Как найти диаметры стержней

При покупке рифлёной арматуры, например, класса А500С, может возникнуть ситуация, когда необходимо будет перепроверить диаметр стержня. Такая штатная процедура требует правильного замера, о котором мы расскажем в данной статье.

---

СОДЕРЖАНИЕ

• Инструменты для измерения
• Правильный способ замера
• Таблица отклонения размеров рифлёной арматуры ГОСТ 5781-82
• Пример измерения диаметра арматуры

Сложность измерения диаметра рифлёной арматуры заключается в том, что в разных местах в соответствии с рисунком рифления на приборах будут показаны разные значения. Для того, чтобы не ошибиться с замерами, с собой необходимо иметь один из инструментов:

• Обычная рулетка

• Штангенциркуль

Рулеткой обычно пользуются опытные мастера, которым достаточно знать приблизительные значения. Для наиболее точных измерений используется штангенциркуль. Чтобы корректно узнать диаметр арматуры, используйте последний инструмент.

Правильный способ замера арматуры

Чтобы точно узнать диаметр рифлёной арматуры, выполните следующие действия:

1. Измерьте штангенциркулем «тело» стержня, установив прибор на впадины арматуры (D min)

2. Измерьте максимальный диаметр по рёбрам рифления (D max)

3. Сумму значений D min и D max разделите на «2»

Диаметр = (D min + D max) / 2

При принятии поставок арматуры, мы рекомендуем тщательно проверять диаметр изделий, поскольку для недобросовестных поставщиков это распространённый способ обмана клиентов.

Таблица отклонения размеров рифлёной арматуры ГОСТ 5781-82

Используя данные из таблицы, можно легко вычислить диаметр стержня, даже зная только диаметр впадины или ребра рифлёной арматуры. Для этого сверьте данные по строкам. Мы рекомендуем сохранить таблицу для вашего удобства.

D номинальный, мм	D min, мм	D max, мм
6	5,75	6,75
8	7,5	9
10	9,3	11,3
12	11	13,5
14	13	15,5
16	15	18
18	17	20
20	19	22
22	21	24
25	24	27
28	26,5	30,5
32	30,5	34,5
36	34,5	39,5
40	38,5	43,5

Пример измерения диаметра арматуры

Попробуем измерить диаметр арматуры 20 мм. Установив штангенциркуль на впадине стержня, получаем значение 19 мм. Если мерить D max, то нужно установить устройство на рёбрах рифлёной арматуры. Таким образом, мы получили значение 22 мм. Используя формулу, вычисляем: (19+22) / 2 = 20,5 мм. Учитывая предельное отклонение +0,3 мм и -0,5 мм, мы получаем номинальный диаметр стержня в 20 мм.

Практическая
работа №1

Тема: Расчет
диаметра стержня круглого сечения.

Цель
работы: Выполнение
расчета и выбор диаметра стержня круглого сечения из условия прочности

Теоретический
материал

Все напряжения делятся на 2 группы:

I.
Напряжения по направлению:

1.      σ (сигма) – нормальное напряжение
(рисунок 1, 2) – направлено перпендикулярно сечению, рассматривается в
деформации растяжения, сжатия, изгибов (продольных, поперечных)

 

                                       

Рисунок 1. Нормальное
напряжение                                     Рисунок 2. Общее напряжение

2.
t (тay)- касательное
напряжение (рисунок 2) – направлено по касательной к сечению,
рассматривается в деформации кручения, сдвига и сложном виде деформации.

3.  (po) – общее напряжение
(рисунок 3), находится по теореме Пифагора

II. 
Напряжения по величине

1. Рабочее напряжение – напряжение, которое
возникает внутри конструкции под действием приложенных сил (рисунок 4).     

                                                                      

                      

                Рисунок 4. Действие силы F на
стержень диаметром 20 мм     

2.
Допустимое напряжение – напряжение, которое определяется по диаграмме
испытания материалов и при котором конструкция работает долговечно. Величина
рабочего напряжения должна быть меньше допустимого(табличного).

[]-допустимое нормальное напряжение

[]-допустимое касательное напряжение

3.
Предельное напряжение – напряжение, при котором конструкция разрушается.

 — предельное нормальное напряжение

 —
предельное касательное напряжение

Для решения задачи, в которой  необходимо подобрать
размер поперечного сечения стержня рекомендуется следующая последовательность:

—      
освободить
балку от связей, заменив их реакциями связей;

—      
составить
уравнение равновесия и определить реакцию стержня, удерживающего балку в
равновесии;

—      
из
условия прочности определить площадь поперечного сечения стержня;

—      
определить
диаметр стержня.

Пример. Для
стержня, удерживающего балку в равновесии (рисунок 5), подобрать размер
круглого сечения из условия прочности. Для материала стержня (сталь Ст5)
принять:  [σ]_р
= 160МПа, [σ]_с = 120МПа – допустимые напряжения на растяжение и
сжатие. На балку действуют внешний момент М=16кН, сила F=20кН на
участках  а=1,5м,  b=0,5м.

Дано:  [σ]р = 160МПа,  [σ]с = 120МПа,  М=16кН,  F=20кН ,  а=1,5м,  b=0,5м. Подобрать размер круглого сечения

                                                          
                                    Рисунок
5

Решение.

1.
Освобождаемся от связей, заменяем их реакциями, составляем расчетную схему
(рисунок 6).

Рисунок
6. Расчетная схема

2. Определяем
усилие в стержне СD —
продольную силу N_с,
препятствующую деформации стержня. Для этого составляем уравнение равновесия =0.

—
М+ N_с sin 30 (a+b) – F ·а=0

N_с  = (М + F ·а) / sin 30 (a+b) =
(16 + 20·1,5)/0,5 (1,5+0,5) = 46 кН.

Реакция
связи направлена  в сторону деформации, значит стержень СD
подвергается деформации растяжения.

3. Из условия
прочности на растяжение опреденляем диаметр стержня 

       ;  А ³ N_с /  [σ]_р,
для круга А= pd² /4,
отсюда

         pd² = 4N_с / [σ]_р ; 
d =  =

Принимаем d = 20мм.

Для обеспечения прочности
принимаем диаметр стержня 20 мм.

Обеспечивающие
средства:

1.     методическое
руководство по выполнению работы;

2.     таблица
тригонометрических функций;

3.     индивидуальное
задание;

4.     тетрадь
для практических работ;

5.     карандаш,
линейка, транспортир, ластик, авторучка;

6.     калькулятор.

Методические
рекомендации по выполнению работы:

1. Внимательно
изучить методические указания, предложенный теоретический материал.

2. В соответствии
с вариантом  выполнить задание.

Для этого
необходимо:

—      
полностью
переписать условие задания;

—      
выполнить
задание в соответствии с методикой, приведенной выше;

—      
располагать
действия в таком порядке, чтобы был виден логический ход выполнения работы.

3. Сделать выводы
о проделанной работе.

4. Ответить на
контрольные вопросы.

Литература:

1.     Эрдеди
А.А. Техническая механика: учебник для студ.учреждений сред.проф.образования/
А.А. Эрдеди, Н.А. Эрдеди. – 4-е изд., стер. – М.: Издательский центр
«Академия», 2017.

2.     Олофинская
В.П. Техническая механика. Курс лекций с вариантами практических и тестовых
заданий. — М.: ФОРУМ-ИНФРА-М, 2013.

3.     Сафонова
Г.Г., Артюховская Т.Ю., Ермаков Д.А. Техническая механика. — М.: ИНФРА-М, 2013.

Порядок
выполнения заданий

1.     По
исходным данным своего варианта начертить  рисунок, соблюдая размеры.

2.     Обозначить
на рисунке размеры а и b.

3.     Освободить
балку от связей, заменив их реакциями связей;

4.     Составить
уравнение равновесия и определить реакцию стержня, удерживающего балку в
равновесии;

5.     Из условия
прочности определить площадь поперечного сечения стержня;

6.     Определить
диаметр стержня.

Задания для выполнения работы

Для стержня, удерживающего балку в равновесии,
подобрать размер круглого сечения из условия прочности. Для материала стержня
(сталь Ст5) принять:  [σ]_р = 160МПа, [σ]_с = 120МПа –
допускаемы напряжения на растяжение и сжатие. На балку действуют внешний момент
М, сила F на 
участках  а,  b. Данные
для решения задачи представлены в таблице 1.

Таблица 1.
Исходные данные

вариант	рисунок	Исходные данные	вариант	рисунок	Исходные данные
F, кН	М, кН·м	b, м	а, м	F, кН	М, кН·м	b, м	а, м
1	1	10	12	0,6	0,4	19	1	28	20	0,5	0,4
2	2	11	12	1,3	0,2	20	2	26	17	0,8	0,3
3	3	12	12	1,3	0,3	21	3	20	14	0,8	0,4
4	4	13	11	1,4	0,3	22	4	13	14	1,5	0,5
5	5	20	16	0,9	0,4	23	5	18	16	1	0,6
6	6	15	14	1,1	0,4	24	6	22	18	0,7	0,4
7	7	16	13	1,2	0,5	25	7	14	10	1,2	0,2
8	8	22	17	0,8	0,5	26	8	10	12	0,7	0,8
9	9	28	20	0,5	0,5	27	9	12	18	1,5	0,4
10	10	16	14	1,1	0,6	28	10	24	19	0,6	0,6
11	1	32	15	0,9	0,3	29	1	29	23	0,5	0,4
12	2	29	20	1,1	0,2	30	2	23	25	0,9	0,3
13	3	10	11	1,4	0,4	31	3	20	12	0,9	0,4
14	4	18	15	1	0,3	32	4	18	10,5	0,2	0,5
15	5	18	15	1	0,4	33	5	26	13	0,5	0,6
16	6	24	18	0,7	0,5	34	6	14	11	0,6	0,4
17	7	12	10	1,6	0,6	35	7	22	12	0,3	0,2
18	8	21	20	0,5	0,5	36	8	12	14	0,4	0,4

Выводы

Выводы
формулируются в свободной форме.

В выводах
необходимо отразить следующие моменты:

1)     В какой
степени достигнута цель работы;

2)    Какие
знания и умения приобретены в процессе выполнения работы.

Контрольные
вопросы

1. Поясните, в чем
заключается метод РОЗУ?

2. Перечислите
виды напряжений.

3. Каково правило знаков
нахождения продольной силы?

4. Напишите
формулу нахождения нормального напряжения.

5. Какие расчеты
можно выполнить из условия прочности?

iSopromat.ru

Пример решения задачи по расчету минимального диаметра стального стержня обеспечивающего его прочность.

Подобрать по условию прочности диаметр стального стержня нагруженного продольной растягивающей силой F=10кН. Допустимые напряжения σ =160МПа.

Для того чтобы стержень был прочным, нормальные напряжения σ в его поперечных сечениях не должны превышать заданных допустимых значений.

где A — площадь поперечного сечения,
N – величина внутренней продольной силы, которая была определена ранее (N=10кН).

От диаметра, который мы будем рассчитывать, в данном выражении зависит только площадь A, поэтому получаем:

В квадратных миллиметрах площадь сечения представить проще:

То есть для того чтобы стержень был прочным, площадь его поперечного сечения независимо от формы должна быть не менее указанной величины.

Из формулы площади круга выражаем его расчетный диаметр

Это минимальный диаметр стержня, обеспечивающий его прочность.

Если в задании нет дополнительных условий, полученный размер можно округлить до целого миллиметра, но только в большую сторону.

Окончательно принимаем D=9мм.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

iSopromat.ru

Пример решения задачи по расчету размеров поперечного сечения прямого стального стержня по условию прочности на растяжение-сжатие.

Для прямого стержня постоянного сечения подобрать размер стороны a квадратного сечения по условию прочности. Материал стержня – сталь. Допустимые напряжения [ σ ]=160 МПа.

Полученные размеры принять согласно ГОСТ 6636.

Пример решения

Предыдущие пункты решения задачи

Рассматриваемый стержень нагружен исключительно продольными силами, поэтому для подбора размеров его поперечного сечения воспользуемся условием прочности при растяжении-сжатии.

где N – внутренние продольные силы (найдены ранее),
A — площадь поперечного сечения стержня.

Чтобы найти размеры поперечного сечения стержня рассчитаем площадь A. Для этого запишем условие прочности относительно площади:

Площадь сечения в данном случае постоянна по всей длине стержня и должна обеспечивать прочность на всех его силовых участках. Поэтому расчет будем вести по самому нагруженному из них, т.е. где внутренняя сила максимальна (N_max).

По построенной эпюре внутренних сил видно, что наиболее нагруженным является II участок, где N=N_max=70кН.

Тогда расчетная площадь сечения стержня:

Таким образом для обеспечения необходимой прочности стержня площадь его поперечного сечения должна быть не менее 437,5 мм 2 .

Теперь, зная площадь квадрата, рассчитаем его сторону

Это соответственно минимальный размер поперечного сечения стержня, обеспечивающий его прочность.

В случаях, когда в задании не ставится дополнительных условий полученный размер можно округлить до целого миллиметра, но только в большую сторону.

По ГОСТ 6636 окончательно принимаем ближайший в сторону увеличения линейный размер а =22мм.

Все дальнейшие расчеты стержня будем вести по этому размеру.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Определяем диаметр вала из условия прочности

Условие прочности при кручении имеет вид

τ_max = ≤ [τ],

где W_p= πd 3 /16 ≈ 0,2d 3 – полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).

Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала:

Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле

d треб ≥ = = 6,79 см.

Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным d = 70 мм.

Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания

Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня GI_p, где G – модуль сдвига, а

I_p = πd 4 /32 ≈ 0,1 d 4 – полярный момент инерции. Получим

GI_p = 0,8*10 4 *0,1 * 7 4 = 192*10 4 кН·см 2 .

Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:

φ_{AB =} = = 0,0156 рад;

φ_{BC =} = = 0,0052 рад;

φ_{CD =} = = — 0,0260 рад;

φ_{DE =} = = — 0,0113 рад.

Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть φ_A = 0. Тогда

Эпюра углов закручивания показана на рис. 9.1, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.

Задачи на кручение «круглого» стержня

Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига G = 0,8*10 4 кН/см 2 ) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами М_i (рис. 9.2).

· построить эпюру крутящих моментов;

· при заданном допускаемом касательном напряжении [τ] = 8 кН/см 2 из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;

· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения

Таблица 8.1. Исходные условия для самостоятельного решения

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Архив рубрики: Задачи на кручение

Проверочный и проектный расчеты при кручении

Задача. Для заданного стального бруса d=50мм (материал – сталь Ст3) построить эпюры крутящих моментов, углов поворота поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если допускаемое касательное напряжение [τ]=30МПа. Подобрать для бруса кольцевое сечение при . Сравнить сечения по расходу материала.

1.Расставляем сечения на характерных участках. Начинаем расчет от свободного конца бруса, рассматривая правую часть и отбрасывая оставшуюся левую часть с заделкой. Каждое сечение рассматриваем отдельно, определяя в нем значение крутящего момента.

Строим эпюру М_К

2.Строим эпюру углов поворота сечений. Углы поворота сечений определяем по формуле

Расчет ведем по сечениям от неподвижного конца – стены А, в которой угол поворота равен нулю φ_А=0. В формуле обязательно следует учитывать знаки крутящих моментов.

Модуль сдвига для Ст3 G = 0,8·10 5 МПа = 0,8·10 8 кПа.

Определим полярный момент инерции для круглого сечения:

Вычисляем углы поворота сечений — от стены А.

Если требуется перейти к градусной мере, то:

Далее вычисляем все последующие углы поворота, учитывая ранее найденные:

Строим эпюру φ

3.Проверим прочность бруса по формуле

Максимальный крутящий момент с эпюры М_К = 0,75 кНм.

Определим полярный момент сопротивления сечения:

Тогда —прочность обеспечена.

4.Подбираем кольцевое сечение для вала с .

Наружный диаметр кольца определим по формуле проектного расчета для кольцевого сечения:

Тогда d = 0,8 · 60 = 48 мм.

Проверим прочность подобранного сечения. Полярный момент сопротивления для кольца:

5. Сравним варианты – круглое и кольцевое – по расходу материала

В задаче площадь круглого вала А = 19,6 см 2 , а у кольцевого сечения (полого) А = 10,7 см 2 , что позволяет говорить об экономии материала почти в два раза. Т.о. брус (вал) кольцевого сечения экономичнее равнопрочного сплошного.

Задача на кручение

Для вала определить диаметр, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания.

1) Определяем величины внутренних крутящих моментов M. Для этого разбиваем стержень на участки (I, II, III, IV) и производим расчёт M со свободного конца стержня. Крутящий момент M в сечении равен алгебраической сумме моментов, действующих на стержень с одной стороны (справа) от рассматриваемого сечения.

Расчёт M соответственно по участкам IV, III, II, I:

Зная числовые значения крутящих моментов M, строится эпюра M, при этом положительные значения M откладываются вверх, а отрицательные – вниз от горизонтальной линии.

2) Определяем диаметр стержня из условия прочности: Выразим –полярный момент сопротивления при кручении круглого стержня через диаметр:тогда получим:

берётся из эпюры M по абсолютному значению. Диаметр стержня d округляется до большей величины.

3) Производим расчет жесткости вала при кручении, где — модуль сдвига, а (см 4 ) – полярный момент инерции сечения.

4) Производим расчет – углов закручивания концов участков стержня, начиная от закреплённого конца стержня, где ,(рад):Значения крутящих моментов на участках берутся из эпюры крутящих моментов с учётом их знака. Получив численные значения , строят эпюру . Примерная эпюра показана на рисунке.

Задача

Ступенчатый стержень нагружен крутящим моментом Т .При каком отношении выполняется условие одинаковой прочности по всей длине стержня, если

Условие одинаковой прочности на участках будет выполнено в том случае ,если касательные напряжения будут одинаковы.

Определим касательные напряжения, обозначив крутящий момент в левой стене как , а в правой как :

Определим полярные моменты сопротивления сечений : Тогда найдем соотношение между и :

Теперь составим уравнение деформаций — углов поворота. Начнем от правой стены В, в которой . Внутренний крутящий момент во втором сечении будет равен , а крутящий момент в первом сечении будет равен . Тогда уравнение углов поворота: (2)

Полярные моменты инерции: Подставим эти значения в уравнение (2) и найдем соотношение между и :

Составим уравнение статики для заданной схемы:Тогда: (4)

Теперь, решая (4) , (3) и (1), получим отношение . Задача решена.

Задача на расчет вала на прочность и жесткость при кручении

Для стального вала, нагруженного внешними крутящими моментами, построить эпюры внутренних крутящих моментов, определить размеры поперечного сечения в виде кольца (d/D=0,85) из условий прочности и жесткости, построить эпюры максимальных касательных напряжений, абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений.

Определим внутренние крутящие моменты. Расчет внутренних крутящих моментов проводится с помощью метода сечений.

Участок LK: М_L= М₄ = 5 кНм; М_К=М₄=5кНм.

Покажем эпюру крутящих моментов на рис.б.

Определяем размеры поперечного сечения вала из условия прочности и жесткости:, где полярный момент сопротивления сечения и полярный момент инерции сечения равны:Максимальный внутренний крутящий момент:

Тогда из условия прочности:

А из условия жесткости: Окончательно принимаем D=90мм.

Для подобранного сечения вала его геометрические характеристики:

Рассчитаем касательные напряжения для участков:

Построим эпюру касательных напряжений на рис.в.

Расчет относительных углов поворота на участках:

Сначала определим жесткость сечения вала при кручении:

Эпюра θ показана на рис. г.

Определение угловых перемещений характерных сечений (идем от опоры В, в которой угол поворота равен 0):

Эпюра φ представлена на рис.д.

Задача на температурные напряжения при кручении

Стальные стержни 1 и 2 нагреваются на . Площадь стержней А.

Определить максимальные напряжения.

При нагреве стержней на возникнут температурные напряжения.

Напряжения, вызванные изменением температуры в стержне постоянного сечения, не зависят от его длины, площади поперечного сечения, а зависят от модуля упругости, коэффициента линейного расширения и разности температур .

Эти напряжения создадут усилия:

Тогда крутящий момент:

Касательные напряжения:

Следует помнить, что при нагреве стержней в них возникают сжимающие напряжения, а при охлаждении – растягивающие. Эти напряжения, суммируясь с напряжениями от силовых факторов, могут значительно превышать допускаемые. Это обстоятельство следует учитывать при проектировании элементов конструкций.

Задача

К стальному валу приложены три известных момента:

Требуется: 1) установить, при каком значении Х угол поворота правого крайнего сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины, соответственно равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов поворота; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (в градусах на 1м длины).

Решение: Обозначим границы участков русскими буквами А,……,Д.

I.Записываем условие, что угол поворота крайнего правого сечения (Д) вала равен нулю – исходя из условий задачи.

Данный угол поворота является суммой углов поворота вала на каждом участке:

Угол поворота на участке определяется по формуле:

, где М к — крутящий момент на данном участке, l — длина участка,

G — модуль сдвига , — для стали

— полярный момент инерции

Таким образом, , и с учетом условия задачи:

Так как вал имеет постоянное поперечное сечение, то

Определяем внутренние крутящие моменты на участках методом сечений. Идем от свободного конца вала, на каждом участке мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие всегда правой отсеченной части:

Подставляем найденные значения моментов в уравнение (1) :

2. Строим эпюру крутящих моментов. Для этого подставляем в выражения для моментов Мк найденные значения Х.

Полученные значения откладываем в виде ординат на эпюре

3.Определяем диаметр вала из условия прочности:

, где —максимальное касательное напряжение,

— максимальный крутящий момент (берется с эпюры Мкр по модулю),

— полярный момент сопротивления сечения

[τ]=80 МПа — допускаемое касательное напряжение

Определяем диаметр:

Принимаем диаметр вала d=45 мм=4,5 см

4. Построение эпюры углов поворота начинаем от опоры и строим нарастающим итогом. Предварительно посчитаем жесткость вала:

Угол поворота в левой опоре равен нулю, поскольку в заделке поворота быть не может:

В последней точке угол поворота должен получиться равным нулю (по условию задачи), таким он и получился. Строим эпюру углов поворота.

5. Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле:

Полученный результат переведем в градусы на метр длины:

Статически неопределимые задачи при кручении. Задача2

Требуется: 1) Построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры поперечных сечений заданной формы, соблюдая следующие соотношения между ними:

2) Построить эпюру углов поворота.

Сначала составляем уравнение статики для всего бруса:

Здесь два неизвестных, следовательно, требуется еще одно уравнение. Его получим, если сформулируем условие совместности деформаций всех трех участков бруса. Оно заключается в том, что поворот правого опорного сечения относительно левого опорного сечения для рассматриваемого бруса невозможен, поскольку оба его концы жестко защемлены:

Сократим на , тогда будет:

Выразим моменты инерции сечений разных форм с учетом заданных соотношений размеров:

Итак, все моменты инерции выражены через один параметр с, что позволит довести до числа решение уравнения (2′):

или после сокращения на с 4 :

С помощью метода сечений выразим неизвестные крутящие моменты через один из реактивных опорных моментов, например, через М_А:

С учетом (а), (б) и (в) уравнение (2′′), будет:

откуда находим значение М_А:

Тогда из (а), (б) и (в) найдем:

Эти результаты показаны в виде эпюры крутящих моментов.

Подбор размеров сечений производится по условиям прочности:

— на первом участке

Для круглого сечения

При заданном соотношении d=c:

— на втором участке

Для кольцевого сечения

Здесь мы должны учесть соотношения размеров, при которых и найдены внутренние усилия, то – есть

— на третьем участке

Для прямоугольного сечения . При соотношениях

По таблице α=0,246. И тогда W_к=2∙0,246∙с 3 .

Из условия прочности

Из трех требуемых значений «с» (0,023м, 0,04м и 0,046м) принимаем наибольшее с=0,046м и тогда проектные значения размеров сечений на разных участках должны быть

— на первом участке: круглое сечение диаметром d=0,046м,

— на втором участке: кольцевое сечение с внутренним диаметром d=0,046м, а внешним у которого

— на третьем участке: прямоугольное сечение шириной b=c=0,046м

и высотой h=2b=2∙0,046=0,092 м,

у которого I_к=β∙h∙b 3 =0,229∙0,092∙0,046 3 =205∙10 -8 м 4 .

2. Построение эпюры углов поворота.

Для этого вычисляются углы поворота сечений, расположенных на границах участков бруса (эти сечения на схеме обозначены цифрами в кружочках), они откладываются в виде ординат, вершины которых соединяются прямыми линиями. Так:

α₀=0, поскольку крайнее левое сечение жестко защемлено и поворачиваться вокруг продольной оси z не может,

Равенство нулю угла поворота крайнего правого сечения, тоже жестко защемленного, служит контролем правильности всего решения задачи.

Статически неопределимые задачи при кручении. Задача1

Уравнение статики для всего бруса:

В этом уравнении два неизвестных (это реактивные моменты в опорах М_А и М_В). Следовательно, задача один раз статически неопределима, и для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение, выражающее факт совместности деформаций всех участков бруса.

Здесь можно рассуждать следующим образом: если удалить одну из опор, то брус станет статически определимым

Теперь крайнее правое сечение получило возможность поворачиваться. Но в заданной системе этот поворот невозможен. Поэтому величину М_В в удаленной опоре следует подобрать так, чтобы угол поворота опорного сечения равнялся нулю:

α_В=0 – это условие деформации.

Раскрывая его, будем иметь:

Тогда условие совместности деформаций (а) превращается в уравнение совместности деформаций:

В этом уравнении три неизвестных крутящих момента (по количеству участков бруса). Для их определения выразим крутящие моменты через заданные внешние скручивающие моменты М₁, М₂ и реактивные моменты, используя метод сечений. Так в любом сечении первого участка:

((b)

Далее, в любом сечении второго участка

Наконец, в любом сечении третьего участка:

Подставляя (b), © и (d) в уравнение (2), будем иметь:

В этом уравнении содержится одно-единственное неизвестное: это реактивный момент в левой опоре М_А. Определив его из решения уравнения (2′), обратной подстановкой в формулы (b), © и (d) определим численные значения крутящих моментов , Таким образом статическая неопределимость задачи будет раскрыта.

Зная крутящие моменты, далее можно решить любую задачу прочности и жесткости бруса.

Кручение бруса тонкостенного замкнутого круглого сечения

Тонкостенное круглое сечение характеризуется средним радиусом R_ср и толщиной стенки трубы δ

Считается, что касательные напряжения по толщине стенки распределяются равномерно и равны:

Угол закручивания

Кручение бруса прямоугольного сечения

Опыт показывает, что при кручении брусьев некруглого поперечного сечения сами сечения не остаются плоскими, то есть происходит депланация поперечных сечений. Исследовать напряженное и деформированное состояние таких брусьев при кручении методами сопротивления материалов не представляется возможным, так как в основе их лежит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).

Задача о кручении бруса некруглого, в частности, прямоугольного сечения решена с помощью метода теории упругости, и на основе этого решения предложены простые расчетные формулы, имеющие ту же структуру, что и формулы для бруса круглого сечения, а именно:

Здесь: W_к=α∙h∙b 2 – момент сопротивления при кручении,

В этих формулах: b – меньшая из сторон прямоугольника,

h – большая сторона,

α, β – коэффициенты, значения которых приводятся в таблице в зависимости от отношения сторон h/b (эта таблица содержится в рубрике «Кручение», «Таблицы» или в любом учебнике сопротивления материалов).

Распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению тоже отличается от распределения в круглом сечении:

Значения коэффициента γ Запись опубликована 05.09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на кручение.

Источник

2.1. Подбор сечений стержней из расчета на прочность

1.
Мысленно
отбрасывают связи и заменяют их действие
на брус реакциями. В
задачах для самостоятельной работы
абсолютно жест­кий брус удерживается
в равновесии шарнирно-неподвижной
опо­рой и одиночным стержнем (подвеской
или колонной).

По
условию задачи требуется рассчитать
только стержень, поэтому рекомендуется
показать усилие в стержне N
и
не пока­зывать реакций опоры, определение
которых выходит за рамки самостоятельной
работы.

Направление
неизвестного усилия можно принять
произ­вольно, но можно руководствоваться
и более конкретной реко­мендацией:
усилие направлено по оси стержня в
сторону, проти­воположную действию
нагрузки. Приведенные схемы нагрузок
дают возможность безошибочно определить
направление дейст­вия усилия.

2.
Определяют
величину усилия N в стержне. Для
этого состав­ляют всего одно уравнение
равновесия — сумма моментов всех сил
относительно неподвижной опоры должна
быть равна нулю:

Неподвижная опора
в одних заданиях может быть

обозначена
А,
в
других — В.

Проверка решения
не выполняется, так как не определялись
опорные оеакции неподвижной опооы.

3.
Определяют
требуемую площадь поперечного сечения
стерж­ня из
условия прочности по формуле

где N
— усилие
в стержне; R
—
расчетное сопротивление мате­риала
подвески по прил. VIII.

Следует
обратить внимание на то, что в отличие
от СНиПа, в расчетной формуле коэффициент
условия работы yc
принят
равным 1 и исключен из знаменателя, а
также вместо R_y
приня­то
R.

Это сделано из-за
отсутствия сведений о назначении
элемен­тов стальных конструкций и
для получения единообразных фор­мул
при расчете конструкций из разных
материалов (стали про­катной фасонной,
стали арматурной, алюминия).

31

Подбор
сечения сжатого стержня предлагается
выполните только из расчета на прочность
без учета потери устойчивости. I

При
пользовании формулой (а) следует помнить,
что усилие N
имеет
размерность кН, расчетное сопротивление
R
~Ш МПа,
а требуемую площадь A_Jp
измеряют
в см²
для удобства! пользования прил. I,
поэтому необходимы преобразования в
размерностях. Они будут показаны в
примере 7. I

4. По
найденной площади определяют
требуемый профилт прокатной стали или
диаметр арматурного стержня согласно
заданию.

Требуемый
профиль прокатной стали определяют по
площади Afp,
используя
прил. I,
а диаметр стержня можно найти по! формуле
I

При назначении
диаметра стержня полученный результат
в! формуле (б) рекомендуется округлить
до размера, кратного 2 мм в большую
сторону.

5.
Выполняют
проверку прочности принятого сечения
по
формуле 1

где А
— принятая
площадь поперечного сечения стержня.
Она! не равна требуемой площади, полученной
по формуле (а), так! как за редким
исключением площадь сечения, приведенная
в] прил. I,
не совпадает с требуемой, кроме того,
принятый диаметр, как правило, округляется
и принимается большим, чем требуемый.

32

Прочность стержня
считается обеспеченной, если условие
(в) удовлетворено, и необеспеченной,
если оно не удовлетворено.

Пример
7.
Подобрать сечение стержня (подвески),
поддержи­вающего брус АВ,
как
показано на рис. 11. Материал — сталь
марки С-235.

Решение.
1.
Мысленно
отбрасываем стержень, заменяя его
дей­ствие на брус усилием N. Направим
его вверх, полагая, что он уравновешивает
нагрузку, направленную вниз.

2.
Определим
величину усилия N,
составив
уравнение равновесия

которое для заданной
схемы примет вид

После подстановки
известных величин получим

3.
Определим
требуемую площадь поперечного сечения
стержня по
формуле (а):

4. По
найденной площади определим
требуемый профиль (но­мер) равнополочного
уголка. На
два уголка требуется 9,07 см²,
на один — ai
=
4,535 см².
По табл. 1 прил. I
подбираем уголок 50×5 площадью 4,80 см².
На два уголка площадь А
= 9,6
см².

5.
Выполним
проверку прочности принятого сечения
по
форму­ле (в):

Ответ:
Для
стержня принято сечение из двух уголков
50×5.

Аналогично ведется
расчет на подбор сечения колонны из
швеллеров, которые приведены в задании
для самостоятельной работы.

Пример
8. По
условию примера 7 подобрать диаметр
стерж­ня-подвески из арматурной стали
класса А-П.

33

Решение.
1,
2. Усилие N=
208,6
кН остается без изменения, как и в примере
7, так как не изменилась схема и нагрузка
на брус.

3.
Определим
требуемую площадь сечения стержня по
форму­ле (а):

4.
Определим
требуемый диаметр стержня по
формуле (б):

Округляя
полученный результат до размера, кратного
2 мм, в большую сторону, получим диаметр
стержня d
= 32
мм или 3,2 см.

5.
Выполним
проверку прочности сечения стержня по
форму­ле (в):

Прочность стержня
обеспечена, так как условие (в)
удовле­творено.

Задание
для самостоятельной работы 4. Подобрать
сечение стерж­ня-подвески (или колонны),
поддерживающего брус АВ
по
данным одного из вариантов, приведенных
на рис. 12. Материал стержня для фасонных
профилей — прокатная сталь С-245, для
круглого сече­ния — сталь арматурная
горячекатаная класса A-I.

34

35

36

37

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #