Как найти диагонали прямоугольника если даны вершины

Категория: Задачи по планиметрии

Найдем длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты (2; 1), (2; 4), (6; 1), (6; 4).

Найдем стороны прямоугольника

Для этого, нужно найти расстояние между точками.

Пусть, а и b – стороны треугольника, где а – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника.  

Расстояние между точками находиться по формуле √((x2 – x1) ^ 2 – (y2 – y1) ^ 2).

Для того, чтобы найти расстояние межу точками, нужно координаты точек подставить в формулу и вычислить значение выражения.

Сначала в порядке очереди вычисляем умножение или деление, потом проводятся действия сложения или вычитания. То есть получаем:

Расстояние между точками (2; 1) и (2; 4) равно:

а = √((x2 – x1) ^ 2 – (y2 – y1) ^ 2) = √((2 – 2) ^ 2 + (4 – 1) ^ 2) = √(0 ^ 2 + 3 ^ 2) = √(0 + 9) = √9 = 3 см;

Расстояние между точками (6; 1) и (6; 4) равно: 

b = √((x2 – x1) ^ 2 – (y2 – y1) ^ 2) = √((6 – 6) ^ 2 + (4 – 1) ^ 2) = √(0 ^ 2 + 3 ^ 2) = √(0 + 9) = √9 = 3 см; 

Отсюда получили, что a = b = 3 см. 

Если все стороны равны, то прямоугольник является квадратом. 

Найдем длину диагонали

Для того, чтобы найти длину диагонали, используем формулу d = √(a ^ 2 + b ^ 2), где:

• d — диагональ квадрата;  
• а, b – стороны квадрата;
• a = b = 3 см.

Подставим известные значения в формулу длины диагонали, и вычислим его значение. То есть получаем:

d = √(a ^ 2 + b ^ 2) = √(3 ^ 2 +  3 ^ 2) = √(9 + 9) = √18 = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3 * √2 см;

Отсюда получили, что диагональ равна d = 3 * √2 см.

Привет! Цель нашего проекта помочь тебе подготовиться к ЕГЭ (или ОГЭ).
У нас более 1000 заданий с подробным решением, сервис, запоминающий твои ответы, и удивительная система тестирования.
Обо всем по порядку расскажу тебе после быстрой регистрации.

Присоединиться к ExamMe

Как найти точку пересечения диагоналей четырехугольника

Общее уравнение прямой у= кх+в. Найдём уравнение прямой проходящей через точки А и С. А(-1;-3) тогда -3=-к+в (просто подставляем вместо х (-1), а вместо у (-3)). Аналогично для С(5;2) 2=5к+в. Решаем систему

5=6к, к=5/6, в= -3+5/6=-2цел1/6

значит у=5/6х- 2цел1/6

Так как у точек В(3;5) и D(3;-5) абсциссы одинаковые, то уравнение прямой х=3

Подставим в первое уравнение х = 3 и найдём у

у=(5/6)*3 – 2цел1/6=15/6 – 13/6=2/6=1/3

Тогда точка пересечения диагоналей О(3;1/3)

В четырехугольнике с вершинами $%A(5,6), B(8,-1), C(-7,2), D(-1,8)$% найти точку пересечения диагоналей $%AC$% и $%BD$%.

Нашел координаты $%AC$% и $%BD$%, составил уравнения (исходя из того, что диагонали перпендикулярны). Подставив в первое точку $%C$%, а во второе точку $%D$% составил полные уравнения. Решил систему из двух уравнений и получил неверные ответы.

Может быть дело в том, что диагонали необязательно перпендикулярны и надо по-другому составлять уравнения?

задан 11 Июн ’12 8:41

AlexeyVorobyev
85 ● 2 ● 6 ● 13
100% принятых

Зачем попарно – не нужно это. Пусть p1,p2,p3,p4 – это точки с указанными координатами. Берем точку p1. Нужно найти какая из точек p2,p3,p4 является противоположной. Перебираем 3 варианта.Вариант 1. Строим прямую через p1 и p2. Определяем лежат ли точки p3 и p4 относительно этой прямой по разные стороны или по одну сторону. Если по разные стороны, то прямая через p1 и p2 и есть диагональ ! А раз это диагональ, то нужно построить вторую диагональ через p3 и p4. Потом найти их пересечение.Если у нас получилось что p3 или p4 лежит на прямой через p1 и p2, то это значит у нас кривой четырехугольник Если первый вариант не подошел, то перебираем два других варианта.Программу сам напиши.

Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD, если известны координаты его вершин А В С D ( — 1 ; — 3) (3 ; 5) (5 ; 2) (3 ; — 5)?

Математика | 10 — 11 классы

Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD, если известны координаты его вершин А В С D ( — 1 ; — 3) (3 ; 5) (5 ; 2) (3 ; — 5).

Общее уравнение прямой у = кх + в.

Найдём уравнение прямой проходящей через точки А и С.

А( — 1 ; — 3) тогда — 3 = — к + в (просто подставляем вместо х ( — 1), а вместо у ( — 3)).

Аналогично для С(5 ; 2) 2 = 5к + в.

Решаем систему — 3 = — к + в

2 = 5к + в Отсюда

5 = 6к, к = 5 / 6, в = — 3 + 5 / 6 = — 2цел1 / 6

значит у = 5 / 6х — 2цел1 / 6

Так как у точек В(3 ; 5) и D(3 ; — 5) абсциссы одинаковые, то уравнение прямой х = 3

Подставим в первое уравнение х = 3 и найдём у

у = (5 / 6) * 3 — 2цел1 / 6 = 15 / 6 — 13 / 6 = 2 / 6 = 1 / 3

Тогда точка пересечения диагоналей О(3 ; 1 / 3).

Отметьте на координатной плоскости точку А( — 1 ; 3) и точки M, N, P координаты которых равны или противоположны точке А?

Отметьте на координатной плоскости точку А( — 1 ; 3) и точки M, N, P координаты которых равны или противоположны точке А.

Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника AMNP.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершины B( — 4 ; 2 ; 3) и D1(2 ; — 8 ; 1) Определите координаты точки пересечения его диагоналей ?

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершины B( — 4 ; 2 ; 3) и D1(2 ; — 8 ; 1) Определите координаты точки пересечения его диагоналей ?

2. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD : А (–6 ; 1), В (0 ; 5), С (6 ; –4), D (0 ; –8)?

2. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD : А (–6 ; 1), В (0 ; 5), С (6 ; –4), D (0 ; –8).

Докажите, что ABCD – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

По известным координатам трех вершин параллелограмма найти координаты четвертой вершины и точки пересечения диагоналей, если А(1 ; 0 ; 3), В(4 ; 5 ; 0), С(5 ; 4 ; 3)?

По известным координатам трех вершин параллелограмма найти координаты четвертой вершины и точки пересечения диагоналей, если А(1 ; 0 ; 3), В(4 ; 5 ; 0), С(5 ; 4 ; 3).

Записать координаты вершин А, В, С параллелограмма ABCD, найти координаты вершины D и точки О (пересечения диагоналей параллелограмма)?

Записать координаты вершин А, В, С параллелограмма ABCD, найти координаты вершины D и точки О (пересечения диагоналей параллелограмма).

Записать уравнение стороны АВ и высоты СН.

Даны координаты двух вершин треугольника ( — 18, 14), (22, 34) и точки пересечения высот ( — 2, 10)?

Даны координаты двух вершин треугольника ( — 18, 14), (22, 34) и точки пересечения высот ( — 2, 10).

Найти координаты третьей вершины треугольника.

Найдите координаты вершины и координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСД А(0, 0, 0) В(1, 2, 3) С ( — 1, 1, — 2)?

Найдите координаты вершины и координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСД А(0, 0, 0) В(1, 2, 3) С ( — 1, 1, — 2).

Постройте четырехугольник АВСD по координатам точек А( — 6 ; 2), В(6 ; 5), С1 ; — 3)D( — 7 ; 1)?

Постройте четырехугольник АВСD по координатам точек А( — 6 ; 2), В(6 ; 5), С1 ; — 3)D( — 7 ; 1).

Найдите координаты точки пересечения отрезков АС BD.

! СРОЧНО?

В параллелограмме ABCD известны координаты точки пересечения диагоналей Е (1 ; — 2) и двух верршин А ( — 4 ; — 3) и В ( — 2 ; 5).

Найдите координаты двух других вершин параллелограмма.

В параллелограмме ABCD известны координаты точки пересечения диагоналей Е (1 ; — 2) и двух верршин А ( — 4 ; — 3) и В ( — 2 ; 5)?

В параллелограмме ABCD известны координаты точки пересечения диагоналей Е (1 ; — 2) и двух верршин А ( — 4 ; — 3) и В ( — 2 ; 5).

Найдите координаты двух других вершин параллелограмма.

На этой странице находится ответ на вопрос Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD, если известны координаты его вершин А В С D ( — 1 ; — 3) (3 ; 5) (5 ; 2) (3 ; — 5)?, из категории Математика, соответствующий программе для 10 — 11 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.

За один час он проплыл против течения 1 * (12 — 2) = 10 км значит по течению до места отправки он будет сплавляться 10 : 2 = 5 часов Ответ : 5 часов.

Alina iunches in the afternoon.

Алина обедает днём — Alina lunches in the afternoon.

X — 1 число, 0, 23x — 2 число. 0, 23x + x = 4, 92 1, 23x = 4, 92 x = 4 — 1 число 4, 92 — 4 = 0, 92 — 2 число.

1)9 : 3 = 3(л) — в 1 кувшине 2)3 * 6 = 18(л).

НОД(5, 15) = 5 НОД(12, 48) = 12 НОД(51, 65) = 13 НОД(232, 261) = 1 НОД(124, 148) = 4.

А)нет б)да в)да г)нет д)да е)нет.

Наибольшее 9876543210 Наименьшее 0, 987654321.

1) на 1 ч 30 мин 2) на 4ч 1 мин 3) на 24 мин 23с 4) на 1ч 8мин.

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь

1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры	3	5	1	7

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазина	Расход краски	Масса краски в одной банке	Стоимость одной банки краски	Стоимость доставки заказа
1	0,25 кг/кв.м	6 кг	3000 руб.	500 руб.
2	0,4 кг/кв.м	5 кг	1900 руб.	800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого