Как найти диагональ шестиугольника описанного около окружности

Шестиугольник представляет собой геометрическую фигуру, многоугольник, который имеет шесть углов и
шесть сторон.

Также существует правильный шестиугольник. Он обладает следующим свойством: все ребра и углы равны.
Каждый угол составляет 120 градусов. А также он состоит из шести правильных и равных
треугольников.

Длинная диагональ через площадь

Длинной диагональю на рисунке являются отрезки ВЕ, AD и CF. Все диагонали будут равны между собой.
Это свойство касается как правильной фигуры, так и неправильной. Для нахождения длинной диагонали
правильного шестиугольника понадобится площадь полной фигуры (правильного шестиугольника), которую
можно найти по формуле S = (a * a * √3 * 6) / 4. А диагональ находится по
следующим образом:

D = √((S / 3√3) *

где S — площадь правильного шестиугольника.

Пример. Сторона шестиугольника равна 6 см. Тогда площадь: S = (6 * 6 * √3 * 6) / 4 = 54√3 см. D = √((54√3 / 3√3) * = 12 см.

Короткая диагональ через площадь

Короткими диагоналями можно назвать BD, BF, AE или же DF. Для нахождения неизвестной стороны также,
как и в прошлой ситуации, понадобится площадь фигуры, которую возможно найти по следующей формуле:
S = (a * a * √3 * 6) / 4. После этого найденная величина подставляется в
готовую формулу:

D = √((S / √3) * 2)

где S — площадь правильного многоугольника.

Пример. Как и в прошлой задаче, ребро равно 6 см. Тогда площадь правильного
шестиугольника = 54√3 см. Далее можно находить и искомую диагональ: D = √((54√3 / √3) * 2) = 6√3

Длинная диагональ через сторону

Длинной диагональю на рисунке являются отрезки ВЕ, AD и CF. Длинную диагональ правильно
шестиугольника можно вычислить и без нахождения площади. Для выполнения математических действий и
нахождения неизвестной переменной надо знать лишь ребро многоугольника:

D = 2a

где a — сторона правильного шестиугольника.

Длинная диагональ состоит из двух сторон треугольников, прилегающих друг к другу, поэтому сторону
умножаем на 2.

Пример. В задаче дан правильный шестиугольник. Его ребро равно 3 см. Тогда длинная
диагональ равна 6 см.

Короткая диагональ через сторону

Также существует и другой способ нахождения короткой диагонали, равностороннего шестиугольника.
Например, диагонали BD. Для нахождения достаточно лишь знание стороны фигуры:

D = √(3 * a * a)

где a — сторона правильного шестиугольника.

Пример. Сторона АВ равна 10 см. Тогда BD = D = √(3 * 10 * 10) = 10√3 см = 17 см.

Для более простого понимания такой темы, как вычисление диагонали правильного шестиугольника, стоит
для начала увидеть, что данный многоугольник состоит из шести равносторонних и равных между собой
треугольников. (Неправильный шестиугольник условно можно разделить на шесть равнобедренных
треугольник). О – это центр правильного шестиугольника. Он делит диагонали на равные отрезки. Также
точка пересечения длинных диагоналей является центром вписанной и описанных окружностей. Все
диагонали также равны между собой и делят углы на две равные части, то есть выполняют функцию
биссектрисы, а также высоты или медианы, так как были проведены в равнобедренном треугольнике. Таким
образом будет легче находить какие-то неизвестные отрезки.

Однако существует и более сложный метод – через нахождение площади фигуры. Данную формулу запомнить
просто: S = (a * a * √3) / 4 – она необходима, чтобы вычислить площадь
равностороннего треугольника, где величина а является стороной. А вышеупомянутая фигура состоит из
шести таких геометрических фигур, поэтому конечная формула будет выглядеть так: S = (a * a * √3 * 6) / 4

Таким образом, шестиугольник является не такой уж и сложной фигурой, как кажется на первый взгляд.
Достаточно изучить элементарные свойства и запомнить их.

Гексагон

Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.

Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.

Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Свойства правильного шестиугольника

• все внутренние углы равны между собой
• каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
• все стороны равны между собой
• сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
• большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
• меньшая диагональ правильного шестиугольника в ( sqrt <3>) раз больше его стороны.
• vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
• правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
• диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
• инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
• nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60° .

Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ) :

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:

(r = m = alargefrac<<sqrt 3 >><2>normalsize)

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

Периметр правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

(S = pr = largefrac<<3sqrt 3 >><2>normalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Правильный шестиугольник и его свойства

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Замечание

Т.к. сумма всех углов (n) –угольника равна (180^circ(n-2)) , то каждый угол правильного (n) –угольника равен [alpha_n=dfracn cdot 180^circ]

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac <4-2>4cdot 180^circ=90^circ) ;

каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac<6-2>6cdot 180^circ=120^circ) .

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема

Если (a) – сторона правильного (n) –угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [begin S&=dfrac n2ar\ a&=2Rcdot sindfrac<180^circ>n\ r&=Rcdot cosdfrac<180^circ>n end]

Свойства правильного шестиугольника

1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R) .

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ) .

4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac<3sqrt<3>><2>a^2) .

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание

В общем случае правильный (n) -угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac<360^circ>) .

Найти площадь правильного шестиугольника

На этой странице вы найдете калькуляторы и формулы, которые помогут найти и рассчитать площадь правильного шестиугольника по стороне или радиусам вписанной и описанной окружностей.

Шестиугольник представляет собой многоугольник, к которого все внутренние углы равны 120 градусов, а все стороны равны между собой.

Через сторону

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через сторону:

cdot a^2><2>> , где a — сторона шестиугольника.

Через радиус вписанной окружности

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

cdot r^2> , где r — радиус вписанной окружности.

Через радиус описанной окружности

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

cdot R^2><2>> , где R — радиус описанной окружности.

Интересные факты

Форму правильного шестиугольника имеют пчелиные соты, сечение гаек и карандашей, кристаллическая решетка графита.

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Замечание

Т.к. сумма всех углов (n)–угольника равна (180^circ(n-2)), то каждый угол правильного (n)–угольника равен [alpha_n=dfrac{n-2}n cdot 180^circ]

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac {4-2}4cdot 180^circ=90^circ);

каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac{6-2}6cdot
180^circ=120^circ).

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема

Свойства правильного шестиугольника

1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R).

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ).

4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac{3sqrt{3}}{2}a^2).

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание

В общем случае правильный (n)-угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac{360^circ}{n}).

Правильным шестиугольником называется шестиугольник, у которого все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник обладает следующими свойствами.

– Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

– Большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.

– Меньшая диагональ правильного шестиугольника в раз больше его стороны.

– Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.

– Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.

– Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.

Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.

Шестиугольник – это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.

Выпуклый шестиугольник – это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 – 2 ) = 720 градусов.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Свойства правильного шестиугольника

• все внутренние углы равны между собой
• каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
• все стороны равны между собой
• сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
• большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
• меньшая диагональ правильного шестиугольника в ( sqrt <3>) раз больше его стороны.
• vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
• правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
• диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
• инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
• nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60° .

Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ) :

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:

(r = m = alargefrac<<sqrt 3 >><2>
ormalsize)

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

Периметр правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

(S = pr = largefrac<<3sqrt 3 >><2>
ormalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Правильным шестиугольником называется выпуклый многоугольник с шестью одинаковыми сторонами и шестью углами.

Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ):
(alpha = 120^circ)

Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
(m = alargefrac >
ormalsize)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:
(r = m = alargefrac >
ormalsize)

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:
(R = a)

Периметр правильного шестиугольника
(P = 6a)

Площадь правильного шестиугольника
(S = pr = largefrac >
ormalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.

Самая известная фигура, у которой больше четырех углов — это правильный шестиугольник. В геометрии он часто используется в задачах. А в жизни именно такой вид имеют соты на срезе.

Чем он отличается от неправильного?

Во-первых, шестиугольником является фигура с 6 вершинами. Во-вторых, он может быть выпуклым или вогнутым. Первый отличается тем, что четыре вершины лежат по одну сторону от прямой, проведенной через две другие.

В-третьих, правильный шестиугольник характеризуется тем, что все его стороны равны. Причем каждый угол фигуры тоже имеет одинаковое значение. Чтобы определить сумму всех его углов, потребуется воспользоваться формулой: 180º * (n — 2). Здесь n — число вершин фигуры, то есть 6. Простой расчет дает значение в 720º. То есть каждый угол равен 120 градусам.

В повседневной деятельности правильный шестиугольник встречается в снежинке и гайке. Химики видят ее даже в молекуле бензола.

Какие свойства требуется знать при решении задач?

К тому, что указано выше, следует добавить:

• диагонали фигуры, проведенные через центр, делят ее на шесть треугольников, которые являются равносторонними;
• сторона правильного шестиугольника имеет значение, которое совпадает с радиусом описанной около него окружности;
• используя такую фигуру, есть возможность заполнить плоскость, причем между ними не получится пропусков и не будет наложений.

Введенные обозначения

Традиционно сторона правильной геометрической фигуры обозначается латинской буквой «а». Для решения задач требуются еще площадь и периметр, это S и P соответственно. В правильный шестиугольник бывает вписана окружность или описана около него. Тогда вводятся значения для их радиусов. Обозначаются они соответственно буквами r и R.

В некоторых формулах фигурируют внутренний угол, полупериметр и апофема (являющаяся перпендикуляром к середине любой стороны из центра многоугольника). Для них используются буквы: α, р, m.

Формулы, которые описывают фигуру

Для расчета радиуса вписанной окружности потребуется такая: r = (a * √3) / 2, причем r = m. То есть такая же формула будет и для апофемы.

Поскольку периметр шестиугольника — это сумма всех сторон, то он определится так: P = 6 * a. С учетом того, что сторона равна радиусу описанной окружности, для периметра существует такая формула правильного шестиугольника: P = 6 * R. Из той, что приведена для радиуса вписанной окружности, выводится зависимость между а и r. Тогда формула принимает такой вид: Р = 4 r * √3.

Для площади правильного шестиугольника может пригодиться такая: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Задачи

№ 1. Условие. Имеется правильная шестиугольная призма, каждое ребро которой равно 4 см. В нее вписан цилиндр, объем которого необходимо узнать.

Решение. Объем цилиндра определяется как произведение площади основания на высоту. Последняя совпадает с ребром призмы. А она равна стороне правильного шестиугольника. То есть высота цилиндра — тоже 4 см.

Чтобы узнать площадь его основания, потребуется вычислить радиус вписанной в шестиугольник окружности. Формула для этого указана выше. Значит, r = 2√3 (см). Тогда площадь круга: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3 ) 2 = 37,68 (см 2 ).

Осталось сосчитать объем: V = 37, 68 * 4 = 150,72 (см 3 ).

Ответ. V = 150,72 см 3 .

№ 2. Условие. Вычислить радиус окружности, которая вписана в правильный шестиугольник. Известно, что его сторона равна √3 см. Чему будет равен его периметр?

Решение. Эта задача требует использования двух из указанных формул. Причем их необходимо применять, даже не видоизменяя, просто подставить значение стороны и вычислить.

Таким образом, радиус вписанной окружности получается равным 1,5 см. Для периметра оказывается верным такое значение: 6√3 см.

Ответ. r = 1,5 см, Р = 6√3 см.

№ 3. Условие. Радиус описанной окружности равен 6 см. Какое значение в этом случае будет у стороны правильного шестиугольника?

Решение. Из формулы для радиуса вписанной в шестиугольник окружности легко получается та, по которой нужно вычислять сторону. Ясно, что радиус умножается на два и делится на корень из трех. Необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Поэтому результат действий принимает такой вид: (12 √3) / (√3 * √3), то есть 4√3.

Правильный многоугольник

Правильный многоугольник — это многоугольник, все стороны и углы которого равны.

Вокруг правильного многоугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Центры этих окружностей совпадают.

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, все стороны и углы которого равны.

Описанный многоугольник

Если все стороны многоугольника касаются некоторой окружности , то он называется описанным многоугольником .