Как найти диагональ трапеции через среднюю линию - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Диагональ выпуклого четырехугольника – это отрезок, соединяющий 2 противолежащие вершины. В
зависимости от типа геометрической фигуры диагональ обладает особыми свойствами, которые необходимо
знать и уметь применять на практике, так как большинство решений задач основывается именно на них. В
данной статье рассмотрены пути определения диагоналей, проведенных в трапеции.

Основные свойства фигуры и проведенных диагоналей способствуют выведению сокращенных формул, которые
помогут в решении задач по геометрии повышенного уровня. Рассмотрим несколько способов нахождения
искомого отрезка.

Диагональ трапеции через нижнее основание, боковую сторону
и угол между ними
Диагональ трапеции через четыре стороны
Диагональ трапеции через высоту, нижнее основание и угол
при нижнем основание
Диагональ трапеции через высоту, верхнее основание и угол
при нижнем основание
Диагональ трапеции через высоту, нижнее основание и боковую
сторону
Диагональ трапеции через высоту, основании и другую
известную диагональ
Диагональ трапеции через площадь и другую известную
диагональ
Диагональ трапеции через высоту, среднию линию и другую
известную диагональ
Диагональ равнобедренной трапеции через основании и боковую
сторону
Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и среднию
линию
Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и
основании
Диагональ равнобедренной трапеции через площадь и угол
между диагоналями
Диагональ прямоугольной трапеции через основание и
сторону
Диагональ прямоугольной трапеции через основание и
высоту

Вычисление через нижнее основание, боковую сторону и угол между ними

Зная длину стороны, большего основания трапеции и противолежащий по отношению к диагонали угол, можно
быстро найти результат благодаря формуле:

D = √(a² + b² — 2ac * cos β)

где c — сторона трапеции, a — основание, β – угол между ними.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В трапеции проведена диагональ, противолежащий к ней острый угол равен 75
градусам. Прилежащие к данному углу основание и сторона трапеции равны 6,1 и 7 см. Найти проведенный
отрезок. D = √(6,1² + 7³ — 2 * 6,1 * 7 * cos75°) = 8 см – искомая
величина.

Вычисление через известные длины четырех сторон трапеции

Допустим, что a, b – основания, c и d – боковые стороны. Значение диагонали с учетом этих данных
легко можно найти, подставив их в формулу:

D =√(c² + ab — a * (c² — d²) / (a — b))

где a, b — основания, c, d — боковые стороны трапеции.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана трапеция с боковыми сторонами 6 и 5 см, основаниями 4 и 8 см. Нужно
найти диагональ, которая лежит против угла. Применим данную формулу для решения: D = √(36 + 4 * 8 — 4(36 — 25) / (8 — 4)) = √(36 + 32 — 44 / 4) = 7,5 см
– неизвестная диагональ.

Вычисление через высоту, нижнее основание и угол при нижнем основании

Зная длину проведенной в трапеции высоты к нижнему основанию, значение которого также известно, и
один из двух углов при нижнем основании фигуры, можно найти диагональ, применив формулу:

D = √(h² + (a — h * ctg β)²)

где h — высота, a — нижнее основание, β – внутренний угол при основании.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. К нижнему основанию трапеции равному 7 м проведена высота, длина которой 8
м. Известен угол между нижним основанием и боковой стороной — 71°. Найти диагональ,
противолежащую известному углу. D = √(64 + (7 — 8 * ctg 71°)²) = 9 м
– длина искомого отрезка.

Вычисление через высоту, верхнее основание и угол при нижнем основании

В данном случае не нужно тратить время на поиски нижнего основания трапеции, стоит воспользоваться
формулой:

D = √(h² + (b + h * ctg α)²)

где b – длина верхнего основания трапеции.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. К нижнему основанию трапеции проведена высота длиной 6 мм. Длина верхнего
основания фигуры равна 4 мм, а внутренний угол — 71°. Найти: значение диагонали трапеции,
проходящей через вершину известного угла. D = √(36 + (4 + 6 * ctg 71°)²) = 8,5 мм.

Вычисление через высоту, нижнее основание и боковую сторону

Если известна длина одной из боковых сторон, нижнее основание и высота, проведенная к нему,
необходимо применить формулу:

D = √(a² + c² — 2a * √(c² — h²))

где a – нижнее основание трапеции, c – боковая сторона, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В трапеции проведена высота длиной 8 см к нижнему основанию длиной 7 см.
Известно, что одна из боковых сторон равна 9 см. Найти: диагональ, противолежащую острому углу между
нижним основанием и известной боковой стороной. D = √(49 + 81 — 14√81 — 64) = √(130 — 14√17) = √72,3 = 8,5 см
– искомая величина.

Вычисление через высоту, основании и другую известную диагональ

Кроме данных о высоте, верхнем и нижнем основании, одной из диагоналей, необходимо значить величину
углов, образующихся при пересечении диагоналей трапеции. Известно, что углы между отрезками
считаются смежными, а значит их синусы равны. Таким образом, подставляем все данные в формулу:

D = h(a+b) / d * sin α

где a, b – основания трапеции, α – острый или тупой угол между диагоналями, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана трапеция с основаниями 15 и 5 мм. Проведена высота длиной 10 мм, а
длина большей диагонали равна 20 мм. Найти: вторую диагональ, если известно, что угол при
пересечении отрезков равен 60°. D = 20(15 + 5) / 20 * sin 60° = 20 / sin 60° = 11,54 мм.

Вычисление через площадь трапеции и другую известную диагональ

Здесь также понадобится значение угла между данными отрезками. Способ нахождения через известную
площадь фигуры и другую диагональ имеет формулу вида:

D = 2S / d * sin α

где S – площадь, α – угол, d — известная диагональ

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана трапеция площадью 87 мм² с диагональю длиной 14,7 мм. Как найти
неизвестную диагональ, если угол между отрезками равен 65 градусам. D = 2 * 87 / 14,7 * sin 65° = 174 / 14,7 * sin 65° = 13 мм
– искомая величина.

Вычисление через высоту, среднюю линию и другую известную диагональ

Средняя линия трапеции – это отрезок, проходящий через середины боковых сторон данного
четырёхугольника. Через это значение искомая диагональ находится по формуле:

D = 2 * mh / d * sin α

где буквой m обозначается средняя линия трапеции, h — высота, d — известная
диагональ.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Диагонали трапеции, одна из которых равна 19 мм, пересекаются под углом 65
градусов. Проведена средняя, длина которой 8 мм, а высота трапеции равна 15,5 мм. Найти: вторую
диагональ. D = 2 * 8 * 15,5 / 19 * sin 65° = 13 * sin 65° = 14,4 мм –
длина неизвестной диагонали.

Диагональ равнобедренной трапеции через основания и боковую сторону

Равнобедренная трапеция – часто встречающийся вид данного четырёхугольника. Основными признаками
равнобедренной фигуры служит равенство внутренних углов при основании, а также равенство диагоналей.
Найти диагональ, проведенную в равнобедренной трапеции, можно несколькими способами. К примеру,
вычислить искомую величину можно по формуле:

D = √(c² + a * b)

где c – известная боковая сторона, a и b – верхнее и нижнее основание трапеции.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Углы трапеции при основаниях, равных 8 и 18 см, имеют одинаковую градусную
меру. Одна из боковых сторон равна 6 см. Найти: диагональ. Из равенства углов делаем вывод, что дана
равнобедренная трапеция. Затем подставляем известные значения в формулу: D = √(36 + 8 * 18) = √180 = 13,4 см
– длина диагоналей равнобедренной трапеции.

Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и среднюю линию

Зная длину высоты и отрезок, проходящий через середины сторон равнобедренной трапеции, можно легко
найти искомую величину по формуле:

D = √(h² + m²)

где буквой m обозначена средняя линия, а h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В трапеции проведена высота длиной 7 м, диагонали равны. Как найти
диагонали, если известна длина средней линии – 9 м? Из равенства диагоналей можно сделать вывод, что
трапеция равнобедренная. А значит, что для быстрого решения нужно воспользоваться выше указанной
формулой: D = √(7² + 9²) = √(49+81) = √130 = 14,4 м – диагонали трапеции.

Диагональ равнобедренной трапеции через высоту, верхнее и нижнее основание

Формула нахождения искомого отрезка при помощи высоты и известных величин оснований имеет следующий
вид:

D = √(h² + (a² + b²) / 4)

где a и b – верхнее и нижнее основание равнобедренной трапеции, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана равнобедренная трапеция, в которой к нижнему основанию проведена высота
длиной 7 см. Основания – 5 и 11 см. Найти: диагонали. D = √(7² +(5² + 11²) / 4) = √(49 + 146 / 4) = √85,5 = 10,6 см
– длина диагоналей.

Диагональ равнобедренной трапеции через площадь и угол между диагоналями

Как уже говорилось, синусы углов, образованных пересечением диагоналей, равны, так как углы являются
смежными. Поэтому для вычисления по следующей формуле, необходим любой из этих углов. Формула:

D = √2*S / sin α

где S — площадь, sin α — угол между диагоналями.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 86 мм². Найти: длину
диагоналей, один из углов при пересечении которых равен 120 градусам. D = √(2 * 86 / sin 120°) = √(172 / sin 120°) = 14 мм.

Диагональ прямоугольной трапеции через основание и сторону

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон расположена перпендикулярно основаниям (под углом
90°). Зная одно из оснований такого четырёхугольника и боковую сторону, можно легко найти диагональ,
применив следующую формулу:

D = √(a² + c²)

где a – основание, c — сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Внутренний угол трапеции между боковой стороной и основаниями равен 90
градусам. Сторона равна 20 м, нижнее основание – 15 м. Найти: диагональ трапеции, противолежащую
прямому углу. Исходя их известных данных, делаем вывод, что дана прямоугольная трапеция. Затем
подставляем значения в формулу: D = √(20²+15²) = 25 м. Аналогичный способ
решения можно применить для того случая, когда известна длина верхнего основания.

Диагональ прямоугольной трапеции через основание и высоту

В данном случае высота равна боковой стороне, перпендикулярной основанию, поэтому вместо стороны в
формулу просто подставляется значение высоты при необходимости:

D = √(a² + h²)

где a — основание, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана прямоугольная трапеция с высотой равной 15 см и основанием — 10
см. Найти: диагональ. D = √(15² + 10²) = 18 см.

Трапеция – выпуклая плоская геометрическая фигура, которая представляет собой четырёхугольник.
Обязательным условием данного вида является параллельность двух сторон (они называются основаниями).
Как и упоминалось выше, в зависимости от боковых сторон трапеция может быть равнобедренной и
прямоугольной.

Рассмотрим некоторые свойства четырёхугольника, знание которых необходимо для решения самых
простейших задач:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон.
Средняя линия параллельна основаниям, M=(a+b)/2, где a и b – основания.
На одной прямой лежат точки пересечения диагоналей и продолжения длин боковых сторон.

Диагональ, построенная в данной фигуре, отличается следующими свойствами:

Диагонали разделяют фигуру на 2 подобных треугольника, углы которых равны, а стороны
пропорциональны.
Проведенные диагонали также образуют 2 идентичных треугольника, стороны которых совпадают со
сторонами трапеции.
Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий основания фигуры, делится в
пропорции, равной соотношению оснований фигуры.
Отрезок, проходящий через середины диагоналей, делит боковые стороны трапеции на 2 равные
части.

В решении задач значение диагонали поможет определить немалое количество нужных величин: высота,
площадь, периметр, все стороны и среднюю линию трапеции, внутренние углы. Хорошие навыки применения
тригонометрических функций способствуют быстрой скорости решения по данных формулам, которые
значительно облегчают и ускоряют процесс.

Источник

Найти длину диагонали трапеции

зная все четыре стороны

или две стороны и угол

или высоту, сторону и угол

или площадь, другую диагональ и угол

и еще много других формул.

1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β — углы трапеции

d₁ , d₂— диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:

Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны:

2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β — углы трапеции

h — высота трапеции

d₁ , d₂— диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции через высоту:

3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

a — нижнее основание

b — верхнее основание

α, β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия трапеции

S — площадь трапеции

d₁ , d₂— диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции :

Справедливо для данного случая :

4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

d₁ , d₂— диагонали трапеции

Формула суммы квадратов диагоналей :

Формулы диагоналей трапеции :

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 23 октября 2013

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Найти диагональ трапеции можно несколькими способами. В основе первого способа лежит теорема косинусов в треугольнике, который получается внутри трапеции при проведении диагонали. Если известны одно из оснований трапеции и прилежащая к нему боковая сторона, а также угол между ними, то формула диагонали будет такая же, как и для параллелограмма:

Можно вычислить диагональ трапеции через стороны. Для этого необходимо знать все четыре стороны. Выведение этой формулы основано на параллельности оснований трапеции, и прямоугольными треугольниками, которые образует высота, проведенная из вершин верхнего основания.

Третий способ нахождения диагонали трапеции, если даны высота и средняя линия, актуален для равнобокой трапеции, то есть когда ее боковые стороны равны. Нужно начертить высоту и диагональ таким образом, чтобы они образовывали прямоугольный треугольник, тогда диагональ можно будет найти в нем по теореме Пифагора. Так как катет треугольника, лежащий на большем основании трапеции, состоит из меньшего основания и половины разности двух оснований по свойствам равнобокой трапеции, то он будет равен по значению средней линии:

Подставляя известные значения в теорему Пифагора, получаем:
d²=h²+m²

Источник

Виды трапеции

Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме
$$
FE = {AB + DC over 2}
$$
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD
Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е.
$$
KL = {DC — AB over 2}
$$
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований

Формулы площади произвольной трапеции

Площадь трапеции через основания и высоту

$$
S = {AB + DC over 2} * AG
$$

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

$$
S = FE * AG
$$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

$$
S = {AC * BD over 2} * sin(∠AOD) = {AC * BD over 2} * sin(∠AOB)
$$

Площадь трапеции через четыре стороны

$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$

Формулы площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции через стороны

$$
S = {DC + AB over 2} * sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$

Площадь трапеции через стороны и угол

$$
S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC))
$$
$$
S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC))
$$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

$$
S = {AC^2 over 2} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2} * sin(∠BOC)
$$

Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

$$
S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB)
$$

Площадь трапеции если в нее вписана окружность

$$
S = {4 * R_В^2 over sin(∠ADC)} = {4 * R_В^2 over sin(∠DAB)}
$$
$$
S = {AB * DC over sin(∠ADC)} = {AB * DC over sin(∠DAB)}
$$

Формулы сторон произвольной трапеции

Основание через другое основание и среднюю линию

$$
AB = 2 * FE — DC
$$
$$
DC = 2 * FE — AB
$$

Основание через другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длины сторон

$$
DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD))
$$
$$
DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD)
$$
$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
BC = {AG over sin(∠BCD)}
$$

Формулы сторон равнобедренной трапеции

Длины сторон

$$
AD = {AG over sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {DC — AB over 2 * cos(∠ADC)}
$$
$$
DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AG * ctg(∠ADC)
$$
$$
DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC)
$$
$$
AB = DC — 2 * AB * cos(∠ADC)
$$

Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание

$$
DC = {AC^2 — DA^2 over AB}
$$
$$
AB = {AC^2 — DA^2 over DC}
$$

Длина боковой стороны через диагональ и основания

$$
AD = sqrt{AC^2 — AB * DC}
$$

Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC^2 over AG} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции

$$
DC = {2 * S over AG} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AG} — DC
$$

Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании

$$
AD = {S over FE * sin(∠ADC)} = {S over FE * sin(∠DAB)}
$$

Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании

$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠ADC)}
$$
$$
AD = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠DAB)}
$$

Формулы сторон прямоугольной трапеции

Длины оснований

$$
DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD)
$$
$$
DC = AB + sqrt{BC^2 — AD^2}
$$
$$
AB = DC — sqrt{BC^2 — AD^2}
$$

Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними

$$
DC = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — AB
$$
$$
AB = {AC * BD over AD} * sin(∠AOD) — DC
$$

Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту

Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG)
$$
DC = {2 * S over AD} — AB
$$
$$
AB = {2 * S over AD} — DC
$$

Формулы диагоналей произвольной трапеции

Длина диагоналей через четыре стороны

$$
BD = sqrt{BC^2 + DC * AB — {DC * (BC^2 — AD^2) over DC — AB}}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + DC * AB — {DC * (AD^2 — BC^2) over DC — AB}}
$$

Длина диагоналей по теореме косинусов

$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * BC * cos(∠BCD)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$

Длина диагоналей через высоту

$$
BD = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
BD = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
BD = sqrt{DC^2 + BC^2 — 2 * DC * sqrt{BC^2 — AG^2}}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠BCD))^2}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$

Длина диагоналей через стороны и другую диагональ

$$
BD = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — AC^2}
$$
$$
AC = sqrt{AD^2 + BC^2 + 2 * DC * AB — BD^2}
$$

Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {AG * (DC + AB) over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {AG * (DC + AB) over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {2 * S over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * S over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей

$$
BD = {2 * FE * AG over AC * sin(∠AOD)}
$$
$$
AC = {2 * FE * AG over BD * sin(∠AOD)}
$$
$$
sin(∠AOD) = sin(∠AOB)
$$

Формулы диагоналей равнобедренной трапеции

Длина диагоналей через стороны

$$
AC = sqrt{AD^2 + AB * DC}
$$

Длина диагоналей по теореме косинусов

$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * AD * cos(∠ADC)}
$$
$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 + 2 * DC * AD * cos(∠DAB)}
$$

$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 — 2 * AB * AD * cos(∠DAB)}
$$
$$
AC = sqrt{AB^2 + AD^2 + 2 * AB * AD * cos(∠ADC)}
$$

Длина диагоналей

$$
AC = sqrt{AG^2 + FE^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + {(DC + AB)^2 over 4 }}
$$
$$
AC = sqrt{{AG * (AB + DC) over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * S over sin(∠AOD)}} = sqrt{{2 * FE * AG over sin(∠AOD)}}
$$

Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании

$$
AC = sqrt{AG^2 + (DC — AG * ctg(∠ADC))^2}
$$
$$
AC = sqrt{AG^2 + (AB + AG * ctg(∠ADC))^2}
$$

Длина диагоналей через сторону и высоту

$$
AC = sqrt{DC^2 + AD^2 — 2 * DC * sqrt{AD^2 — AG^2}}
$$

Формулы диагоналей прямоугольной трапеции

$$
BD = sqrt{AD^2 + AB^2}
$$
$$
AC = sqrt{AC^2 + DC^2}
$$

Формулы средней линии произвольной трапеции

Длина средней линии через основания

$$
FE = {DC + AB over2}
$$

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Длина средней линии через площадь и высоту

$$
FE = {S over AG}
$$

Формулы средней линии равнобедренной трапеции

Длина средней линии через основания

$$
FE = {DC + AB over2}
$$

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC)
$$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту

$$
FE = DC — sqrt{AD^2 — AG^2} = AB + sqrt{AD^2 — AG^2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOD) = {AC^2 over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Длина средней линии через площадь и боковую сторону

$$
FE = {S over AD * sin(∠ADC)}
$$

Формулы средней линии прямоугольной трапеции

Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании

$$
FE = DC — AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + AG * {ctg(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании

$$
FE = DC — BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$
$$
FE = AB + BC * {cos(∠BCD) over 2}
$$

Длина средней линии через основания и боковые стороны

$$
FE = DC — {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$
$$
FE = AB + {sqrt{BC^2 — AD^2} over 2}
$$

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOD)
$$
$$
FE = {AC * BD over 2 * AG} * sin(∠AOB)
$$

Формулы высоты произвольной трапеции

Длина высоты через четыре стороны

$$
AG = sqrt{AD^2 — ({(DC — AB)^2 + AD^2 — BC^2 over 2 * (DC — AB)})^2}
$$

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$
AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD)
$$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC * BD over 2 * FE} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через площадь и основания

$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$

Длина высоты через площадь и среднюю линию

$$
AG = {S over FE}
$$

Формулы высоты равнобедренной трапеции

Длина высоты через по сторонам

$$
AG = sqrt{AD^2 — {(DC — AB)^2 over 4}}
$$

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$
AG = AD * sin(∠ADC)
$$

Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию

$$
AG = {DC — AB over 2} * tg(∠ADC)
$$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOD)
$$
$$
AG = {AC^2 over AB + DC} * sin(∠AOB)
$$

Длина высоты через площадь и основания

$$
AG = {2 * S over AB + DC}
$$

Длина высоты через площадь и среднюю линию

$$
AG = {S over FE}
$$

Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции

Сторона AD

Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.

Сторона BC по трём сторонам

$$
BC = sqrt{AD^2 + (DC — AB)^2}
$$

Сторона BC через основания и угол ∠BCD

$$
BC = {DC — AB over cos(∠BCD)}
$$

Сторона BC через Сторону AD

$$
BC = {AD over sin(∠BCD)}
$$

Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD

$$
BC = {S over FE * sin(∠BCD)}
$$

Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD

$$
BC = {2 * S over (AB + DC) * sin(∠BCD)}
$$

Источник

Трапеция и ее свойства

Т. А. Унегова

Определения:

Трапеция — это называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами трапеции.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Трапеция называется вписанной в окружность, если каждая ее вершина принадлежит окружности.

Трапеция называется описанной вокруг окружности, если каждая ее сторона касается окружности.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: $m=displaystyle frac{a+b}{2}$ .

Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой: $EF=GH, ; FG=displaystyle frac{a-b}{2}$ .

Теорема 3. Средняя линия треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции: PQ=MN .

Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон — лежат на одной прямой.

Эта теорема называется также «Замечательное свойство трапеции».

Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, равновелики (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, подобны.

Теоремы о площади трапеции

Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h$ .

Теорема 7. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту: S=mh .

Теорема 8. Площадь трапеции (как и всякого выпуклого четырехугольника) равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними: $S=displaystyle frac{1}{2}d_1d_2{sin alpha }$ , где d_1=AC, d_2=BD, (Вместо можно брать

Теорема 9. Если в трапецию можно вписать окружность, то (как и для всякого описанного многоугольника) площадь трапеции равна произведению ее полупериметра на радиус вписанной окружности: S=pr . Таким образом, $S=displaystyle frac{a+b+c+d}{2}cdot r$ .

Теорема 10. Площадь трапеции равна площади треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований этой трапеции. (Сравни эту теорему и теорему 3.)

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Теорема 11. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около нее можно описать окружность.

Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция

Задача 1.

Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны sqrt{2} .

Решение:

Высота трапеции— это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины . Так как сторона квадратной клетки равна sqrt{2} , то по теореме Пифагора получаем, что h=2 .

Ответ: 2.

Задача 2.

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол ${150}^{{}^circ }$ . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы angle ABC и angle BAH — односторонние, их сумма равна ${180}^{{}^circ }$ , и тогда angle BAH $=30{}^circ .$

Из ABH найдем высоту BH. Катет, лежащий против угла в ${30}^{{}^circ }$ , равен половине гипотенузы. Получаем, что BH = 3,5.

Площадь трапеции равна $S=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3,5=42$ .

Ответ: 42.

Задача 3.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ.

Решение:

Что можно увидеть на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Напомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны. Из ACD находим, что x=5.

Ответ: 5.

Задача 4.

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5 и . Отсюда получаем, что середина отрезка AC, то есть PM — средняя линия треугольника ABC и PM = 1. Аналогично, NQ = 1.

Ответ: 0,5.

Задача 5.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть

Периметр трапеции равен

Ответ: 23.

Задача 6.

В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует со стороной CD угол $63{}^circ$ . Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть angle CAD =alpha , тогда angle CAB =alpha и angle BAD =2alpha , так как трапеция равнобедренная.

Сумма углов $vartriangle ACD=3alpha +63{}^circ =180{}^circ$ , откуда
$alpha =39{}^circ .$
Итак, $angle D=78{}^circ$ , а $angle BCD=180{}^circ -78{}^circ =102{}^circ$ .

Ответ: $78{}^circ , 102{}^circ$ .

Задача 7.

В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и $h^2={25}^2-7^2=left(25-7right)left(25+7right)=18cdot 32.$ Отсюда,

Ответ: 24.

Задача 8.

Тупой угол равнобедренной трапеции равен ${135}^circ$ , а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем две высоты. Они разделят трапецию на три части: прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с острым углом $45{}^circ$ .

Каждый треугольник равнобедренный, поэтому h = 1,4.

Нетрудно видеть, что верхнее основание трапеции равно 2, а нижнее — 4,8. Отсюда площадь трапеции равна $displaystyle frac{2+4,8}{2}cdot 1,4=4,76$ .

Ответ: 4,76.

Задача 9.

Площадь трапеции равна 60м ^2, а основания 8 м и 12 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Так как площадь трапеции $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h$ , то $60=displaystyle frac{8+12}{2}cdot h$ , откуда h = 6.

Ответ: 6.

Задача 10.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны и равны Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем CE BD и DE — продолжение AD.

Так как BCDE — параллелограмм, то CE = a.

По теореме 10 получим, что $S_{ABCD}=S_{ACE}=displaystyle frac{1}{2}a^2$ .

Ответ: $displaystyle frac{1}{2}a^2$

Задач 11.

В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD и является биссектрисой угла A.

Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а угол D равен $60{}^circ$ .

Решение:

По условию задачи в прямоугольном ACD

angle D $=60{}^circ$ , следовательно, angle CAD $=30{}^circ$ .

Так как AC — биссектриса, то angle CAB $=30{}^circ$ , откуда angle DAB $=60{}^circ$ , то есть, трапеция равнобедренная. angle BCA =angle CAD $=30{}^circ$ как накрест лежащие, поэтому ABC — равнобедренный.

Обозначим длины боковых сторон ABC буквой x.

Тогда AB = BC = CD = x, и AD = 2x, так как в прямоугольном ACD против угла в $30{}^circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы.

Таким образом, периметр трапеции, равный 20, составляет 5x, отсюда

x = 4 и AD = 8.

Ответ: 8.

Задача 12.

В равнобедренной трапеции ABCD с острым углом $60{}^circ$ меньшее основание BC равно 2, а боковая сторона AB равна 10. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Во сколько раз площадь трапеции больше площади треугольника BCM?

Решение:

Нетрудно видеть, что BCM равносторонний и BM = 2, тогда AM = 12 и BCM подобен ADM c коэффициентом .

Пусть $S_{BCM}$ =S_1 , $S_{ADM}=S_2$ , тогда

$S_2=k^2cdot S_1=36{cdot S}_1.$

Площадь трапеции будет равна

$S_{ABCD}=S_2-S_1=36 S_1-S_1=35 S_1=35 S_{BCM}.$

Ответ: 35.

Задача 13.

Сумма углов при одном из оснований трапеции равна $90{}^circ$ . Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.

Решение:

Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G — середины оснований трапеции.

Так как сумма углов при основании трапеции равна $90{}^circ$ , то $angle BEC=90{}^circ$ , поэтому EF и EG — медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно.

Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, значит

Ответ: 2.

Задача 14.

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а ее площадь 24.

Решение:

Так как площадь трапеции равна S=mh , а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть h=2r, то , откуда r=1,2 .

Ответ: 1,2.

Задача 15.

Периметр прямоугольной трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.

Решение:

По свойствам описанной трапеции сумма ее боковых сторон равна сумме оснований, поэтому

откуда

Сторона AB равна диаметру окружности, поэтому r=3 .

Ответ: 3.

Задача 16.

Около окружности описана трапеция, сумма боковых сторон которой равна 40. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. Если трапеция описана вокруг окружности, то в ней сумма оснований равна сумме боковых сторон, поэтому

$m=displaystyle frac{a+b}{2}=displaystyle frac{c+d}{2}=displaystyle frac{40}{2}=20.$

Ответ: 20.

Задача 17.

В окружность вписана трапеция так, что диаметр окружности служит основанием трапеции, а вершины другого основания делят полуокружность на три равные части. Найдите тупые углы трапеции. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Так как AD — диаметр окружности, то дуга ABCD равна $180{}^circ$ . Она делится на три равные части по $60{}^circ .$

Вписанный угол D опирается на дугу ABC, которая равна $120{}^circ$ , отсюда $angle ADC=60{}^circ$ и, стало быть, $angle C=120{}^circ =angle B.$

Ответ: 120.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Трапеция и ее свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник