Как найти дифференциация функции

Рассмотрим функцию

Известно, что если a ∈ X и является предельной точкой множества X , то функция , определенная на X , непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда функция имеет представление

(x) = (a) + o(1), x → a,
то есть
∆a(∆x) = o(∆x⁰),    ∆x → 0.

Выделим класс функций, для которых можно уточнить характеристику приращений ∆fa(∆x) функции f, соответствующих приращению ∆x аргумента.

Определение

Определение 4.1. Пусть функция  определена на множестве X, a ∈ X и a — предельная точка множества X . Функция  называется дифференцируемой в точке а по множеству X, если существует такое число A, что

∆a(∆x) = A∆x + o(∆x), a + ∆x ∈ X, ∆x → 0.    (4.1)

Иными словами, функция дифференцируема в точке a, если существует линейная относительно ∆x функция A∆x, которая отличается от приращения ∆a(∆x) функции в точке a, соответствующего приращению аргумента ∆x, на бесконечно малую более высокого порядка малости по сравнению с ∆x, когда ∆x → 0, при этом ∆x может принимать только такие значения, чтобы a+∆x ∈ X.

Учитывая представление функции вида o(∆x) при ∆x → 0, заметим, что дифференцируемая в точке a по множеству X функция имеет вид

(a + ∆x) = f(a) + A∆x + α(∆x) ∆x,         (4.2)

где a + ∆x ∈ X и α(∆x) → o при ∆x → o, или

(x) = (a) + A(x — a) + α(x — a) (x — a), 

где x ∈ X и α(x — a) → o при x → a.

Определение 4.2. Пусть функция дифференцируема в точке a по множеству X. Линейная функция A ∆x, ∆x ∈ R, из представления (4.2) называется дифференциалом функции в точке a и обозначается d_a(∆x).

Из определения 4.1 следует

Лемма 4.1. Для того чтобы функция  была дифференцируемой в точке a по множеству X, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел
   (4.3)
равный числу A из (4.1).

Следствие. Если функция дифференцируема в точке a по множеству X, то представление (4.2) единственно и дифференциал функции в точке a определяется однозначно. (Утверждение верно в силу единственности предела функции в точке).

Определение 4.3. Пусть функция определена на множестве X, a ∈ X и a — предельная точка множества X. Если существует в предел (4.3), то его называют производной функции в точке a по множеству X и обозначают ^/(a) (по Лагранжу) или (a) (по Лейбницу).

С учетом определения 4.3 лемма 4.1 принимает вид:

Лемма 4.2. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке a по множеству X, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в точке a по множеству X .

Таким образом, если функция  дифференцируема в точке a по множеству X, то при a + ∆x ∈ X и ∆x → 0
∆_a(∆x) =^/(a)∆x + o(∆x), d_a(∆x) =^/(a)∆x.

Пример:

Пусть : → , (x) = c0 , ∀x ∈ . Доказать, что функция  дифференцируема в каждой точке a ∈ по множеству и ^/(x) = 0, ∀ x ∈. 

Пусть a — произвольная точка из . Тогда
∆_a(∆x) = 0, ∀ ∆x ∈ .

Поэтому = 0, =0, а значит ^/(a) =0 и функция  дифференцируема в точке a по множеству . Поскольку a — произвольная точка из   , то получили нужное. 

Пример:

Пусть h : → , h(x) = x, ∀x ∈ . Если a — некоторая точка из , то

Отсюда следует, что производная функции h в точке a по множеству существует и равна 1. Таким образом, функция h дифференцируема в любой точке a ∈ по множеству , при этом dh_a(∆x) = 1 ∙ ∆x. 

Как видим, для функции h(x) = x приращение функции в точке равно приращению переменной ∆x, а поэтому и дифференциал этой функции в точке так же равен ∆x, то есть, сокращая обозначение, можно написать, что dx = ∆x. Поэтому для произвольной дифференцируемой в точке a функции f равенство dfa(∆x) = ^/(a)∆x можно переписать в виде

d_a(dx) = ^/(a) dx или  ^/(a) =

что напоминает символику Лейбница производной функции в точке a.

Чтобы объяснить, как на дифференцируемость и значение производной влияет множество X , рассмотрим такой пример. 

Пример:

Пусть , .  Тогда, как легко следует из определений и двух предыдущих примеров, функция

В дальнейшем мы не будем явно указывать, по какому множеству X выполняется дифференцирование, поскольку это будет ясно из контекста определения функции, но забывать о множестве X и его роли в определении дифференцируемости функции не следует.

Теорема 4.1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке a, то она непрерывна в ней.

Доказательство очевидно, поскольку представление (4.2) влечет существование . 

Замечание. Непрерывность функции в точке является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции в точке. Для примера рассмотрим функцию (x) = |x| в точке a = 0. Она непрерывна в точке
,
поэтому не существует предел отношения  при ∆x → 0, то есть функция не дифференцируема в точке a = 0.

В полной аналогии с понятием левого и правого предела функции в данной точке вводятся понятия левой и правой производной функции в точке.

Определение 4.4. Пусть определена на множестве X, a ∈ X, a — правосторонняя (левосторонняя) предельная точка X. Если в  существует

то его называют правой (левой) производной функции в точке a и обозначают ^/₊0 (a) (соответственно, ^/_—0 (a)).

Правая и левая производные функции в точке a называются односторонними производными. Из сопоставления определений 4.3 и 4.4 и из теоремы о связи односторонних пределов функции с пределом вытекают следующие утверждения:

Теорема 4.2. Пусть функция определена на множестве X и a ∈ X . Если a — односторонняя предельная точка множества X , то понятие производной функции в точке a совпадает с односторонней производной функции . Если же a — двусторонняя предельная точка X, то функция имеет в точке a производную тогда и только тогда, когда существуют обе односторонние производные функции в этой точке, равные между собой. В случае выполнения последних условий ^/(a) = ^/₊0 (a) = ^/_—0 (a).

Возвращаясь к (x) = ∣x∣, заметим, что ^/₊0 (0) = 1, ^/_—0 (0) = -1.

Геометрический смысл производной и дифференциала

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке X , a — некоторая точка этого промежутка, ∆x — приращение аргумента, причем ∆x 0 и a + ∆x ∈ X. Поэтому точки M₀(a, (a)), M(a + ∆x, (a + ∆x)) принадлежат графику Γ функции . Прямую, проходящую через точки M₀ и M , называют секущей.

Поскольку точка M₀ фиксирована, то угловой коэффициент k секущей MM₀ является функцией от ∆x (величина ∆x приращения аргумента вполне определяет точку M графика функции), то есть k = k(∆x). Ясно, что k(∆x) = и секущая M₀M имеет уравнение
y = k(∆x)(x — a) +y₀, где y₀ = (a).

Определение 4.5. Если существует конечный предел

то прямая, соответствующая уравнению y = k₀ (x — a) + y₀, называется наклонной (невертикальной) касательной к графику Γфункции в точке M0 (a₀, y₀). Если же существует бесконечный предел

(функция k(∆x) является бесконечно большой в точке 0), то прямая x = a называется вертикальной касательной к Γ точке M₀ .

Поскольку угловой коэффициент касательной, в случае ее существования, получен из углового коэффициента секущей с помощью предельного перехода при ∆x → 0, то касательную часто называют предельным положением секущей M₀M при M → M0 по Γ (при ∆x → 0 (a + ∆x) → (a), так как функция непрерывна в точке a).

Теорема 4.3. Пусть функция непрерывна на промежутке X и a ∈ X. Чтобы график Γ функции имел в точке M0(a, (a)) невертикальную касательную, необходимо и достаточно, чтобы функция была дифференцируемой в точке a. При этом уравнение касательной имеет вид 

y = ^/(a)(x-a) +(a).   (4.4)

Для того, чтобы график Γ функции имел в точке M₀ вертикальную касательную, необходимо и достаточно, чтобы функция имела в точке a бесконечную производную.

Так как k(∆x) =, то предел этой функции в при ∆x → 0 существует тогда и только тогда, когда функция имеет в точке a производную ^/(a), причем k₀ = = ^/(a). Учитывая определение 4.5, получаем ∆x→0 нужное.

Из определений 4.1 и 4.5 и теоремы 4.3 получаем следующее определение невертикальной касательной к графику функции в точке M₀ , которое равносильно определению 4.5.

Определение 4.6. Пусть функция непрерывна на промежутке X и a ∈ X. Прямая y = k x+b называется невертикальной касательной к графику функции в точке M₀(a, (a)), если
(x) — (kx + b) = o(x — a), x → a.

Выясним геометрический смысл дифференциала df_a(∆x). Будем считать, что функция дифференцируема в точке a. Поэтому график функции в точке M₀(a, (a)) имеет невертикальную касательную, уравнением которой является (4.4). Так как d_a(∆x) = ^/(a)∆x, где ∆x = x — a, то y_kac(x) = d_a(∆x) + (a). Следовательно, дифференциал d_a(∆x) функции в точке a есть приращение ординаты касательной, проведенной в точке M₀ к Γ , то есть d_a(∆x) = y_kac(a+ ∆x) — (a).

Производная и дифференциал функции на множестве

Определение 4.7. Если каждая точка множества X является его предельной точкой и функция дифференцируема в каждой точке множества X, то говорят, что функция дифференцируема на множестве X . Функцию, определенную правилом x(∈ X) → ^/(x), называют производной функции на множестве X и обозначают ^/ или . Если ∆x — некоторое dx фиксированное число, причем ∆x 0, то функцию, определенную правилом x ∈ X → d_x(∆x) ∈ , называют дифференциалом функции на множестве X, соответствующим приращению ∆x аргумента, и обозначают d (∆x).

Напомним, что d_a(∆x) является линейной функцией от ∆x ∈ . Учитывая, что d_a(∆x) = ^/(a)∆x, получаем, d (∆x) =^/ ∆x.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Пусть (x) = xα, α ∈ , Xα — область определения функции.

Заметим, что если α ≥ 0, то 0 ∈ Xα , если α 0, то 0 ∈/ Xα .
а)    Пусть α = 0. Тогда (x) = 1, ∀x ∈ X = . В силу примера 1 функция дифференцируема на и ^/(x) = 0, ∀x ∈ .

б)    Пусть α ∈ {0}, и a ∈ Xα {0}. Тогда

Следовательно, при α ∈ {0} функция дифференцируема на Xα {0} и ^/(x) = αx^α-1.

в)    Пусть α > 0 и a = 0. Тогда

Последнее означает, что функция (x) = x^α дифференцируема в точке x = 0, если α ≥ 1; ^/(0) = 0 при α > 1, ^/ (0) = 1 при α = 1. Функция (x) = xα теряет свойство дифференцируемости в точке x = 0, если α ∈ (0, 1), при этом ее график имеет в точке x = 0 вертикальную касательную.

Пример:

Пусть (x) = ax, где a > 0 и a 1. Фиксируем точку x0 ∈ . Так как

то функция дифференцируема в точке x₀ и ^/(x₀) = a^x0 ln a. Следовательно, функция дифференцируема на и (a^x)^/ = a^xln a. В частности, (e^x)^/ = e^x, ∀x ∈ .

Пример:

Пусть (x) = sin x, ∀x ∈ , a — некоторая точка из . Так как

то функция дифференцируема в точке a и ^/(a) = cos a. Следовательно, функция (x) = sinx дифференцируема на и (sin x)0 = cos x, ∀x ∈ .

Аналогично доказывается, что функция (x) = cos x дифференцируема на и (cos x)0 = — sin x, ∀x ∈ .
 

Основные правила вычисления производной

Теорема 4.4. Если функции и ψ определены на множестве X и дифференцируемы в точке a ∈ X, то функции + ψ, ∙ ψ и, если ψ(a) = 0, — ψ дифференцируемы в точке a, при этом
1) (+ψ)0(a)=^/(a)+ψ^/(a), 

d( +ψ)_a(∆x) = da(∆x) + dψ_a(∆x);

2) ( ∙ ψ)0(a) = ^/(a) ∙ ψ(a)+ (a) ∙ ψ^/(a),

d ( ∙ ψ)a(Ax) = d_a(∆x) ∙ ψ(a) + (a) ∙ dψa(∆x);

3)  

Докажем только третью часть утверждения. По условию теоремы функция ψ дифференцируема в точке a и ψ(a) 0. В силу локальных свойств непрерывной в точке функции найдется такая окрестность U_a точки a, что на множестве X ∩ U_a функция ψ отлична от нуля. Поэтому на множестве X ∩ U_a определена функция ∕ψ. Для любого x ∈ X ∩ Ua имеем

где ∆x = x — a. Учитывая дифференцируемость и непрерывность функций и ψ в точке a, получим, что существует предел последнего выражения при x → a, который равен
    (4.5)

Поэтому существует предел левой части, равный числу (4.5). Значит, функция ∕ψ дифференцируема в точке a, ее производная и дифференциал в точке a определяются формулами 3).

Замечание. Доказательство теоремы 4.4, опирающееся на определение дифференцируемой в точке функции, см. в [4, с.200-202].

Пример №1

Пусть (x) = tg x, x + kπ, k ∈ Z. Поскольку tg x = sin x/ cos x, то, согласно теореме 4.4, функция дифференцируема в области определения и

.

Аналогично доказывается, что функция (x) = ctgx дифференцируема в своей области определения и
.

Теорема 4.5 (о дифференцируемости суперпозиции функций). Если X и Y — подмножества в , функция : X → Y дифференцируема в точке x0, а функция ψ : Y → дифференцируема в точке y₀ = (x₀), то суперпозиция функций ψ ◦ дифференцируема в точке x0 и (ψ ◦ )^/(x₀) = ψ^/( (x₀)) ∙ ^/(χ₀) или (ψ ◦ )^/(x0) = (ψ^/ ◦ ) (x₀) ∙ ^/(χ_o).

По условию теоремы функция ψ дифференцируема в точке y₀ , поэтому ∀y ∈ Y {y₀}
ψ(y) -ψ(y₀) = ψ^/(y₀)(y-y₀) +α(y — y₀)(y — y₀),    (4.6)

где α(y — y₀) → 0 при y → y₀. Без ограничения общности можно считать, что α(0) = 0. Тогда представление (4.6) функции ψ имеет место на множестве Y . Поскольку : X → Y , то ∀x ∈ X
ψ((x)) -ψ(y₀) = ψ^/(y₀)(f(x) -y₀) + α((x) -y₀)((x) — y₀).

Учитывая, что y₀ = (x₀), получим для x ∈ X{x₀}

.

Так как при x → x₀ f^/(x_o) ∈ , α( (x) — (x0)) → 0, то существует конечный предел правой части предыдущего равенства, равный числу Ψ^/(y₀) ∙ ^/(x₀). Значит, существует предел его левой части при x → x₀ и он равен Ψ^/(y₀)  ^/(x₀), то есть существует предел
 .

Следовательно, функция ψ ◦ дифференцируема в точке x0 и ее производная в точке x₀ равна (ψ ◦ )^/(x₀) = ψ^/((x₀)) ^/(x₀).

Следствие. Пусть функция : X → Y дифференцируема на множестве X , а функция ψ : Y → дифференцируема на множестве Y . Тогда суперпозиция функций ψ ◦ дифференцируема на множестве X и
(ψ ◦ )^/ = (ψ0 ◦ ) ∙ ^/.

Теорема 4.6 (о производной обратной функции). Пусть функция определена, непрерывна и возрастает или убывает на промежутке X . Если функция дифференцируема в точке x0 промежутка X и ^/(x₀) 0, то обратная функция ^—1, определённая на промежутке Y = (X) дифференцируема в точке y₀ = (x₀ ) ∈ Y и

.

Пусть — возрастающая функция на X . Тогда по теореме о непрерывности функции обратной к монотонной, обратная к функция ^—1 определена возрастает и непрерывна на промежутке Y, причем промежуток Y имеет тот же вид, что и промежуток X .

Пусть ∆y 0 и y = y₀ + ∆y ∈ Y . Тогда x₀ + ∆x = ^-1 (y₀ + ∆y) ∈ X и ∆x 0. Покажем существование конечного предела
,
воспользовавшись теоремой Гейне существования предела функции (см. теорему 2.31), и найдем его. Для этого фиксируем произвольную последовательность {y_n}: y_n ∈ Y , y_n y₀, y_n → y₀. Положим xn = ^-1(y_n), n ∈ N. Тогда yn = (x_n), y₀ = (x₀ ) и по определению обратной функции имеем

   ,        (4 7) 
(воспользовались тем, что x_n x₀ в силу биективности функции ^-1).
По непрерывности функции ^-1 в точке y₀, x_n = ^-1 (y_n) → x₀. Кроме того, дифференцируема в точке x₀ и ^/ (x₀ ) 0. Поэтому существует предел
.
И из (4.7) получаем существование предела
.
Поскольку {y_n} — произвольная последовательность точек множества Y, отличных от y₀ , стремящаяся к y₀ , то по теореме Гейне
.
Поэтому функция^-1 дифференцируема в точке y₀ и (^-1 )^/(y₀) = (^/(x₀))^-1 .

Следствие. Пусть функция возрастает (убывает) на промежутке X, дифференцируема на нем и ^/(x) 0, ∀x ∈ X. Тогда обратная функция ^-1 дифференцируема на промежутке (X) и
.

Замечание 1. Если выполняются условия теоремы и функция ^-1 дифференцируема в точке yo, то из тождества (^-1 ◦ )(x) = x по теореме о дифференцируемости суперпозиции функций следует, что
(^-1)^/(y_o) ^/(x_o) = 1 и (^-1)^/(y_o) = (^/(x_o))^-1.

Замечание 2. Если функция удовлетворяет условиям теоремы, но при этом ^/(x₀) = 0, то функция ^-1 имеет в точке y₀ бесконечную производную.

Замечание 3. Если функция удовлетворяет условиям теоремы, но при этом ^/(x₀) = ∞, то функция ^-1 имеет в точке y₀ производную равную 0.

Пример №2

Покажем, что функция ψ(x) = log_a x, a > 0, a 1 дифференцируема на промежутке (0, +∞) и ψ^/(x) =.
Пусть для определенности a > 1. Функция ψ является обратной к функции : → (0, +∞), (x) = a^x. Так как функция ^/(x) = a^x ln a 0, ∀x ∈ , то по теореме 4.6 функция ^-1 дифференцируема на (0, +∞), причем
.

Значит функция ψ(x) = log_a x дифференцируема на (0, +∞) и (log_a x)^/ =. В частности, (ln x) ^/= ,∀x ∈ (0, +∞). 

Пример №3

Покажем дифференцируемость на интервале (—1, 1) функции ψ(x) = arcsin x и наличие у нее производной на отрезке [—1, 1].

Известно, что функция ψ : [—1,1] → [—π∕2,π∕2] является непрерывной обратной к функции : [—π∕2,π∕2] → [—1,1], f(x) = sinx. Поскольку функция дифференцируема на отрезке [—π∕2,π∕2], и
^/(x) = cos x, ∀x ∈ [—π∕2,π∕2], ^/(±π∕2) = 0, (±π∕2) = ±1,
то согласно теореме 4.6 и замечания 2 к ней, функция ψ дифференцируема на (—1, 1),

и ψ^/(±1) = ∞. 

Пример №4

Пусть функции y = U(x) и y = V (x) дифференцируемы на множестве X ⊂ и U (x) > 0, ∀ x ∈ X. Докажем, что функция g(x) = (U (x))V (x) дифференцируема на X.

Действительно, так как g(x) = exp(V (x) ln U (x)), то в силу теорем 4.4 — 4.6 и примера 8 функция g дифференцируема на X и
.

Инвариантность формы первого дифференциала

В начале главы показано, что если функция : X ⊂ → дифференцируема в точке x₀ и x — независимая переменная ее, то
df_x0 (∆x) = f^/(x₀)dx, где dx = ∆x.    (4.8)

Пусть функция x = ψ(t), ψ : T → X, дифференцируема в точке t₀ и ψ(t₀) = x₀ . В силу теоремы о дифференцируемости суперпозиции функций функция ◦ ψ дифференцируема в точке t₀ и
(◦ ψ)^/(t₀) = ^/(ψ(t₀))ψ^/(t₀) = ^/(x₀)ψ^/(t₀).

Поскольку t — независимая переменная функции y = ◦ ψ(t), то
d( ◦ ψ)_t0 (∆t) = ( ◦ ψ)^/(t₀)dt = ^/(x₀)ψ^/(t₀)dt, где dt = ∆t.

Кроме того, ψ^/(t₀)dt = dψ_t0(∆t). Если обозначить dx = dψ_t0(∆t), то получим
d( ◦ ψ)_t0(∆t) = ^/(x₀)dx.    (4.9)

Сопоставляя полученную формулу с (4.8), замечаем, что форма дифференциала функции y = (x) не зависит от того, является ли x независимой переменной или дифференцируемой функцией другой переменной. Это свойство называют свойством инвариантности формы дифференциала. Следует заметить, что в формуле (4.8) dx = ∆x, а в (4.9) dx = dψ_t0 (∆t).

Производные высших порядков

Пусть функция  : X ⊂ → дифференцируема на множестве X1 ⊂ X . Тогда на множестве X₁ определена функция ^/. Если функция ^/ дифференцируема в точке a ∈ X₁ , то говорят, что функция дважды дифференцируема в точке a, а производную (^/)^/(a) называют второй производной функции в точке a и обозначают одним из следующих символов
.

Если функция дважды дифференцируема в каждой точке множества X₂ ⊂ X₁ , то говорят, что функция дважды дифференцируема на множестве X₂ . Функцию, определяемую правилом x(∈ X₂) → f^//(x), называют второй производной функции  на множестве X₂ . Индуктивно можно ввести понятие n раз (n > 1) дифференцируемой в точке и на множестве функции и n-ой производной функции  в точке и на множестве X_n ⊂ X_n-1. Например, если n > 1, то ⁽ⁿ⁾ (x₀) = (^(n-1))^/(x₀), если последняя производная существует. Заметим, что при n > 1 для любого k = 1, . . . , n — 1
⁽ⁿ⁾(x₀)=(^(k))^(n-k)(x₀).

Пример №5

Пусть : (0, +∞) → , (x) = x^α, где α ∈ , α 0. Покажем, что функция дифференцируема любое число раз на (0, +∞).

В силу примера 4 функция дифференцируема на (0, +∞) и

f^/(x) = αx^α-1, ∀x ∈ (0, +∞).

Поскольку ^/ является произведением постоянной и степенной функций, то по теореме 4.4 она дифференцируема на интервале (0, +∞). Следовательно, функция дважды дифференцируема на нем и
^//(x) = α(α — 1)x^α-2.

Заметим, что если α = 1, то ^/(x) = 1 и ^// (x) = 0, ∀x ∈ (0, +∞).

Предположим, что n ∈ , n > 2, функция (n — 1) раз дифференцируема на (0, +∞) и ^(n-1) (x) = α(α — 1)…(α — n + 2)x^α-n+1.

Функция ^(n-1) является произведением числа α(α — 1)…(α — n + 2) и степенной функции x^α-n+1 . Поэтому она дифференцируема на (0, +∞) и ⁽ⁿ⁾ (x) = α(α — 1)…(α — n + 2)(α — n + 1)x^α-n. Следовательно, функция  дифференцируема в области определения любое число раз и

⁽ⁿ⁾ (x) = α(α — 1)…(α -n+ 1)x^α-n, ∀n ∈ N.

В частности, если α = k₀ ∈ , то

⁽ⁿ⁾ (x) = 0, ∀n > k₀, ∀x ∈ (0, +∞); (k₀) (x) = k₀!, ∀ x ∈ (0, +∞).

Если α = -1, то ⁽ⁿ⁾(x) = (-1)ⁿn!x^-n-1, ∀x ∈ (0, +∞).

Из теоремы 4.5 получаем, что функция (x) = (ax + b)α, где α ∈ , дифференцируема любое число раз при x >  и 
((ax + b)^α)⁽ⁿ⁾ = α(α — 1)…(α — n + 1)(ax + b)^α-naⁿ.

Наконец, согласно теореме 4.4, многочлен
,

дифференцируем на любое число раз и
P ⁽ⁿ⁾ (x) = 0, ∀n > m, P ^(m) (x) = m! a_m, ∀ x ∈ .

Пример №6

Докажем, что функция (x) = ln x дифференцируема любое число раз на (0, +∞).

В примере 8 показано, что рассматриваемая функция дифференцируема в области определения и ^/(x) = x^-1. Учитывая предыдущий пример и определение производной n-го порядка, заключаем, что функция дифференцируема любое число раз на интервале (0, +∞) и

Замечание. Функция y = ln(ax + b) дифференцируема любое число раз в области её определения и

Можно доказать, что функции a^bx+c, sin(ax+b), cos(ax+b) дифференцируемы любое число раз на и ∀n ∈

(a^bx+c)⁽ⁿ⁾ = bⁿa^bx+c lnⁿ a, (e^bx+c)(n) = e^bx+c bⁿ,

(sin(ax + b))⁽ⁿ⁾ = aⁿ sin (ax + b + n  ),

(cos(ax + b))⁽ⁿ⁾ = aⁿ cos (ax + b + n  ) .

Теорема 4.7. Пусть функции и φ n раз дифференцируемы на множестве X (n ≥ 2). Тогда функции + φ, ∙ φ, n раз дифференцируемы на множестве X и

( + φ) ⁽ⁿ⁾  = ⁽ⁿ⁾ + φ⁽ⁿ⁾  ,

.

Последняя формула носит имя Лейбница и очень напоминает бином Ньютона. Только её и докажем, используя метод математической индукции. При n = 1 по утверждению 2) теоремы 4.4 имеем: ∙ φ дифференцируема на множестве X и ( φ)^/ = ^/φ + φ^/ , поэтому доказываемое утверждение верно при n = 1. Предположим, что для некоторого номера m n функция ∙ φ дифференцируема m раз на X и
 (4.10)

Так как функции и φ дифференцируемы n раз на X и m n, то функции ,φ,^/ ,φ^/,… , ^(m), φ^(m) дифференцируемы на множестве X. Поэтому правая часть равенства (4.10) является дифференцируемой на X функцией, а значит функция ∙ φ (m + 1) раз дифференцируема на X и

Пример №7

Используя формулу Лейбница, найдем n—ую производную функции f(x) = 2×2 sin2 x.
Так как (x) = x²(1 — cos 2x) = x² — x² cos 2x и производные порядка выше, чем степень многочлена, тождественно равны нулю, то при n > 2

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция , определенная на множестве X ⊂ , дифференцируема n раз (n ≥ 2) на X. 

Зафиксируем число ∆x 0 и рассмотрим функцию d(∆x), определенную на множестве X . Так как
d (∆x) = ^/ ∆x,    (4.11) то функция d (∆x) дифференцируема на множестве X. Если x₀ ∈ X, то величину d(d (∆x))x₀ (∆x) называют вторым дифференциалом функции в точке x₀, соответствующим приращению ∆x независимой переменной, и обозначают d²_x0 (∆x). Из формулы (4.11) получаем, что

d²_x0(∆x) = d(^/ ∆x)_x0 (∆x) = (^/ ∆x)^/(x₀) ∆x = ^//(x₀)(∆x)².

Для сокращения записи, используются обозначения
(∆x)² = ∆x²,    (dx)² = dx².

Следовательно, второй дифференциал функции f в точке x0 вычисляется по формуле
d²_x0(∆x) = ^//(x₀) ∆x², d²_x0 (dx) = ^//(x₀) dx².

По условию функция дважды дифференцируема на множестве X , поэтому на X определена функция x → d²_x(∆x) (∆x — фиксированное число), которую называют вторым дифференциалом функции на множестве X , соответствующим приращению ∆x независимой переменной. Ее обозначают d² (∆x). В силу предыдущего
d² (∆x) = ^// ∙ ∆x².    (4.12)

Индуктивно вводится понятие n-го дифференциала функции в точке x₀ из X и на множестве X . По индукции легко доказывается, что
d^k_x0 (∆x) = ^(k)_(x0) ∆x^k, d^k (∆x) =^(k) ∙ ∆x^k, 1 ≤ k ≤ n.

В этой формуле ∆x^k= (∆x)k. Аналогично предыдущему, в ней вместо ∆x можно использовать dx, сокращая в записи (dx)^k до dx^k.

Лемма 4.3. Дифференциалы второго и высших порядков, вообще говоря, не обладают свойством инвариантности формы.

Доказательство проведем для дифференциалов второго порядка. Пусть функция дважды дифференцируема на множестве X ⊂ , а функция φ : T → X дважды дифференцируема на множестве T. В силу теоремы 4.5 функция ◦ φ дифференцируема на T и ( ◦ φ) = (^/ ◦ φ) ∙ φ^/. Но и φ дважды дифференцируемы на T, поэтому ^/ ◦ φ и φ^/ дифференцируемые на T функции и функция ◦ φ дважды дифференцируема на множестве T. Учитывая свойство инвариантности формы дифференциала первого порядка, получим, что
d²(f ◦ φ)(∆t) = d (d( ◦ φ) ∆t)) ∆t) = d((^/ ◦ φ) dφ(∆t))(∆t) =
= d(^/ ◦ φ)(∆t) dφ(∆t) + (^/ ◦ φ) d²φ(∆t) =
= (^// ◦ φ) (dφ(∆t))² + (^/ ◦ φ) d²φ(∆t).

Итак, функция ◦ φ дважды дифференцируема и
d²(f ◦ φ)(∆t) = (f^// ◦ φ) (dφ(∆t))² + (^/ ◦ φ) d²φ(∆t).

Сравнивая представление второго дифференциала функции (φ(t)) с формулой (4.12) для второго дифференциала функции (x), в котором x — независимая переменная, убеждаемся в том, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы. Тем более не обладают свойством инвариантности формы последующие дифференциалы.

Замечание. Если φ(t) = at + b, то формы дифференциалов высших порядков функции и ◦ φ совпадают
dⁿ_x(dx) = ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ,
dⁿ( ◦ φ)_t(dt) = ⁽ⁿ⁾(φ(t)) (dφ_t(dt))ⁿ, где dφ_t(dt) = a dt.

В заключение приведем определение, которым воспользуемся в дальнейшем.

Определение 4.8. Функция называется n раз непрерывно дифференцируемой на множестве Х, если она n раз дифференцируема на нем и функция ⁽ⁿ⁾ непрерывна на X . Класс функций непрерывно дифференцируемых n раз на множестве X будем обозначать Cⁿ(X).

Свойства функций, дифференцируемых на промежутках

Теорема 4.8 (Ферма). Пусть функция определена на промежутке X, и в некоторой его внутренней точке c принимает наибольшее или наименьшее значение. Если функция дифференцируема в точке c, то ^/(c) 0.

Для определенности будем считать, что функция имеет в точке x = c наибольшее значение, то есть (x) —(c) ≤ 0, ∀ x ∈ X. Предположим, что ^/(c) 6= 0. По условию функция дифференцируема в точке c, поэтому
(x) — (c) = (^/(c) + α(x))(x -c), ∀x ∈ (a, b) {c}    (4.13)

где α(x) → 0 при x → c. По локальному свойству функции, имеющей в точке ◦
конечный, отличный от нуля, предел, найдется окрестность Uc ⊂ X , в которой функция ^/(c) + α(x) сохраняет знак числа ^/(c). Функция (x — c) имеет в этой окрестности по разные стороны от точки c значения разных знаков. Поэтому правая часть равенства (4.13) имеет в окрестности U_c по разные стороны от точки c значения разных знаков. Но по предположению на интервале X , а, значит, и в окрестности U_c, (x) — (c) ≤ 0. Полученное противоречие доказывает, что ^/(c) = 0.

Замечание 1. Если функция определена на промежутке [a, b), принимает наибольшее или наименьшее значение в точке x = a и дифференцируема в ней, то может случиться, что ^/(a) 0. Как подтверждение можно рассмотреть функцию (x) = x на [0, 1).

Замечание 2. Если функция определена на (a, b), дифференцируема в точке c ∈ (a, b) и ^/(c) = 0, то не обязательно (c) есть наибольшее или наименьшее значение функции на интервале (a, b). Например, функция (x) = x³ дифференцируема на интервале (-1, 1), возрастает на нем и ^/(0) = 0.

Замечание 3. Геометрически теорема Ферма означает, что в точке (c, (c)) график функции y = (x) имеет горизонтальную касательную.

Теорема 4.9 (Дарбу). Если функция дифференцируема на отрезке [a, b] и ^/(a) ^/ (b) 0 ( то есть ^/ принимает на концах отрезка значения разных знаков), то существует такая точка c ∈ (a, b), что ^/(c) = 0.

Для определенности будем считать, что ^/(a) > 0 и ^/(b) 0. Поскольку функция непрерывна на отрезке [a, b], то в силу теоремы Вейерштрасса она принимает на нем наибольшее значение, то есть
∃p ∈ [a, b] : (p) = sup{ (x)|x ∈ [a, b]}.

Покажем, что p a. Так как ^/(a) > 0, то найдется такое δ > 0, что
.
Но x-a > 0,∀x ∈(a, a+δ), поэтому (x) > (a), ∀x ∈(a, a+δ). А это означает, что (a) sup{ (x) : x ∈ [a, b]}.

Аналогично доказывается, что p b. Значит, p ∈(a, b) и по теореме Ферма 4.8 ^/(p) = 0.

Следствие 1. Пусть функция дифференцируема на отрезке [a, b], функция ^/ принимает на концах его различные значения. Тогда для любого числа c, находящегося между ^/(a) и ^/(b), найдется такая точка γ ∈ (a, b) что ^/(γ) = c.

Будем считать, что ^/(a) ^/(b). Фиксируем число c ∈ (^/ (a), ^/(b)). Рассмотрим вспомогательную функцию φ(χy) = (x) — cx. Она дифференцируема на отрезке [a, b] и 

φ^/(a) = ^/(a) — c 0, φ^/(b) = ^/(b) — c > 0.

По теореме Дарбу есть такая точка γ ∈ (a, b), что φ,(γ) = 0, то есть^/(γ) = с.

Следствие 2. Если функция дифференцируема на отрезке [a, b] и ^/(x) = 0, ∀x ∈ [a, b], то функция ^/ сохраняет знак на отрезке [a, b].

Замечание 1. Теорема Дарбу имеет сходство с теоремой Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции, но не является ее следствием, поскольку функция f^/ не обязательно непрерывна на отрезке [a, b].

Замечание 2. Не всякая функция, определенная на отрезке [a, b] может быть производной какой-либо функции. Например, функция sgn x является производной функции y = |x| на промежутках [—1, 0) и (0, 1], но нет функции, для которой она является производной на отрезке [—1, 1].

Теорема 4.10 (Ролля). Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и принимает на концах равные значения, то есть (a) = (b). Тогда найдется точка c ∈ (a, b), в которой^/ (c) = 0.

По условию функция непрерывна на отрезке [a, b]. Поэтому существуют точки p и q из [a, b] такие, что
(p) = sup{ (x) : x ∈ [a, b]}, (q) = inf{ (x) : x ∈ [a, b]}.

Если (p) = (q), то функция постоянна на отрезке [a, b] и ^/(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

Если (p) (q), то одна из точек p, q лежит в интервале (a, b). Её мы обозначим через c. По теореме Ферма 4.8 ^/(c) = 0.

Следствие 1. Пусть функция непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда между точками, в которых функция равна нулю, найдется по крайней мере одна точка, в которой функция ^/ равна нулю. n

Следствие 2. Если P_n (x) =   многочлен n-ой степени (то есть, a_n 0), то уравнение P_n(x) = 0 имеет не более чем n различных корней.

Пусть уравнение P_n(x) = 0 имеет не менее (n+ 1) различных корней  причем x_j x_j+1 , j = 1, . . . , n.

Тогда P^/_n(x) =  — многочлен (n- 1)-ой степени. По теореме Ролля
∃ b_j ∈ (x_j , x_j+1), j = 1, . . . , n : P^/_n (b_j) = 0,

то есть уравнение P^/_n (x) = 0 имеет не менее n различных корней. Продолжая дифференцирование уравнения, и применяя на каждом шаге теорему Ролля, получим, что для каждого m n
,
и уравнение P_n^(m) (x) = 0 имеет не менее (n — m + 1) различных корней. В частности, при m = n уравнение P_n⁽ⁿ⁾ (x) = 0 имеет не менее 1-го корня. Но, с другой стороны, P_n⁽ⁿ⁾ (x) = n! a_n 0, а, значит, уравнение P_n⁽ⁿ⁾ (x) = 0 и не имеет корней. Полученное противоречие и доказывает следствие.

Из результата применения теоремы Ролля в начале доказательства этого
следствия сразу же следует ещё один результат. 

Следствие 3. Если P_n(x)= многочлен n-ой степени и уравнение P_n(x) = 0 имеет m (m ≤ n) различных корней, то уравнение P^/_n (x) = 0 имеет (m — 1) различных корней.

Замечание 1. Если для функции не выполнено хотя бы одно условие теоремы 4.10, то для нее, вообще говоря, не имеет место утверждение теоремы.

Замечание 2. Геометрически теорема Ролля означает следующее: если график непрерывной на отрезке [a, b] функции имеет в точках (x, (x)), x ∈ (a, b) невертикальные касательные и ординаты крайних точек равны, то есть (a) = (b), то на графике есть точка (c,  (c)), c ∈ (a, b), в которой касательная параллельна оси OX .

Теорема 4.11 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда найдется точка c ∈ (a, b) такая, что (b) — (a) = ^/(c)(b — a). Последнюю формулу часто называют формулой Лагранжа.

Для доказательства теоремы рассмотрим вспомогательную функцию
.

Функция F непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и F(a) = F (b). Применив к ней теорему Ролля 4.10, найдем точку c ∈ (a, b) такую, что F^/ (c) = 0. Поскольку ∀x ∈ (a, b)
,
то ,то есть имеет место формула Лагранжа.

Следствие. Пусть функция непрерывна на [x₀,x₀ + δ), δ > 0, и дифференцируема на (x₀ , x₀ + δ). Тогда для любого x ∈ (x₀ , x₀ + δ) найдется такое ∈ (0,1), что

(x) — (x_o) = ^/(x_o + (x — x_o)) (x — x_o).

Последнюю формулу обычно называют формулой Лагранжа конечных приращений. Она имеет место, так как на отрезке [x₀,x] ⊂ [x₀,x₀ + δ) выполнены все условия теоремы Лагранжа и соответствующая точка cx имеет представление с_χ = x_o + (x — x_o), где ∈ (0,1). 

Аналогичные результаты имеют место и на промежутке (x₀ — δ, x₀].

Замечание 1. Формулу конечных приращений Лагранжа следует отличать от приближенного равенства
(x₀ + ∆x) — (x₀) ≈ ^/(x₀) ∆x,

которое имеет место при условии дифференцируемости функции в точке x₀ . Последнюю формулу обычно называют формулой бесконечно малых приращений, поскольку
(x₀ + ∆x) — (x₀) = ^/(x₀) ∆x + o(∆x), ∆x → 0.

Замечание 2. Пусть график непрерывной на отрезке [a, b] функции в каждой точке (x, (x)), x ∈ (a, b), имеет невертикальные касательные. Тогда на нем найдется точка (c, (c)), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы (a, (a)) и (b, (b)) графика.

Замечание верно, так как угловой коэффициент рассматриваемой хорды, а ^/(c) — угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке (c, (c)).

Теорема 4.12 (критерий монотонности функции). Пусть функция непрерывна на промежутке X и дифференцируема в его внутренних точках. Для того чтобы функция не убывала на промежутке X , необходимо и достаточно, чтобы ^/(x) ≥ 0 в каждой внутренней точке множества X .

Пусть функция является неубывающей непрерывной на промежутке X функцией, которая дифференцируема в каждой внутренней точке, и x — некоторая точка из соответствующего интервала. Тогда для любого ∆x > 0

.

Поэтому ^/(x) ≥ 0.
Пусть ^/ (x) ≥ 0 в каждой внутренней точке промежутка X и x₁ , x₂ — произвольные точки множества X, причем x₁ x₂. Применяя к отрезку [x₁ , x₂] теорему Лагранжа 4.11, получим равенство
(x₂) — (x₁) = ^/ (c)(x₂ — x₁),

в котором c ∈ (x₁, x₂). Следовательно, (x₂) ≥ (x₁), а поэтому функция не убывает на промежутке X .

Замечание. Аналогично можно доказать, что при выполнении условий теоремы 4.12 функция не возрастает на промежутке X тогда и только тогда, когда ^/ (x) ≤ 0 в каждой точке промежутка X.

Теорема 4.13 (критерий постоянства функции). Пусть функция непрерывна на промежутке X и дифференцируема в его внутренних точках. Чтобы функция была постоянной на X, необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке промежутка X ^/ (x) = 0.

Если функция постоянна на промежутке X, то ^/(x) = 0 в каждой его точке. Первая часть утверждения доказана.

Пусть теперь ^/ (x) = 0 во внутренних точках промежутка X и x0 ∈ X. Тогда для любого x ∈ X, применяя к отрезку [x₀, x] теорему Лагранжа 4.11, получим
(x) — (x₀) = ^/(c_x)(x- x₀), cx ∈ (x₀,x).

Следовательно, (x) = (x₀), ∀x ∈ X, что доказывает вторую часть утверждения.

Следствие 1. Пусть функция непрерывна на промежутке X и дифференцируема в его внутренних точках. Для того чтобы функция была возрастающей (убывающей), необходимо и достаточно, чтобы ^/(x) ≥ 0 (^/ (x) ≤ 0) во внутренних точках промежутка X и не существовало интервала (α, β) ⊂ X, на котором ^/(x) = 0.

Следствие 2. Если на промежутке X функция имеет положительную (отрицательную) производную, то функция имеет обратную функцию ^-1 : (X) → X, которая дифференцируема на промежутке (X).

Теорема 4.14 (Коши). Пусть функции и g непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), при этом g^/(x) 0, ∀x ∈ (a, b). Тогда найдется точка c ∈ (a, b) такая, что
.

Последнюю формулу называют обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши.

Прежде всего заметим, что g (b) g(a), поскольку в противном случае в интервале (a, b) нашлась бы точка c такая, что g^/ (c) = 0.

Рассмотрим вспомогательную функцию
.

Функция F непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и F(a) = F (b). Применяя к F теорему Ролля 4.10 и имея в виду, что

делаем вывод, что существует точка c ∈ (a, b) такая, что F^/ (c) = 0, то есть

.

Замечание 1. Теорема Лагранжа 4.11 является частным случаем теоремы
Коши при g(x) = x.

Замечание 2. В формуле Коши конечных приращений не обязательно считать, что a b. Эта формула верна и при b a.

Дифференцирование параметрически заданных функций

Пусть заданы две функции φ : T → X, ψ : T → Y. Будем считать, что функция x = φ(t) биективна. Поэтому определена обратная функция t =φ^{— 1}(x), φ^-1 : X → T ,а значит и суперпозиция (x) = ψ(φ^-1(x)). Функцию = ψ ◦ φ^-1 называют заданной параметрически и записывают одним из следующих способов:

.
Переменную t называют параметром функции : X → Y . Вопрос о дифференцировании параметрически заданной функции решает следующее утверждение.

Теорема 4.15. Пусть T — промежуток и параметрически заданная функция : X → Y, : x = φ(t), y = ψ(t),t ∈ T, удовлетворяет условиям:
1)    функции φ и ψ дифференцируемы на T;
2)    φ'(t) 0, ∀t ∈ T;

Тогда функция дифференцируема на промежутке X, её производная ^/_x является параметрически заданной функцией
.    (4.14)

Так как функция φ удовлетворяет условиям 1) — 2), то по следствию 2 теоремы Дарбу (4.9) функция φ’ сохраняет знак на промежутке T. Поэтому, согласно следствию 1 теоремы 4.13, функция φ либо возрастает (если φ'(t) > 0 на T), либо убывает (если φ'(t) > 0 на T). Тогда по теореме 4.6 обратная функция φ^-1 : X → T дифференцируема на промежутке X = φ(T) и
(φ- ¹)'(x) = 1∕φ'(φ^-1 (x)), ∀x ∈ X.

Поскольку функция ψ дифференцируема на X , то по теореме о дифференцируемости суперпозиции функция = ψ ◦ φ-1 дифференцируема на X и

.
Последнее означает, что функция f^/_x является параметрически заданной
. 
 

Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей

Теорема 4.16. Пусть функции и φ дифференцируемы на интервале (a,b), φ'(x) 0, ∀x ∈ (a,b), и (x) = φ(x’) = 0. Если существует конечный или бесконечный предел
,

то существует предел
.

Рассмотрим два случая: b ∈ и b = +∞.

1) Пусть b ∈ и для определенности b > a. Доопределим функции и φ в точке b, положив (b) = p(b) = 0. Теперь функции и φ непрерывны на промежутке (a, b] и удовлетворяют условиям теоремы Коши 4.14 на любом отрезке [x, b], где x ∈ (a, b). Поэтому для каждого x ∈ (a, b) найдется точка c_x ∈ (x, b) такая, что
,
то есть
. (4.15)

Поскольку c_x = b, c_x b, ∀x ∈ (a, b), и

,

то по теореме 2.37 о пределе суперпозиции функций, условия которой выполнены, правая часть равенства (4.15) имеет предел при x → b и он равен K. Следовательно, существует предел левой части равенства (4.15) при x → b и он равен K .

2) Пусть теперь b = +∞. Без ограничения общности будем считать, что a > 0. По условиям теоремы функции и φ дифференцируемы на интервале   (a, +∞), φ^/ (x) 0, ∀x ∈ (a, +∞), и = K. Тогда вспомогательные функции F(t) = (1/t) и Φ(t) = p(1/t) дифференцируемы на интервале
и
.
Кроме того,  и 

(снова воспользовались теоремой 2.37 о пределе суперпозиции функций). 

В силу доказанной первой части. Поэтому
.

Теорема 4.17. Пусть функции и φ дифференцируемы на интервале (α,b), φ'(x) 0, ∀x ∈ (α,b) и = ∞, = ∞. Если существует конечный или бесконечный предел

,

то существует предел

.

Мы опускаем доказательство этого утверждения, отсылая читателя к книгам [4, с. 318-320], [6, т.1, с. 280-284],[1, т.1, с. 256-260].

Совершенно аналогично формулируются и доказываются теоремы, аналогичные теоремам 4.16 и 4.17, когда = = 0 или ∞, a ∈ , или a = -∞.

Замечание 1. Предел отношения функций и φ может существовать в случае, когда не существует предел отношения производных этих функций. Например, если (x) = x² sin , φ(x} = x, то
,

но не существует предела при x → 0 поскольку отношения производных этих функций, поскольку

.

Замечание 2. Если выполнены условия теоремы 4.16 и функции ^/ и φ^/ непрерывны в точке b, причем φ^/(b) 0, то
.

Замечание 3. Пусть функции и φ дважды дифференцируемы на интервале (a, b), для всех x ∈ (a, b) φ^/(x) 0, φ^//(x) 0, и
,

.

Если существует предел =K, то существуют пределы
,
то есть правило Лопиталя можно применить повторно.

Формула Тейлора

Теорема 4.18 (формула Тейлора для многочлена). Пусть a — некоторое число, P — многочлен степени n (n ≥ 1). Тогда
, 

то есть многочлен P степени n однозначно определяется значениями многочлена и его производных P (a), P ^/(a),…,P (n)(a) в точке a.

Прежде всего заметим, что многочлен  всегда можно представить  в виде
. (4.16)
Для этого в многочлене P(x) = , заменим x^k на ((x — a) + a)^k , раскроем внешние скобки, приведем подобные и получим представление (4.16). Поэтому можно считать, что многочлен P(x) задан формулой (4.16). Выразим коэффициенты b_k, k = 0, 1, . . . , n, многочлена P(x) через значения
его производных в точке a.

Из равенства (4.16) следует, что P(a) = b₀. Последовательно продифференцируем равенство (4.16) k раз (k = 1, . . . , n) и получим, что P^(k) (x) =

k!bk + (k + 1)k … 2 b_k+1(x — a) + ∙ ∙ ∙ + n(n — 1) … (n — k + 1)b_n(x — a)^n-k, 

поэтому P^(k) (a) = k!b_k, то есть b_k =, k = 1,… ,n, и потому многочлен P имеет представление 

Пусть теперь функция отлична от многочлена и дифференцируема n раз в точке a.
Многочлен  называют многочленом Тейлора порядка n функции по степеням (x — a). Согласно предыдущей теореме . Положим
 (4.17)

Если функция (x) не является многочленом степени n, то . Равенство (4.17) называют формулой Тейлора функции  по степеням (x — a), а функцию  ее n-ным остаточным членом.

Теорема 4.19 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция дифференцируема (n — 1) раз в промежутке [a, a + δ) и n раз в точке a (n ∈ N). Тогда

(x) = (x) + o((x — a)ⁿ) при x → a.

Из равенства (4.17)  . Поэтому функция дифференцируема (n — 1) раз в промежутке [a, a + δ) и n раз в точке a. Кроме того, ()^(k)(a) = 0, k = 0, 1, . . . , n. Покажем, что = 0. Рассматриваемое отношение удовлетворяет условиям первого правила Лопиталя и при (n — 1)-
кратном его применении получим, что
,
если последний предел существует. Поскольку функция ()^(n—1) дифференцируема в точке a и ()^(n—1)(a)= 0, то

Следовательно, (n — 1)-кратное применение правила Лопиталя законно и при x → a(x) = o((x — a)ⁿ), то есть при x → a
.

Полученное представление функции  называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Если же a = 0 — формулой Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано является обобщением представлений для непрерывной и дифференцируемой в точке a функции.

Следствие. Пусть функции и g n раз дифференцируемы в точке a и ^(k)(a) = g^(k)(a), k = 0, 1, . . . , n. Тогда при x → a имеет место представление (x)—g(x) =o((x— a)ⁿ).

Так, например, для функций  , условия следствия выполняются для любого n ∈ , поэтому при x → a (x) = o((x—a)ⁿ) для любого n ∈ .

Теорема 4.20. Если выполнены условия теоремы 4.19 и существует многочлен Pn(x) такой, что (x) = P_n(x) + o((x — a)ⁿ ) при x → a, то он единственен.

Пусть . Согласно теореме 4.19, при x→a

Следовательно,
. 

Переходя в этом равенстве к пределу при x → a, получим равенство
(a) — a₀ = 0, то есть a₀ = (a)∙

Последнее означает, что

Отсюда при x → a получим равенство — a1 = 0, то есть a₁=
Продолжая этот процесс, по индукции получим, что 
.

Поэтому многочлен P_n(x) является многочленом Тейлора (x) функции по степеням (x — a).

Замечание. Доказанная теорема означает, что никакой многочлен Pn(x) степени n, отличный от многочлена Тейлора (x) порядка n не может приближать функцию с точностью o((x — a)ⁿ) при x → a.

Применяя теорему 4.19 к элементарным функциям при a = 0, получим:

Вывод этих формул читатель может найти в [6, т.1, с. 192-195].

Пример №8

Пусть функция дифференцируема (n+ 1) раз в точке a = 0 и известно, что
   (4.18)

Найти локальную формулу Маклорена функции .

По теореме 4.20 из (4.18) следует, что (^/)^(k) (0) = k!b_k, k = 0, 1, . . . , n. Поэтому ^(k+1)(0) = k!b_k или  _(k) (0) = (k — 1)!b_k—1, k = 1,2, . . . ,n+ 1 и

После преобразования получим

В частности, если(x) = arctg x, то ^/(x) = (1 + x²)^—1 и

^/(x) = 1 — x² + x⁴    + (—1)ⁿx²ⁿ + o(x²ⁿ), x → 0.

Отсюда, учитывая, что arctg 0 = 0, получаем представление

Теорема 4.21. Пусть функция ∈ Cⁿ([a, a + δ)), δ > 0, и дифференцируема (n+1) раз на интервале (a, a+δ). Тогда для любой точки x ∈ (a, a+δ), для любой функции φ, непрерывной на промежутке [a, a + δ), дифференцируемой на интервале (a, a + δ) и такой, что φ^/(t) 0, ∀t ∈ (a,x), найдется такая точка c_x ∈ (a, x), что

    (4.19)

Фиксируем точку x ∈ (a, a + δ). Рассмотрим вспомогательную функцию
.

В силу условий теоремы, F ∈ C ([a, a + δ)), дифференцируема на интервале (a, a + δ) и ∀t ∈ (a, a + δ)

Применим к функциям F и φ на отрезке [a, х] теорему Коши 4.14 о конечных приращениях, получим, что существует точка c_x ∈ (a, x) такая, что
.   (4.20)
Поскольку F(x) = 0, а
, 

то соотношение (4.20) принимает вид
,

из которого и следует представление (4.19) остаточного члена формулы Тейлора, которое называется формой Шлемильха и Роша.

Следствие 1. Если функция удовлетворяет условиям теоремы 4.21, то для любого х ∈ (a, a + δ) найдется такая точка cx ∈ (a, х), что

Замечание. Формулу (4.21) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Чтобы её получить, достаточно положить в представлении (4.19) φ(t) = (х — t)ⁿ⁺¹. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа является обобщением теоремы Лагранжа 4.11, которая получается из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при n = 0.

Следствие 2. Если функция удовлетворяет условиям теоремы 4.21, то для любого х ∈ (a, a + δ) найдется такое θx ∈ (0, 1), что
R.

Замечание. Эта форма остаточного члена формулы Тейлора называется формой Коши. Чтобы её получить, достаточно положить в представлении (4.19) φ(t) = (x — t).

Завершая раздел, заметим, что все его результаты остаются в силе, если рассматривать функцию на промежутках (a — δ, a] и (a — δ, a + δ)

Исследование поведения функции на множестве

Экстремум функции

Определение 4.9. Пусть : X ⊂ → . Точка a ∈ X называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность U_a , такая что

Ua ⊂ X и (x) ≤ (a), ∀x ∈ U_a ( (x) ≥ (a), ∀x ∈ U_a).

Если функция имеет в точке a локальный максимум или минимум, то говорят, что имеет в точке a локальный экстремум, или что точка a является точкой локального экстремума функции .

Теорема 4.22 (необходимое условие локального экстремума). Если функция имеет в точке a локальный экстремум и дифференцируема в точке a, то ^/(a) = 0.

Утверждение следует непосредственно из теоремы Ферма (теоремы 4.8), примененной к окрестности U_a , указанной в определении экстремума.

Определение 4.10. Стационарными точками функции на множестве X называются те внутренние точки X, в которых ^/(x) = 0.

Заметим, что функция (x) = x^2/3 имеет в точке x = 0 локальный минимум, но ^/(0) = ∞. Поэтому справедлива

Теорема 4.23. Если функция имеет в точке a локальный экстремум, то либо дифференцируема в точке a и ^/(a) = 0, либо функция не дифференцируема в точке a.

Определение 4.11. Внутренняя точка множества X, в которой функция непрерывна, а ее производная либо равна нулю, либо бесконечности, либо не существует, называется критической точкой функции .

Например, точка x = 0 является критической точкой функций (x) = x², (x) = x³, (x) = |x|, (x) = x^1/3, (x) = x^2/3. Из графиков этих функций следует, что она является точкой локального минимума функций (x) = x² , (x) = |x|, (x) = x^2/3, а для функций (x) = x³, (x) = x^1/3 она не является точкой локального экстремума. Таким образом, не всякая критическая точка функции является ее точкой экстремума.

Теорема 4.24 (достаточное условие экстремума в критической точке). Пусть функция определена на промежутке X , a — критическая точка функции и функция f дифференцируема в некоторой окрестности U_a(δ) точки a, кроме, быть может, самой точки a. Если функция ^/(x) меняет знак при переходе через точку a, то есть на интервалах (a — δ, a) и (a, a + δ) f^/(x) имеет противоположные знаки, то a — точка экстремума функции  . При этом, если

^/(x) > 0, ∀ x ∈ (a — δ, a) и ^/(x) 0, ∀x ∈ (a, a + δ),

то a является точкой максимума функции, а если
^/(x) 0, ∀ x ∈ (a — δ, a) и^/(x) > 0, ∀x ∈ (a, a + δ),

то a — точка минимума функции. Если же функция ^/(x) не меняет знак при переходе через a, то a не является точкой экстремума функции  .

Пусть ^/(x) > 0 на (a — δ, a) и ^/ (x) 0 на интервале (a, a + δ). Так как a — критическая точка функции, то  непрерывна в точке a. Поэтому функция  непрерывна на промежутке (a — δ, a] и ^/(x) > 0, ∀x ∈ (a — δ, a), непрерывна на промежутке [a, a + δ) и ^/(x) 0, ∀x ∈ (a, a + δ). В силу критерия монотонности функции на промежутке (см. следствие 1 теорем 4.12 и 4.13) функция  возрастает на (a — δ, a] и убывает на [a, a + δ), поэтому (x) ≤ (a), ∀ x ∈ U_a, то есть функция  имеет в точке a локальный максимум.
Аналогично рассматриваются и два других случая.

Замечание. Условие изменения знака производной при переходе через точку a является достаточным условием локального экстремума, но не является необходимым. Для примера можно рассмотреть в окрестности точки x = 0
функцию (x) =

Теорема 4.25 (достаточное условие экстремума в стационарной точке). Пусть a — стационарная точка функции : X → , дифференцируема в некоторой окрестности точки a и дважды дифференцируема в точке a. Если ^//(a) > 0 (^//(a) 0), то точка a является точкой локального минимума (соответственно, максимума) функции .

Так как a — стационарная точка функции , то ^/ (a) = 0. B силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (теорема 4.19) для всех x ∈ (a -δ, a + δ) {a}
,

где α(∆x) — бесконечно малая функция при ∆x → 0. Пусть (a) > 0. Так как α(∆x) = 0, то существует такое δ0 ∈ (0, δ), что
.

Но тогда для таких ∆x
,

то есть функция имеет в точке a локальный минимум.
Аналогично доказывается, что функция имеет в точке a локальный максимум, если ^// (a) 0.
Замечание. Если ^//(a) = 0, то функция может иметь в точке a локальный экстремум (как функция (x) = x⁴ в точке a = 0), а может и не иметь (как функция (x) = x³ в точке a = 0). Для ответа на вопрос, является ли в этом случае точка a точкой экстремума можно привлечь информацию о производных более высокого порядка.

Теорема 4.26. Пусть функция : (a — δ, a + δ) → (n — 1) раз дифференцируема в (a — δ, a + δ), n раз дифференцируема в точке a и
^/(a) =^//(a) = … =^(n-1)(a) =0,⁽ⁿ⁾ (a) 0.    (4.22)

Тогда
a)    если n — четное число, то a — точка локального экстремума : максимума, если ⁽ⁿ⁾ (a) 0, и минимума, если ⁽ⁿ⁾ (a) > 0.
b)    если n — нечетное число, то a не является точкой экстремума функции .

Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и условие (4.22), получим, что

или
,
где α(x) → 0 при x → a. Учитывая, что ⁽ⁿ⁾ (a) 0, а α(x) → 0 при x → a, найдем такое δ0 > 0, что ∣α(x)∣   для всех x ∈ (a — δ0 , a + δ0) {a}.

Поэтому в проколотой δ0-окрестности точки a

.

Если n — четное число, то для всех x ∈ (a — δ0, a + δ0) {a}

(x — a)ⁿ > 0 и sgn( (x) — (a)) = sgn⁽ⁿ⁾(a).

Если ⁽ⁿ⁾ (a) > 0, то (x) > (a), ∀x ∈ (a — δ₀, a + δ₀) {a}, и имеет в точке a локальный минимум. Если ⁽ⁿ⁾ (a) 0, то (x) (a), ∀x ∈ (a — δ₀, a + δ₀) {a}, и имеет в точке a локальный максимум. Если n — нечетное число, то функция (x — a)ⁿ имеет противоположные знаки по разные стороны от точки a, то есть разность (x) — (a) меняет знак при переходе через точку a. Последнее означает, что a не является точкой экстремума функции .

Замечание. Очевидно, что теорема 4.25 является следствием теоремы 4.26.

С задачей локального экстремума тесно связана задача о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции на промежутке. Для функции (x), непрерывной на отрезке [a, b], согласно 2-ой теореме Вейерштрасса существует точка p ∈ [a, b], в которой эта функция принимает наибольшее значение, и точка q ∈ [a, b], в которой функция принимает наименьшее значение. Если p ∈ (a, b), то точка p является точкой локального максимума функции, а если q ∈ (a, b), то q является точкой локального минимума функции. Поэтому наибольшее (sup{ (x) : x ∈ [a, b]}) и наименьшее (inf { (x) : x ∈ [a, b]}) значения функция на [a, b] может принимать либо в критических точках, лежащих в интервале (a, b), либо в точках a, b.

Если (x) непрерывна на интервале (a, b), то вместо значений функции в точках a, b, следует рассматривать
,

если такие пределы существуют (конечные или бесконечные). Точно также следует поступать и на промежутках [a, b) и (a, b].

В прикладных задачах при нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке X часто встречается ситуация, когда функция непрерывна на X и имеет на нем единственную критическую точку. Можно доказать, что, если x₀ — точка локального максимума, то (x₀) = sup{ (x), x ∈ X}, а если x₀ — точка локального минимума, то (x₀) = inf { (x), x ∈ X}.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №9

Исследовать на экстремум (x) = xe^-x, x ∈ [0, +∞).
Функция непрерывна и дифференцируема на [0, +∞), причем
^/(x) = e ^-x — xe ^-x = e ^-x(1 — x); ^/(x) = 0 x = 1.

Таким образом, функция имеет на (0, +∞) единственную стационарную точку. Из таблицы

и теоремы 4.24 следует, что функция имеет в точке x = 1 локальный максимум. При этом (1) = .

Направление выпуклости графика функции

Будем считать, что функция дифференцируема на интервале (a, b), то есть график Γфункции имеет в каждой точке невертикальную касательную.

Определение 4.12. Говорят, что график функции обращен выпуклостью вверх на интервале (a, b) (или функция является выпуклой вверх на (a, b)), если график Γ функции лежит не выше касательных, проведенных в точках (x, (x)), x ∈ (a, b), к этому графику.

Определение 4.13. Говорят, что график функции обращен выпуклостью вниз на интервале (a, b), если на нем Γ лежит не ниже касательных, проведенных в точках (x, (x)), x ∈ (a, b), к Γ .

Теорема 4.27. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале (a, b). Если ^//(x) ≤ 0 (^//(x) ≥ 0) на (a, b), то график Γ обращен выпуклостью вверх (соответственно, вниз) на (a, b).

Пусть f^//(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a, b), и c — некоторая точка интервала (a, b). Уравнение касательной, проведенной к Γ в точке (c, (c)) имеет вид y = (c) + ^/ (c)(x — c). Поскольку функция дважды дифференцируема на (a, b), то из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что ∀ x ∈ (a, b) ∃ ηx, лежащая между (c, x), такая, что

.

Поэтому . Так как ^//(x) ≥ 0 для всех x ∈ (a, b), то (x) ≥ y_κac(x), ∀ x ∈ (α,b). Поскольку c — произвольная точка интервала (a, b), то Γ обращен выпуклостью вниз на (a, b). 

Следствие. Если функция ^// непрерывна и положительна (отрицательна) в точке c, то существует такая окрестность U_c точки c, в которой график Γ обращен выпуклостью вниз (соответственно, вверх).

Замечание 1. Если на интервале (a, b) ^//(x) = 0, то (x) = kx+c и можно считать, что график функции обращен на (a, b) как выпуклостью вверх, так и вниз.

Замечание 2. Из определений 4.12 и 4.13 следует, что если график Γ обращен выпуклостью вверх, то всякая хорда, соединяющая две различные точки графика функции, лежит под соответствующей дугой Γ, а для функции, выпуклой вниз, она лежит над соответствующей дугой Γ . Это свойство часто берется в качестве определения выпуклости Γ вверх и, ответственно, вниз.

Пример №10

Пусть (x) = x^2/3. Функция непрерывна на , дважды дифференцируема на {0} и ^//(x)=. Поэтому на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞) график функции обращен выпуклостью вверх.

Точки перегиба

Определение 4.14. Пусть функция непрерывна на интервале (a, b), c ∈ (a, b). Точку c называют точкой перегиба функции (или графика функции), если существует такая окрестность U_c(δ) точки c, что на интервалах (c — δ, c) и (c, c + δ) график Γ имеет различные направления выпуклости.

Теорема 4.28 (необходимое условие точки перегиба). Пусть c — точка перегиба функции и имеет в точке c конечную вторую производную. Тогда ^//(c) = 0.

Для простоты доказательства будем считать, что функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности U_c(δ0) точки c и ^//(x) непрерывна в точке c.

Предположим, что ^//(c) 0. Тогда в силу непрерывности функции ^//(x) в точке c существует такое δ ∈ (0, δ₀), что на интервале Uc(δ) ^//(x) сохраняет знак. По теореме 4.27 Γ обращен выпуклостью вверх, если ^// (c) 0, и вниз, если ^//(c) > 0, на интервале U_c(δ). Но тогда c не является точкой перегиба функции . Следовательно, ^//(c) = 0.

Замечание. Условие ^//(c) = 0 является необходимым, но не достаточным условием наличия у функции f в точке c перегиба. Подтверждением может служить функция (x) = x⁴.

Как и при рассмотрении необходимых условий экстремума функции, можно показать, что точки перегиба непрерывной на интервале (a, b) функции следует искать среди тех точек c ∈ (a, b), в которых либо функция дважды дифференцируема и ^//(c) = 0, либо функция не является дважды дифференцируемой.

Теорема 4.29 (1-ое достаточное условие перегиба). Пусть функция непрерывна на интервале (a, b) и функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки c ∈ (a, b), кроме, быть может, точки c. Если ^//(c) = 0 или f00(c) не существует, а функция ^//(x) в этой окрестности по разные стороны от точки c имеет противоположные знаки, то c — точка перегиба функции .

Пусть, например, на интервале (c — δ, c) ^//(x) > 0, а на интервале (c, c + δ) ^//(x) 0. Тогда по теореме 4.27 функция на интервале (c — δ, c) обращена выпуклостью вниз, а на интервале (c, c+δ) — вверх. Поэтому c — точка перегиба функции.

Пример №11

Исследовать на перегиб функцию (x) = x^5/3.
Функция непрерывна на и ^//(x) = . Тогда на интервале (-∞, 0) ^// (x) 0 и график Γ обращен выпуклостью вверх, а на интервале (0, +∞) ^//(x) > 0 и график Γ обращен выпуклостью вниз, поэтому точка x = 0 — точка перегиба функции .

Теорема 4.30 (2-ое достаточное условие перегиба). Пусть функция трижды дифференцируема в точке c и ^//(c) = 0, а ⁽³⁾ (c) 0. Тогда c — точка перегиба функции .

Так как функция  трижды дифференцируема в точке c, то функция^//(x) дифференцируема в точке c, поэтому в силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
.

Но ^// (c) = 0, поэтому

где α(x) → 0 при x → c, и, значит, найдется δ > 0 такое, что для всех x ∈ (δ)

Следовательно, в (δ) по разные стороны от точки c функция ^//(x) имеет противоположные знаки. С учетом теоремы 4.29 получаем, что c — точка перегиба функции .

Например, x = 0 — точка перегиба функции (x) = sin x, так как ^//(0) = 0, а ⁽³⁾ (0) 0.

Асимптоты графика функции

Определение 4.15. Пусть функция определена на промежутке X, a — левосторонняя (правосторонняя) предельная точка множества X. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой функции  или графика Γ при x → a — 0 (соответственно, при x → a + 0), если (x)= +∞ или -∞ x→a-0 (соответсвенно, (x) = +∞ или -∞). 

Пример №12

Пусть (x) = ln x. Тогда D() = (0, +∞) и функциям  непрерывна на D(). Точка x = 0 является правосторонней предельной точкой области определения функции и (x) = -∞. Поэтому прямая x = 0 является вертикальной асимптотой функции при x → +0.

Пример №13

Пусть (x) = e^-1/x. Тогда D() = {0}, функция непрерывна на D(), (x) = 0 и (x) = +∞. Значит, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой графика Γ при x → -0.

Определение 4.16. Пусть функция определена на промежутке X и X ⊃ (a, +∞) (или X ⊃ (-∞, a)), a ∈ . Прямую y = kx + b называют наклонной (невертикальной) асимптотой функции или графика Γ при x → +∞ (соответственно, при x → -∞), если ∃ ( (x) — (kx + b)) = 0 (соответственно, ( (kx + b))=0).

Если k = 0, то асимптоту называют горизонтальной.

Пример №14

Найти асимптоты функций

a)    Функция непрерывна на {-1}. Так как(x) =, то прямая x = -1 является вертикальной асимптотой Γ при x → -1+0 и при x → -1-0. Разделим числитель x² + 3x- 4 на знаменатель x + 1 по правилу деления многочленов :

Так как ,  то прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой функции 
 при x → +∞ и при x → -∞.

b) Функция непрерывна на и потому не имеет вертикальных асимптот. Заметим, что для x 0

В силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

.

Следовательно,  при x → ±∞, а поэтому прямая у =  является наклонной асимптотой функции  при x → +∞ и при x → -∞.

Теорема 4.31. Для того, чтобы прямая y = kx+b была наклонной асимптотой графика функции y = (x) при x → +∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

.  (4.23)
Необходимость. Если y = kx + b — асимптота Γ при x → +∞, то по определению 4.16

(x) = kx + b + α(x),    (4.24)

где α(x) → 0 при x → +∞. Разделим обе части полученного равенства на x и получим

откуда следует существование предела .  Но (см. (4.24))

(x) — kx = b + α(x), где α(x) → 0 при x → +∞.

Поэтому 

Достаточность. Если существуют конечные пределы, перечисленные в 4.23,
то (x) — (kx+b) = α(x), где α(x) → 0 при x → +∞, а поэтому по определению 4.16 прямая y = kx + b является наклонной асимптотой Γ при x → +∞.
Аналогично формулируется и доказывается критерий существования наклон
ной асимптоты графика Γ при x → -∞.

Построение графика функции

Для построения графика функции y = (x) нужно последовательно выполнить следующие операции:

1. Найти область определения функции , изучить функцию на четность (нечетность), периодичность.
2. Исследовать функцию на непрерывность, указать точки разрыва, найти асимптоты.
3. Найти ^/(x), исследовать функцию на экстремум, указать промежутки монотонности.
4. Найти^//(x), исследовать функцию на перегиб, указать промежутки выпуклости вверх (вниз) графика функции.
5. Дать характеристику поведения функции на каждом из полученных промежутков.
6. Нарисовать график.

Пример №15

Построить график функции (x) = .

Решение:

1.    D() = ; функция является функцией общего вида (иными словами: функция не является четной, не является нечетной), так как

Функция не является периодической, так как обращается в нуль только в двух точках x = 0 и x = —1.
2.    (x) ∈ C (), поэтому Γ не имеет вертикальных асимптот. Прямая y = наклонная асимптота Γ при x → ±∞ .
3.    Для всех x ∈ (-∞, —1) S(—1, 0) S(0, +∞)

.

Так как 

,

,

то функция имеет в точках x = —1 и x = 0 бесконечные производные, а значит Γ имеет в соответствующих точках (—1, 0) и (0, 0) вертикальные касательные и эти точки являются критическими.

Далее, ^/(x) = 0 x = . Поэтому x =  стационарная точка функции. Поскольку sgn ^/(x) = sgnx (3x + 2), ∀x {—1; 0}, то

 точка локального максимума и  точка локального минимума и (0)=0. На 2/3], [0, +∞) функция возрастает, а на [—2/3, 0] — убывает.

4.    Так как
^//(x) = —(x + 1)^-5/3x^-4/3, ∀x ∈ (-∞, -1) (-1,0)(0, +∞), 
то ^//(x) 0 на указанном множестве и x = -1, x = 0 — точки возможного перегиба Γ. Но sgn ^//(x) = — sgn (x + 1), ∀x 0, -1, а значит

очка x = -1 — точка перегиба заданной функции.
Полученные результаты объединим в таблицу и нарисуем график:

Свойства дифференцируемых функций

Определение 12.1. Функция y=f(x) называется возрастающей в точке , если окрестность  этой точки такая, что

Аналогично определяется убывающая в точке  функция.
Точка  называется точкой локального максимума (минимума) функции
y=f(x), если окрестность  этой точки такая, что  .

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума. Если знаки неравенств в соотношениях (12.1) нестрогие, то говорят о нестрогом локальном максимуме (минимуме).
 

Теорема 12.1. (теорема Ферма). Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности  точки , дифференцируема в этой точке и имеет в ней локальный экстремум. Тогда 
 

Доказательство

Равенство  в теореме 12.1 означает, что касательная к графику
функции y=f(x) в точке  горизонтальна.
 

Теорема 12.2. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точкеи. Тогда f(x) возрастает (убывает) в точке 
 

Доказательство

Докажем для случая  По формуле (6.4)

окрестность  такая что

Если следовательно условия возрастания функции в точке (см. определение 12.1) выполнены.
 

Теорема 12.3 (теорема Ролля). Пусть функция y=f(x):
1) непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема на интервале (a ,b );
3) f(a)=f(b).

Тогда
 

Доказательство

По теореме 11.1 такие, что

Если M = m, то f( x) – постоянная функцияпоэтому
Если , то либо max, либо min достигается на ( a,b ). Пусть, например,
. Тогда точка  удовлетворяет условиям теоремы 12.1, и поэтому
, что и требовалось доказать.

Теорема 12.4 (теорема Лагранжа).
Пусть функция y=f(x):
1) непрерывна на отрезке [a,b];
2) дифференцируема на интервале ( a,b ).

Тогда такая, что (12.4)
 

Доказательство

Рассмотрим функцию – непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале ( a,b ); 
Поэтому y(x) удовлетворяет условиям теоремы 12.3, то есть такая, чточто и требовалось доказать.
Угловой коэффициент прямой L, проходящей через точки  равен
 Поэтому формула (12.4) означает, что такая, что касательная к графику функции y=f(x) в точке  параллельна прямой L, рис. 12.1.

Если х задает время и y=f(x) – путь, пройденный телом при движении по прямой за время х, то  – средняя скорость движения тела на промежутке времени [a b] и согласно (12.4)  такая, что мгновенная скорость тела в момент времени с равна средней скорости.
 

Пример №16

Дана кривая  и точки A(0;1) и B(6; 37) на кривой. На интервале (0; 6) найти точку с, удовлетворяющую условию (12.4). Написать уравнение касательной в точке (c,f(c)). Сделать чертеж.
 

Решение:

Подставив точки А и В в формулу (12.4), получим

Уравнение касательной к кривой  (см. пример 9.9), рис. 12.2.

Теорема 12.5. (терема Коши). Пусть функции y=f(x) и y=g(x):
1) непрерывны на отрезке [a b];
2) дифференцируемы на интервале ( a,b ), причем  и  . Тогда такая, что

Доказательство

Рассмотрим функцию

y(x) удовлетворяет условиям теоремы 12.3, и далее доказательство аналогично доказательству теоремы 12.4.

(схема 30)

При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.

Пусть явно задана функция y=f (x). Функция,
зависящая непосредственно от  переменной x, называется
простой.
Рассмотрим для простой функции точку x, принадлежащую ее области определения. Дадим
приращение аргументу ∆x в точке x. Функция
получит при этом соответствующее (3.9) приращение ∆y=f(x+∆x)—f(x).                                        

Производной функции y=f (x) по переменной x в некоторой точке называется предел отношения
приращения функции  к приращению аргумента, когда
последнее стремится к нулю, то есть

.                                                                                                                                                                               (3.15)

Функция, имеющая в точке конечную производную,
называется дифференцируемой в этой точке. Процесс нахождения производной называется
дифференцированием и обозначается .

Производная 
характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности заданной
точки.

Приведем таблицу производных основных элементарных
функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые
и явно заданные.

Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет

Существуют такие точки, в которых функция непрерывна,
но не дифференцируема. Так, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но производной не имеет, так как в этой
точке к графику функции можно провести бесконечное множество
касательных (рис. 3.6). Такие точки называются угловыми или точками излома функции. Данный случай показывает, что обратное утверждение к
теореме 3.9 неверно.

Среди явных 
функций особое место занимают обратные функции, производная
которых находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.10. Если
строго монотонная функция y=f (x) дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не
обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция x=φ(y) также
дифференцируема на этом интервале, при этом:

                                                                                                                                                                                              (3.30) 

Доказательство. Дадим  функции
y=f (x) в точке x бесконечно малое приращение аргумента ∆x→0, функция при этом получит соответствующее приращение
∆y. Так как по условию теоремы функция
дифференцируема  в каждой  точке интервала Х, то в каждой точке этого
интервала функция непрерывна (по теореме 3.9). Следовательно, по определению
непрерывности функции выполняется: , это означает, что 
при  ∆x→0; ∆y→0.

По
определению производной можно записать:

, теорема доказана

Среди явных функций выделяют класс сложных функций.

Функция называется
сложной, если она представляет собой композицию нескольких функций: y=f (φ(x)). Функция f называется внешней, а φ — внутренней функцией, выступающей в качестве
независимого  переменного.     

Теорема 3.11.
Чтобы 
продифференцировать  сложную
функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней,
считая  внутреннюю функцию  независимой переменной, затем
продифференцировать внутреннюю функцию по независимому переменному и результаты
дифференцирования перемножить, то есть

                                                                                                                                                                                (3.31)

Пример 3.8.  Найти
производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.31) и с учетом табличных формул
(3.17), (3.19), (3.29)  имеем:

.

К явным функциям можно отнести функции, заданные
параметрически, вида:,

 где t –
параметр. Производную такой функции несложно получить:

.                                                                                                               (3.32)

Пример 3.9.  Найти
производную функции .

Решение.  Согласно
формуле (3.32) и с учетом табличных формул (3.18), (3.19)  имеем:

Примечание.  Функция,
заданная в примере 3.9, представляет собой параметрическое уравнение окружности
радиуса a. Действительно, возведем оба уравнения в квадрат и сложим
их почленно, получим:

Помимо таблицы производных
имеют место правила дифференцирования.

Теорема 3.12. Производная суммы двух  дифференцируемых функций равна сумме
производных этих функций: 

                                                                                                                                                                                      (3.33)

Данная теорема может быть обобщена для произвольного
конечного числа функций-слагаемых.

Пример 3.10.
 Найти производную функции.

Решение.  Согласно
формулам (3.33) и (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.20), (3.23)  имеем:

Теорема 3.13. Производная произведения  двух дифференцируемых функций равна
произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс
произведение первой функции на производную 
второй функции–сомножителя, то есть

                                                                                                                                                                                 (3.34)

Пример 3.11.
 Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.34) и с учетом табличных формул
(3.22), (3.24)  имеем:

Теорема 3.14.
Производная частного двух функций
равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а
числитель есть разность между 
произведением знаменателя на производную числителя и произведением
числителя на производную знаменателя, то есть

                                                                                                                                                                                (3.35)

Пример 3.12.
 Найти производную функции.

Решение. Согласно формуле (3.35) и с учетом табличных формул
(3.17), (3.29)  имеем:

Все рассмотренные выше при дифференцировании функции
были заданы в явном виде, то есть уравнением y=f (x),
разрешенным относительно y.

Функция называется неявно заданной, если она
имеет вид F (x;y)=0.
Неявный способ задания к свойствам функции отношения не имеет. В этом случае
любое выражение,  содержащее переменную y, нужно
рассматривать как функцию сложную. Следовательно, при нахождении производной  неявных функций следует применять теорему о
дифференцировании сложной функции. В процессе отыскания  все слагаемые,
содержащие , оставляют в левой части равенства и выносят из них  за скобки как общий
множитель. Слагаемые, не содержащие , переносят в правую часть, и полученное уравнение разрешают
относительно искомой . 

Пример 3.13.
 Найти производную  неявной 
функции .

Решение. Согласно формуле (3.31) дифференцирования  сложной функции и (3.34) производной
произведения, с учетом табличных формул (3.17) и  (3.18) 
имеем:

Иногда для упрощения процесса дифференцирования
громоздких функций применяют их предварительное логарифмирование (логарифмическое
дифференцирование). Данный метод целесообразен в тех случаях, когда
функция представляет собой произведение и (или) частное различных функций,
таких как показательные и степенные выражения (особенно иррациональные).
Логарифмическое дифференцирование используется также для нахождения производных
показательно-степенных функций, которые без предварительного логарифмирования
вообще не дифференцируются. При использовании данного метода в левой части  получают производную от натурального
логарифма y, которая равна . После этого обе части умножают на  y, при этом в правой части заменяют  y  на заданную по
условию функцию.

Пример 3.14.
 Найти производную  функции .

Решение. 
Прологарифмируем заданную функцию .

По свойству логарифма степени имеем:. Согласно формуле
(3.31) дифференцирования  сложной функции
и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.19) и  (3.29) 
можно  записать 

.

После умножения обеих частей последнего равенства на y
окончательно получим:. Заметим, что без предварительного логарифмирования
производную заданной функции найти невозможно, так как нельзя обосновать
использование формул дифференцирования (3.17) или (3.22)

Пусть функция y=f (x)
дифференцируема в некоторой текущей точке x и при этом . Тогда по определению производной и формуле (3.15) можно
записать: . Иначе: приращение  функции имеет вид

 .                                                                                                                                                                         (3.36)

Дифференциалом функции y=f (x) в точке x называется главная часть приращения этой
функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента:

.                                                                                                                                                                             (3.37)

Найдем дифференциал независимой переменной x, то есть
дифференциал функции y=x. Так
как , то по формуле (3.37) имеем dy=dx=∆x. Тогда формула (3.37) для вычисления дифференциала
функции может быть записана в виде: 

.                                                                                                                                                                                        (3.38)

Если  в формуле
(3.36) отбросить бесконечно малую величину α∙∆x, то
получим приближенное равенство . Подставляя в него выражения для ∆y и dy из формул (3.9) и (3.37), получим  или 

.                          
                                                                                                                                      (3.39)

Формула (3.39) применяется для вычисления приближенных
значений функций.

Пример
3.15.  Вычислить приближенно значение .

Решение.
Рассмотрим функцию . По формуле  (3.39)
имеем:

.

Так как x+∆x=0,95,  то при x=1  и  ∆x=-0,05
получаем:

Процесс дифференцирования может быть многократным. Производная от первой
производной называется второй производной функции или производной 2-го порядка.
Производная от последней, в свою очередь, является производной 3-го порядка и
так далее. Производная функции n-го  порядка  – это производная от предыдущей производной (n-1)-го
порядка заданной функции, то есть

 .                                                                                                                                                                              (3.40)

Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как “скорость изменения”, то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более “быструю”, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.

Что такое производная функции

Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени – это скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости – ничто иное как ускорение, так как ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: , то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей – нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правила	Название правила	Правило дифференцирования
1	Производная постоянной величины	, С-постоянная
2	Производная суммы	.
3	Производная произведения постоянной на функцию	, С – постоянная
4	Производная переменной x
5	Производная произведения двух функций
6	Производная деления двух функций
7	Производная сложной функции

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулы	Название производной	Основные элементарные функции	Сложные функции
1	Производная натурального логарифма по x
2	Производная логарифмической функции по основанию a
3	Производная по x в степени n
4	Производная квадратного корня
5	Производная a в степени x
6	Производная e в степени x
7	Производная синуса
8	Производная косинуса
9	Производная тангенса
10	Производная котангенса
11	Производная арксинуса
12	Производная арккосинуса
13	Производная арктангенса
14	Производная арккотангенса

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: .

Решение:

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

По формуле 3 “производная по x в степени n” (у нас в степени 2).

По правилам дифференцирования 3 и 4.

По первому правилу дифференцирования “производная постоянной равна нулю”

Итак, получим: .

Пример 2

Найти производную функции

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

Ответ:

Пример 3

Найти производную функции

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

Ответ:

Пример 4

Найдите производную функции

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

Ответ:

Пример 5

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто , а квадратная функция.

То есть мы имеем функцию вида .

Возьмем производную этой функции:

Ответ:

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением м

Решение: скорость тела – это первая производная траектории по времени: . м/с.

Находим скорость тела:

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.