Как найти диагональ угла квадрата - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.

Перечислим свойства квадрата:

Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.

$angle A= angle B=angle C=angle D=90^{circ }.$
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам).
Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника:

Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: P=4a.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S=a^2 .

Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на sqrt{2} , то есть
.

Доказательство:

Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.

Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2};$

$AC^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}, AC=asqrt{2},$ что и требовалось доказать.

Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:

$displaystyle r=frac{1}{2}cdot a$

Доказательство:

Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.

Тогда поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть

, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:

$R=frac{sqrt{2}}{2}cdot a.$

Доказательство:

Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.

По теореме

Тогда $R=afrac{sqrt{2}}{2}$ , что и требовалось доказать.

Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:

Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна sqrt{8} .

Решение:

Мы знаем, что . Тогда $a=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle d}{displaystyle sqrt{2}}= 2$ .

Ответ: 2.

Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Первый способ решения:

Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:

$displaystyle d=sqrt{2}cdot a Rightarrow a=frac{d}{sqrt{2}}Rightarrow a=frac{1}{sqrt{2}}.$

Тогда по формуле площади квадрата:

$displaystyle S=a^{2}=left (frac{1}{sqrt{2}} right )^{2}=frac{1}{2}=0,5.$

Второй способ решения:

Воспользуемся формулой для площади ромба:

$displaystyle S=frac{1}{2}d_{1}d_{2}=frac{1}{2}d^{2}=0,5.$

Ответ: 0,5

Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной sqrt{8} .

Решение:

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому

$displaystyle R=frac{d}{2}=afrac{sqrt{2}}{2}=sqrt{8}cdot frac{sqrt{2}}{2}=2.$

Ответ: 2.

Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Решение:

Диаметр окружности равен стороне квадрата: a=2r=8 .

Ответ: 8.

Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Диагональ найдем, зная сторону квадрата:

Ответ: 56.

Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

$displaystyle r=frac{a}{2}; R=frac{d}{2}; d=asqrt{2}.$

Поэтому

Ответ: 22.

Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.

Решение:

Найдем сторону квадрата:

Периметр квадрата со стороной 3 равен:

Ответ: 12.

Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью 4pi .

Решение:

Площадь круга $S_{kp}=pi r^{2}=4pi ,$ откуда радиус круга равен 2.

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.

Ответ: 16.

Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными sqrt{2} .

Решение:

Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна sqrt{2} ., то сторона малого квадрата равна . А сторона квадрата ABCD равна

Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.

Ответ: 2.

Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите .

Решение:

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.

Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{10}}{displaystyle 2}$ . В ответ запишем .

Ответ: 5.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Квадратu0026nbsp;u0026mdash; определение иu0026nbsp;свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Загрузить PDF

Диагональ квадрата — это отрезок, который соединяет противолежащие углы квадрата и проходит через его центр. Чтобы вычислить диагональ квадрата, воспользуйтесь формулой , где — сторона квадрата. В задачах требуется найти диагональ квадрата по данному значению другой величины, например, периметра или площади. В этих случаях необходимо использовать другие формулы, чтобы сначала вычислить сторону квадрата, а потом – его диагональ.

1
Найдите длину стороны квадрата. Скорее всего, значение длины стороны квадрата будет дано в условии задачи. Если же вы работаете с реальным предметом, измерьте его сторону при помощи линейки или рулетки. Так как у квадрата все стороны равны, измерьте или найдите длину любой стороны. Если длина стороны квадрата неизвестна, этим методом пользоваться нельзя.
- Например, дан квадрат со стороной 5 см.
2
3
Подставьте в формулу значение длины стороны квадрата. То есть данное значение нужно подставить вместо .
- Например, если сторона квадрата равна 5 см, формула запишется так:
4

Умножьте сторону квадрата на , чтобы найти диагональ квадрата. Вычисление лучше выполнить на калькуляторе, чтобы получить точный ответ. Если калькулятора нет, округлите до 1,414.

Реклама

1
2
Подставьте в формулу значение периметра квадрата. То есть данное значение нужно подставить вместо .
- Например, периметр квадрата равен 20 см. Запишите формулу так:
3

Найдите . Для этого разделите каждую сторону уравнения на 4. В результате будет вычислена сторона квадрата.
4
5
Подставьте в формулу значение длины стороны квадрата. То есть данное значение нужно подставить вместо .
- Например, если сторона квадрата равна 5 см, формула запишется так:
6

Умножьте сторону квадрата на , чтобы найти диагональ квадрата. Вычисление лучше выполнить на калькуляторе, чтобы получить точный ответ. Если калькулятора нет, округлите до 1,414.

Реклама

1
2
В формулу подставьте значение площади квадрата. То есть данное значение нужно подставить вместо .
- Например, площадь квадрата равна 25 см². Запишите формулу так:
  $25=s^{{2}}$ .
3

Найдите . Для этого извлеките квадратный корень из значения площади квадрата. В результате будет вычислена сторона квадрата. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы извлечь квадратный корень. Если квадратный корень нужно извлечь вручную, прочитайте эту статью.
4
5
Подставьте в формулу значение длины стороны квадрата. То есть данное значение нужно подставить вместо .
- Например, если сторона квадрата равна 5 см, формула запишется так:
6

Умножьте сторону квадрата на , чтобы найти диагональ квадрата. Вычисление лучше выполнить на калькуляторе, чтобы получить точный ответ. Если калькулятора нет, округлите до 1,414.

Реклама

Что вам понадобится

Калькулятор

Об этой статье

Эту страницу просматривали 425 419 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

Содержание:

Определения и соглашения
Вычисление диагонали квадрата по известной стороне
Вычисление диагонали квадрата по известной площади
Вычисление диагонали по известному периметру
Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности
Заключение
Видео

Определения и соглашения

Квадрат — это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
Корень квадратный из числа, это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical — корень).
Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали, если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a. Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади.

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS.

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр. В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ, который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R. Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r.

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

d = rad2*a;
d = rad2*radS;
d = rad2*P/4;
d = 2*R;
d = rad2*2*r.

Хочется ещё отметить, что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Продолжая нашу цепочку и далее, мы научимся строить отрезки равные любому иррациональному числу.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Источник

Квадрат принадлежит к рангу правильных многоугольников, то есть это равносторонний четырехугольник. Являясь синтезом ромба и прямоугольника, каждый из которых в свою очередь представляет собой производную фигуру от, параллелограмма, квадрат объединяет в себе все свойства вышеперечисленных фигур.

Как это поможет найти диагональ квадрата? Рассмотрим два его основных свойства:
— Все стороны квадрата равны (от ромба)
— Все углы квадрата являются прямыми, то есть равны 90 градусам (от прямоугольника)

Если провести диагональ квадрата, то она образует с его сторонами не просто прямоугольный треугольник (как в прямоугольнике), но равнобедренный прямоугольный треугольник, который по теореме Пифагора будет связывать всего два параметра — диагональ квадрата и его сторону. Стороны квадрата будут катетами для треугольника, а диагональ гипотенузой.

a²+b²=c²
a²+b²=d²
2a²=d²

Чтобы из данного тождества вывести формулу диагонали, нужно поместить удвоенный квадрат стороны под квадратный корень, и так как сторона квадрата также возведена во вторую степень, ее можно будет сразу вынести из под корня. В итоге формула диагонали квадрата через сторону будет выглядеть как сторона квадрата, умноженная на корень из двух:

d=√(2a²)
d=a√2

Данная формула применима ко всем случаям, когда необходимо найти диагональ квадрата. При этом в задаче может быть дан не сам квадрат, а форма квадрата как осевое сечение цилиндра, например, тогда длина диагонали квадрата равна диагонали сечения.

Следует также учитывать, что точка пересечения диагоналей делит их на две равные части (свойство параллелограмма), соответственно каждый отрезок, полученный в результате пересечения диагоналей, будет равен половине диагонали квадрата.

Формулы диагонали квадрата через площадь, периметр

Источник

Из школьного курса математики мы знаем, что квадрат — это четырёхугольник у которого все углы прямые, а все стороны равны.

Диагональ — отрезок, соединяющий две противоположные вершины квадрата. Задача нахождения диагонали квадрата может встретиться и после окончания школы. К примеру, при постройке дома у которого фундамент должен быть квадратным. Когда размечается фундамент, мало убедиться, что все 4 стороны равны. Ведь у ромба тоже все стороны равны. И получить ромбовидный фундамент вряд ли кто захочет.

В этом случае, чтобы убедиться в том, что фундамент действительно представляет собой квадрат, вычисляют диагональ квадрата и измеряют обе диагонали фундамента. Если все 4 стороны равны между собой и две диагонали также имеют одинаковую длину — фундамент точно будет квадратным. Для вычисления длины диагонали квадрата достаточно знать длину его стороны и простую формулу.

Как найти диагональ квадрата

d=a cdot sqrt{2}

d — диагональ квадрата

a — сторона квадрата

Достаточно подставить в формулу длину стороны квадрата вместо a.

А можно воспользоваться нашим калькулятором. Просто введите длину стороны и тут же получите длину диагонали квадрата. У нас также можно найти диагональ прямоугольника.

Диагональ квадрата онлайн

Примеры нахождения диагонали квадрата

Найдем диагональ квадрата со стороной 3 см.

Подставим в формулу вместо a число 3 и получим d=3 cdot sqrt{2} = sqrt{3^2 cdot 2} = sqrt{18} = 4,24264

Найдем диагональ квадрата со сторонами 2 на 2 см.

Подставим в формулу вместо a число 3 и получим d=2 cdot sqrt{2} = sqrt{2^2 cdot 2} = sqrt{8} = 2,828427

Ваша оценка

[Оценок: 289 Средняя: 2.9]

Диагональ квадрата формула и расчет Автор admin средний рейтинг 2.9/5 — 289 рейтинги пользователей

Источник