Как найти диагонали правильного восьмиугольника

Geometry is a mathematical branch that is about the study of shapes. The category of shapes is divided into two viz. flat shapes and solid shapes. Geometry deals with the study of the area, perimeter, volume, and other parameters of these shapes by giving standard formulas.

The article explains the octagon formula which gives the formula of area and perimeter of an octagon. It also comprises sample numerical problems for better understanding.

Octagon

Octagon is a plane shape having eight sides and eight angles. It is a regular polygon of eight sides. Each interior angle of the octagon measures 135° and the sum of all the interior angles of an octagon equals 108°. Similarly, the exterior angle of an octagon is 45 degrees and the sum of all the exterior angles equals 360°.

Octagon consists of 20 diagonals that meet at the center of the figure. All these diagonals have the same length.

Octagon Formula 

The geometry provides separately derived formulas for the calculation of perimeter, area, and diagonals of a regular octagon. The perimeter, area, and diagonal formula of an octagon is collectively known as the Octagon Formula.

To find the number of diagonals of an octagon we use the given formula.

Number of Diagonals = n(n – 3)/2 

8(8 – 3)/2 

20

Where s denotes  side length

And, n denotes the number of sides

A regular polygon generally consists of 20 diagonals. So, the octagon formula is mostly used to calculate the area and perimeter of an octagon. These calculations are carried out by using the length of a side of the octagon.

The area formula of  an octagon is given by

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

Where s is the length of a side

The perimeter formula of an octagon is given by,

The perimeter of the octagon(P) = 8s

Where s is the length of a side.

Sample Problems

Question 1: Find the area and perimeter of an octagon having a side 2cm using the octagon formula.

Solution:

Given:

length of a side of the octagon is 2cm

By using the octagon formula for the area

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(2)²(1 + √2)

A = 19.31cm²

By using the octagon formula for the perimeter,

Perimeter of the octagon (P) = 8s

P = 8 × 2

P = 16cm

Hence, the area and perimeter of the given octagon are 19.31cm² and 16cm respectively.

Question 2: Find the area and perimeter of an octagon having a side of 4cm using the octagon formula.

Solution:

Given:

length of a side of the octagon is 4cm

By using the octagon formula for the area

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(4)²(1 + √2)

A = 77.25cm²

By using the octagon formula for the perimeter

The perimeter of the octagon (P) = 8s

P = 8 × 4

P = 32cm

Hence, the area and perimeter of the given octagon are 77.25cm² and 32cm respectively.

Question 3: Find the area and perimeter of an octagon having a side of 2.5cm using the octagon formula.

Solution:

Given:

length of a side of the octagon is 2.5cm

By using the octagon formula for the area

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(2.5)²(1 + √2)

A = 30.17cm²

By using the octagon formula for the perimeter

The perimeter of the octagon (P)=8s

P = 8 × 2.5

P = 20cm

Hence, the area and perimeter of the given octagon are 30.17cm² and 20cm respectively.

Question 4: A regular octagon is given which has a perimeter equal to 32cm. Find its area using the octagon formula.

Solution:

Given:

The perimeter of the octagon is 32cm.

The perimeter of the octagon(P) = 8s

32 = 8s

s = 4cm

By using the octagon formula for the area

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(4)²(1 + √2)

A = 77.25cm²

Question 5: A regular octagon is given which has a perimeter of 48cm. Find its area using the octagon formula.

Solution:

Given:

The perimeter of the octagon is 48cm.

The perimeter of the octagon(P) = 8s

48 = 8s

s = 6cm

By using the octagon formula for the area

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(6)²(1 + √2)

A = 173.82cm²

Question 6: If the perimeter of an octagon is given which is equal to 40cm. Calculate the area of the given octagon.

Solution:

Given:

The perimeter of the octagon is 40cm.

The perimeter of the octagon(P) = 8s

40 = 8s

s = 5cm

By using the octagon formula for the area 

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(5)²(1 + √2)

A = 120.71cm²

Question 7: If an octagon is given having length of 3cm, its area and perimeter be, calculated using the octagon formula?

Solution:

Given:

The side of the octagon is 3cm

By using the octagon formula for the area 

Area of octagon(A) = 2s²(1 + √2)

A = 2(3)²(1 + √2)

A = 43.45cm²

By using the octagon formula for the perimeter

The perimeter of the octagon (P) = 8s

P = 8 × 3

P = 24cm

Hence, the area and perimeter of the given octagon are 43.45cm² and 24cm respectively.

Last Updated :
01 Feb, 2022

Like Article

Save Article

Восьмиугольник, виды, свойства и формулы.

Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.

Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник

Правильный восьмиугольник (понятие и определение)

Свойства правильного восьмиугольника

Формулы правильного восьмиугольника

Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре

Шестиугольник

Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:

Восьмиугольник – это многоугольник с восемью углами.

Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.

Восьмиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый восьмиугольник

Рис. 2. Невыпуклый восьмиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°.

Правильный восьмиугольник (понятие и определение):

Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.

Рис. 3. Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.

Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.

Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.

Свойства правильного восьмиугольника:

1. Все стороны правильного восьмиугольника равны между собой.

a₁ = a₂ = a₃ = a₄= a₅ = a₆ = a₇ = a₈. 

2. Все углы равны между собой и составляют 135°.

α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = α₅ = α₆ = α₇ = α₈ = 135°.

Рис. 4. Правильный восьмиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного восьмиугольника равна 1035°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного восьмиугольника O.

Рис. 5. Правильный восьмиугольник

5. Количество диагоналей правильного восьмиугольника равно 20.

Рис. 6. Правильный восьмиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр многоугольника O.

Рис. 7. Правильный восьмиугольник

Формулы правильного восьмиугольника:

Пусть a – сторона восьмиугольника, r – радиус окружности, вписанной в восьмиугольник, R – радиус описанной окружности восьмиугольника, k – константа восьмиугольника, P – периметр восьмиугольника, S – площадь восьмиугольника.

Формула константы правильного восьмиугольника:

Формула периметра правильного восьмиугольника:

Формулы площади правильного восьмиугольника:

Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный восьмиугольник:

Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника:

Формулы стороны правильного восьмиугольника:

Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре:

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного правильного восьмиугольника.

Форма правильного восьмиугольника часто используются в изобразительном искусстве, архитектуре. Например, Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба, Эфиопия), Купол Скалы (Иерусалим, Израиль), башня Ветров (Афины, Греция), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий (Флоренция, Италия), Ахенский собор (Ахен, Германия), Капелла Карла Великого (Ахен, Германия).

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
7 158

UCHEES.RU — помощь студентам и школьникам

Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.

2020 — 2023 — UCHEES.RU

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.