Как найти диагональ в правильном четырехугольнике

Четырехугольником именуется фигура, состоящая из четырех сторон и углов, прилежащих к ним. К числу таких фигур относятся прямоугольник, трапеция, параллелограмм. В ряде задач по геометрии требуется обнаружить диагональ одной из этих фигур.

1. Диагональю четырехугольника именуется отрезок, соединяющий его противоположные углы. У четырехугольника имеются две диагонали, которые между собой пересекаются в одной точке. Диагонали изредка бывают равными, как у прямоугольника и квадрата, а изредка имеют разную длину, как, скажем, у трапеции. Метод нахождения диагонали зависит от фигуры.Постройте прямоугольник со сторонами a и b и двумя диагоналями d1 и d2. Из свойств прямоугольника знаменито, что его диагонали между собой равны, пересекаются в одной точке и делятся в ней напополам. Если вестимы две стороны прямоугольника, то его диагонали обнаружьте дальнейшим образом: d1=?a^2+b^2=d2.Частным случаем прямоугольника является квадрат, у которого диагональ равна a?2. Помимо того, диагональ дозволено обнаружить, зная площадь квадрата. Она равна: S = d^2/2.Отсель длину диагонали вычислите по формуле: d = ?2S.

2. Несколько другим образом решайте задачу, когда дан не прямоугольник, а параллелограмм. У этой фигуры, в различие от прямоугольника либо квадрата, равны между собой не все углы, а только противоположные. Если в условии задача присутствует параллелограмм со сторонами a и b и заданным между ними углом, как показано на рисунке к шагу, то диагональ обнаружьте, применяя теорему косинусов: d^2 = a^2+b^2-2ab*cos?.Параллелограмм, имеющий равные стороны, именуется ромбом. Если по условиям задачи нужно обнаружить диагональ этой фигуры, то понадобятся значения его 2-й диагонали и площади, от того что диагонали этой фигуры неравны. Формула площади ромба выглядит дальнейшим образом: S = d1*d2/2.Отсель d2 равна удвоенной площади фигуры, деленной на d1: d2 = 2S/d1.

3. При вычислении площади трапеции придется воспользоваться тригонометрической функцией синуса. Если данная фигура является равнобочной, то, зная ее первую диагональ d1 и угол между двумя диагоналями AOD, как показано на рисунке к шагу, обнаружьте вторую по дальнейшей формуле: d2 = 2S/d1*sin?. В данном случае рассматриваем трапецию ABCD.Существует также прямоугольная трапеция, диагональ которой обнаружить несколько проще. Зная длину боковой стороны этой трапеции, совпадающей с ее высотой, а также нижнее основание, обнаружьте ее диагональ , пользуясь обыкновенной теоремой Пифагора. А именно сложите квадраты этих величин, а после этого из итога извлеките квадратный корень.

У ромба стороны равны и попарно параллельны. Его диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения на равные части. Эти свойства легко разрешают обнаружить величину диагоналей ромба.

1. Обозначим вершины ромба буквами латинского алфавита A, B, C и D для комфорта обсуждения. Точку пересечения диагоналей обычно обозначают буквой O. Длину ребра ромба обозначим буквой a. Величину угла BCD, тот, что равен углу BAD, обозначим α.

2. Обнаружим величину короткой диагонали. Потому что диагонали пересекаются под прямым углом, то треугольник COD является прямоугольным. Половина короткой диагонали OD является катетом этого треугольника и может быть обнаружена через гипотенузу CD, а также угол OCD.Диагонали ромба являются также биссектрисами его углов, следственно угол OCD равен α/2.Таким образом, OD = BD/2 = CD*sin(α/2). То есть, короткая диагональ BD = 2a*sin(α/2).

3. Аналогичным образом, из того, что треугольник COD прямоугольный, можем выразить величину OC (а это половина длинной диагонали).OC = AC/2 = CD*cos(α/2)Величина длинной диагонали выражается дальнейшим образом: AC =2a*cos(α/2)

Обратите внимание!
Ромб с прямыми углами именуется квадратом.Из прямоугольности треугольника COD, как и остальных 3 треугольников, образованных диагоналями и сторонами ромба, вытекает еще такое качество ромба: AC²+BD²=4a²

Полезный совет
Зная диагонали, легко обнаружить площадь ромба. Традиционно для этого их и вычисляют. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Вычислить диагональ параллелограмма бывает нужно не только при подготовке домашнего задания. Это может потребоваться, скажем, в бумажной пластике либо при создании архитектурного плана.

Вам понадобится

1. Постройте параллелограмм с заданными параметрами. В условиях обязаны быть заданы длины сторон параллелограмма и правда бы один угол.

2. Припомните, чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма. Она равна удвоенной сумме квадратов его сторон, которые вам вестимы.

3. Обозначьте параллелограмм АBCD. Стороны параллелограмма обозначьте как a и b. Диагонали обозначьте как d1 и d2. Из угла В к стороне АD опустите высоту и обозначьте точку ее пересечения со стороной AD как Е. Внутри параллелограмма у вас получился прямоугольный треугольник АВЕ.

4. Обнаружьте высоту BЕ. Вам вестим угол А и гипотенуза АВ. AE = a*sinА

5. Вычислите длину отрезка АЕ. Он равен AE=a*cosA.

6. Вычислите отрезок ЕD, тот, что равен разности стороны AD и отрезка AE.

7. Вычислите гипотенузу прямоугольного треугольника BED, которая единовременно является диагональ ю d1. Она будет равна квадратному корню из суммы квадратов сторон BE и ED.

8. Обнаружьте квадрат 2-й диагонали. Он будет равняться удвоенной сумме квадратов сторон минус квадрат теснее знаменитой диагонали. Извлеките квадратный корень.

Обратите внимание!
При построении параллелограмма сурово следуйте заданным параметрам и пользуйтесь инструментами. При расчетах пользуйтесь таблицами синусов и косинусов.

Полезный совет
В прямоугольнике и квадрате диагонали равны. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон. В квадрате диагональ равна квадратному корню, извлеченному из удвоенного квадрата стороны. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник – плоская геометрическая фигура. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. Как же обнаружить диагональ квадрата, если вестимы длины его сторон?

1. Поделим прямоугольник диагональю на два равных треугольника. В этом случае диагональ будет являться гипотенузой этих треугольников. А, как вестимо из теоремы Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.Выходит, для поиска диагонали прямоугольника нужно:обнаружить сумму квадратов сторон прямоугольника а2 + b2, где а и b – длины сторон прямоугольника;извлечь из полученного итога квадратный корень.Пример:Определим длину диагонали прямоугольника со сторонами 3 и 4 см.Находим сумму квадратов сторон прямоугольника 32 + 42 = 9 + 16 = 25.Извлечь из полученного итога квадратный корень – длина диагонали равна 5 см.

Видео по теме

Обратите внимание!
Диагонали прямоугольника равны. Если обнаружена длина одной, то длина 2-й будет безусловно такой же.

Квадрат – прекрасная и простая плоская геометрическая фигура. Это прямоугольник с равными сторонами. Как же обнаружить диагональ квадрата , если знаменита длина его стороны?

1. Диагональ квадрата обнаружить довольно легко, воспользовавшись теоремой Пифагора.Поделим квадрат диагональ ю на два равных треугольника. В этом случае диагональ будет являться гипотенузой одного из треугольников. А, как знаменито, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.Рассматривая. что катеты – стороны квадрата и они равны, формула для расчета диагонали квадрата по его стороне дюже примитивна:длина диагонали квадрата равна длине его стороны умноженной на корень из 2-х.

Видео по теме

Полезный совет
Если точность математического итога не дюже значима, то взамен корня из 2-х дозволено применять его примерное значение 1,41.

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Прямые, соединяющие его противоположные углы, именуются диагоналями. Их длина зависит не только от длин сторон фигуры, но и от величин углов в вершинах этого многоугольника, следственно без познания правда бы одного из углов вычислить длины диагоналей дозволено только в исключительных случаях. Таковыми являются частные случаи параллелограмма – квадрат и прямоугольник.

1. Если длины всех сторон параллелограмма идентичны (a), то эту фигуру дозволено назвать еще и квадратом. Величины всех его углов равны 90°, а длины диагоналей (L) идентичны и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника. Умножьте длину стороны квадрата на корень из двойки – итог и будет длиной всякой из его диагоналей: L=a*?2.

2. Если о параллелограмме знаменито, что он является прямоугольником с указанными в условиях длиной (a) и шириной (b), то и в этом случае длины диагоналей (L) будут равны. И тут тоже задействуйте теорему Пифагора для треугольника, в котором гипотенузой является диагональ, а катетами – две смежные стороны четырехугольника. Желанную величину рассчитайте извлечением корня из суммы возведенных в квадрат ширины и высоты прямоугольника: L=?(a?+b?).

3. Для всех остальных случаев умения одних только длин сторон хватит лишь для определения величины, включающей в себя длины сразу обеих диагоналей – сумма их квадратов по определению равна удвоенной сумме квадратов длин сторон. Если же в дополнение к длинам 2-х смежных сторон параллелограмма (a и b) знаменит еще и угол между ними (?), то это дозволит рассчитать длины всего отрезка, соединяющего противоположные углы фигуры. Длину диагонали (L?), лежащей наоборот знаменитого угла, обнаружьте по теореме косинусов – сложите квадраты длин смежных сторон, от итога отнимите произведение этих же длин на косинус угла между ними, а из полученной величины извлеките квадратный корень: L? = ?(a?+b?-2*a*b*cos(?)). Для нахождения длины иной диагонали (L?) дозволено воспользоваться свойством параллелограмма, приведенным в начале этого шага – удвойте сумму квадратов длин 2-х сторон, от итога отнимите квадрат теснее рассчитанной диагонали, а из полученного значения извлеките корень. В всеобщем виде эту формулу дозволено записать так: L? = ?(a?+b?- L??) = ?(a?+b?-(a?+b?-2*a*b*cos(?))) = ?(a?+b?-a?-b?+2*a*b*cos(?)) = ?(2*a*b*cos(?)).

Ромбом дозволено назвать параллелограмм, диагонали которого делят напополам углы, лежащие в вершинах фигуры. Помимо этого свойства диагонали ромба знаменательны тем, что являются осями симметрии многоугольника, пересекаются только под прямым углом, а исключительная всеобщая точка делит всякую из них на два равных отрезка. Эти свойства дозволяют легко рассчитать длину одной из диагоналей, если знаменита длина иной и еще какой-либо параметр фигуры – размер стороны, угол в одной из вершин, площадь и т.д.

1. Если помимо длины одной из диагоналей (l) о рассматриваемом четырехугольнике вестимо, что он является частным случаем ромба – квадратом, никаких расчетов изготавливать не придется. В этом случае длины обеих диагоналей идентичны – примитивно приравняйте желанную величину (L) к знаменитой: L=l.

2. Познание длины стороны ромба (a) в дополнение к длине одной из диагоналей (l) дозволит рассчитать длину иной (L) по теореме Пифагора. Это допустимо потому, что две половины пересекающихся диагоналей образуют со стороной ромба прямоугольный треугольник. Половины диагоналей в нем являются катетами, а сторона – гипотенузой, следственно равенство, вытекающее из теоремы Пифагора дозволено записать так: a? = (l/2)? + (L/2)?. Для применения в расчетах преобразуйте его к такому виду: L = ?(4*a?-l?).

3. При вестимой величине одного из углов (?) ромба и длине одной из диагоналей (l) для нахождения величины иной (L) разглядите тот же прямоугольный треугольник. Тангенс половины вестимого угла в нем будет равен отношению длины противолежащего катета – половины диагонали l – к прилежащему – половине диагонали L: tg(?/2) = (l/2)/(L/2) = l/L. Следственно для вычисления желанной величины используйте формулу L = l/tg(?/2).

4. Если в условиях задачи приведена длина периметра (P) ромба и размер его диагонали (l), формулу вычисления длины 2-й (L) дозволено свести к равенству, использованному во втором шаге. Для этого поделите периметр на четверку и замените этим выражением длину стороны в формуле: L = ?(4*(P/4)?-l?) = ?(P?/4-l?).

5. В начальных условиях помимо длины одной из диагоналей (l) может быть приведена и площадь (S) фигуры. Тогда для вычисления длины 2-й диагонали ромба (L) используйте дюже примитивный алгорифм – удвойте площадь и поделите полученное значение на длину знаменитой диагонали: L = 2*S/l.

Диагонали четырехугольника соединяют противоположные его вершины, деля фигуру на пару треугольников. Дабы обнаружить огромную диагональ параллелограмма , необходимо произвести ряд вычислений согласно исходным данным задачи.

1. Диагонали параллелограмма владеют рядом свойств, познание которых помогает в решении геометрических задач. В точке пересечения они делятся напополам, являясь биссектрисами пары противоположных углов фигуры, меньшая диагональ – для тупых углов, а огромная – острых. Соответственно, при рассмотрении пары треугольников, которые получаются из 2-х смежных сторон фигуры и одной из диагоналей, половина иной диагонали – это еще и медиана.

2. Треугольники, образованные половинами диагоналей и двумя параллельными сторонами параллелограмма , подобны. Помимо того, любая диагональ делит фигуру на два идентичных треугольника, графически симметричных касательно совместного основания.

3. Дабы обнаружить огромную диагональ параллелограмма , дозволено воспользоваться общеизвестной формулой соотношения суммы квадратов 2-х диагоналей и удвоенной суммы квадратов длин сторон. Она является прямым следствием из свойств диагоналей:d1? + d2? = 2•(a? + b?).

4. Пускай d2 – огромная диагональ , тогда формула преобразуется к виду:d2 = ?(2•(a? + b?) – d1?).

5. Примените эти познания на практике. Пускай задан параллелограмм со сторонами a=3 и b=8. Обнаружьте крупную диагональ , если вестимо, что она на 3 см огромнее меньшей.

6. Решение.Запишите формулу в всеобщем виде, введя знаменитые из начальных данных величины a и b:d1? + d2? = 2•(9 + 64) = 146.

7. Выразите длину меньшей диагонали d1 через длину большей согласно условию задачи:d1 = d2 – 3.

8. Подставьте это выражение в первое уравнение:(d2 – 3)? + d2? = 146

9. Возведите значение в скобке в квадрат:d2? – 6•d2 + 9 + d2? = 1462•d2? – 6•d2 – 135 = 0

10. Решите полученное квадратное уравнение касательно переменной d2 через дискриминант:D = 36 + 1080 = 1116.d2 = (6 ± ?1116)/4 ? [9,85; -6,85].Видимо, что длина диагонали – правильная величина, следственно, она равна 9,85 см.

Геометрия всецело построена на теоремах и доказательствах. Дабы подтвердить, что произвольная фигура ABCD является параллелограммом, надобно знать определение и знаки этой фигуры.

1. Параллелограммом в геометрии именуется фигура с четырьмя углами, у которой параллельны противоположные стороны. Таким образом, ромб, квадрат и прямоугольник являются разновидностями этого четырехугольника.

2. Докажите, что две из противолежащих сторон равны и параллельны касательно друг друга. В параллелограмме ABCD это знак выглядит так: AB=CD и AB||CD. Нарисуйте диагональ АС. Полученные треугольники окажутся равными по второму знаку. АС – всеобщая сторона, углы ВАС и АСD, также как и ВСА и CAD, равны как лежащие накрест при параллельных прямых AB и CD (дано в условии). Но потому что эти накрест лежащие углы относятся и к сторонам AD и BC, значит эти отрезки также лежат на параллельных прямых, что и подвергалось доказательству.

3. Значимым элементами доказательства, что ABCD параллелограмм, являются диагонали, потому что в этой фигуре при пересечении в точке O они делятся на равные отрезки (AO=OC, BO=OD). Треугольники AOB и COD равны, потому что равны их стороны в связи с данными условиями и вертикальные углы. Из этого следует, что и углы DBA и CDB также как и CAB и ACD равны.

4. Но эти же углы являются накрест лежащими при том, что прямые AB и CD параллельны, а роль диагонали исполняет секущая. Доказав таким образом, что и два других образованных диагоналями треугольники равны, вы получите, что данный четырехугольник параллелограмм.

5. Еще одно качество, по которому дозволено подтвердить, что четырехугольник ABCD – параллелограмм звучит так: противоположные углы этой фигуры равны, то есть угол B равен углу D, а угол C равен A. Сумма углов треугольников, которые мы получим, если проведем диагональ AC, равна 180°. Исходя из этого получаем, что сумма всех углов данной фигуры ABCD равна 360°.

6. Припомнив данные задачи, дозволено легко осознать, что угол A и угол D в сумме составят 180°, подобно угол C + угол D = 180°. В тоже время эти углы являются внутренними, лежат на одной стороне, при соответствующих им прямых и секущих. Отсель следует, что прямые BC и AD параллельны, и приведенная фигура является параллелограммом.