Как найти диаметр описанной окружности правильного шестиугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как находить диаметр описанной окружности шестиугольника

Правильный шестиугольник

1. Все углы правильного шестиугольника равны 120°

2. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой

3. Периметр правильного шестиугольника

4. Формула площади правильного шестиугольника

5. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

6. Диаметр описанной окружности правильного шестиугольника

7. Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника

8. Соотношения между радиусами вписанной и описанной окружностей

9. Угол , угол , угол , откуда следует, что треугольник — прямоугольный с гипотенузой равной . Следовательно,

10. Длина дуги AB равна

11. Формула площади сектора

Как находить диаметр описанной окружности шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника равен 42. Найдите диаметр описанной окружности.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

Найдем сторону шестиугольника: 72 : 6 = 12.

Рассмотрим треугольник AOB. Радиус описанной вокруг шестиугольника окружности равен его стороне, а диаметр вдвое больше. Поэтому он равен 24.

Гексагон

Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.

Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.

Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Свойства правильного шестиугольника

все внутренние углы равны между собой
каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
все стороны равны между собой
сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
меньшая диагональ правильного шестиугольника в ( sqrt <3>) раз больше его стороны.
vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60° .

Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ) :

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:

(r = m = alargefrac<<sqrt 3 >><2>normalsize)

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

Периметр правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

(S = pr = largefrac<<3sqrt 3 >><2>normalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

источники:

http://ege.sdamgia.ru/problem?id=54087

http://calcsbox.com/post/geksagon.html

Источник

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 1 № 54061

Периметр правильного шестиугольника равен 138. Найдите диаметр описанной окружности.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

Найдем сторону шестиугольника: 72 : 6 = 12.

Ответ: 24.

Аналоги к заданию № 27929: 54059 54103 54107 … Все

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника

Прототип задания

Видеокурс

Источник

Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника

Содержание:

Что такое окружность, описанная около правильного шестиугольника
Как найти радиус, формула
Свойства окружности, описанной около шестиугольника
Площадь круга, ограниченного описанной окружностью
Пример расчета радиуса окружности, описанной около шестиугольника

Что такое окружность, описанная около правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник — выпуклый шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.

шестиугольник

Описанная около многоугольника окружность — это окружность, которая содержит все вершины выпуклого многоугольника. Ее центром является точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, обычно её обозначают прописной буквой О.

центр описанной окружности

Как найти радиус, формула

Для расчетов используем формулу радиуса окружности, описанной около правильного многоугольника.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формула 1

(R=frac a{2sinleft(frac{360^0}{2n}right)})

где R — радиус описанной окружности правильного многоугольника,

а — длина стороны многоугольника,

n — количество сторон (или вершин) многоугольника.

Подставим в формулу значение n=6.

(R=frac a{2sinleft(frac{360^0}{2n}right)}=R=frac a{2sinleft(frac{360^0}{2·6}right)}=frac a{2sinleft(frac{360^0}{12}right)}=frac a{2sin30^0}.)

Так как (sin30^0=frac12), то (R=frac a{2sin30^0}=frac a{2·frac12}=frac a1). Получаем формулу радиуса окружности, описанной около правильного шестиугольника:

Формула 2

R=a

где R — радиус описанной окружности,

а — сторона правильного шестиугольника.

радиус описанной окружности

Примечание 1

Эту же формулу модно найти и другим способом. Биссектрисы углов правильного шестиугольника разбивают его на шесть равных равносторонних треугольников. Точка пересечения биссектрис у правильного шестиугольника совпадает с точкой пересечения срединных перпендикуляров и является центром описанной окружности. Расстояние между центром окружности и вершиной шестиугольника равно радиусу описанной окружности и стороне равностороннего треугольника. Этот отрезок также равен стороне шестиугольника.

шесть равных треугольников

Свойства окружности, описанной около шестиугольника

У правильного шестиугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Диаметр описанной окружности совпадает с большей диагональю правильного шестиугольника и равен его удвоенной стороне.

диаметр описанной окружности шестиугольник

Площадь круга, ограниченного описанной окружностью

Чтобы вычислить площадь круга, ограниченного описанной окружностью правильного шестиугольника, используем стандартную формулу площади круга.

Формула 3

(S=π·r^2)

где S — площадь круга,

π — коэффициент, число π,

r — радиус круга.

Так как радиус круга равен стороне правильного шестиугольника, около которого описана окружность, получаем формулу:

Формула 4

(S=π·а^2)

где S — площадь круга,

π — коэффициент, число π,

а — сторона правильного шестиугольника.

Пример расчета радиуса окружности, описанной около шестиугольника

Задача

Дано: около правильного шестиугольника описана окружность. Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна (5sqrt3 см.)

Найти: радиус описанной окружности.

Решение: Обозначим сторону правильного шестиугольника как а. Тогда его меньшая диагональ будет (аsqrt3 см). Следовательно, а=5 см. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника равен его стороне. R=5 см.

Ответ: 5 см.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 5.00 (Голосов: 1)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — выпуклый шестиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

(blacktriangleright) Каждый угол правильного шестиугольника равен (120^circ).

(blacktriangleright) Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне.

(blacktriangleright) Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на (6) равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.

(blacktriangleright) Центры вписанной и описанной около правильного шестиугольника окружностей есть точка пересечения больших диагоналей этого шестиугольника.

(blacktriangleright) Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна [S=dfrac{3sqrt3}2a^2]

Задание
1

#2430

Уровень задания: Равен ЕГЭ

К окружности, описанной около правильного шестиугольника (ABCDEF), в точке (A) проведена касательная. Найдите угол между этой касательной и прямой (AD). Ответ дайте в градусах.

Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на отрезке (AD), то есть (AD) – диаметр описанной окружности. Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между касательной и (AD) равен (90^circ).

Ответ: 90

Задание
2

#2427

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен (sqrt{12}). Найдите радиус описанной около этого шестиугольника окружности.

По свойству правильного шестиугольника радиус (r) вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны.

Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне (a). Тогда из прямоугольного треугольника:

[a^2=left(frac a2right)^2+r^2 quad Rightarrow quad a=dfrac 2{sqrt3},r quadRightarrow
quad a=dfrac2{sqrt3}cdot sqrt{12}=4]

Таким образом, и радиус описанной окружности равен (4).

Ответ: 4

Задание
3

#3589

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр правильного шестиугольника равен (72). Найдите диаметр описанной окружности.

Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:

Так как угол правильного шестиугольника равен (180^circ(6-2):6=120^circ), а большие диагонали являются биссектрисами углов, то, например, (angle BAO=angle ABO=60^circ), следовательно, (triangle ABO) – равносторонний. То есть радиус окружности равен (AO) и равен (AB). Так как периметр шестиугольника равен (72), то его сторона равна (72:6=12). Тогда диаметр описанной окружности равен (2cdot 12=24).

Ответ: 24

Задание
4

#3588

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной (sqrt3).

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно (S=pcdot r), где (p) – полупериметр, а (r) – радиус вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (S=dfrac{3sqrt3}2a^2), полупериметр равен (3a), тогда [dfrac{3sqrt3}2cdot (sqrt3)^2=3sqrt3cdot rquadRightarrowquad
r=1,5]

Ответ: 1,5

Задание
5

#3587

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен (sqrt3).

Ответ: 2

Задание
6

#2429

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь правильного шестиугольника равна (24sqrt3). Найдите длину его большей диагонали.

По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если (AB=a), то (AD=BF=CE=2a).

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна (frac{sqrt3}4 a^2), то площадь всего шестиугольника равна

[S=6cdot dfrac{sqrt3}4a^2=24sqrt3 quad Rightarrow quad a=4 quad Rightarrow
quad AD=2a=8.]

Ответ: 8

Задание
7

#666

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Около правильного шестиугольника (ABCDEF) описана окружность с центром в точке (O). Расстояние от точки (O) до одной из его сторон равно (4sqrt{3}). Найдите радиус этой окружности.

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

(OK) – высота в треугольнике (AOF), опущенная из (O). Так как расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую, то (OK = 4sqrt{3}).
Пусть (R) – радиус описанной окружности, тогда (OF = R), (KF = 0,5R) (так как (OK) ещё и медиана), таким образом, по теореме Пифагора (R^2 = (0,5R)^2 + (4sqrt{3})^2), откуда (R = .

Ответ: 8

Теме «Правильный шестиугольник и его свойства» в ЕГЭ по математике традиционно отводится сразу несколько заданий. Причем в зависимости от условия от учащегося может требоваться как развернутый, так и краткий ответ. Именно поэтому в процессе подготовки к сдаче аттестационного испытания выпускникам непременно стоит научиться решать задачи на применение свойств этой фигуры, в которых необходимо найти ее стороны, диагонали, радиус окружности со вписанным правильным шестиугольником и т. д.

Восполнить пробелы в знаниях, «прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Наши специалисты подготовили и изложили весь базовый материал для подготовки к ЕГЭ в максимально доступной форме.

Чтобы школьники могли успешно справляться с задачами по данной теме, мы рекомендуем повторить базовые понятия: каковы свойства правильного шестиугольника, описанного около окружности, как вычисляется его площадь, чему равны его углы и т. д. Весь необходимый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Он был разработан нашими сотрудники на основе богатого практического опыта.

Для закрепления полученных знаний предлагаем потренироваться в решении соответствующих задач, а также заданий по теме «Параллелограмм в ЕГЭ». Найти их вы сможете в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте представлены алгоритм решения и правильный ответ.

Готовиться к ЕГЭ школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Шестиугольник является правильным многоугольником, так как у него все стороны и углы равны. А значит, около любого шестиугольника можно описать окружность.

Точка O –центр правильного многоугольника, также является центром описанной вокруг него окружности.
Центр правильного многоугольника равноудален от его вершин. Отрезок, соединяющий центр с вершинами называется радиусом правильного многоугольника и также является радиусом описанной около него окружности.

Формула радиуса описанной окружности около шестиугольника
Существует классическая формула для нахождения радиуса описанной окружности около правильного многоугольника

$r={ a / { 2 sin{{180^0}/n}} }$

Для правильного шестиугольника n=6, тогда угол будет равен ${{180^0}/6}=30^0$
По тригонометрической таблице sin(30°)= 1/2
Тогда формула радиуса описанной окружности около шестиугольника имеет следующий вид
Радиус описанной окружности около шестиугольника равен его стороне

R=a=d/2

Пример расчета радиуса окружности описанной около шестиугольника
Найдите радиус окружности описанной около правильного шестиугольника, если радиус вписанной окружности в него равен sqrt{3}

Радиус описанной окружности около шестиугольника имеет вид R = a
Применив формулу радиуса вписанной окружности в шестиугольник, получаем:
Выразим сторону шестиугольника:
Выразим радиус описанной окружности через радиус вписанной:

Источник