Как найти диагонали выпуклого многоугольника

Была ли эта статья полезной?

Выпуклый многоугольник

Определение

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, лежащий по одну сторону от каждой
прямой проходящей через два его соседних угла.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник,
в котором все углы и стороны равны.

Если в многоугольнике, через каждые два его соседних угла по одну сторону
проходит прямая, то многоугольник выпуклый. Многоугольник, который не
является выпуклым называется не выпуклым многоугольником.

В выпуклых многоугольниках сумма углов вычисляется по формуле: (n-2) * 180,
где n — количество сторон.

Выпуклые многоугольники. Определение выпуклого многоугольника. Диагонали выпуклого многоугольника

Данные геометрические фигуры окружают нас повсюду. Выпуклые многоугольники бывают природными, например, пчелиные соты или искусственными (созданными человеком). Эти фигуры используются в производстве различных видов покрытий, в живописи, архитектуре, украшениях и т.д. Выпуклые многоугольники обладают тем свойством, что все их точки располагаются по одну сторону от прямой, что проходит через пару соседних вершин этой геометрической фигуры. Существуют и другие определения. Выпуклым называется тот многоугольник, который расположен в единой полуплоскости относительно любой прямой, содержащей одну из его сторон.

Выпуклые многоугольники

Вершины многоугольника называют соседними, в том случае если они представляют собой концы одной из его сторон. Геометрическая фигура, у которой имеется n-е число вершин, а значит, и n-е количество сторон, называется n-угольником. Саму ломаную линию называют границей или контуром этой геометрической фигуры. Многоугольной плоскостью или плоским многоугольником называют конечную часть любой плоскости, им ограниченной. Соседними сторонами этой геометрической фигуры называют отрезки ломаной линии, исходящие из одной вершины. Они будут не соседними, если исходят их разных вершин многоугольника.

Другие определения выпуклых многоугольников

• каждый отрезок, что соединяет две любые точки внутри него, полностью лежит в нем;

• внутри него лежат все его диагонали;

• любой внутренний угол не превышает 180°.

Многоугольник всегда разбивает плоскость на 2 части. Одна из них – ограниченная (она может быть заключена в круг), а другая — неограниченная. Первую называют внутренней областью, а вторую – внешней областью этой геометрической фигуры. Данный многоугольник является пересечением (иными словами — общей составляющей) нескольких полуплоскостей. При этом каждый отрезок, имеющий концы в точках, которые принадлежат многоугольнику, полностью принадлежит ему.

Разновидности выпуклых многоугольников

Правильные выпуклые многоугольники

Правильный четырехугольник – квадрат. Правильный треугольник называют равносторонним. Для таких фигур существует следующее правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен 180° * (n-2)/ n,

где n – число вершин этой выпуклой геометрической фигуры.

Площадь любого правильного многоугольника определяют по формуле:

где p равно половине суммы всех сторон данного многоугольника, а h равно длине апофемы.

Свойства выпуклых многоугольников

Предположим, что Р – данный выпуклый многоугольник. Берем 2 произвольные точки, например, А, В , которые принадлежат Р. По существующему определению выпуклого многоугольника эти точки расположены в одной стороне от прямой, что содержит любую сторону Р. Следовательно, АВ также имеет это свойство и содержится в Р. Выпуклый многоугольник всегда возможно разбить на несколько треугольников абсолютно всеми диагоналями, которые проведены из одной его вершины.

Углы выпуклых геометрических фигур

Углы выпуклого многоугольника – это углы, что образованы его сторонами. Внутренние углы находятся во внутренней области данной геометрической фигуры. Угол, что образован его сторонами, которые сходятся в одной вершине, называют углом выпуклого многоугольника. Углы, смежные с внутренними углами данной геометрической фигуры, называют внешними. Каждый угол выпуклого многоугольника, расположенный внутри него, равен:

где х – величина внешнего угла. Эта простая формула действует в отношении любых геометрических фигур такого типа.

В общем случае, для внешних углов существует следующие правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен разности между 180° и величиной внутреннего угла. Он может иметь значения в пределах от -180° до 180°. Следовательно, когда внутренний угол составляет 120°, внешний будет иметь величину в 60°.

Сумма углов выпуклых многоугольников

где n – число вершин n-угольника.

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется довольно просто. Рассмотрим любую такую геометрическую фигуру. Для определения суммы углов внутри выпуклого многоугольника необходимо соединить одну из его вершин с другими вершинами. В результате такого действия получается (n-2) треугольника. Известно, что сумма углов любых треугольников всегда равна 180°. Поскольку их количество в любом многоугольнике равняется (n-2), сумма внутренних углов такой фигуры равняется 180° х (n-2).

Сумма углов выпуклого многоугольника, а именно любых двух внутренних и смежных с ними внешних углов, у данной выпуклой геометрической фигуры всегда будет равна 180°. Исходя из этого, можно определить сумму всех ее углов:

Сумма внутренних углов составляет 180° * (n-2). Исходя из этого, сумму всех внешних углов данной фигуры устанавливают по формуле:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда будет равна 360° (независимо от количества его сторон).

Внешний угол выпуклого многоугольника в общем случае представляется разностью между 180° и величиной внутреннего угла.

Другие свойства выпуклого многоугольника

Помимо основных свойств данных геометрических фигур, у них есть и другие, которые возникают при манипуляциях с ними. Так, любой из многоугольников может быть разделен на несколько выпуклых n-угольников. Для этого необходимо продолжить каждую из его сторон и разрезать эту геометрическую фигуру вдоль этих прямых линий. Разбить любой многоугольник на несколько выпуклых частей можно и таким образом, чтобы вершины каждого из кусков совпадали со всеми его вершинами. Из такой геометрической фигуры можно очень просто сделать треугольники путем проведения всех диагоналей из одной вершины. Таким образом, любой многоугольник, в конечном счете, можно разбить на определенное количество треугольников, что оказывается весьма полезным при решении различных задач, связанных с такими геометрическими фигурами.

Периметр выпуклого многоугольника

Отрезки ломаной линии, называемые сторонами многоугольника, чаще всего обозначаются следующими буквами: ab, bc, cd, de, ea. Это стороны геометрической фигуры с вершинами a, b, c, d, e. Сумма длины всех сторон этого выпуклого многоугольника называют его периметром.

Окружность многоугольника

Выпуклые многоугольники могут быть вписанными и описанными. Окружность, касающаяся всех сторон этой геометрической фигуры, называется вписанной в нее. Такой многоугольник называют описанным. Центр окружности, которая вписана в многоугольник, представляет собой точку пересечения биссектрис всех углов внутри данной геометрической фигуры. Площадь такого многоугольника равняется:

где r – радиус вписанной окружности, а p – полупериметр данного многоугольника.

Окружность, содержащую вершины многоугольника, называют описанной около него. При этом данная выпуклая геометрическая фигура называется вписанной. Центр окружности, которая описана около такого многоугольника, представляет собой точку пересечения так называемых серединных перпендикуляров всех сторон.

Диагонали выпуклых геометрических фигур

Число диагоналей выпуклого многоугольника играет важную роль в элементарной геометрии. Число треугольников (К), на которые возможно разбить каждый выпуклый многоугольник, вычисляется по следующей формуле:

Количество диагоналей выпуклого многоугольника всегда зависит от числа его вершин.

Разбиение выпуклого многоугольника

В некоторых случаях для решения геометрических задач необходимо разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников с непересекающимися диагоналями. Эту проблему можно решить путем выведения определенной формулы.

Определение задачи: назовем правильным некое разбиение выпуклого n-угольника на несколько треугольников диагоналями, пересекающимися только в вершинах этой геометрической фигуры.

Решение: Предположим, что Р1, Р2 , Р3 … , Pn – вершины этого n-угольника. Число Xn — количество его разбиений. Внимательно рассмотрим полученную диагональ геометрической фигуры Pi Pn. В любом из правильных разбиений Р1 Pn принадлежит определенному треугольнику Р1 Pi Pn, у которого 1 17 апреля, 2014

Выпуклый многоугольник: определение, элементы, свойства, примеры

Выпуклый многоугольник: определение, элементы, свойства, примеры — Наука

Содержание:

А выпуклый многоугольник Это геометрическая фигура, содержащаяся в плоскости, которая характеризуется тем, что все ее диагонали находятся внутри, а ее углы составляют менее 180 °. Среди его свойств можно выделить следующие:

1) Он состоит из n последовательных сегментов, в которых последний из сегментов соединяется с первым. 2) Ни один из сегментов не пересекается таким образом, чтобы ограничить плоскость во внутренней и внешней областях. 3) Каждый угол во внутренней области строго меньше плоского угла.

Простой способ определить, является ли многоугольник выпуклым или нет, — это рассмотреть линию, проходящую через одну из его сторон, которая определяет две полуплоскости. Если на каждой линии, проходящей через одну сторону, другие стороны многоугольника находятся в одной полуплоскости, то это выпуклый многоугольник.

Элементы многоугольника

Каждый многоугольник состоит из следующих элементов:

Стороны — это каждый из последовательных сегментов, составляющих многоугольник. В многоугольнике ни один из составляющих его сегментов не может иметь открытого конца, в этом случае будет многоугольная линия, но не многоугольник.

Вершины — это точки соединения двух последовательных отрезков. В многоугольнике количество вершин всегда равно количеству сторон.

Если две стороны или сегменты многоугольника пересекаются, значит, у вас есть перекрещенный многоугольник. Точка пересечения не считается вершиной. Поперечный многоугольник — это невыпуклый многоугольник. Звездообразные многоугольники являются перекрестными многоугольниками и поэтому не являются выпуклыми.

Когда у многоугольника все стороны одинаковой длины, мы получаем правильный многоугольник. Все правильные многоугольники выпуклые.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

На рисунке 1 показано несколько многоугольников, некоторые из них выпуклые, а некоторые — нет. Разберем их:

Номер 1 — это трехсторонний многоугольник (треугольник), а все внутренние углы меньше 180 °, поэтому это выпуклый многоугольник. Все треугольники — выпуклые многоугольники.

Число 2 — это четырехсторонний многоугольник (четырехугольник), в котором ни одна из сторон не пересекается, а каждый внутренний угол меньше 180 °. Тогда это будет выпуклый многоугольник с четырьмя сторонами (выпуклый четырехугольник).

С другой стороны, число 3 представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами, но один из его внутренних углов больше 180 °, поэтому он не удовлетворяет условию выпуклости. То есть это невыпуклый четырехсторонний многоугольник, называемый вогнутым четырехугольником.

Число 4 представляет собой многоугольник с четырьмя отрезками (сторонами), два из которых пересекаются. Четыре внутренних угла меньше 180 °, но поскольку две стороны пересекаются, получается невыпуклый перекрещенный многоугольник (перекрещенный четырехугольник).

Другой случай — число 5. Это многоугольник с пятью сторонами, но поскольку один из его внутренних углов больше 180 °, мы получаем вогнутый многоугольник.

Наконец, число 6, у которого также есть пять сторон, имеет все внутренние углы меньше 180º, поэтому это выпуклый многоугольник с пятью сторонами (выпуклый пятиугольник).

Свойства выпуклого многоугольника

1. Непересекающийся многоугольник или простой многоугольник делит содержащую его плоскость на две области. Внутренняя область и внешняя область, многоугольник является границей между двумя областями.

Но если многоугольник дополнительно выпуклый, тогда у нас есть внутренняя область, которая является односвязной, что означает, что, взяв любые две точки из внутренней области, он всегда может быть соединен сегментом, который полностью принадлежит внутренней области.

2- Каждый внутренний угол выпуклого многоугольника меньше плоского угла (180º).

3- Все внутренние точки выпуклого многоугольника всегда принадлежат одной из полуплоскостей, определяемых линией, проходящей через две последовательные вершины.

4- В выпуклом многоугольнике все диагонали полностью содержатся во внутренней многоугольной области.

5- Внутренние точки выпуклого многоугольника полностью принадлежат выпуклому угловому сектору, определяемому каждым внутренним углом.

6. Каждый многоугольник, все вершины которого находятся на окружности, является выпуклым многоугольником, который называется циклическим многоугольником.

7- Каждый циклический многоугольник является выпуклым, но не каждый выпуклый многоугольник является циклическим.

8- Каждый непересекающийся многоугольник (простой многоугольник), все стороны которого равны, является выпуклым и известен как правильный многоугольник.

Диагонали и углы в выпуклых многоугольниках

9- Общее количество N диагоналей выпуклого многоугольника с n сторонами определяется по следующей формуле:

Доказательство. В выпуклом многоугольнике с n сторонами каждой вершины нарисовано n — 3 диагоналей, так как сама вершина и две соседние вершины исключены. Поскольку имеется n вершин, всего нарисовано n (n — 2) диагоналей, но каждая диагональ была нарисована дважды, поэтому количество диагоналей (без повторения) равно n (n-2) / 2.

10- Сумма S внутренних углов выпуклого многоугольника с n сторонами определяется следующим соотношением:

Доказательство. Из вершины выводятся n-3 диагонали, определяющие n-2 треугольника. Сумма внутренних углов каждого треугольника составляет 180º. Общая сумма углов n-2 треугольников равна (n-2) * 180º, что совпадает с суммой внутренних углов многоугольника.

Примеры

Пример 1

Циклический шестиугольник — это многоугольник с шестью сторонами и шестью вершинами, но все вершины находятся на одной окружности. Каждый циклический многоугольник выпуклый.

Пример 2

Определите значение внутренних углов обычного энегона.

Решение: enegon — это 9-сторонний многоугольник, но если он также правильный, все его стороны и углы равны.

Сумма всех внутренних углов 9-стороннего многоугольника равна:

S = (9 — 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Но существует 9 внутренних углов одинаковой меры α, поэтому должно выполняться равенство:

Отсюда следует, что мера α каждого внутреннего угла правильного ребра равна:

math-public:mnogougolniki

---

Диагональ в многоугольнике (многограннике) — отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины, то есть, вершины, не принадлежащие одной стороне многоугольника (одному ребру многогранника).

У многогранников различают диагонали граней (рассматриваемых как плоские многоугольники) и пространственные диагонали, выходящие за пределы граней. У многогранников, имеющих треугольные грани есть только пространственные диагонали.

Подсчет диагоналей

Диагоналей нет у треугольника на плоскости и у тетраэдра в пространстве, поскольку все вершины этих фигур попарно связаны сторонами (ребрами).

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

N = n·(n – 3)/2,

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что

• у треугольника — 0 диагоналей 
• у прямоугольника — 2 диагонали
• у пятиугольника — 5 диагоналей
• у шестиугольника — 9 диагоналей
• у восьмиугольника — 20 диагоналей
• у 12-угольника — 54 диагонали
• у 24-угольника — 252 диагонали

Количество диагоналей многогранника с числом вершин n легко подсчитать только для случая, когда в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер k. Тогда можно пользоваться формулой:

N = n·(n – k – 1)/2,

которая даем сумманое число пространственных и граневых диагоналей. Отсюда можно найти, что

• у тетраэдра (n=4, k=3) — 0 диагоналей 
• у октаэдра (n=6, k=4) — 3 диагонали (все пространственные) 
• у куба (n=8, k=3) — 16 диагоналей (12 граневых и 4 пространственных)
• у икосаэдра (n=12, k=5) — 36 диагоналей (все пространственные) 
• у додекаэдра (n=20, k=3) — 160 диагоналей (25 граневых и 135 пространственных)

Если в разных вершинах многогранника сходится разное число ребер, подсчет заметно усложняется и должен проводится индивидуально для каждого случая.

Фигуры с равными диагоналями

На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали равны между собой. Это квадрат и правильный пятиугольник. У квадрата две одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды (пентаграммы).

Единственный правильный многогранник, у которого все диагонали равны между собой — правильный восьмигранник октаэдр. У него три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).

Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные диагонали равны между собой. Это куб (гексаэдр). У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые также пересекаются в центре. Угол между дигоналями куба состаляет либо arccos(1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), либо arccos(–1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).

Ссылки: 

• ru.wikipedia.org — Википедия: Диагональ 
• dic.academic.ru — иллюстрация разницы между граневой и пространственной диагоналями многогранника

Дополнительно в базе данных Генона:

• Как найти диагональ прямоугольника?
• Сколько вершин, ребер и граней у тетраэдра?
• Сколько вершин, ребер и граней у куба (гексаэдра)? 

Данные геометрические фигуры окружают нас повсюду. Выпуклые многоугольники бывают природными, например, пчелиные соты или искусственными (созданными человеком). Эти фигуры используются в производстве различных видов покрытий, в живописи, архитектуре, украшениях и т.д. Выпуклые многоугольники обладают тем свойством, что все их точки располагаются по одну сторону от прямой, что проходит через пару соседних вершин этой геометрической фигуры. Существуют и другие определения. Выпуклым называется тот многоугольник, который расположен в единой полуплоскости относительно любой прямой, содержащей одну из его сторон.

Выпуклые многоугольники

В курсе элементарной геометрии всегда рассматриваются исключительно простые многоугольники. Чтобы понять все свойства таких геометрических фигур необходимо разобраться с их природой. Для начала следует уяснить, что замкнутой называется любая линия, концы которой совпадают. Причем фигура, образованная ею, может иметь самые разные конфигурации. Многоугольником называют простую замкнутую ломаную линию, у которой соседние звенья не располагаются на одной прямой. Ее звенья и вершины являются, соответственно, сторонами и вершинами этой геометрической фигуры. Простая ломаная не должна иметь самопересечений.

Вершины многоугольника называют соседними, в том случае если они представляют собой концы одной из его сторон. Геометрическая фигура, у которой имеется n-е число вершин, а значит, и n-е количество сторон, называется n-угольником. Саму ломаную линию называют границей или контуром этой геометрической фигуры. Многоугольной плоскостью или плоским многоугольником называют конечную часть любой плоскости, им ограниченной. Соседними сторонами этой геометрической фигуры называют отрезки ломаной линии, исходящие из одной вершины. Они будут не соседними, если исходят их разных вершин многоугольника.

Другие определения выпуклых многоугольников

В элементарной геометрии существует еще несколько эквивалентных по своему значению определений, указывающих на то, какой многоугольник называется выпуклым. Причем все эти формулировки в одинаковой степени верны. Выпуклым считается тот многоугольник, у которого:

• каждый отрезок, что соединяет две любые точки внутри него, полностью лежит в нем;

• внутри него лежат все его диагонали;

• любой внутренний угол не превышает 180°.

Многоугольник всегда разбивает плоскость на 2 части. Одна из них – ограниченная (она может быть заключена в круг), а другая — неограниченная. Первую называют внутренней областью, а вторую – внешней областью этой геометрической фигуры. Данный многоугольник является пересечением (иными словами — общей составляющей) нескольких полуплоскостей. При этом каждый отрезок, имеющий концы в точках, которые принадлежат многоугольнику, полностью принадлежит ему.

Разновидности выпуклых многоугольников

Определение выпуклого многоугольника не указывает на то, что их существует множество видов. Причем у каждого из них имеются определенные критерии. Так, выпуклые многоугольники, у которых есть внутренний угол равный 180°, называются слабовыпуклыми. Выпуклая геометрическая фигура, что имеет три вершины, называется треугольником, четыре — четырехугольником, пять — пятиугольником и т. д. Каждый из выпуклых n-угольников отвечает следующему важнейшему требованию: n должно равняться или быть больше 3. Каждый из треугольников является выпуклым. Геометрическая фигура данного типа, у которой все вершины располагаются на одной окружности, называется вписанной в окружность. Выпуклый многоугольник называют описанным, если все его стороны около окружности прикасаются к ней. Два многоугольника называют равными только в том случае, когда при помощи наложения их можно совместить. Плоским многоугольником называют многоугольную плоскость (часть плоскости), что ограничена этой геометрической фигурой.

Правильные выпуклые многоугольники

Правильными многоугольниками называют геометрические фигуры с равными углами и сторонами. Внутри них имеется точка 0, которая находится на одинаковом расстоянии от каждой из его вершин. Ее называют центром этой геометрической фигуры. Отрезки, соединяющие центр с вершинами этой геометрической фигуры называют апофемами, а те, что соединяют точку 0 со сторонами – радиусами.

Правильный четырехугольник – квадрат. Правильный треугольник называют равносторонним. Для таких фигур существует следующее правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен 180° * (n-2)/ n,

где n – число вершин этой выпуклой геометрической фигуры.

Площадь любого правильного многоугольника определяют по формуле:

S = р * h,

где p равно половине суммы всех сторон данного многоугольника, а h равно длине апофемы.

Свойства выпуклых многоугольников

Выпуклые многоугольники имеют определенные свойства. Так, отрезок, который соединяет любые 2 точки такой геометрической фигуры, обязательно располагается в ней. Доказательство:

Предположим, что Р – данный выпуклый многоугольник. Берем 2 произвольные точки, например, А, В , которые принадлежат Р. По существующему определению выпуклого многоугольника эти точки расположены в одной стороне от прямой, что содержит любую сторону Р. Следовательно, АВ также имеет это свойство и содержится в Р. Выпуклый многоугольник всегда возможно разбить на несколько треугольников абсолютно всеми диагоналями, которые проведены из одной его вершины.

Углы выпуклых геометрических фигур

Углы выпуклого многоугольника – это углы, что образованы его сторонами. Внутренние углы находятся во внутренней области данной геометрической фигуры. Угол, что образован его сторонами, которые сходятся в одной вершине, называют углом выпуклого многоугольника. Углы, смежные с внутренними углами данной геометрической фигуры, называют внешними. Каждый угол выпуклого многоугольника, расположенный внутри него, равен:

180° — х,

где х – величина внешнего угла. Эта простая формула действует в отношении любых геометрических фигур такого типа.

В общем случае, для внешних углов существует следующие правило: каждый угол выпуклого многоугольника равен разности между 180° и величиной внутреннего угла. Он может иметь значения в пределах от -180° до 180°. Следовательно, когда внутренний угол составляет 120°, внешний будет иметь величину в 60°.

Сумма углов выпуклых многоугольников

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника устанавливается по формуле:

180° * (n-2),

где n – число вершин n-угольника.

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется довольно просто. Рассмотрим любую такую геометрическую фигуру. Для определения суммы углов внутри выпуклого многоугольника необходимо соединить одну из его вершин с другими вершинами. В результате такого действия получается (n-2) треугольника. Известно, что сумма углов любых треугольников всегда равна 180°. Поскольку их количество в любом многоугольнике равняется (n-2), сумма внутренних углов такой фигуры равняется 180° х (n-2).

Сумма углов выпуклого многоугольника, а именно любых двух внутренних и смежных с ними внешних углов, у данной выпуклой геометрической фигуры всегда будет равна 180°. Исходя из этого, можно определить сумму всех ее углов:

180 х n.

Сумма внутренних углов составляет 180° * (n-2). Исходя из этого, сумму всех внешних углов данной фигуры устанавливают по формуле:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда будет равна 360° (независимо от количества его сторон).

Внешний угол выпуклого многоугольника в общем случае представляется разностью между 180° и величиной внутреннего угла.

Другие свойства выпуклого многоугольника

Помимо основных свойств данных геометрических фигур, у них есть и другие, которые возникают при манипуляциях с ними. Так, любой из многоугольников может быть разделен на несколько выпуклых n-угольников. Для этого необходимо продолжить каждую из его сторон и разрезать эту геометрическую фигуру вдоль этих прямых линий. Разбить любой многоугольник на несколько выпуклых частей можно и таким образом, чтобы вершины каждого из кусков совпадали со всеми его вершинами. Из такой геометрической фигуры можно очень просто сделать треугольники путем проведения всех диагоналей из одной вершины. Таким образом, любой многоугольник, в конечном счете, можно разбить на определенное количество треугольников, что оказывается весьма полезным при решении различных задач, связанных с такими геометрическими фигурами.

Периметр выпуклого многоугольника

Отрезки ломаной линии, называемые сторонами многоугольника, чаще всего обозначаются следующими буквами: ab, bc, cd, de, ea. Это стороны геометрической фигуры с вершинами a, b, c, d, e. Сумма длины всех сторон этого выпуклого многоугольника называют его периметром.

Окружность многоугольника

Выпуклые многоугольники могут быть вписанными и описанными. Окружность, касающаяся всех сторон этой геометрической фигуры, называется вписанной в нее. Такой многоугольник называют описанным. Центр окружности, которая вписана в многоугольник, представляет собой точку пересечения биссектрис всех углов внутри данной геометрической фигуры. Площадь такого многоугольника равняется:

S = p * r,

где r – радиус вписанной окружности, а p – полупериметр данного многоугольника.

Окружность, содержащую вершины многоугольника, называют описанной около него. При этом данная выпуклая геометрическая фигура называется вписанной. Центр окружности, которая описана около такого многоугольника, представляет собой точку пересечения так называемых серединных перпендикуляров всех сторон.

Диагонали выпуклых геометрических фигур

Диагонали выпуклого многоугольника – это отрезки, которые соединяют не соседние вершины. Каждая из них лежит внутри этой геометрической фигуры. Число диагоналей такого n-угольника устанавливается по формуле:

N = n (n – 3)/ 2.

Число диагоналей выпуклого многоугольника играет важную роль в элементарной геометрии. Число треугольников (К), на которые возможно разбить каждый выпуклый многоугольник, вычисляется по следующей формуле:

К = n – 2.

Количество диагоналей выпуклого многоугольника всегда зависит от числа его вершин.

Разбиение выпуклого многоугольника

В некоторых случаях для решения геометрических задач необходимо разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников с непересекающимися диагоналями. Эту проблему можно решить путем выведения определенной формулы.

Определение задачи: назовем правильным некое разбиение выпуклого n-угольника на несколько треугольников диагоналями, пересекающимися только в вершинах этой геометрической фигуры.

Решение: Предположим, что Р1, Р2 , Р3 … , Pn – вершины этого n-угольника. Число Xn — количество его разбиений. Внимательно рассмотрим полученную диагональ геометрической фигуры Pi Pn. В любом из правильных разбиений Р1 Pn принадлежит определенному треугольнику Р1 Pi Pn, у которого 1<i<n. Исходя из этого и полагая, что і = 2,3,4 … , n-1, получается (n-2) группы этих разбиений, в которые включаются все возможные частные случаи.

Пусть і = 2 будет одной группой правильных разбиений, всегда содержащей диагональ Р2 Pn. Количество разбиений, которые входят в нее, совпадает с числом разбиений (n-1)-угольника Р2 Р3 Р4… Pn. Иными словами, оно равняется Xn-1.

Если і = 3, то эта другая группа разбиений будет всегда содержать диагонали Р3 Р1 и Р3 Pn. При этом количество правильных разбиений, что содержатся в данной группе, будет совпадать с числом разбиений (n-2)-угольника Р3 Р4… Pn. Другими словами, оно будет равняться Xn-2.

Пусть і = 4, тогда среди треугольников правильное разбиение непременно будет содержать треугольник Р1 Р4 Pn, к которому будет примыкать четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4, (n-3)-угольник Р4 Р5… Pn. Количество правильных разбиений такого четырехугольника равняется Х4, а число разбиений (n-3)-угольника равняется Xn-3. Исходя из всего изложенного, можно сказать, что полное количество правильных разбиений, которые содержатся в данной группе, равняется Xn-3 Х4. Другие группы, у которых і = 4, 5, 6, 7… будут содержать Xn-4 Х5, Xn-5 Х6, Xn-6 Х7 … правильных разбиений.

Пусть і = n-2, то количество правильных разбиений в данной группе будет совпадать с числом разбиений в группе, у которой i=2 (другими словами, равняется Xn-1).

Так как Х1 = Х2 = 0, Х3=1, Х4=2…, то число всех разбиений выпуклого многоугольника равно:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 Х4 + Xn-4 Х5 + … + Х 5 Xn-4 + Х4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Пример:

Х5 = Х4 + Х3 + Х4 = 5

Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14

Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42

Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132

Количество правильных разбиений, пересекающих внутри одну диагональ

При проверке частных случаев, можно прийти к предположению, что число диагоналей выпуклых n-угольников равняется произведению всех разбиений этой фигуры на (n-3).

Доказательство данного предположения: представим, что P1n = Xn * (n-3), тогда любой n-угольник возможно разбить на (n-2)-треугольников. При этом из них может быть сложен (n-3)-четырехугольник. Наряду с этим, у каждого четырехугольника будет диагональ. Поскольку в этой выпуклой геометрической фигуре могут быть проведены две диагонали, это значит, что и в любых (n-3)-четырехугольниках возможно провести дополнительные диагонали (n-3). Исходя из этого, можно сделать вывод, что в любом правильном разбиении имеется возможность провести (n-3)-диагонали, отвечающие условиям этой задачи.

Площадь выпуклых многоугольников

Нередко при решении различных задач элементарной геометрии появляется необходимость определить площадь выпуклого многоугольника. Предположим, что (Xi. Yi), i = 1,2,3… n представляет собой последовательность координат всех соседних вершин многоугольника, не имеющего самопересечений. В этом случае его площадь вычисляется по такой формуле:

S = ½ (∑ (X_i + X_{i + 1}) (Y_i + Y_{i + 1})),

где (Х₁, Y₁) = (X_{n +1}, Y_{n + 1}).