Как найти диаметральную плоскость

ТЕОРЕМА
10.1. Геометрическим
местом середин хорд поверхности второго
порядка, параллельных вектору
неасимптотического направления, является
плоскость; эта плоскость называется
диаметральной плоскостью данной

поверхности,
сопряженной хордам данного направления.
Если поверхность второго порядка задана
относительно аффинной системы координат
общим уравнением 

,
а ее хорды коллинеарны ненулевому
вектору 

 (неасимптотического
направления), то уравнение диаметральной
плоскости, сопряженной этим хордам,
имеет вид

Доказательство такое
же как и для кривых второго порядка (см.
Теорема 11.1, книга «Общая теория кривых
второго порядка»).

Из
уравнения 

 следует,
что все диаметральные плоскости
поверхностей второго порядка содержат
геометрическое место ее центров, если
оно не пусто.

Заметим,
что вектор 

 не
компланарен диаметральной плоскости,
сопряженной его направлению, так как
главный вектор плоскости 

 имеет
координаты

откуда

Определение
10.1. Особым
направлением относительно поверхности
второго порядка называется направление
прямой, параллельной всем диаметральным
плоскостям этой поверхности.

ТЕОРЕМА
10.2. Пусть
относительно аффинной системы координат
задана поверхность второго порядка
общим уравнением 

.
Тогда если это уравнение является
уравнением центральной поверхности,
то у нее нет особых направлений. Все
остальные поверхности имеют особые
направления. Для того чтобы ненулевой
вектор 

 имел
особое направление относительно
поверхности 

,
необходимо и достаточно, чтобы его
координаты удовлетворяли соотношениям

Доказательство. Из
уравнения 

 следует,
что вектор 

 имеет
особое направление тогда и только тогда,
когда выполняется равенство

или

где 

 —
любой вектор, не имеющий асимптотического
направления. Так как всегда можно выбрать
три не компланарных вектора 

,
имеющих относительно
поверхности 

 неасимптотическое
направление, то однородное
относительно 

 уравнение 

 имеет
три линейно независимых решения, а это
возможно тогда и только тогда, когда
все коэффициенты при 

 в
уравнении 

 обращаются
в нуль; таким образом, соотношения 

 выполняются.
Если поверхность имеет единственный
центр, то

и,
значит, система 

 не
имеет ненулевых решений, т.е. особых
направлений нет.

Для
всех остальных поверхностей 

 и
система 

 имеет
ненулевые решения.

Если ранг
матрицы

равен
2 , то система 

 имеет
ненулевые решения, но не имеет двух
линейно независимых решений. Это
означает, что поверхности 

 и 

 групп
имеют лишь одно особое направление.
Составляя систему 

для
простейших уравнений этих поверхностей,
убедимся, что особое направление — это
направление оси $O’Z$ в простейших
уравнениях этих поверхностей.

Если rank 

,
то система 

 имеет
два линейно независимых решения. Все
решения системы 

 являются
всеми линейными комбинациями этих двух.
Это значит, что для поверхностей 

 и 

 групп
существует плоскость, такая, что любая
прямая, параллельная этой плоскости,
имеет особое направление и этими
направлениями исчерпываются все особые
направления этих поверхностей.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Диаметральная плоскость

Cтраница 2

Для диаметральных плоскостей, сопряженных к ( неособым) асимптотическим направлениям, отсутствует та геометрическая каршна, с которой мы связывали в п 1 понятие диаметральной плоскости: прямые асимптотического направления не образуют с поверхностью хорд. Положительный ответ на этот вопрос будет дан ниже, попутно с описанием диаметральных плоскостей для поверхностей различных типов.
 [16]

По диаметральной плоскости, перпендикулярной трубам, их неподвижно крепят к стеллажам мертвыми скобами.
 [17]

В диаметральной плоскости на флортимберсы укладывается продольная балка — к и л ь с о н 9 из одного или нескольких рядов брусьев в зависимости от размеров судна и сортамента леса. Кильсон соединяется с килем сквозными болтами, пропущенными через флортимберсы. Для перевязки шпангоутов на скуловом под вороте ставятся скуловые связные поясья 10, а в верхней части у палубы — к л я м п-с ы, или привальные брусья, 11, являющиеся у судов с двойной обшивкой утолщенными поясьпми внутренней обшивки. Связные поясья и клямпсы крепятся через шпангоуты сквозными болтами с наружной обшивкой.
 [18]

В диаметральной плоскости ротора помещены две плоские пластины-лопасти А и В, раздвигаемые пружиной, помещенной между ними. Лопасти плотно прижимаются пружиной к внутренней поверхности кожуха, разделяя его объем на две или три части, в зависимости от положения ротора при его вращении. Когда лопасти находятся в положении, показанном на рис. 68, б, порция газа из откачиваемого объема через входной патрубок входит в кожух.
 [19]

В диаметральной плоскости ротора помещены две плоские пластины-лопасти А Е В, раздвигаемые пружиной, помещенной между ними. Лопасти плотно прижимаются пружиной к внутренней поверхности кожуха, разделяя его объем на две или три части, в зависимости от положения ротора при его вращении. Когда лопасти находятся в положении, показанном на рис. 68, б, порция газа из откачиваемого объема через входной патрубок входит в кожух.
 [20]

Положение диаметральной плоскости корабля вполне определяется двумя обобщенными координатами, например вертикальным перемещением какой-либо точки на уровне грузовой ватерлинии и углом поворота корабля вокруг поперечной оси, проходящей через эту точку. Таким образом, плавающий корабль ( в отсутствие боковой качки) представляет собой систему, обладающую двумя степенями свободы. Следовательно, динамическое перемещение его должно определяться двумя независимыми одна от другой главными координатами.
 [21]

Обозначим главную диаметральную плоскость параболоида, проходящую через прямую малых осей эллипсов карты черт. Действительно, при проектировании на плоскость карты все диаметры кругового сечения, кроме диаметра, параллельного этой плоскости, должны укоротиться; следовательно, диаметр кругового сечения, параллельный плоскости карты, будет проектироваться в большую ось эллипса, получающегося в проекции. Но, по доказанному, эта ось параллельна прямой больших осей эллипсов карты. Следовательно, и плоскость кругового сечения параллельна прямой больших осей.
 [22]

В диаметральных плоскостях основания симметрично расположены и жестко соединены с его образующей вертикальные грузовые отсеки 6 и 18, выполненные в виде полых свай. Нижние концы отсеков закрыты конусообразными заглушками. Верхние концы отсеков 6 открыты, а отсеков 18 закрыты заглушками. Внутри отсеков 6 установлены цилиндрические пригрузы 7, соединенные тросами 9 со скобами, укрепленными на верхнем торце основания.
 [24]

Очевидно, главные диаметральные плоскости параболоида служат его плоскостями симметрии. Покажем, что никаких других плоскостей симметрии параболоид не имеет. Действительно, отражение в плоскости симметрии параболоида есть аффинное преобразование пространства, переводящее этот параболоид в себя. Поэтому оно преобразует все прямые, параллельные особому направлению, снова в такие же прямые. Отсюда следует, что всякая плоскость симметрии параболоида должна быть либо параллельна его особому направлению, либо перпендикулярна к этому направлению. Но плоскость симметрии параболоида не может быть перпендикулярной к его особому направлению, так как иначе она служила бы плоскостью симметрии для парабол, по которым параболоид пересекается плоскостями, параллельными особому направлению, и, значит, должна была бы проходить через оси этих парабол, тогда как, в силу предположения, она к этим осям перпендикулярна. Таким образом, плоскость симметрии параболоида должна быть параллельна его особому направлению.
 [25]

Очевидно, диаметральная плоскость вещественной поверхности второго порядка, сопряженная к вещественному ( неасимптотическому) направлению, вещественна.
 [26]

Напряжение в диаметральной плоскости ( плоскость защемления) не должно превышать 200 кг смг.
 [27]

Она называется диаметральною плоскостью поверхности ( 1), сопряженною к данному ( неасимптотическому) направлению.
 [28]

Точно так же диаметральная плоскость, проходящая через середины хорд эллипсоида, параллельных данному диаметру, называется диаметральной плоскостью, сопряженной к этому диаметру.
 [29]

Остается еще охарактеризовать диаметральные плоскости, сопряженные к асимптотическим направлениям.
 [30]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Подборка по базе: ЛПП лекции 2020.pdf, ДЗ по аналитической геометрии.docx, ООП Контрольные вопросы к лекции 15.docx, Годовая контрольная работа по геометрии , 7 класс.docx, ЗАЧЕТ ПО ГЕОМЕТРИИ 7 класс.docx, макроэкономика лекции.pdf, ООП Контрольные вопросы к лекции№11.docx, Открытый урок геометрии в 8 классе по теме Теорема Пифагора..doc, годовой проект по геометрии.pptx, Вопросы к лекции 1.docx

§ 6. Диаметральные плоскости, центр поверхности го порядка Следствие Если поверхность
(1) не имеет ни одного центра, то существует система координат, относительно которой хотя бы один из коэффициентов а, а, а отличен от нуля. Теорема 6.14. Всякая поверхность
 (1), имеющая бесконечное множество центров, является цилиндрической поверхностью. Если цилиндрическая поверхность
(1) имеет хотя бы один центр, то она имеет бесконечное множество центров.
1) Пусть поверхность
(1) имеет бесконечное множество центров. Тогда В 3 ив силу теоремы 6.5. следует, что поверхность
 — цилиндрическая) Пусть поверхность
 — цилиндрическая. Тогда  В R 2.
Если поверхность
(1) имеет один центр и R ≤ 2 (см. п. 3 § 6), то поверхность имеет и бесконечное множество центров. Теорема 6.15. Для того, чтобы поверхность

(1) была конической, необходимо и достаточно, чтобы она имела по крайней мере один центр, принадлежащий самой поверхности. Этот центр будет вершиной конической поверхности.
§ 7. Упрощение уравнения поверхности второго порядка путем преобразования системы координат
1. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат поверхность второго порядка
 задана уравнением







 

i j i
ij i0 00
: a x x
2a x a
0.
(1) Из теоремы 6.9 следует Теорема 6.16
. Какова бы ни была поверхность второго порядка, всегда существует такая прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имеет следующий вид
2 2
2 11 22 33 10 20 30 00
a x a y a z
2a x 2a y 2a z a
0.







(2)

§ 7. Упрощение уравнения поверхности го порядка путем преобразования системы координат Теорема 6.18
. Если поверхность

(2) не имеет ни одного центра, то всегда существует такая прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имеет вид А + Вили А =

z .
(7)
Так как поверхность (2) не имеет ни одного центра, то хотя бы один из коэффициентов а, а, а равен нулю. Действительно, если все коэффициенты а ≠ 0; а ≠ 0; а ≠0, то r
B
= 3, что означает поверхность) имеет центр. Не нарушая общности, можно предположить, что а = 0. Возможны два случая а) а ≠ 0; а
≠ 0, б) а ≠ 0, а = 0
 а ≠ 0, а = 0. Рассмотрим каждый их этих случаев в отдельности. а) а ≠ 0; а ≠ 0. Уравнение (2) запишем так






2 2
11 1 22 2 10 1 20 2 30 3 00
a x a х x
2a х х a
0.
(8) Рассмотрим матрицы









 











11 10 11 22 22 20 а 0 0 а а 0 В а 0 ; В а 0 а 0 0 0 0 0 а r
B
= 2, тогда

B
r
3 (поверхность не имеет центров. Отсюда находим, что а ≠ 0. Разделив уравнение (8) на аи вводя новые обозначения для коэффициентов, получаем



 
2 2
1 2
1 2
3
Ax
Bx
2Cx
2Dx
F x ,
(9) где А ≠0, В ≠ 0. Преобразуем уравнение (9)








 









2 2
2 2
1 СВ х x
F
А
B
A
B
Введем новую прямоугольную декартову систему координат так, чтобы



1 1
C
x x
;
A



2 2
D
x x
;
B


 

2 2
3 3
2
C
D
x x
F
B
A

Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка
202 Тогда уравнение (9) приводится к виду (6). б) а ≠ 0, а = а = 0. В данном случае уравнение (2) примет вид





2 11 1 10 1 20 2 30 3 00
a x
2a x
2a х х a
0.
(10) Так как поверхность (10) не имеет ни одного центра то, также как в пункте а, можно показать, что хотя бы один из коэффициентов а или а неравен нулю. Сначала рассмотрим случай, когда один из коэффициентов равен нулю а = 0
 а = 0. Разделив уравнение (10) на аи вводя новые обозначения для коэффициентов, получаем

 
2 1
1 1 3
Аx
2В С х , где А ≠ 0. Преобразуем это уравнение




 




2 2
1 3
В
В
А х х
С
А
А
Введем новую прямоугольную декартову систему координат так, чтобы



1 В x
;
A


2 2
x x ;


 
2 В СВ этой системе координат уравнение поверхности (2) примет вид
(7). Можно показать, что при а ≠ 0; а ≠ 0 уравнение (10) приводится к виду (7). Резюмируя результаты § 7, приходим к выводу Теорема 6.19
. Уравнение поверхности
 (1), заданной в прямоугольной декартовой системе координат, путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат можно привести к одному из следующих видов


 



2 2
2
Аx
Вy
Сz
D 0, A 0, B 0, C 0;
(11)




2 2
Аx
Вy z, A 0, B 0;
(12) А z, A 0;
(13)