Как найти диагональ в прямоугольной матрице

Содержание:

• Обозначение
• Элементы матрицы
• Диагонали

Обозначение

Таблица берется либо в круглые скобки, либо окружается двумя параллельными вертикальными прямыми.

Если матрица содержит $m$ строк и $n$ столбцов, то матрица называется матрицей
размера $m times n$ или $m times n$-матрицей. Размер матрицы указывается справа
внизу возле ее имени, либо таблицы с обозначением элементов.

Элементы матрицы

Элементы матрицы $A$ обозначаются $a_{ij}$, где $i$ — номер строки, в которой находится элемент, а $j$ — номер столбца.

Диагонали

Читать дальше: виды матриц.

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2,…m; j=1,2,…n).

Числа a_ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи a_ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a₁₁, a₂₂ ,…, a_nn образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы a_ii ( i=1,2,…,min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a_1n, a_2n-1 ,…, a_n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E ⁿ, где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i<j. Например:

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(A^T).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

 Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

 Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

A^T=−A.

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

 Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

C=A+(-1)B.

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

C=A-B.

 Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

A⁰=E,

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

  Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A^T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

a_ij=a_ji ;   i=1,2,…n,   j=1,2,…n

British Mathematician Arthur Cayley was the first person to develop the algebraic aspect of the matrix. After that, Psychiat Heisenberg used matrices as a tool to explain his famous Quantum principle. The study of matrices originated while solving different types of simple and complex linear problems, which is cumbersome to solve without matrices. A rectangular array of mn numbers in the form of m horizontal lines called rows, and n vertical lines called columns is called a matrix of order m x n. This arrays is enclosed by  [ ]  or ( ) or || ||  . Each number of the m x n matrix is known as the element of the matrix. A matrix is generally denoted by capital alphabetical characters, and its element is denoted by small alphabetical characters with suffix ij, which indicates to row and column number, i.e. aij, is called elements of matrix A. 

• The elements of the matrix may be scalar or vector quantity. 
• A matrix is only an arrangement of numbers; it has no definite value. i.e.  [5] ≠ 5. 

Some important terms related to matrix

• Elements of a Matrix: Each of the M, N numbers of the Matrix is called an element or an entry of the Matrix.
•  Notation of a Matrix: A matrix is generally represented by the symbols [a_ij] or (a_ij) or ||a_ij||. A matrix is denoted by a single capital letter such as A, B, C etc. 
• Order of a Matrix: A matrix having m rows and n columns is said to be a matrix of order m x n. 

Diagonal Elements of a Matrix 

An element aij of a matrix A = [a_ij] is a diagonal elements of matrix if i = j, such as when rows and column suffixes are equal. Thus, a₁₁ , a₂₂ , a₃₃, a₄₄, … so on are diagonal elements of the matrix A  = [a_ij]. 

• Principal  Diagonal of a Matrix 

The principal diagonal is also known as the leading diagonal. The diagonal of a square matrix running from the upper left entities to the lower right entities are principal diagonal of a matrix. 

Here, Principal Diagonal elements are non-zeroes. 

• Counter diagonal  

It’s also called anti diagonal of a matrix.  The diagonal of a square matrix running from the upper right entities to the lower-left entities is called the counter diagonal of a matrix. 

Here, Counter diagonal elements are non-zeroes. 

Note: Above, we considered examples in principal and counter diagonal. Elements of the matrix other than diagonal are considered as zeroes for better clarification.

Sample problems 

Question 1: Find out the diagonal element of the below matrix.

Solution: 

As we know, To find the diagonal of matrix or diagonal elements is not a heavy task; it is just a basic practice of matrices. If anyone told us to find the diagonal element, we only found the principal diagonal as a result. which is running from the upper left entities  to the lower right entities  

Diagonal element of matrix,

a₁₁ = 9, a₂₂ = 8, a₃₃ = 1

Question 2: Find trace of matrix A, given below.

Solution: 

Trace of matrix: It’s actually sum of principal diagonal element. 

tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + a_33;

So, after observation of matrix

We can say, a₁₁ = 1, a₂₂ = 2, a₃₃ = 5

tr(a) = 1 + 2 + 5 = 8 

Question 3: Find the inverse of diagonal matrix: 

Solution:

Determinant of matrix of A,

|A| = -30

Adjoint of matrix A, 

We know inverse of matrix A is: A^-1 = frac{adj(A)}{|A|}

    

Question 4: Find value of a₁₁ + a₂₃  – a₂₂ + a₃₁ from given below matrix.      

  

Solution:  

We know standard matrix syntax. 

         

By comparing it to our matrix we can say,

a₁₁ = 8, a₂₃ = 9, a₂₂ = 2, a₃₁ = 5    

Required result: a₁₁ + a₂₃  – a₂₂ + a₃₁ = 8 + 9 – 2 – 5 =  10

Question 5: Find the product of diagonal element of below matrix:

Solution:  

The diagonal element of the above matrix are 2, 4, and 1, respectively

Product of diagonal: 2 × 4 × 1 = 8 

Question 6: Find the determinant of the matrix given below: 

Solution: 

Determinant of matrix A, 

|A| = 5 (1 – 32) – 2 (16 – 4) + 6 (16 – 2)

|A| = 5(-31) – 2(12) + 6(14) 

|A| = -155 – 24 + 84 = -95

Question 7: Find the sum of counter  diagonal of matrix , common element of principle and counter diagonal: 

Solution: 

We know square matrix running from the upper right entities to the lower left entities are counter diagonals of matrix. 

So, counter diagonal elements are 

a₁₃ = 5 a₂₂ = 2 a₃₁ = 5 

The common element of principal and counter diagonal is 2. 

Last Updated :
31 Jul, 2022

Like Article

Save Article

Матрицы

Матрицы — это прямоугольные таблицы из чисел, содержащие m строк и n столбцов.

Числа m и n
называются порядками матрицы.

Запись матриц

Матрицы записываются с помощью больших круглых скобок

[

begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & dots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & dots & a_{2n} \
dots & dots & dots & dots \
a_{m1} & a_{m2} & dots & a_{mn} \
end{pmatrix}

]

Для краткого обозначения матрицы используется большая латинская буква, например A, или символ
a_i,j
или подробно

[
A = a_{i,j} = (a_{i,j})begin{cases} i={1,2,dots,m} \ j={1,2,dots,n} end{cases}
]

Элементы матрицы

Числа a_i,j, входящие в состав матрицы, называются ее элементами. Здесь
i — номер строки матрицы, j — номер столбца матрицы.

Квадратные матрицы

Если

[
m = n
]

то матрицы называются квадратными

[

begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & dots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & dots & a_{2n} \
dots & dots & dots & dots \
a_{n1} & a_{n2} & dots & a_{nn} \
end{pmatrix}

]

Главная диагональ матрицы

Главной диагональю матрицы называется диагональ

[a_{11} quad a_{22} quad dots quad a_{nn}]

идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол.

Побочная диагональ матрицы

Побочной диагональю матрицы называется диагональ

[a_{n1} quad a_{(n-1)2} quad dots quad a_{1n}]

идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Равенство матриц

Две матрицы равны, если эти матрицы имеют одинаковые размеры, и все их соответствующие элементы совпадают.

Действия над матрицами и типы матриц

• Сложение матриц
• Умножение матрицы на число
• Перемножение матриц
• Диагональные матрицы
  • Единичная матрица
  • Нулевая матрица

Матрицы	стр. 128