Как найти диагональ основания правильной усеченной пирамиды

Можно ввести 4000 cимволов

Усечённой пирамидой  ABCDA₁B₁C₁D₁  называется часть пирамиды  SABCD, заключённая между её основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Основаниями усечённой пирамиды называются параллельные грани  ABCD  и  A₁B₁C₁D₁  (ABCD – нижнее основание, A₁B₁C₁D₁ – верхнее основание).

Высотой усечённой пирамиды называется отрезок прямой, перпендикулярный её основаниям и заключённый между их плоскостями.

Усечённая пирамида называется правильной, если её основания – правильные многоугольники и прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

Апофемою правильной усечённой пирамиды называют высоту её боковой грани.

Свойства  усечённой пирамиды.

Основания – подобные многоугольники.

Боковые грани – трапеции.

Отношение высоты к высоте пирамиды, из которой она получена, равно отношению разности сторон одной грани к длине нижнего основания этой самой грани.

Поверхность усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

Полная поверхность усечённой пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований.

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны  5  и  11 дм, а диагональ пирамиды – 12 дм. Определите боковую поверхность пирамиды.

АС = 11√͞͞͞͞͞2  (дм),  
A₁С₁ = 5√͞͞͞͞͞5  (дм).

S_бок = ¹/₂ (44 + 20)×5 = 160 (дм²).

ОТВЕТ:

S = 160 дм² = 1,6 м². 

ЗАДАЧА:

Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды
равна  4
см. Стороны оснований равны  2
см  и 
8 см. Найдите площадь диагональных сечений.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Диагональные сечения 
AA₁C₁D  и  BB₁D₁D– равные равнобедренные трапеции с высотой  ОО₁ = h = 4 см  и с основаниями
– диагоналями оснований  АС  и  А₁С₁  та  ВD  и  В₁D₁  соответственно. ABCD – квадрат, а поэтому

AC² = AD² + CD² =

= 8² + 8² = 128,

AC = √͞͞͞͞͞128 = 8√͞͞͞͞͞2 (cм).

A₁B₁C₁D₁ – квадрат, а поэтому

A₁C₁² = A₁D₁² + C₁D₁² = 2² + 2² = 8,

A₁C₁ = √͞͞͞͞͞8 = 2√͞͞͞͞͞2 (cм).

ОТВЕТ:  20√͞͞͞͞͞2 (cм²)

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота
равна  2
см, а стороны оснований – 3 см  и  5
см. Найдите диагональ этой пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Диагональным сечением данной пирамиды
является равнобедренная трапеция  АА₁С₁С.

Так как 
А₁С₁  и  АС –
диагонали квадратов, А₁В₁С₁D₁  и  ABCD, то 

А₁С₁ = А₁В₁ ∙ √͞͞͞͞͞2 = 3√͞͞͞͞͞2 (см)  и  

АС = АВ ∙ √͞͞͞͞͞2 = 5√͞͞͞͞͞2 (см).

Проведём 
А₁К ⊥
АС 
и  С₁Н ⊥ АС. Тогда  А₁С₁НК – прямоугольник
и  А₁С₁ =
КН. Так что, прямоугольные треугольники  АА₁К  и  СС₁Н  равны по гипотенузе и катету.

Тогда,

АК = СН = ¹/₂ (АС – А₁С₁) =

^= 1/₂ (5√͞͞͞͞͞2 – 3√͞͞͞͞͞2) = √͞͞͞͞͞2  (см).

Тогда,

СК = АС – АК = 5√͞͞͞͞͞2 – √͞͞͞͞͞2 =
4√͞͞͞͞͞2  (см),

и по
теореме Пифагора в  ∆ А₁СК:

ОТВЕТ:  6 см

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной пирамиде плоскость, проведённая
параллельно основанию, делит высоту пирамиды пополам. Найдите сторону основания,
если площадь сечения равна  36 см².

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SABCD – данная правильная пирамида,

основание – квадрат 
ABCD, SO – высота, O –
точка пресечения диагоналей квадрата, φ – плоскость сечения, О₁ –
точка пересечения  φ  и  SO, φ ∥ (ABC), S = 36 cм².

Поскольку  φ ∥ (ABC),
то прямые пересечения  𝜑  и боковых граней параллельны соответственно рёбрам
основания:

A₁B₁ ∥ AB, B₁C₁ ∥ BC, C₁D₁ ∥ CD,

A₁D₁ ∥ AD, 𝜑 ⊥ SO,

можно рассмотреть гомотетию с центром  S  и коэффициентом 

которая преобразует квадрат  ABCD  в квадрат 
А₁В₁С₁D₁, стороны которого в два раза меньше, а

S_ABCD = 4S_А1В1С1D1 = 4 ∙ 36 (см²).

S_ABCD = a² = 4 ∙
36,

a = 2 ∙ 6
= 12 (см).

ОТВЕТ:  12 см

• Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
• Урок 2. Прямая призма
• Урок 3. Наклонная призма
• Урок 4. Правильная призма
• Урок 5. Параллелепипед
• Урок 6. Прямругольный параллелепипед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Пирамида
• Урок 9. Правильная пирамида
• Урок 11. Цилиндр
• Урок 12. Вписанная и описанная призмы
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Усечённый конус
• Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
• Урок 16. Сфера и шар
• Урок 17. Комбинация тел

Приложения:

Приложения: