Как найти диагональ произвольной трапеции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Найти длину диагонали трапеции

зная все четыре стороны

или две стороны и угол

или высоту, сторону и угол

или площадь, другую диагональ и угол

и еще много других формул.

1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β — углы трапеции

d₁ , d₂— диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:

Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны:

2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β — углы трапеции

h — высота трапеции

d₁ , d₂— диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции через высоту:

3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

a — нижнее основание

b — верхнее основание

α, β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия трапеции

S — площадь трапеции

d₁ , d₂— диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции :

Справедливо для данного случая :

4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

d₁ , d₂— диагонали трапеции

Формула суммы квадратов диагоналей :

Формулы диагоналей трапеции :

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 23 октября 2013

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Диагональ выпуклого четырехугольника – это отрезок, соединяющий 2 противолежащие вершины. В
зависимости от типа геометрической фигуры диагональ обладает особыми свойствами, которые необходимо
знать и уметь применять на практике, так как большинство решений задач основывается именно на них. В
данной статье рассмотрены пути определения диагоналей, проведенных в трапеции.

Основные свойства фигуры и проведенных диагоналей способствуют выведению сокращенных формул, которые
помогут в решении задач по геометрии повышенного уровня. Рассмотрим несколько способов нахождения
искомого отрезка.

Диагональ трапеции через нижнее основание, боковую сторону
и угол между ними
Диагональ трапеции через четыре стороны
Диагональ трапеции через высоту, нижнее основание и угол
при нижнем основание
Диагональ трапеции через высоту, верхнее основание и угол
при нижнем основание
Диагональ трапеции через высоту, нижнее основание и боковую
сторону
Диагональ трапеции через высоту, основании и другую
известную диагональ
Диагональ трапеции через площадь и другую известную
диагональ
Диагональ трапеции через высоту, среднию линию и другую
известную диагональ
Диагональ равнобедренной трапеции через основании и боковую
сторону
Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и среднию
линию
Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и
основании
Диагональ равнобедренной трапеции через площадь и угол
между диагоналями
Диагональ прямоугольной трапеции через основание и
сторону
Диагональ прямоугольной трапеции через основание и
высоту

Вычисление через нижнее основание, боковую сторону и угол между ними

Зная длину стороны, большего основания трапеции и противолежащий по отношению к диагонали угол, можно
быстро найти результат благодаря формуле:

D = √(a² + b² — 2ac * cos β)

где c — сторона трапеции, a — основание, β – угол между ними.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В трапеции проведена диагональ, противолежащий к ней острый угол равен 75
градусам. Прилежащие к данному углу основание и сторона трапеции равны 6,1 и 7 см. Найти проведенный
отрезок. D = √(6,1² + 7³ — 2 * 6,1 * 7 * cos75°) = 8 см – искомая
величина.

Вычисление через известные длины четырех сторон трапеции

Допустим, что a, b – основания, c и d – боковые стороны. Значение диагонали с учетом этих данных
легко можно найти, подставив их в формулу:

D =√(c² + ab — a * (c² — d²) / (a — b))

где a, b — основания, c, d — боковые стороны трапеции.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана трапеция с боковыми сторонами 6 и 5 см, основаниями 4 и 8 см. Нужно
найти диагональ, которая лежит против угла. Применим данную формулу для решения: D = √(36 + 4 * 8 — 4(36 — 25) / (8 — 4)) = √(36 + 32 — 44 / 4) = 7,5 см
– неизвестная диагональ.

Вычисление через высоту, нижнее основание и угол при нижнем основании

Зная длину проведенной в трапеции высоты к нижнему основанию, значение которого также известно, и
один из двух углов при нижнем основании фигуры, можно найти диагональ, применив формулу:

D = √(h² + (a — h * ctg β)²)

где h — высота, a — нижнее основание, β – внутренний угол при основании.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. К нижнему основанию трапеции равному 7 м проведена высота, длина которой 8
м. Известен угол между нижним основанием и боковой стороной — 71°. Найти диагональ,
противолежащую известному углу. D = √(64 + (7 — 8 * ctg 71°)²) = 9 м
– длина искомого отрезка.

Вычисление через высоту, верхнее основание и угол при нижнем основании

В данном случае не нужно тратить время на поиски нижнего основания трапеции, стоит воспользоваться
формулой:

D = √(h² + (b + h * ctg α)²)

где b – длина верхнего основания трапеции.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. К нижнему основанию трапеции проведена высота длиной 6 мм. Длина верхнего
основания фигуры равна 4 мм, а внутренний угол — 71°. Найти: значение диагонали трапеции,
проходящей через вершину известного угла. D = √(36 + (4 + 6 * ctg 71°)²) = 8,5 мм.

Вычисление через высоту, нижнее основание и боковую сторону

Если известна длина одной из боковых сторон, нижнее основание и высота, проведенная к нему,
необходимо применить формулу:

D = √(a² + c² — 2a * √(c² — h²))

где a – нижнее основание трапеции, c – боковая сторона, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В трапеции проведена высота длиной 8 см к нижнему основанию длиной 7 см.
Известно, что одна из боковых сторон равна 9 см. Найти: диагональ, противолежащую острому углу между
нижним основанием и известной боковой стороной. D = √(49 + 81 — 14√81 — 64) = √(130 — 14√17) = √72,3 = 8,5 см
– искомая величина.

Вычисление через высоту, основании и другую известную диагональ

Кроме данных о высоте, верхнем и нижнем основании, одной из диагоналей, необходимо значить величину
углов, образующихся при пересечении диагоналей трапеции. Известно, что углы между отрезками
считаются смежными, а значит их синусы равны. Таким образом, подставляем все данные в формулу:

D = h(a+b) / d * sin α

где a, b – основания трапеции, α – острый или тупой угол между диагоналями, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана трапеция с основаниями 15 и 5 мм. Проведена высота длиной 10 мм, а
длина большей диагонали равна 20 мм. Найти: вторую диагональ, если известно, что угол при
пересечении отрезков равен 60°. D = 20(15 + 5) / 20 * sin 60° = 20 / sin 60° = 11,54 мм.

Вычисление через площадь трапеции и другую известную диагональ

Здесь также понадобится значение угла между данными отрезками. Способ нахождения через известную
площадь фигуры и другую диагональ имеет формулу вида:

D = 2S / d * sin α

где S – площадь, α – угол, d — известная диагональ

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана трапеция площадью 87 мм² с диагональю длиной 14,7 мм. Как найти
неизвестную диагональ, если угол между отрезками равен 65 градусам. D = 2 * 87 / 14,7 * sin 65° = 174 / 14,7 * sin 65° = 13 мм
– искомая величина.

Вычисление через высоту, среднюю линию и другую известную диагональ

Средняя линия трапеции – это отрезок, проходящий через середины боковых сторон данного
четырёхугольника. Через это значение искомая диагональ находится по формуле:

D = 2 * mh / d * sin α

где буквой m обозначается средняя линия трапеции, h — высота, d — известная
диагональ.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Диагонали трапеции, одна из которых равна 19 мм, пересекаются под углом 65
градусов. Проведена средняя, длина которой 8 мм, а высота трапеции равна 15,5 мм. Найти: вторую
диагональ. D = 2 * 8 * 15,5 / 19 * sin 65° = 13 * sin 65° = 14,4 мм –
длина неизвестной диагонали.

Диагональ равнобедренной трапеции через основания и боковую сторону

Равнобедренная трапеция – часто встречающийся вид данного четырёхугольника. Основными признаками
равнобедренной фигуры служит равенство внутренних углов при основании, а также равенство диагоналей.
Найти диагональ, проведенную в равнобедренной трапеции, можно несколькими способами. К примеру,
вычислить искомую величину можно по формуле:

D = √(c² + a * b)

где c – известная боковая сторона, a и b – верхнее и нижнее основание трапеции.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Углы трапеции при основаниях, равных 8 и 18 см, имеют одинаковую градусную
меру. Одна из боковых сторон равна 6 см. Найти: диагональ. Из равенства углов делаем вывод, что дана
равнобедренная трапеция. Затем подставляем известные значения в формулу: D = √(36 + 8 * 18) = √180 = 13,4 см
– длина диагоналей равнобедренной трапеции.

Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и среднюю линию

Зная длину высоты и отрезок, проходящий через середины сторон равнобедренной трапеции, можно легко
найти искомую величину по формуле:

D = √(h² + m²)

где буквой m обозначена средняя линия, а h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В трапеции проведена высота длиной 7 м, диагонали равны. Как найти
диагонали, если известна длина средней линии – 9 м? Из равенства диагоналей можно сделать вывод, что
трапеция равнобедренная. А значит, что для быстрого решения нужно воспользоваться выше указанной
формулой: D = √(7² + 9²) = √(49+81) = √130 = 14,4 м – диагонали трапеции.

Диагональ равнобедренной трапеции через высоту, верхнее и нижнее основание

Формула нахождения искомого отрезка при помощи высоты и известных величин оснований имеет следующий
вид:

D = √(h² + (a² + b²) / 4)

где a и b – верхнее и нижнее основание равнобедренной трапеции, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана равнобедренная трапеция, в которой к нижнему основанию проведена высота
длиной 7 см. Основания – 5 и 11 см. Найти: диагонали. D = √(7² +(5² + 11²) / 4) = √(49 + 146 / 4) = √85,5 = 10,6 см
– длина диагоналей.

Диагональ равнобедренной трапеции через площадь и угол между диагоналями

Как уже говорилось, синусы углов, образованных пересечением диагоналей, равны, так как углы являются
смежными. Поэтому для вычисления по следующей формуле, необходим любой из этих углов. Формула:

D = √2*S / sin α

где S — площадь, sin α — угол между диагоналями.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 86 мм². Найти: длину
диагоналей, один из углов при пересечении которых равен 120 градусам. D = √(2 * 86 / sin 120°) = √(172 / sin 120°) = 14 мм.

Диагональ прямоугольной трапеции через основание и сторону

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон расположена перпендикулярно основаниям (под углом
90°). Зная одно из оснований такого четырёхугольника и боковую сторону, можно легко найти диагональ,
применив следующую формулу:

D = √(a² + c²)

где a – основание, c — сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Внутренний угол трапеции между боковой стороной и основаниями равен 90
градусам. Сторона равна 20 м, нижнее основание – 15 м. Найти: диагональ трапеции, противолежащую
прямому углу. Исходя их известных данных, делаем вывод, что дана прямоугольная трапеция. Затем
подставляем значения в формулу: D = √(20²+15²) = 25 м. Аналогичный способ
решения можно применить для того случая, когда известна длина верхнего основания.

Диагональ прямоугольной трапеции через основание и высоту

В данном случае высота равна боковой стороне, перпендикулярной основанию, поэтому вместо стороны в
формулу просто подставляется значение высоты при необходимости:

D = √(a² + h²)

где a — основание, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана прямоугольная трапеция с высотой равной 15 см и основанием — 10
см. Найти: диагональ. D = √(15² + 10²) = 18 см.

Трапеция – выпуклая плоская геометрическая фигура, которая представляет собой четырёхугольник.
Обязательным условием данного вида является параллельность двух сторон (они называются основаниями).
Как и упоминалось выше, в зависимости от боковых сторон трапеция может быть равнобедренной и
прямоугольной.

Рассмотрим некоторые свойства четырёхугольника, знание которых необходимо для решения самых
простейших задач:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон.
Средняя линия параллельна основаниям, M=(a+b)/2, где a и b – основания.
На одной прямой лежат точки пересечения диагоналей и продолжения длин боковых сторон.

Диагональ, построенная в данной фигуре, отличается следующими свойствами:

Диагонали разделяют фигуру на 2 подобных треугольника, углы которых равны, а стороны
пропорциональны.
Проведенные диагонали также образуют 2 идентичных треугольника, стороны которых совпадают со
сторонами трапеции.
Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий основания фигуры, делится в
пропорции, равной соотношению оснований фигуры.
Отрезок, проходящий через середины диагоналей, делит боковые стороны трапеции на 2 равные
части.

В решении задач значение диагонали поможет определить немалое количество нужных величин: высота,
площадь, периметр, все стороны и среднюю линию трапеции, внутренние углы. Хорошие навыки применения
тригонометрических функций способствуют быстрой скорости решения по данных формулам, которые
значительно облегчают и ускоряют процесс.

Источник

Виды трапеции

Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме
$$
FE = {AB + DC over 2}
$$
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD
Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е.
$$
KL = {DC — AB over 2}
$$
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований

Формулы площади произвольной трапеции

Площадь трапеции через основания и высоту

$$
S = {AB + DC over 2} * AG
$$

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

$$
S = FE * AG
$$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

$$
S = {AC * BD over 2} * sin(∠AOD) = {AC * BD over 2} * sin(∠AOB)
$$

Площадь трапеции через четыре стороны

$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$

Формулы площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции через стороны

$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$

Площадь трапеции через стороны и угол

$$
S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC))
$$
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC))
$$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

$$
S = {AC^2 over 2} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2} * sin(∠BOC)
$$

Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

$$
S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB)
$$

Площадь трапеции если в нее вписана окружность

$$
S = {4 * R_В^2 over sin(∠ADC)} = {4 * R_В^2 over sin(∠DAB)}
$$
$$
S = {AB * DC over sin(∠ADC)} = {AB * DC over sin(∠DAB)}
$$

Формулы сторон произвольной трапеции

Основание через другое основание и среднюю линию

$$
AB = 2 * FE — DC
$$
$$
DC = 2 * FE — AB
$$

Основание через другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длины сторон

$$
DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
BC = {AG over sin(∠BCD)}
$$

Формулы сторон равнобедренной трапеции

Длины сторон

$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {DC — AB over 2 * cos(∠ADC)}
$$
$$
DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AB * cos(∠ADC)
$$

Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание

$$
DC = {AC^2 — DA^2 over AB}
$$
$$
AB = {AC^2 — DA^2 over DC}
$$

Длина боковой стороны через диагональ и основания

$$
AD = sqrt{AC^2 — AB * DC}
$$

Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции

$$
DC = {2 * S over AG} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AG} — DC
$$

Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании

$$
AD = {S over FE * sin(∠ADC)} = {S over FE * sin(∠DAB)}
$$

Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании

$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠DAB)}
$$

Формулы сторон прямоугольной трапеции

Длины оснований

$$
DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
DC = AB + sqrt{BC^2 — AD^2}
$$
$$
AB = DC — sqrt{BC^2 — AD^2}
$$

Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту

Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG)
$$
DC = {2 * S over AD} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AD} — DC
$$

Формулы диагоналей произвольной трапеции

Длина диагоналей через четыре стороны

$$
BD = sqrt{BC^2 + DC * AB — {DC * (BC^2 — AD^2) over DC — AB}}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + DC * AB — {DC * (AD^2 — BC^2) over DC — AB}}
$$

Длина диагоналей по теореме косинусов

$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * BC * cos(∠BCD)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$

Длина диагоналей через высоту

$$
BD = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
BD = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * sqrt{BC^2 — AG^2}}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$

Длина диагоналей через стороны и другую диагональ

$$
BD = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — AC^2}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — BD^2}
$$

Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {AG * (DC + AB) over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {AG * (DC + AB) over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {2 * S over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * S over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {2 * FE * AG over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * FE * AG over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Формулы диагоналей равнобедренной трапеции

Длина диагоналей через стороны

$$
AC = sqrt{AD^2 + AB * DC}
$$

Длина диагоналей по теореме косинусов

$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 + 2 * DC * AD * cos(∠DAB)}
$$

$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 — 2 * AB * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 + 2 * AB * AD * cos(∠ADC)}
$$

Длина диагоналей

$$
AC = sqrt{AG^2 + FE^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + {(DC + AB)^2 over 4 }}
$$
$$
AC = sqrt{{AG * (AB + DC) over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * S over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * FE * AG over sin(∠AOD)}}
$$

Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании

$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$

Длина диагоналей через сторону и высоту

$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$

Формулы диагоналей прямоугольной трапеции

$$
BD = sqrt{AD^2 + AB^2}
$$
$$
AC = sqrt{AC^2 + DC^2}
$$

Формулы средней линии произвольной трапеции

Длина средней линии через основания

$$
FE = {DC + AB over2}
$$

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Длина средней линии через площадь и высоту

$$
FE = {S over AG}
$$

Формулы средней линии равнобедренной трапеции

Длина средней линии через основания

$$
FE = {DC + AB over2}
$$

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC)
$$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту

$$
FE = DC — sqrt{AD^2 — AG^2} = AB + sqrt{AD^2 — AG^2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Длина средней линии через площадь и боковую сторону

$$
FE = {S over AD * sin(∠ADC)}
$$

Формулы средней линии прямоугольной трапеции

Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании

$$
FE = DC — BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через основания и боковые стороны

$$
FE = DC — {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$
$$
FE = AB + {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Формулы высоты произвольной трапеции

Длина высоты через четыре стороны

$$
AG = sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$
AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD)
$$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через площадь и основания

$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$

Длина высоты через площадь и среднюю линию

$$
AG = {S over FE}
$$

Формулы высоты равнобедренной трапеции

Длина высоты через по сторонам

$$
AG = sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$
AG = AD * sin(∠ADC)
$$

Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию

$$
AG = {DC — AB over 2} * tg(∠ADC)
$$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через площадь и основания

$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$

Длина высоты через площадь и среднюю линию

$$
AG = {S over FE}
$$

Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции

Сторона AD

Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.

Сторона BC по трём сторонам

$$
BC = sqrt{AD^2 + (DC — AB)^2}
$$

Сторона BC через основания и угол ∠BCD

$$
BC = {DC — AB over cos(∠BCD)}
$$

Сторона BC через Сторону AD

$$
BC = {AD over sin(∠BCD)}
$$

Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD

$$
BC = {S over FE * sin(∠BCD)}
$$

Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD

$$
BC = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠BCD)}
$$

Источник

Трапеция является нестандартным четырехугольником, в котором две из сторон – основания трапеции, параллельны друг другу. Если в трапеции провести диагонали, то они образуют серию подобных треугольников, и пропорциональные соотношения их сторон приводят к основному свойству трапеции, объединяющему диагонали трапеции и ее четыре стороны:
d₁²+d₂²=c²+d²+2ab , где a и b – это основания трапеции, а c и d – ее боковые стороны.

Эти же свойства образованных диагоналями подобных и равновеликих треугольников обуславливают следующие отдельные формулы для диагоналей трапеции через стороны:

В приведенных формулах длина диагонали d₁ обозначает диагональ трапеции, которая образует треугольник с основанием трапеции a и боковой стороной d, а длина диагонали d₂ равна по значению, соответственно, той линии, которая соединяет основание трапеции b и боковую сторону c.

Источник

Найти диагональ трапеции можно несколькими способами. В основе первого способа лежит теорема косинусов в треугольнике, который получается внутри трапеции при проведении диагонали. Если известны одно из оснований трапеции и прилежащая к нему боковая сторона, а также угол между ними, то формула диагонали будет такая же, как и для параллелограмма:

Можно вычислить диагональ трапеции через стороны. Для этого необходимо знать все четыре стороны. Выведение этой формулы основано на параллельности оснований трапеции, и прямоугольными треугольниками, которые образует высота, проведенная из вершин верхнего основания.

Третий способ нахождения диагонали трапеции, если даны высота и средняя линия, актуален для равнобокой трапеции, то есть когда ее боковые стороны равны. Нужно начертить высоту и диагональ таким образом, чтобы они образовывали прямоугольный треугольник, тогда диагональ можно будет найти в нем по теореме Пифагора. Так как катет треугольника, лежащий на большем основании трапеции, состоит из меньшего основания и половины разности двух оснований по свойствам равнобокой трапеции, то он будет равен по значению средней линии:

Подставляя известные значения в теорему Пифагора, получаем:
d²=h²+m²

Источник