Дифференциал функции
dy=f′(x)dx
Как видим, для нахождения дифференциала нужно умножить производную на dx. Это позволяет из таблицы формул для производных сразу записать соответствующую таблицу для дифференциалов.
Полный дифференциал для функции двух переменных: 
Полный дифференциал для функции трех переменных равен сумме частных дифференциалов: d f(x,y,z)=dxf(x,y,z)dx+dyf(x,y,z)dy+dzf(x,y,z)dz
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Также решают
Примеры
≡ x^2/(x+2)
cos2(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
см. также Вычисление приближенно с помощью дифференциала
Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, где A – константа, а α(∆x) – бесконечно малая при ∆x → 0.
Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке, причем A=f’(x0).
Пусть f(x) дифференцируема в точке x0 и f ‘(x0)≠0, тогда ∆y=f’(x0)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: 
, то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x0)∆x.
то есть ∆y~f’(x0)∆x. Следовательно, f’(x0)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 и обозначают dy(x0) или df(x0). Итак, для произвольных значений x
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда
dy=f′(x)dx. (2)
Пример. Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4tg2x
Решение:
дифференциал:
б)
Решение:
дифференциал:
в) y=arcsin2(lnx)
Решение:
дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:
Пример. Для функции y=x3 найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x)3 – x3 = x3 + 3x2∆x +3x∆x2 + ∆x3 – x3 = 3x2∆x+3x∆x2+∆x3; dy=3x2∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x2 + ∆x3.
Дифференциалом функции
называется главная (линейная по
) часть приращения функции. Чтобы понять данное определение, рассмотрим следующий рисунок.
На рисунке изображён график функции
и
касательной
к ней в точке
.
Дадим аргументу функции
некоторое приращение
,
тогда функция
также получит некоторое приращение
.
Величина
называется
дифференциалом функции
.
При этом, из графика следует, что
равно приращению ординаты касательной, проведённой в точке
к функции
.
Именно поэтому дифференциалом называют линейную часть приращения функции, т.е. приращение ординаты касательной.
Из рисунка следует, что угол наклона касательной
,
который она образует с положительным направлением оси
и
— равны. Кроме того, тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания:
Из треугольника
следует, что:
Таким образом, дифференциал функции выражается следующей формулой:
Рассмотрим ещё такой момент: из рисунка следует, что
, причем
. Причем, чем меньше
, тем меньший вклад в величину
вносит значение
. Т.е. при достаточно малых значениях
, можно считать, что
. Данное соотношение позволяет вычислять приближенное значение функции в точке
, если известно её значение в точке
.
Дифференциал высшего порядка (например порядка
) определяется как дифференциал от дифференциала
-ого порядка:
Например, дифференциал второго порядка вычисляется следующим образом:
Аналогичным образом получаем формулу для вычисления дифференциала
-ого порядка:
где
—
-ая производная функции
по переменной
.
Пару слов стоит сказать о вычислении дифференциала функции многих переменных, который в этом случае называется
полным дифференциалом. Полный дифференциал функции, зависящей от
-переменных
определяется по формуле:
Выражения для дифференциалов высших порядков функции многих переменных можно получить исходя из общей формулы:
В общем случае, для возведения суммы в
-ую степень необходимо воспользоваться формулой бинома Ньютона. Рассмотрим процесс получения формулы полного дифференциала второго порядка функции двух переменных:
Наш онлайн калькулятор способен вычислить дифференциалы разных порядков для любых функций одной или нескольких переменных с описанием подробного решения на русском языке.
| bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Subscribe to verify your answer
Subscribe
Sign in to save notes
Sign in
Number Line
Examples
-
frac{d}{dx}(frac{3x+9}{2-x})
-
frac{d^2}{dx^2}(frac{3x+9}{2-x})
-
(sin^2(theta))»
-
derivative:of:f(x)=3-4x^2,::x=5
-
implicit:derivative:frac{dy}{dx},:(x-y)^2=x+y-1
-
frac{partial}{partial ypartial x}(sin (x^2y^2))
-
frac{partial }{partial x}(sin (x^2y^2))
- Show More
Description
Differentiate functions step-by-step
derivative-calculator
frac{dy}{dx}
en
Related Symbolab blog posts
High School Math Solutions – Derivative Calculator, the Chain Rule
In the previous posts we covered the basic derivative rules, trigonometric functions, logarithms and exponents…
Read More
Enter a problem
Save to Notebook!
Sign in