Как найти дифференциал 2го порядка

  • Дифференциалом
    второго порядка     функции
    называется дифференциал от дифференциала
    первого порядка:

.

Пример 4.
Для функции
найти дифференциал второго порядка.

Найдем частные
производные первого и второго порядка:

;
;

;
;;

Дифференциал
второго порядка равен

.

7. Градиент функции двух переменных

.

Свойства градиента

  1. Градиент показывает
    направление
    наибольшего
    возрастания значений функции    .

  2. Длина вектора
    градиента равен максимальной
    скорости
    изменения функции в направлении
    градиента.

  3. Для функции
    градиент
    перпендикулярен
    линии уровня    ,
    проходящей через точку
    .

Пример 5.
Дана функция
.
Найти градиентв точкеи построить его.

Найдем координаты
градиента – частные производные.

.

В точке
градиент
равен
.
Начало векторав точке,
а конец — в точке.

5

1

0
2 4

Аналогично
определяется градиент функции трех
переменных
:

Контрольные вопросы

  1. Дайте определение
    функции двух переменных
    .

  2. Что является
    областью определения функции
    ?

  3. Что является
    графиком функции двух переменных
    ?

  4. Графиком какой
    функции двух переменных является
    плоскость?

  5. Что называется
    линией уровня функции
    ?

  6. Как расположены
    линии уровня линейной функции
    ?

  7. Как расположены
    линии уровня функции
    ?

  8. Запишите
    частное приращение функции двух
    переменных по переменной
    .

  9. Как
    определяется частная производная
    функции
    по переменной?
    По переменной?

  10. Как вычисляются
    частные производные?

  11. Дайте
    определение частных производных второго
    порядка, третьего,
    -го
    порядка функции.

  12. Что
    означает символическая запись
    ?

  13. Сформулируйте
    свойство смешанных частных производных
    функций двух переменных.

  14. Запишите полное
    приращение для функций двух переменных.

  15. Что называется
    полным дифференциалом функции
    ?

  16. Как найти полный
    дифференциал функции
    ?

  17. Запишите формулу
    для нахождения дифференциала второго
    порядка функции
    .

  18. Какова связь между
    полным дифференциалом функции нескольких
    переменных и ее полным приращением?

  19. Сформулируйте
    свойства градиента.

  20. Как
    расположен градиент функции
    относительно линий уровня?

Тема 2. Экстремум функции двух переменных

Содержание

  1. Локальный
    экстремум

  2. Условный
    экстремум функции двух переменных

1. Локальный экстремум

  • Максимумы и
    минимумы функции называются экстремумами
    функции.

На рисунке точка
является точкой максимума функции.

  • Точка
    называетсястационарной
    точкой функции
    ,
    если она является внутренней
    точкой
    области определения функции и все
    частные производные     первого
    порядка     в
    ней     равны
    нулю    .

  • Точка
    ,
    в которой частные производные равны
    нулю или не существуют, называетсякритической
    точкой     функции

    .

Таким образом,
точки экстремума следует искать среди
ее критических точек.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Содержание:

  • Случай независимой переменной
  • Случай зависимой переменной

Пусть функция $y=f(x)$ зависит от переменной
$x$ и дифференцируема в точке
$x$. Может оказаться, что в точке
$x$ дифференциал
$d y=f^{prime}(x) d x$, рассматриваемый как функция от
$x$, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует
дифференциал от дифференциала $d(dy)$ данной функции,
который называется дифференциалом второго порядка функции $y=f(x)$.
Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

$d^2y=d(dy)$

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение

Дифференциалом
$n$-го порядка
$d_ny$ функции
$y=f(x)$ называется дифференциал от дифференциала
$(n-1)$-го порядка этой функции, то есть

$$d^{n} y=dleft(d^{n-1} yright)$$

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Пусть $y=f(x)$ — функция независимой переменной
$x$, имеющая дифференциалы любого порядка.
Первый дифференциал функции

$$d y=f^{prime}(x) d x$$

где $dx=Delta x$ — некоторое приращение независимой
переменной $x$, которое мы задаем сами и которое не
зависит от $x$. По определению

$$d^{2} y=d(d y)=dleft(f^{prime}(x) d xright)$$

Переменной является аргумент $x$. Значит, для
дифференциала величина $dx$ является постоянной и
поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

$$d^{2} y=dleft(f^{prime}(x) d xright)=d x cdot dleft(f^{prime}(x)right)$$

Для вычисления дифференциала $dleft(f^{prime}(x)right)$ применим формулу
дифференциала первого порядка к функции $f^{prime}(x)$. Тогда получим:

$$dleft(f^{prime}(x)right)=left(f^{prime}(x)right)^{prime} cdot d x=d x cdot f^{prime prime}(x) d x=f^{prime prime}(x)(d x)^{2}=f^{prime prime}(x) d x^{2}$$

Итак,

$$d^{2} y=f^{prime prime}(x) d x^{2}$$

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала
$n$-го порядка:

$$d^{n} y=f^{n}(x) d x^{n}$$

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции $y(x)=4x^3-12x+5$

Решение. По формуле

$$d^{3} y=y^{prime prime prime}(x) d x^{3}$$

Найдем третью производную заданной функции:

$$begin{array}{c}
y^{prime}(x)=left(4 x^{3}-12 x+5right)^{prime}=left(4 x^{3}right)^{prime}-(12 x)^{prime}+(5)^{prime}= \
4left(x^{3}right)^{prime}-12(x)^{prime}+0=4 cdot 3 x^{2}-12 cdot 1=12 x^{2}-12 \
y^{prime prime}(x)=left(y^{prime}(x)right)^{prime}=left(12 x^{2}-12right)^{prime}=left(12 x^{2}right)^{prime}-(12)^{prime}= \
=12left(x^{2}right)^{prime}-0=12 cdot 2 x=24 x \
y^{prime prime prime}(x)=left(y^{prime prime}(x)right)^{prime}=(24 x)^{prime}=24(x)^{prime}=24
end{array}$$

Тогда

$$d^{3}y=24dx^3$$

Ответ. $d^{3}y=24dx^3$

Случай зависимой переменной

Пусть задана дифференцируемая функция $y=f(u(x))$. Тогда

$$d y=f^{prime}(u) d u$$

где $d u=u^{prime}(x) d x$ в общем случае не является постоянной величиной.
Поэтому дифференциал от функции $f^{prime}(u) d u$ берем как дифференциал от произведения

$$d^{2} y=dleft(f^{prime}(u) d uright)=dleft(f^{prime}(u)right) cdot d u+f^{prime}(u) cdot d(d u)=f^{prime prime}(u) d u^{2}+f^{prime}(u) d^{2} u$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти дифференциал второго порядка
$d^{2}u$ функции $f(u)=sqrt{u}$, где
$u(x)=3x+7$ и $x$ — независимая переменная.

Решение. Решим пример разными способами и сравним ответы.

1-ый способ. Согласно формуле, имеем, что искомый дифференциал

$$d^{2} y=f^{prime prime}(u) d u^{2}+f^{prime}(u) d^{2} u$$

Найдем все необходимые компоненты формулы. Из условия имеем:

$$begin{array}{c}
f^{prime}(u)=(sqrt{u})^{prime}=frac{1}{2 sqrt{u}} \
f^{prime prime}(u)=left(f^{prime}(u)right)^{prime}=left(frac{1}{2 sqrt{u}}right)^{prime}=frac{1}{2} cdotleft(u^{-frac{1}{2}}right)^{prime}= \
=frac{1}{2} cdotleft(-frac{1}{2}right) cdot u^{-frac{3}{2}}=-frac{1}{4 sqrt{u^{3}}} \
d u=d(3 x+7)=(3 x+7)^{prime} d x=left[(3 x)^{prime}+(7)^{prime}right] d x= \
=left[3(x)^{prime}+0right] d x=3 cdot 1 cdot d x=3 d x \
d^{2} u=d(3 d x)=d x cdot d(3)=d x cdot 0=0
end{array}$$

А тогда:

$$begin{aligned}
d^{2} y=&-frac{1}{4 sqrt{u^{3}}} d u^{2}+frac{1}{2 sqrt{u}} cdot 0=-frac{1}{4 sqrt{u^{3}}} cdot(3 d x)^{2}=\
&=-frac{9}{4 sqrt{u^{3}}} d x^{2}=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}
end{aligned}$$

2-ой способ. Из того, что $f(u)=sqrt{u}$ и
$u(x)=3 x+7$, получаем:

$$f(x)=sqrt{3 x+7}$$

А тогда

$$d^{2} y=f^{prime prime}(x) d x^{2}$$

Найдем вторую производную функции $f(x)=sqrt{3 x+7}$:

$$f^{prime}(x)=(sqrt{3 x+7})^{prime}=frac{1}{2 sqrt{3 x+7}} cdot(3 x+7)^{prime}=$$
$$=frac{1}{2 sqrt{3 x+7}} cdotleft[(3 x)^{prime}+(7)^{prime}right]=frac{1}{2 sqrt{3 x+7}} cdotleft[3(x)^{prime}+0right]=$$
$$=frac{3 cdot 1}{2 sqrt{3 x+7}}=frac{3}{2 sqrt{3 x+7}}$$
$$f^{prime prime}(x)=left(f^{prime}(x)right)^{prime}=left(frac{3}{2 sqrt{3 x+7}}right)^{prime}=frac{3}{2}left((3 x+7)^{-frac{1}{2}}right)^{prime}=$$
$$=frac{3}{2} cdotleft(-frac{1}{2}right) cdot(3 x+7)^{-frac{3}{2}} cdot(3 x+7)^{prime}=$$
$$=-frac{3}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} cdotleft[(3 x)^{prime}+(7)^{prime}right]=-frac{3}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} cdot 3(x)^{prime}=$$
$$=-frac{3 cdot 3 cdot 1}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}}=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}}$$

Окончательно имеем:

$$d^{2} y=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}$$

Ответ. $d^{2} y=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}$

Читать дальше: производная функции, заданной неявно.

Источник

Дифференциалы различных порядков

Автор статьи

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Что такое дифференциал функции

Определение

Дифференциалом функции называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной.

Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:

$dy = f ‘(x) Delta $х

Пусть дана функция y = f(x), где х — независимая переменная. Дифференциал этой функции есть некоторая функция от х но от х зависит только первый сомножитель f ‘(x) второй же сомножитель dx является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит.

dy = f ‘(x)dx

Функция dy есть функция от x и называется дифференциалом.

Что такое второй, третий дифференциал

Определение

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y.

$d^2y = d(dy)$

Определение

Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:

$d^3y = d(d2y) = f »'(x)dx^3$

Что такое дифференциал n-го порядка

Определение

Дифференциалом n-го порядка является дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:

$d^ny = d(d^{n-1}y)$

Пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

[f'(x)=frac{dx}{dy} ]

[f^{n} (x)=frac{d^{n} y}{dx^{n} } ]

Пример 1

Найти дифференциал функции.

[d(2x^{3} +1)]

Решение.

По правилу дифференцирования, дифференциал суммы равен сумме дифференциалов функций.

[d(2x^{3} +1)=d(2x^{3} )+d(1)]

Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала. Производная второй функции так же как и дифференциал равна 0.

[d(2x^{3} +1)=6x^{2} dx]

«Дифференциалы различных порядков» 👇

Пример 2

Найти дифференциал второго порядка функции.

[y(x)=x^{3} -arccos x]

Решение.

  1. По определению дифференциала, дифференциал второго порядка равен:

    2. [d^{2} y=y»(x)dx^{2} ]

  2. Продифференцируем данную функцию по х:

    3. [y'(x)=(x^{3} -arccos x)’=(x^{3} )’-(arccos x)’=3x^{2} +frac{1}{sqrt{1-x^{2} } } ]

  3. Вычислим вторую производную

    4. [y»(x)=left(3x^{2} +frac{1}{sqrt{1-x^{2} } } right)^{{‘} } =6x+left((1-x^{2} )^{-frac{1}{2} } right)^{{‘} } =6x-frac{1}{2} (1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } (1-x^{2} )’]

    [y»(x)=6x+x(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } ]

  4. Подставим полученную производную в формулу дифференциала второго порядка:

    5. [d^{2} y=y»(x)dx^{2} =left(6x+x(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } right)dx^{2} =left(6x+frac{x}{sqrt[{}]{(1-x^{2} )^{3} } } right)dx^{2} ]

Пример 3

Найти дифференциал второго порядка функции заданной неявно.

[xy-y^{2} =3]

Решение.

  1. Перенесем все члены функции в одну сторону

    2. [xy-y^{2} -3=0]

  2. Найдем первый дифференциал dy

    3. [dleft(xy-y^{2} right)-dleft(3right)=0]

  3. Дифференциал разности равен разности дифференциалов

    4. [dleft(xyright)-dleft(y^{2} right)-dleft(3right)=0]

  4. Распишем дифференциал произведения и вычислим

    5. [dleft(xright)cdot y+xdy-dleft(y^{2} right)-dleft(3right)=0]

    [ydx+xdy-2ydy-0=0]

  5. Выразим dy

    6. [dyleft(x-2yright)=-ydx]

    [dy=-frac{ydx}{x-2y} ]

  6. Вычислим дифференциал второго порядка по свойству частного:

    7. [d^{2} y=d(dy)=dleft(-frac{ydx}{x-2y} right)]

    [d^{2} y=dleft(-frac{y}{x-2y} right)dx=frac{d(-y)(x-2y)-(-y)cdot d(x-2y)}{left(x-2yright)^{2} } dx]

    [d^{2} y=frac{-dy(x-2y)+ycdot d(x)-2dy}{left(x-2yright)^{2} } dx]

  7. Выполним замену dy

    8. [d^{2} y=frac{-frac{-ydxleft(x-2yright)}{x-2y} +ydx-2ydy}{left(x-2yright)^{2} } dx]

    [d^{2} y=frac{ydx+ydx-2ydy}{left(x-2yright)^{2} } dx=frac{2ydx-2yleft(-frac{ydx}{x-2y} right)}{left(x-2yright)^{2} } dx]

    [d^{2} y=frac{2ydx+frac{2y^{2} }{x-2y} }{left(x-2yright)^{2} } dx=frac{2ydx+2y^{2} }{left(x-2yright)^{3} } dx]

    [d^{2} y=frac{2y(x+2y)+2y^{2} }{left(x-2yright)^{3} } dx^{2} =frac{2xy+4y^{2} +2y^{2} }{left(x-2yright)^{3} } dx^{2} =frac{2xy+6y^{2} }{left(x-2yright)^{3} } dx^{2} ]

    [d^{2} y=frac{2yleft(x+3yright)dx^{2} }{left(x-2yright)^{3} } ]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 15.12.2022

Источник

Вычисление дифференциалов высших порядков.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Рассмотрим дифференциал $dy(x, dx)=f'(x) dx$, как функцию $x$ при фиксированном  $dx. $ Предполагая, что функция $y=f(x)$ дважды дифференцируема в точке $x,$ найдем дифференциал от $dy(x, dx):$

$$d(dy(x, dx))=f»(x)dxdx$$ 

Значение полученного выражения называется вторым дифференциалом или дифферениалом второго порядка функции $y=f(x)$ и обозначается символом $d^2y(x, dx).$

Таким образом, $$d^2y=f»(x)dx^2$$

Аналогично,

$$d^3y=d(d^2y)=f»'(x)dx^3$$

$$……………..$$

$$d^ny=d(d^{n-1}y)=f^{(n)}(x)dx^n$$ 

Примеры:

Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций:

5.303. $y=asin(bx+c).$

Решение.

$y'(x)=(asin(bx+c))’=acos(bx+c)(bx+c)’=abcos(bx+c);$

$y»(x)=(abcos(bx+c))’=-absin(bx+c)(bx+c)’=-ab^2sin(bx+c).$

Для вычисления диффренциала второго порядка известна формула 

$$d^2y=f»(x)dx^2.$$

Таким образом, получаем 

$$d^2y=-ab^2sin(bx+c)dx^2.$$

Ответ: $d^2y=-ab^2sin(bx+c)dx^2.$

5.305. $y=frac{sin x}{x}.$

Решение.

$$y’=left(frac{sin x}{x}right)’=frac{(sin x)’ x-sin x x’}{x^2}=frac{xcos x -sin x}{x^2}.$$

$$y»=left(frac{xcos x-sin x}{x^2}right)’=frac{(xcos x-sin x)’ x^2-(xcos x-sin x) (x^2)’}{x^4}=$$

$$=frac{(x’cos x+x(cos x)’-(sin x)’) x^2-(xcos x-sin x) 2x}{x^4}=$$ $$=frac{(cos x-xsin x-cos x)x^2-2x^2cos x+2xsin x}{x^4}=$$ $$=frac{-x^3sin x-2x^2cos x+2xsin x}{x^4}=frac{-x^2sin x-2xcos x+2sin x}{x^3}.$$

Для вычисления диффренциала второго порядка известна формула 

$$d^2y=f»(x)dx^2.$$

Таким образом, получаем 

$$d^2y=frac{-2xcos x+(2-x^2)sin x}{x^3}dx^2.$$

Ответ: $d^2y=frac{-2xcos x+(2-x^2)sin x}{x^3}dx^2.$

5.307. $y=frac{1}{x^2-3x+2}$

Решение.

Найдем $y»:$

 $$y’=left(frac{1}{x^2-3x+2}right)’=left((x^2-3x+2)^{-1}right)’=$$ $$=-(x^2-3x+2)^{-2}(x^2-3x+2)’=-(x^2-3x+2)^{-2}(2x-3).$$

$$y»=(-(x^2-3x+2)^{-2}(2x-3))’=$$ $$=-((x^2-3x+2)^{-2})'(2x-3)-(x^2-3x+2)^{-2}(2x-3)’=$$

$$=-(-2)(x^2-3x+2)^{-3}(x^2-3x+2)'(2x-3)-(x^2-3x+2)^{-2}2=$$ $$=2(x^2-3x+2)^{-3}(2x-3)^2-2(x^2-3x+2)^{-2}=$$ $$=2frac{(2x-3)^2}{(x^2-3x+2)^3}-2frac{1}{(x^2-3x+2)^2}=$$ $$=2frac{4x^2-12x+9-x^2+3x-2}{(x^2-3x+2)^3}=2frac{3x^2-9x+7}{(x^2-3x+2)^3}.$$

Диффренциала второго порядка находим по формуле 

$$d^2y=f»(x)dx^2.$$

Таким образом, получаем

$$d^2y=2frac{3x^2-9x+7}{(x^2-3x+2)^3}dx^2.$$

Ответ: $d^2y=2frac{3x^2-9x+7}{(x^2-3x+2)^3}dx^2.$

Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.312. $xy+y^2=1.$

Решение.

Найдем $dy:$

$$d(xy+y^2)=d(1)Rightarrow$$

$$ydx+xdy+d(y^2)=0Rightarrow$$

$$ydx+xdy+2ydy=0Rightarrow dy=-frac{y}{x+2y}dx.$$

Далее найдем $d^2y:$

$$d(dy)=dleft(-frac{y}{x+2y}right)dx=-frac{dy(x+2y)-y(d(x+2y))}{(x+2y)^2}dx=$$

$$=-frac{(x+2y)dy-ydx-2ydy}{(x+2y)^2}dx=$$ $$=-frac{(x+2y)frac{-y}{(x+2y)}dx-ydx-2yfrac{-y}{x+2y}dx}{(x+2y)^2}dx=frac{2y-frac{2y^2}{x+2y}}{(x+2y)^2}dx^2=$$ $$=frac{2y(x+2y)-2y^2}{(x+2y)^3}dx^2=frac{2xy+2y^2}{(x+2y)^3}dx^2=2frac{xy+y^2}{(x+2y)^3}dx^2.$$

Подставляя данные из условия $xy+y^2=1,$ окончательно получаем 

$$d^2y=frac{2}{(x+2y)^3}dx^2.$$

Ответ: $d^2y=frac{2}{(x+2y)^3}dx^2.$

5.315. $x=y-asin y.$

Решение.

Найдем $y»(x),$ как производную функции, заданной неявно:

$F(x,y)=x-y+asin y=0;$

$F'(x,y)=(x-y+asin y)’=1-y’+acos y y’=0Rightarrow y’=frac{1}{1-acos y};$

$$F»(x,y)=(1-y’+ay’cos y)’=-y»+ay»cos y-ay’sin y y’=$$ $$=y»(acos y-1)-aleft(frac{1}{1-acos y}right)^2sin y=0Rightarrow $$ $$Rightarrow y»=frac{asin yleft(frac{1}{1-acos y}right)^2}{acos y-1}=frac{-asin y}{(1-acos y)^3}.$$

Таким образом, 

 $$d^2y=y»(x)dx^2=frac{-asin y}{(1-acos y)^3}dx^2.$$

Ответ: $d^2y=frac{-asin y}{(1-acos y)^3}dx^2.$

Домашнее задание: 

Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций:

5.304. $y=3^{-x^2}.$

Ответ: $3^{-x^2}ln 9(2x^2ln 3-1)dx^2$

5.306. $y=ax^2+bx+c.$

Ответ: $2adx^2$

5.308. $y=sqrt{1-x^2}arcsin x.$

Ответ: $-frac{sqrt{1-x^2}cdot x+arcsin x }{(1-x^2)^{3/2}}dx^2$

5.310. $y=arcsin(asin x).$

Ответ: $-frac{a(1+a^2)sin x }{(1+a^2sin^2 x)^{3/2}}dx^2$

Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.313. $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.$

Ответ: $-frac{R^2 }{(y-b)^{3}}dx^2$

5.314. $x^3+y^3=y.$

Ответ: $6frac{x(1+3y^2)}{(1-3y^2)^{3}}dx^2.$

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить контент план на неделю
  • Как правильно по юридически составить договор по оказанию услуг
  • Как найти подстреленную утку
  • Как найти акулу в тока бока
  • Как найти периметр четырехугольника в тетраэдре