прямой по разные стороны или по одну сторону. Если по разные стороны, то прямая через p1 и p2 и есть диагональ ! А раз это диагональ, то нужно построить вторую диагональ через p3 и p4. Потом найти их пересечение.Если у нас получилось что p3 или p4 лежит на прямой через p1 и p2, то это значит у нас кривой четырехугольник Если первый вариант не подошел, то перебираем два других варианта.Программу сам напиши.

Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD, если известны координаты его вершин А В С D ( — 1 ; — 3) (3 ; 5) (5 ; 2) (3 ; — 5)?

Математика | 10 — 11 классы

Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD, если известны координаты его вершин А В С D ( — 1 ; — 3) (3 ; 5) (5 ; 2) (3 ; — 5).

Общее уравнение прямой у = кх + в.

Найдём уравнение прямой проходящей через точки А и С.

А( — 1 ; — 3) тогда — 3 = — к + в (просто подставляем вместо х ( — 1), а вместо у ( — 3)).

Аналогично для С(5 ; 2) 2 = 5к + в.

Решаем систему — 3 = — к + в

2 = 5к + в Отсюда

5 = 6к, к = 5 / 6, в = — 3 + 5 / 6 = — 2цел1 / 6

значит у = 5 / 6х — 2цел1 / 6

Так как у точек В(3 ; 5) и D(3 ; — 5) абсциссы одинаковые, то уравнение прямой х = 3

Подставим в первое уравнение х = 3 и найдём у

у = (5 / 6) * 3 — 2цел1 / 6 = 15 / 6 — 13 / 6 = 2 / 6 = 1 / 3

Тогда точка пересечения диагоналей О(3 ; 1 / 3).

Отметьте на координатной плоскости точку А( — 1 ; 3) и точки M, N, P координаты которых равны или противоположны точке А?

Отметьте на координатной плоскости точку А( — 1 ; 3) и точки M, N, P координаты которых равны или противоположны точке А.

Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника AMNP.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершины B( — 4 ; 2 ; 3) и D1(2 ; — 8 ; 1) Определите координаты точки пересечения его диагоналей ?

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершины B( — 4 ; 2 ; 3) и D1(2 ; — 8 ; 1) Определите координаты точки пересечения его диагоналей ?

2. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD : А (–6 ; 1), В (0 ; 5), С (6 ; –4), D (0 ; –8)?

2. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD : А (–6 ; 1), В (0 ; 5), С (6 ; –4), D (0 ; –8).

Докажите, что ABCD – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

По известным координатам трех вершин параллелограмма найти координаты четвертой вершины и точки пересечения диагоналей, если А(1 ; 0 ; 3), В(4 ; 5 ; 0), С(5 ; 4 ; 3)?

По известным координатам трех вершин параллелограмма найти координаты четвертой вершины и точки пересечения диагоналей, если А(1 ; 0 ; 3), В(4 ; 5 ; 0), С(5 ; 4 ; 3).

Записать координаты вершин А, В, С параллелограмма ABCD, найти координаты вершины D и точки О (пересечения диагоналей параллелограмма)?

Записать координаты вершин А, В, С параллелограмма ABCD, найти координаты вершины D и точки О (пересечения диагоналей параллелограмма).

Записать уравнение стороны АВ и высоты СН.

Даны координаты двух вершин треугольника ( — 18, 14), (22, 34) и точки пересечения высот ( — 2, 10)?

Даны координаты двух вершин треугольника ( — 18, 14), (22, 34) и точки пересечения высот ( — 2, 10).

Найти координаты третьей вершины треугольника.

Найдите координаты вершины и координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСД А(0, 0, 0) В(1, 2, 3) С ( — 1, 1, — 2)?

Найдите координаты вершины и координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСД А(0, 0, 0) В(1, 2, 3) С ( — 1, 1, — 2).

Постройте четырехугольник АВСD по координатам точек А( — 6 ; 2), В(6 ; 5), С1 ; — 3)D( — 7 ; 1)?

Постройте четырехугольник АВСD по координатам точек А( — 6 ; 2), В(6 ; 5), С1 ; — 3)D( — 7 ; 1).

Найдите координаты точки пересечения отрезков АС BD.

! СРОЧНО?

В параллелограмме ABCD известны координаты точки пересечения диагоналей Е (1 ; — 2) и двух верршин А ( — 4 ; — 3) и В ( — 2 ; 5).

Найдите координаты двух других вершин параллелограмма.

В параллелограмме ABCD известны координаты точки пересечения диагоналей Е (1 ; — 2) и двух верршин А ( — 4 ; — 3) и В ( — 2 ; 5)?

В параллелограмме ABCD известны координаты точки пересечения диагоналей Е (1 ; — 2) и двух верршин А ( — 4 ; — 3) и В ( — 2 ; 5).

Найдите координаты двух других вершин параллелограмма.

На этой странице находится ответ на вопрос Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD, если известны координаты его вершин А В С D ( — 1 ; — 3) (3 ; 5) (5 ; 2) (3 ; — 5)?, из категории Математика, соответствующий программе для 10 — 11 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.

За один час он проплыл против течения 1 * (12 — 2) = 10 км значит по течению до места отправки он будет сплавляться 10 : 2 = 5 часов Ответ : 5 часов.

Alina iunches in the afternoon.

Алина обедает днём — Alina lunches in the afternoon.

X — 1 число, 0, 23x — 2 число. 0, 23x + x = 4, 92 1, 23x = 4, 92 x = 4 — 1 число 4, 92 — 4 = 0, 92 — 2 число.

1)9 : 3 = 3(л) — в 1 кувшине 2)3 * 6 = 18(л).

НОД(5, 15) = 5 НОД(12, 48) = 12 НОД(51, 65) = 13 НОД(232, 261) = 1 НОД(124, 148) = 4.

А)нет б)да в)да г)нет д)да е)нет.

Наибольшее 9876543210 Наименьшее 0, 987654321.

1) на 1 ч 30 мин 2) на 4ч 1 мин 3) на 24 мин 23с 4) на 1ч 8мин.

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь

1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры	3	5	1	7

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазина	Расход краски	Масса краски в одной банке	Стоимость одной банки краски	Стоимость доставки заказа
1	0,25 кг/кв.м	6 кг	3000 руб.	500 руб.
2	0,4 кг/кв.м	5 кг	1900 руб.	800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить